笛卡尔坐标系下三维非稳态导热微分方程推导

笛卡尔坐标系下的推导过程：（接PPT 第7页）

① 通过 x=x 、 y=y 、 z=z 三个微元表面而导入微元体的热流量：x Φ、y Φ、z Φ的计算。 根据傅立叶定律得：

dydz x t x ??-=Φλ

dzdx y t y ??-=Φλ

dxdy z

t z ??-=Φλ ② 通过 x=x+dx 、 y=y+dy 、 z=z+dz 三个微元表面而导出微元体的热流量dx x +Φ 、

dy y +Φ、dz z +Φ的计算。

根据傅立叶定律得：

dx dydz x

t x dx x x x dx x )(??-??+Φ=?Φ?+Φ=Φ+λ 需要理解好热流量Φ的意义，Φ(x,y,z)是一个空间场函数，它是x 、y 、z 的函数。（此处有一个难点，就是如何在x+dx 微元面处运用傅里叶定律，dx x +Φ并不能直接求得。方法是先求出x 处的X Φ，再运用微分增量推移至x+dx 处的dx x +Φ，类似于一次函数中的斜率乘间距=增量，你可以把

x ?Φ?理解成斜率，那么dx x ?Φ?就是增量。第二个等号后面是再次运用傅里叶定律。）

dy dzdx y t y dy y y y dy y )(??-??+Φ=?Φ?+

Φ=Φ+λ dz dxdy z

t z dz z z z dz z )(??-??+Φ=?Φ?+Φ=Φ+λ ③列等式

内能增量=导入热流量-导出热流量+内热源生成热

于是，

dxdydz dxdydz t c dz z dy y dx x z y x ?+++Φ+Φ+Φ+Φ-Φ+Φ+Φ=??)()(τ

ρ ρ——密度，dxdydz ρ——微元体的质量

c ——比热容，单位)./(c kg W ?或)./(K kg W

t ——温度场函数；τ——时间；?

Φ——单位时间单位体积内热源生成热

代进去后，消去dxdydz，就可以得到PPT第8页的公式了。