弹性力学有限元考试试卷及答案(AB卷)

2009-2010学年第一学期《弹性力学有限元》课内考试A卷

授课班号年级专业学号姓名

一、判断正误

（×）1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置

（√）2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元

（×）3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型

（√）4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元

（×）5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化

处理的话会得到一样的答案

（×）6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析

（√）7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好

（×）8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度

（×）9. 线性应力分析也可以得到极大的变形

（√）10. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小

二、填空

1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板，但前者受力特点是：平行于板面且沿厚度均布载荷作用，变形发生在板面内；

后者受力特点是：垂直于板面的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。（3分）

2．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量：σx，σy，τxy，三个独立的应变分量：εx，εy，γxy，但对应的弹性体几何形状前者为薄板，后者为长柱体。（3分）3．位移模式需反映刚体位移，

反映常变形，满足单元边界上位移连续。（3分）

4．单元刚度矩阵的特点有：对称性，奇异性，还可按节点分块。（2分） 5．薄板弯曲问题每个节点有个3自由度，分别是：w 、θx 、θy ，但其中只有一个是独立的，其余两个可以用它表示为：,x y w w

y x

θθ??=

=-??。（3分） 6．用有限元程序计算分析一结构的强度须提供（4分） ① 几何信息：节点坐标，单元节点组成，板厚度，梁截面等 ② 材料信息：弹性模量，泊松比，密度等 ③ 约束信息：固定约束，对称约束等

④ 载荷信息：集中力，集中力矩，分布面力，分布体力等

7．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为二维问题处理。（3分）

8．等参数单元指的是：描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。等参数单元优点是：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。（3分）

9．有限单元法首先求出的解是节点位移，单元应力可由它求得，其计算公式为{}{}[][]e

D B σδ=。（用符号表示即可）（3分）

10．一个空间块体单元的节点有 3 个节点位移： u ，v ，w （3分）

三、剖分单元准备数据

下面为一水坝的截面示意图，将其剖分成15~30个单元，指出单元类型、设定单位制，写出须输入到有限元程序中的数据（节点坐标和单元节点组成可只写各5个，材料常数已知）

0.整体信息：平面应变问题，国际单位制，共32节点，24单元； 1.剖分、节点编号、单元编号如图所示；

2.节点坐标: 1(-20,0),32(80,0),6(0,30),10(0,100), 17(15,100),16(15,85)…… 单元节点组成： 1(1,2,3),2(2,4,5,3), 4(4,11,12,5), 5(5,12,13,6) ……

3.约束信息：1,2,4,11,18,23,27,30,32节点全约束，即u=0,v=0

4.材料：E ，μ

5.载荷：取单元厚度t=1m, 水比重γ水

=104N/m 3

9: U=19*19/6*104 N, V=0

8: U=(19*19/3+ 19*18/2+18*18/6)*104N, V=0

7: U=(18*18/3+ 19*18/2+ 37*18/2+18*18/6)*104N, V=0

6: U=(18*18/3+ 37*18/2+55*15/2+15*15/6)*104N, V= - (55*10/2+15*10/6) *104N

3: U=(15*15/3+ 55*15/2+70*15/2+15*15/6)*104N, V= - (55*10/2+70*10/2+15*10/6) *104N 1: U=(70*15/2+15*15/3)*104N, V= - (70*10/2+15*10/3) *104N

四、计算题

受均布载荷作用的悬臂梁如图所示。剖分成两个单元，已知平面梁单元单元刚度矩阵，求节点位移。

解：

两单元刚度矩阵：

总体刚度矩阵：

单元等效节点载荷：

/21000N /121000/6Nm

i j i j V V qL M M qL ==-=--===

总体节点载荷向量

{}F ={Q y 1-1000 M 1-1000/6 -2000 0 -1000 -5000/6 }

用降阶法引入约束后的刚度方程：

22332000240126008621000126126500062646v EI v θθ-??

-????????????-??????=-??????---??????????

--????????

解得：2233575010000600014000

,,,333v v EI EI EI EI

θθ=-=-=-=-

2kN/m

2232212

61266462[]1261266264e L L L L L L EI K L L L L L L L -????-?

?=??---??-??

61266462[]1261266264e K EI -????-?

?=??---??-??

12612600646200126240126[]62086200126126006264K EI -????-????

---=??

-????---??-??

五、给定单刚组集总刚

j i m j

i Et K e 312110130112202000110110

1101100200024][???????

???????????------------=

1001

11020002

00514110101

4121210416101111212161002[]110140310140210051300103162211213

260100202010

Et K --????-?

???---?

?----????-----?

?-----??=

----?

?---?

???

-----????

-----??-????--?

2009-2010学年第一学期《弹性力学有限元》课内考试B 卷

i(a,0)

m(0,0) 3

授课班号年级专业学号姓名

一．填空题

1.平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板；但前者受力特点是：载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而板平面不受任何外力作用；变形发生在板面内；后者受力特点当板受有垂直于板中性面的外力时，板的中性面将发生弯扭变形，板将变成有弯有扭的的曲面。

平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量、三个独立的应变分量：xy y x τσσ

y x γεε但对应

的弹性体几何形状前者为结构形状呈薄板形，后者为结构呈等截面细长形。

3. 位移模式需反映单元的刚体位移，反映单元的常量应变 ,满足单元内部的位移连续性和跨单元的位移连续性。

4. 轴对称问题的单元形状为：截面为四边形或三角形的环形单元，由于轴对称的特性，任意一点的变形只发生在子午面上，因此可作为二维问题处理。

5．一个空间块体单元的节点有 3 个节点位移： u 、v 、w 。 6. 有限单元法首先求得解是节点位移，单元应力可由它求得。二、问答题

1. 简述有限单元法的基本步骤。

答：1.建立求解域，并将之离散化成有限个单元，即将问题分解成节点和单元。 2.假定描述单元物理属性的形函数，即用一个近似的连续函数描述每个单元的解。

3.建立单元刚度矩阵。

4.组装单元，构造总刚矩阵。

5.应用边界条件和初值条件，并施加荷载。

6.求解线性或非线性微分方程得到节点值。

7.分析计算，进行后处理

2. 简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。答：(1)对称性 (2)奇异性

单元处于平衡时,结点力相互不是独立的,满足三个平衡方程(两个方向力平衡,绕一点矩平衡) (3)主元恒正

Kij>0,要使u1=1,施加在u1方向的结点力必须与位移u1同向.

3. 简述有限单元法中选取单元位移函数（多项式）的一般原则。答：1）反映单元的刚体位移与常量应变。

2）相邻单元在公共边界上的位移连续，即单元之间不能重叠，也不能脱离。

4．弹性力学有限元中，平面等参单元中得“等参数”概念是何意思？该单元在跨相邻单元时，位移场连续吗？应力场连续吗？

答：在有限单元法中最普遍采用的是等参变换，即单元几何形状的变换和单元内的场函数采用相同数目的节点参数及相同的插值函数进行变换。采用等参变换的单元称之为等参元。所谓“等参元”是指几何形状插值形函数和单元上的位移插值形函数相同，参数个数相同等。相邻等参元之间，位移场是连续的，应力场不连续。

计算题

(图1) （图2）

1.图示1所示一维阶梯行杆，已知截面积参数A，长度为2l，弹性模量为E，仅考虑沿轴向振动，采用两个杆单元，单元

和节点编号如图1。

2.如图2所示等腰直角三角形单元，其厚度为t，弹性模量为E，泊松比v=0，单元的边长及节点编号见图中所示，

⑴形函数矩阵N。

⑵应变矩阵B和应力矩阵S。

⑶单元刚度矩阵e