笛卡儿坐标系

笛卡儿坐标系

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图 1 - 红色的圆圈，半径是 2 ，圆心位于直角坐标系的原点。圆圈的公式为

。

在数学里，笛卡儿坐标系，也称直角坐标系，是一种正交坐标系。参阅图 1 ，二维的直角坐标系是由两条相互垂直、0 点重合的数轴构成的。在平面内，任何一点的坐标是根据数轴上对应的点的坐标设定的。在平面内，任何一点与坐标的对应关系，类似于数轴上点与坐标的对应关系。

采用直角坐标，几何形状可以用代数公式明确的表达出来。几何形状的每一个点的直角坐标必须遵守这代数公式。例如，一个圆圈，半径是 2 ，圆心位于直角

坐标系的原点。圆圈可以用公式表达为。

历史

笛卡儿坐标系是由法国数学家笛卡儿创建的。1637年，笛卡儿发表了巨作《方法论》(Discours de la méthode) 。这本专门研究与讨论西方治学方法的书，提供了许多正确的见解与良好的建议，对于未来的西方学术发展，有很大的贡献。为了显示新方法的优点与果效，以及对他个人在科学研究方面的帮助，在《方法论》的附录中，他增添了另外一本书《几何》。有关笛卡儿坐标系的研究，就是出现于《几何》这本书内。笛卡儿在坐标系这方面的研究结合了代数与欧几里德几何，对于后来解析几何、微积分、与地图学的建树，具有关键的开导力。

二维坐标系统

图 2 - 直角坐标系。图中四点的坐标分别为，绿点：，红点：，蓝点：，紫点：。

图 3 - 直角坐标系的四个象限，按照逆时针方向，从象限到象限。坐标轴的头部象征著，往所指的方向，无限的延伸。

参阅图 2 ，二维的直角坐标系通常由两个互相垂直的坐标轴设定。每一个轴都指向一个特定的方向。这两个不同线的坐标轴，决定了一个平面，称为xy-平面，又称为笛卡儿平面。通常，横轴称为x-轴。纵轴称为y-轴。两个坐标轴的相交点，称为原点，通常标记为 O 。

为了要知道坐标轴的任何一点，离原点的距离。假设，我们可以刻画数值于坐标轴。那么，从原点开始，往坐标轴所指的方向，每隔一个单位长度，就刻画数值于坐标轴。这数值是刻画的次数，也是离原点的正值整数距离；同样地，背着坐标轴所指的方向，我们也可以刻画出离原点的负值整数距离。称 x-轴刻画的数值为x-坐标，又称横坐标，称 y-轴刻画的数值为y-坐标，又称纵坐标。虽然，在这里，这两个坐标都是整数，对应于坐标轴特定的点。按照比例，我们可以推广至实数坐标和其所对应的坐标轴的每一个点。这两个坐标就是直角坐标系的直

角坐标，标记为。

任何一个点 P 在平面的位置，可以用直角坐标来独特表达。只要从点 P 画一条垂直于 x-轴的直线。从这条直线与 x-轴的相交点，可以找到点 P 的 x-坐标。同样地，可以找到点 P 的 y-坐标。这样，我们可以得到点 P 的直角坐标。例

如，参阅图 3 ，点 P 的直角坐标是。

直角坐标系也可以推广至三维空间与高维空间 (higher dimension) 。

参阅图 3 ，直角坐标系的两个坐标轴将平面分成了四个部分，称为象限，分别

用罗马数字编号为，，，。

依照惯例，象限的两个坐标都是正值；象限的 x-坐标是负值， y-坐标是

正值；象限的两个坐标都是负值的；象限的 x-坐标是正值， y-坐标

是负值。所以，象限的编号是按照逆时针方向，从象限编到象限。

三维坐标系统

图 4 - 直角坐标系的几个坐标曲面。红色平面的。黄色平面的。

蓝色平面的。z-轴是垂直的，以白色表示。x-轴以绿色表示。三个坐标

曲面相交于点 P （以黑色的圆球表示），直角坐标大约为。

图 5 - 三维直角坐标系。y-轴的方向是远离读者。

图 6 - 三维直角坐标系。x-轴的方向是亲近读者。

在原本的二维直角坐标系，再添加一个垂直于 x-轴，y-轴的坐标轴，称为z-轴。假若，这三个坐标轴满足右手定则，则可得到三维的直角坐标系。这 z-轴与 x-轴，y-轴相互正交于原点。在三维空间的任何一点 P ，可以用直角坐标

来表达其位置。例如，参阅图 5 ，两个点 P 与 Q 的直角坐标分别

为与。

三个平面，xy-平面，yz-平面，xz-平面，将三维空间分成了八个部分，称为卦限 (octant) 。与二维空间的四个象限不同，只有一个卦限有编号。第一号卦限的每一个点的三个坐标都是正值的。

取向

二维空间

直角坐标系的 x-轴与 y-轴必须相互垂直。称包含 y-轴的直线为 y-线。在二维空间里，当我们设定了 x-轴的位置与方向的同时，我们也设定了 y-线的方向。可是，我们仍旧必须选择，在 y-线的以原点为共同点的两条半线中，那一条半线的点的坐标是正值的，那一条是负值的？任何一种选择决定了 xy-平面的取向。

参阅图 1 。通常，我们选择的取向是，正值的 x-轴横地指向右方，正值的 y-轴纵地指向上方。这种取向称为正值取向，标准取向，或右手取向。

右手定则是一种常用的记忆方法，专门用来辨认正值取向：将一只半握拳的右手放在平面上，大拇指往上指，那么，其它的手指都从 x-轴指向 y-轴。

另外一种取向，采用左手定则，专门用来辨认负值取向，或左手取向：将一只半握拳的左手放在 xy-平面上，大拇指往上指，那么，其它的手指都从 y-轴指向 x-轴。

不论坐标轴是何种取向，将坐标系统做任何角度的旋转，取向仍旧会保持不变。三维空间

图 7 - 右手定则。

图 8 –左边是左手取向，右边是右手取向。

直角坐标系的 x-轴，y-轴，与 z-轴必须相互垂直。称包含 z-轴的直线为 z-线。在三维空间里，当我们设定了 x-轴，y-轴的位置与方向的同时，我们也设定了 z-线的方向。可是，我们仍旧必须选择，在 z-线以原点为共同点的两条半线中，那一条半线的点的坐标是正值的，那一条是负值的？这两种不同的坐标系统，称为右手坐标系与左手坐标系。右手坐标系又称为标准坐标系，或正值坐标系。

右手坐标系这名词是由右手定则而来的。先将右手的手掌与手指伸直。然后，将中指指向往手掌的掌面半空间，与食指呈直角关系。再将大拇指往上指去，与中指，食指都呈直角关系。则大拇指，食指，与中指分别表示了右手坐标系的 x-轴，y-轴，与 z-轴。同样地，用左手也可以表示出左手坐标系。

图 8 试着展示出一个左手坐标系与一个右手坐标系。因为我们用二维画面来展示三维物体，会造成扭曲或模棱两可的图形。指向下方与右方的轴，也有指向读者的意思；而位置居于中间的轴，也有指向读者正在看的方向的意思。平行于 xy-平面的红色圆形曲箭，其红色箭头从 z-轴前面经过，表示从 x-轴往y-轴的旋转方向。

向量

采用直角坐标系，在三维空间里，任何一点 P 都可以用向量来表示。我们可以想像向量为一只直箭，其尾部在原点，首部在点 P 。假若点 P 的向量是，直

角坐标是。那么，

；

其中，单位向量，与分别指向 x-轴，y-轴，与 z-轴指向的正无穷值方

向。