2×2阶算子矩阵的可逆性
万方数据
万方数据
2矩阵典型习题解析
2 矩阵 矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单! 知识要点解析 2.1.1 矩阵的概念 1．矩阵的定义 由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==组成的m 行n 列的矩形数表 ?? ?? ? ? ? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 称为m×n 矩阵，记为n m ij a A ?=)( 2．特殊矩阵 （1）方阵：行数与列数相等的矩阵； } （2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下） 三角阵； （3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵； （5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E ； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。 3．矩阵的相等 设mn ij mn ij b B a A )(; )(== 若 ),,2,1;,,2,1(n j m i b a ij ij ===，则称A 与B 相等，记为A=B 。
2.1.2 矩阵的运算 1．加法 ~ （1）定义：设mn ij mn ij b B A A )(,)(==，则mn ij ij b a B A C )(+=+= （2）运算规律 ① A+B=B+A ； ②（A+B ）+C =A +（B+C ） ③ A+O=A ④ A +（-A ）=0， –A 是A 的负矩阵 2．数与矩阵的乘法 （1）定义：设,)(mn ij a A =k 为常数，则mn ij ka kA )(= （2）运算规律 ① K (A+B ) =KA+KB , ② (K+L )A =KA+LA , ③ (KL ) A = K (LA ) 3．矩阵的乘法 （1）定义：设.)(,)(np ij mn ij b B a A ==则 ,)(mp ij C C AB ==其中∑== n k kj ik ij b a C 1 . （2）运算规律 ①)()(BC A C AB =；②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( （3）方阵的幂 ①定义：A n ij a )(=，则K k A A A = ②运算规律：n m n m A A A +=?；mn n m A A =)( （4）矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。 ①BA AB ≠ ②;00,0===B A AB 或不能推出 ③k k k B A AB ?≠)( 4．矩阵的转置 ~ （1）定义：设矩阵A =mn ij a )(，将A 的行与列的元素位置交换，称为矩阵A 的转置，记为nm a A ji T )(=， （2）运算规律 ①;)(A A T T = ②T T T B A B A +=+)(；
一般矩阵可逆的判定电子教案
一般矩阵可逆的判定
一般矩阵可逆的判定 Good （11统计数学与统计学院 1111060231） 摘要：作为一张表，矩阵的运算规则具有特殊性。在运算的过程中，逆矩阵则是作为矩阵乘法的逆运算而存在的。由于矩阵乘法的逆运算仅限于方阵，故而逆矩阵又作为一项特殊的矩阵除法运算而存在。对于矩阵的运算来说，逆矩阵是不可缺少的一部分。在以线性代数为基础的研究中，逆矩阵是解决实际问题的一个最直观，最实用的工具。然而在实际研究中，并不是所有方阵都存在逆矩阵，那么对于矩阵可逆的判定就显得极其重要了。 关键字：阶方阵；；；； 0 引言 逆矩阵是矩阵乘法逆运算的结果。这个逆运算的过程被作为矩阵运算的一部分而不可或缺。对于所有矩阵而言，只有方阵中可逆的那部分才存在逆矩阵；就好像四边形一样，只有当矩形的四边相等才能被叫做正方形。然而也就是这很特殊的一小部分，它的运用却充斥着所有与线性代数相关的领域。比如：物理学，经济学，统计学，数学，社会管理学等等。对于矩阵的运算来说，逆矩阵的运算至关重要。由于矩阵在实际运用中具有的重要作用，而逆矩阵对于矩阵来说又具有重要的作用。在以矩阵为研究对象的研究过程中，研究逆矩阵也就有了很重要的意义。 对于研究逆矩阵的过程中，“什么样的矩阵才可逆？”是值得深讨的问题。就像求四边形中的正方形一样，要求正方形，最基本的前提就是：四边形必须是矩形。只有四边形满足四个内角都是90度的时候，四边形才称的上是矩形。而对于矩形来说，只有满足矩形的四条边都相等时，这样的矩形才能被称为正方形。对于矩阵可逆来说，一个矩阵要可逆，最基本的前提：必须满足矩阵的行列相等，矩阵必须是一个方阵才行。研究方阵的可逆，对于实际
线性代数典型例题
线性代数 第一章 行列式 典型例题 一、利用行列式性质计算行列式 二、按行（列）展开公式求代数余子式 已知行列式412343 344 615671 12 2 D = =-，试求4142A A +与4344A A +. 三、利用多项式分解因式计算行列式 1．计算221 1231223131 5 1319x D x -= -. 2．设()x b c d b x c d f x b c x d b c d x = ，则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明 1.设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==，其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量，且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2.设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且1 ||2 A = ，试计算行列式1*(3)22.A A O O A -??-??? ?
3.设A 是n 阶(2)n ≥非零实矩阵，元素ij a 与其代数余子式ij A 相等，求行列式||.A 4.设矩阵210120001A ?? ??=?? ????,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5.设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++ 如果||1A =，那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算 六、利用特征值计算行列式 1.若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为 1111 ,,,2345 ，则行列式1||________.B E --= 2.设A 为四阶矩阵，且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-，试计算行列式*|23|.A E + 第二章 矩阵 典型例题 一、求逆矩阵 1.设,,A B A B +都是可逆矩阵，求：111().A B ---+
矩阵典型习题解析
2 矩阵 矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单! 2.1 知识要点解析 2.1.1 矩阵的概念 1．矩阵的定义 由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij 组成的m 行n 列的矩形数表 mn m m n n a a a a a a a a a A 21 22221 11211 称为m×n 矩阵，记为n m ij a A )( 2．特殊矩阵 （1）方阵：行数与列数相等的矩阵； （2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下） 三角阵； （3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵； （5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E ； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。 3．矩阵的相等 设mn ij mn ij b B a A )(; )( 若 ),,2,1;,,2,1(n j m i b a ij ij ，则称A 与B 相等，记为A=B 。 2.1.2 矩阵的运算
1．加法 （1）定义：设mn ij mn ij b B A A )(,)( ，则mn ij ij b a B A C )( （2）运算规律 ① A+B=B+A ； ②（A+B ）+C =A +（B+C ） ③ A+O=A ④ A +（-A ）=0， –A 是A 的负矩阵 2．数与矩阵的乘法 （1）定义：设,)(mn ij a A k 为常数，则mn ij ka kA )( （2）运算规律 ① K (A+B ) =KA+KB , ② (K+L )A =KA+LA , ③ (KL ) A = K (LA ) 3．矩阵的乘法 （1）定义：设.)(,)(np ij mn ij b B a A 则 ,)(mp ij C C AB 其中 n k kj ik ij b a C 1 （2）运算规律 ①)()(BC A C AB ；②AC AB C B A )( ③CA BA A C B )( （3）方阵的幂 ①定义：A n ij a )( ，则K k A A A ②运算规律：n m n m A A A ；mn n m A A )( （4）矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。 ①BA AB ②;00,0 B A AB 或不能推出 ③k k k B A AB )( 4．矩阵的转置 （1）定义：设矩阵A =mn ij a )(，将A 的行与列的元素位置交换，称为矩阵A 的转置，记为nm a A ji T )( ， （2）运算规律 ①;)(A A T T ②T T T B A B A )(； ③;)(T T KA kA ④T T T A B AB )(。
一般矩阵可逆的判定
一般矩阵可逆的判定 Good （11统计数学与统计学院 1111060231） 摘要：作为一张表，矩阵的运算规则具有特殊性。在运算的过程中，逆矩阵则是作为矩阵乘法的逆运算而存在的。由于矩阵乘法的逆运算仅限于方阵，故而逆矩阵又作为一项特殊的矩阵除法运算而存在。对于矩阵的运算来说，逆矩阵是不可缺少的一部分。在以线性代数为基础的研究中，逆矩阵是解决实际问题的一个最直观，最实用的工具。然而在实际研究中，并不是所有方阵都存在逆矩阵，那么对于矩阵可逆的判定就显得极其重要了。 关键字：n阶方阵A；A≠0；r A=n；?λn≠0；AB=BA=I n 0 引言 逆矩阵是矩阵乘法逆运算的结果。这个逆运算的过程被作为矩阵运算的一部分而不可或缺。对于所有矩阵而言，只有方阵中可逆的那部分才存在逆矩阵；就好像四边形一样，只有当矩形的四边相等才能被叫做正方形。然而也就是这很特殊的一小部分，它的运用却充斥着所有与线性代数相关的领域。比如：物理学，经济学，统计学，数学，社会管理学等等。对于矩阵的运算来说，逆矩阵的运算至关重要。由于矩阵在实际运用中具有的重要作用，而逆矩阵对于矩阵来说又具有重要的作用。在以矩阵为研究对象的研究过程中，研究逆矩阵也就有了很重要的意义。 对于研究逆矩阵的过程中，“什么样的矩阵才可逆？”是值得深讨的问题。就像求四边形中的正方形一样，要求正方形，最基本的前提就是：四边形必须是矩形。只有四边形满足四个内角都是90度的时候，四边形才称的上是矩形。而对于矩形来说，只有满足矩形的四条边都相等时，这样的矩形才能被称为正方形。对于矩阵可逆来说，一个矩阵要可逆，最基本的前提：必须满足矩阵的行列相等，矩阵必须是一个方阵才行。研究方阵的可逆，对于实际应用才存在实际意义。那么对于方阵来说，又需要满足什么样的条件，方阵才可逆呢？本文也就是从可逆矩阵的判定条件入手，着重分析可逆判定的充要条件。最后介绍几种常用的求解逆矩阵的方法。 1 矩阵的概念 1.0矩阵的定义 定义1：令F是一个数域，用F上的m×n个数a ij(i=1,2,?,m;j=1,2,?,n)排成m行n列的矩阵列，则称为m×n阵，也称为一个F上的矩阵，简记为A mn。 A=a11a12 a21a22 ?a1n ?a2n ?? a m1a m2 ?? ?a mn 1.1逆矩阵的定义 定义2：设A是数域F上的n阶方阵，若数域F上同时存在一个n阶方阵B,使得 AB=BA=I n 则称B是A的逆矩阵，记作：B=A?1。
可逆矩阵判定典型例题
典型例题（二）方阵可逆的判定 例1 设A 是n 阶方阵, 试证下列各式： （1）若0||≠A , 则 T T A A )()(11--=； （2）若A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 则* **)(A B AB =； （3） T T A A )()(**=； （4）若0||≠A , 则* 11*)()(--=A A ； （5） * 1*)1()(A A n --=-； （6）若0||≠A , 则l l A A )()(11--=（l 为自然数）； （7） * 1*)(A k kA n -=. 证 （1）因为0||≠A , 故A 是可逆矩阵, 且 E AA =-1 两边同时取转置可得 E E A A AA T T T T ===--)()()(11 故由可逆矩阵的定义可知 T A )(1-是A T 的逆矩阵. 即 1 1)()(--=T T A A （2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有 E AB AB AB ||)()(*= （2-7） 另一方面 B I A B B A A B AB A B )|(|)())((*****== E AB E B A B B A |||| ||||*=== （2-8） 比较式（2-7）、（2-8）可知 ))(()()(***AB A B AB AB = 又因为A 、B 均可逆, 所以(AB )也可逆, 对上式两端右乘1 )(-AB 可得 ***)(A B AB = （3）设n 阶方阵A 为 ?????????? ????=nn n n n n a a a a a a a a a A 2 1 2222111211 于是可得A 的伴随矩阵* A 为
矩阵可逆的一个充分必要条件的几种讲法
矩阵可逆的一个充分必要条件的几种讲法 不论是在线性代数的教学中还是高等代数的教学中，矩阵的相关内容都是十分重要的。而其中矩阵可逆的部分又是要重点讲授的，因为逆矩阵在讨论研究矩阵问题时有重要作用。在矩阵可逆的这部分内容中，矩阵可逆及逆矩阵的定义是必然要介绍的，而矩阵可逆的条件中有一个充分必要条件即一个方阵可逆的充分必要条件是它的行列式不等于零是一定会讲授的，也是应用较多的，因此要求同学们一定理解掌握。 而就这一个充分必要条件不同的教师有不同的讲法，本文根据自己的体会，介绍了这一个充分必要条件的三种讲法并进行了一定的对比分析。 第一种讲法是非常常见的，很多教师都采用，特别是刚开始 教线性代数的新教师。我在第一次教这部分时也用的是这种讲法。首先介绍了矩阵可逆的定义[1]，即设A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B,使得AB=BA=E（E是n阶单位矩阵），则称方阵A是可逆的，而B称为A的逆矩阵。在同学们知道理解了矩阵可逆及逆矩阵概念后，就引入介绍矩阵可逆的条件，我们主要介绍矩阵可逆的一个常用的充分必要条件。而为了介绍这个充分必要条件，首先需要介绍一个相关的内容，那就是伴随矩阵的相关概念[2] 。对于伴随矩阵首先介绍伴随矩阵的定义： 设矩阵A，则称矩阵为A的伴随矩阵，其中Aij是矩阵A中元素
aij 的代数余子式。 接着介绍伴随矩阵的一个重要性质：同时给出其证明：事实 上，由代数余子式的性质同理可得，所以。 这样准备工作已做好，就来讲最重要的矩阵可逆的充分必要条件。 定理（矩阵可逆的充分必要条件）矩阵 A 可逆的充分必要条 件是，且。 证明：（必要性）若，且，则，故 A 可逆且。 （充分性）若 A 可逆，，那么，因此。 以上是第一种讲法的基本过程，当然这其中还有很多教师的引导讲解，这里未体现。但这种讲法的讲授思路和顺序基本按照教材中给出的顺序来讲，其实就是直接教授给学生们概念和结论，让学生们去理解应用，缺乏探究这些结论的过程。而第二种讲法恰恰是由矩阵可逆的定义出发按照正常的推理过程得到了矩阵可逆的充分必要条件。 第二种讲法首先仍是介绍矩阵可逆的定义，接着就探究矩阵可逆的充分必要条件。探究过程如下： 由矩阵可逆的定义，要想方阵 A 可逆，首先得找出同阶方阵B,使得AB=E再看BA是否也等于E。那么我们假设A=, B=, 那么由矩阵乘法，AB的第i行第j列（i , j=1 , 2,…，n）元素应该是（1） 此时引导学生从已有知识中寻找与该问题类似或相关的内容来
矩阵理论第一二章 典型例题
《矩阵理论》第一二章 典型例题 一、 判断题 1．A n 为阶实对称矩阵，n R x 对中的列向量， ||x |A x =定义, ||x ||x 则为向量 的范数. ( ) 2．设A n 为阶Hermite 矩阵，12,,,n λλλ 是矩阵A 的特征值，则22 2 1 ||||n m i i A λ==∑ . ( ) 3. 如果m n A C ?∈，且0A ≠，()H AA AA --=, 则2||||A A n - =. ( ) 4. 若设n x R ∈，则212||||||||||||x x x ≤≤. ( ) 5. 设m n A R ?∈的奇异值为12n σσσ≥≥≥ ，则222 1 ||||n i i A σ==∑. ( ) 6. 设n n A C ?∈，且有某种算子范数||||?，使得||||1A <，则11||()||1|||| E A A --> -, 其中E 为n 阶单位矩阵. ( ) 7. 设2H A E uu =-(其中，E 为n 阶单位矩阵，2||||1n u C u ∈=且)，则2 ||||m A = ( ) 8. 设n n A C ?∈为正规矩阵，则矩阵的谱半径2()||||r A A =. ( ) 9.设n n C A ?∈可逆，n n C B ?∈，若对算子范数有1 ||||||||1A B -?<，则B A +可逆. ( ) 10. 设A 为m n ?矩阵，P 为m 阶酉矩阵, 则PA 与A 有相同的奇异值. ( ) 11. 设n n A C ?∈，且A 的所有列和都相等，则()r A A ∞ =. ( ) 12. 如果12(,,,) T n n x x x x C =∈，则1||||m in i i n x x ≤≤=是向量范数. ( ) 13. 设,n n A C ?∈则矩阵范数 m A ∞ 与向量的1-范数相容. ( ) 14、设n n A C ?∈是不可逆矩阵，则对任一自相容矩阵范数 有1I A -≥, 其中I 为单位矩 阵. ( )
小度写范文【可逆矩阵判定典型例题】 矩阵可逆模板
【可逆矩阵判定典型例题】矩阵可逆典型例题（二）方阵可逆的判定 例1 设A是n阶方阵, 试证下列各式： （1）若|A|≠0, 则(AT)-1=(A-1)T ； （2）若A、B都是n阶可逆矩阵, 则 (AB)*=B*A* ；（3） (AT)*=(A*)T；（4）若|A|≠0, 则(A*)-1=(A-1)* ；（5） (-A)*=(-1)n-1A*；（6）若|A|≠0, 则(Al)-1=(A-1)l （l为自然数）；（7） (kA)*=kn-1A*. 证（1）因为|A|≠0,故A是可逆矩阵, 且 AA-1 =E两边同时取转置可得 (AA-1)T=(A-1)TAT=(E)T=E 故由可逆矩阵的定义可知 (A-1)T是AT的逆矩阵. 即 (A-1)T=(AT)-1 （2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有 (AB)*(AB)=|AB|E 另一方面
(B*A*)(AB)=B*(A*A)B=B*(|A|I)B =|A|B*B=|A| |B|E=|AB|E 比较式（2-7）、（2-8）可知 (AB)*(AB)=(B*A*)(AB) 又因为A、B均可逆, 所以(AB)也可逆, 对上式两端右乘(AB)-1 可得 (AB)*=B*A* （3）设 n 阶方阵A为 ?aa12 a?11 1n?A=?a??21a22 a2n?? ? ??aa? ?n1n2 ann? 于是可得A的伴随矩阵A* 为 ?AA?11 21 An1?A*=?A??12A22 An2?? ? ???AA?1n2n Ann注意到?A 的转置矩阵为 2-7）2-8）（ （ T 可推出A的伴随矩阵为 ?a11??a12
(完整版)逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵 定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且 （E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K 证明 因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K , 因A K = 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ， 因此E-A 是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K . 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K . 由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵. 例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???0000 30000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证
A 2 =????????? ???0000000060000200， A 3=? ? ?? ? ? ? ?? ???00000000 00006000 ， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以 (E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3= ? ? ?? ? ???????1000 31006210 6211. 2.初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使 （1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得： （2） s p p p Λ21I= A 1- 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-. 用矩阵表示（A I ）??? →?初等行变换 为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵. 例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=???? ? ?????521310132. 解 [A I]→??????????100521010310001132→???? ? ?????001132010310100521 → ??????????--3/16/16/1100010310100521→???? ??????-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001
矩阵可逆的若干判别方法.doc
山西师范大学本科毕业论文 矩阵可逆的若干判别方法 姓名郭晓平 院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学 班级0701班 学号0751010139 指导教师宋蔷薇 答辩日期 成绩
矩阵可逆的若干判别方法 内容摘要 对线性代数和代数学而言，矩阵是一个主要研究对象和重要工具，其中可逆矩阵又是矩阵运算理论的整体不可或缺的一部分。在矩阵理论，可逆矩阵所占的地位是不可替代的，在坐标轴旋转变换公式的矩阵表示、线性变换、线性方程组等理论研究中，它均有重要意义。而且由于在许多有关数学、物理，经济的实际问题中，常常需要通过建立合适的数学模型化为线性代数和代数学等的问题，因此可逆矩阵也是解决实际问题比较常用的工具之一。鉴于可逆矩阵具有重要的理论和实践意义，研究矩阵可逆的判别方法也就相当有必要了。 本文结合所学知识并查阅相关资料，系统地整理并归纳总结了十一种矩阵可逆的判别方法及其证明过程。其中，可逆矩阵判别方法主要包括定义判别法、伴随矩阵判别法、初等变换判别法、线性方程组法、矩阵向量组的秩判别法等。另外，本文还给出了十种特殊矩阵可逆性的相关结论，最后针对这些判别方法选取了典型的例题，以便我们更好的掌握矩阵可逆的判别方法。 【关键词】矩阵逆矩阵初等变换伴随矩阵线性方程组
Some Methods for Judging Invertible Matrix Abstract The matrix is a main research subject and an important tool in linear algebra and algebra. The invertible matrix, which plays the role of the invertible number in rational numbers, is an essential part of the matrix theory. The very important status ,which the invertible matrix holds in the matrix theory ,can not be replaced. It has the important meaning for solving linear equations, linear transformation theory problems, rotating coordinate transform formula of matrix representation theory. And In solving practical problems such as mathematics, physics, economic and other fields, it is often need to establish proper mathematical models into linear algebra and algebra issues. Therefore it also is a commonly used tool, which is widely applied in practical problem. In view of the fact that the invertible matrix has important significance in both theory and practice, the study of judging invertible matrix is quite necessary. Through combining with my knowledge, referring to the relevant materials, this paper systematically organizes and summarizes eleven kinds of methods for judging invertible matrix ,which contain definition method, the adjoin matrix method, elementary transformation method, linear equations method and so on ,and the proof process. This paper also gives ten special matrix invertible conclusions. Finally, this paper selects several typical examples aiming at these discriminate methods, so that we know the methods for judging invertible matrix. 【Key Words】matrix inverse matrix elementary transformation adjoin matrix Linear equations
可逆矩阵判定典型例题.docx
典型例题(二)方阵可逆的判定 例1设A是n阶方阵，试证下列各式： (1)若|A|"则(A T)J=(AJ)T； * * * (2)若A、B都是n阶可逆矩阵，则(AB) =BA (3)(A T) =(A)T； (4)若|A|"则(A*)J=(AJ)* ； (5)^A)* ^-I)nj A* ； l J 」I (6)若 1 A^Z0,则(A ) =(A )( I 为自然 数)； (7)(kA) =k njL A . 证 (1)因为IA R°,故A是可逆矩阵，且 AA J=E 两边同时取转置可得 (AA) T=(A)T A T=(E)= E 故由可逆矩 阵的定义可知(A')T是A T的逆矩阵. 即 (A」)T=(A T)J (2)利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有 (AB) * (AB) =IABIE (2-7)另一方面 (B*A*)(AB) =B*(A*A)B =B*(∣A∣I)B =| A| B*B =| A| | B | E =| AB | E (2-8)比较式(2-7)、( 2-8)可知 (AB)* (AB) =(B*A*)( AB) 又因为A、B均可逆,所以(AB)也可逆，对上式两端右乘(AB)'可得 (AB)* =B (3)设n阶方阵A为 a 11 a1 n a 21 a 2n J a n1 于是可得A的伴随矩阵A*为 a n2 a nn A 12 A 22 A n2 _A1 n A?n 注意到A的转置矩阵为
A T aιι a12 a21 a22 _a in a2n a n1 a n2 a nn 可推出A T的伴随矩阵为 (A T) * T * 比较A*与(A )可知 (A )T A nI = (A T) A 12 A 22 A n2 A ln A 2n A nn (4)因为 IA A0,故A可逆,A的逆矩阵为 A* HAIA J I 由于I ALO, A J可逆且A'(A^1) =I A (A J)*—A |A| A J I E可得 另一方面，由 * 1 * A(A)=IAI AJ IAI 由矩阵可逆的定义知 (5)对于(3) ,A可逆,并且 * 1 1 ; (A ) =(A ) 给出的矩阵A,有 一a11 一 a 12 -A = —?a22 IL- a n1 一 a n2 即^aij的代数余子式为 (-1)i j 一a i 41 -a i 11 D n X (i, j =1, -a i 4 j ,并且由AA=IAI E可知 一 a 1n —a nn ^ a i Jj 1 _ a i 4n 一a i ij —-a i ij 1 -a i In -a nj -1 2, , n)
n阶实矩阵可逆的一个判定条件
收稿日期:2004-03-16 作者简介:俱鹏岳(1975-),男,甘肃镇原人,主要从事基础数学的教学和研究。 n 阶实矩阵可逆的一个判定条件 俱鹏岳,徐宏武 (陇东学院数学系,甘肃庆阳745000) 摘要:文章通过对实方矩阵主对角线上元素的讨论,得出判别其可逆的一个条件。关键词:实矩阵;可逆 中图分类号:O151.1 文献标识码:A 文章编号:1671-5365(2004)06-0153-02 定理:设有n 阶实矩阵 a 11 a 12 a 1n a 21a 22 a 2n a n1 a n2 a nn 如果,|a ii |> i !j |a ij |,i=1,2, ,n,则A 可逆 ?分析:为证明A 可逆,只要证明|A|!0#证法一:对阶数n 用数学归纳法 当n=2时,根据题设有|a 11|>|a 12|,|a 22|>|a 21|对|A|=a 11a 22-a 12a 21两边取绝对值有|a 11a 22-a 12a 21| |a 11|?|a 22|-|a 12|?|a 21|>0%|A|!0 即A 可逆 假定对这样的n-1阶行列式结论成立,再证对n 阶也成立。 由于|a 11|>|a 12|+ +|a 1n | 0 故a 11!0 现对|A|进行以下变换:第一行分别乘-a 21a 11,-a 31 a 11, , -a n1 a 11 后依次加到第2,3, ,n 行,再按第一列展开,得|A|=a 11 b 22 b 23 b 2n b 32b 33 b 3n b n2 b n3 b nn =a 11D 其中b ij =a ij -a i1 a 11 a 1j ,i,j=2,3, ,n 且D 为n-1阶行列式,现证D 满足归纳假设条件,即有:| b i i |> j !i |b ij | i=2, 3, ,n 1 只证|b 22|>|b 23|+|b 24|+ +|b 2n |,其余同理 即要证|a 22- a 21a 11a 12|>|a 23-a 21a 11a 13|+ +|a 2n -a 21 a 11 a 1n | 两边乘以|a 11|有 |a 11a 22-a 21a 12|>|a 11a 23-a 21a 13|+ +|a 11a 2n -a 21a 1n |但由|a i i |> j !i |a ij |及不等式性质知|a 11a 23-a 21a 13|+|a 11a 24-a 21a 14|+ +|a 11a 2n -a 21a 1n | |a 11a 23|+|a 21a 13|+|a 11a 24|+|a 21a 14|+ |a 11a 2n |+|a 21a 1n |=|a 11|(|a 23|+ +|a 2n |)+|a 21|(|a 13|+ +|a 1n |)<|a 11|(|a 22|-|a 21|)+|a 21|(|a 11|-|a 12|)=|a 11a 22|-|a 12a 21| |a 11a 22-a 12a 21|%|b 22|>|b 23|+|b 24|+ +|b 2n | 于是由归纳假设D !0,从而|A |=a 11 D !0 即A 可逆证法二,反证法 若|A|=0,则A 的列向量 1, 2, , n 线形相关, (其 中 i =(a 1i ,a 2i , ,a ni )T ,故存在不全为零的实数k 1,k 2, ,k n 使:k 1 1+k 2 2+ +k n n =0 于是有: a 11k 1+a 12k 2+ +a 1n k n =0 a 21k 1+a 22k 2+ +a 2n k n =0 a n1k 1+a n2k 2+ +a nn k n =0 现在不妨设|k 1|=max (|k 1|,|k 2|, ,|k n |),于是| a 11k 1|=|-a 12k 2- -a 1n k n | 有|a 11||k 1| |a 12||k 2|+ +|a 1n ||k n | (|a 12|+ +|a 1n |)|k 1| 153 第6期 NO 6 宜宾学院学报 Journal of Yibin Un i versity DECEM LEI 2004
矩阵可逆的若干判别方法
矩阵可逆的若干判别方法 可逆矩阵是高等代数中不可缺少的一部分，也是矩阵运算中的重要组成部分，对解决数数学问题有重大意义，学习可逆矩阵，对我们解决一些代数问题有极大的帮助。 如何判断矩阵可逆，主要有以下十一种方法。 一、 矩阵可逆的基本概念 （1）对于n 阶矩阵A ，若存在n 阶矩阵B ，使得 AB=BA=I 则称矩阵A 为可逆矩阵（或非退化或非奇异或满秩矩阵），或A 可逆，称B 为A 的 逆矩阵，记作B= A -1 。 注：若矩阵可逆，则A 的逆矩阵由A 唯一确定。 （2）矩阵A 的行秩等于列秩。 （3）矩阵A 经过一系列初等变换得到矩阵B ，则A 与B 等价。 （4）记矩阵A 中元素a ij 的代数余子式为A ij ，则A*=（A ij ）T n ×n ，我们就称A*为A 的伴随矩阵。 二、矩阵可逆的性质 （1）若矩阵A 可逆，则A 的逆矩阵A -1也可逆，且（A -1）-1 =A 。 （2）若矩阵A,B 均可逆，则矩阵AB 也可逆，且(AB) -1=B -1A -1 。 （3）若矩阵A 可逆，则A T 也可逆，且（A T ）-1=（A -1）T 。 （4）若矩阵A 可逆，λ≠0，则λA 也可逆，且(A λ)= λ 1A -1 。 （5）若矩阵A 可逆，则|A -1 |= | |1A 。 （6）矩阵A 的逆矩阵A -1 = | |*A A 。 （7）若A 为m ×n 阶矩阵，P 为m 阶矩阵，Q 为n 阶矩阵，A,P,Q 均为可逆矩阵，则有r(PAQ)=r(PA)=r(AQ)=r(A)。 三、矩阵可逆的若干判别方法 （一）定义判别法 对于n 阶方阵A ，若存在n 阶方阵B ，使得AB=BA=I,则A 可逆，且B 为A 的逆， 记为B=A -1 。 例1. 判断矩阵A=??? ? ? ??010100001 是否可逆？ 证 存在矩阵B=????? ??010100001，使得AB=BA=??? ? ? ??100010001 所以矩阵A 可逆。 注：此方法大多适用于简单的矩阵。
可逆矩阵判定典型例题
典型例题（二）方阵可逆的判定例1设A是n阶方阵, 试证下列各式： （1）若, 则； （2）若A、B都是n阶可逆矩阵, 则； （3）； （4）若, 则； （5）； （6）若, 则（l为自然数）； （7）. 证（1）因为, 故A是可逆矩阵, 且 两边同时取转置可得 故由可逆矩阵的定义可知是A T的逆矩阵. 即 （2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有 （2-7） 另一方面 （2-8） 比较式（2-7）、（2-8）可知 又因为A、B均可逆, 所以(AB)也可逆, 对上式两端右乘可得（3）设n阶方阵A为 于是可得A的伴随矩阵为 注意到A的转置矩阵为 可推出的伴随矩阵为 比较与可知 （4）因为, 故A可逆, A的逆矩阵为, 并且由可知 由于, 可逆且可得 另一方面, 由 由矩阵可逆的定义知, 可逆, 并且 （5）对于（3）给出的矩阵A, 有 即的代数余子式为 故 （6）因为, 故A可逆, 并且
? （7）对于（3）给出的矩阵A , 有 类似于（5）可知的代数余子式为, 故 例2 设A 是n 阶非零矩阵, 并且A 的伴随矩阵满足, 证明A 是可逆矩阵. 证 根据矩阵A 与其对应的伴随矩阵的关系式, 有 反证, 假设A 不可逆, 故有, 由上式及条件, 有 （2-6） 设矩阵A 为 由式（2-6）可知 比较上式两边矩阵对角线上的元素有 故 因此有A = O , 与A 是n 阶非零矩阵矛盾, 故A 是可逆矩阵. 例3 设A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 证明： 的充要条件是 证 必要性：因为 因此 即 充分性：因为, 故 . 例4 设A 是一个n 阶方阵, n 为奇数, 且, 证明不可逆. 证 因为, 故 ? 因此有 所以 故是不可逆矩阵. 例5 设A 是n 阶方阵且对某个正整数k 满足, 证明是可逆矩阵, 并求. 证 由于 故对于方阵A 的多项式, 仍有 注意到, 故有 因此可逆, 并且 例6 设A 是阶方阵, 是A 的伴随矩阵的伴随矩阵, 证明： （1）； （2）. 证 （1）利用矩阵A 与矩阵A 的伴随矩阵的关系, 有 即 从而有 l 个 l 个
可逆矩阵判定典型例题
. 典型例题（二）方阵可逆的判定 例1 设A 是n 阶方阵, 试证下列各式： （1）若, 则 ； （2）若A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 则 ； （3） ； （4）若, 则 ； （5） ； （6）若, 则（l 为自然数）； （7） . 证 （1）因为, 故A 是可逆矩阵, 且 两边同时取转置可得 故由可逆矩阵的定义可知 是A T 的逆矩阵. 即 （2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有 （2-7） 另一方面 （2-8） 比较式（2-7）、（2-8）可知 又因为A 、B 均可逆, 所以(AB )也可逆, 对上式两端右乘可得 （3）设n 阶方阵A 为 于是可得A 的伴随矩阵为 注意到A 的转置矩阵为 0||≠A T T A A )()(11--=* **)(A B AB =T T A A )()(**=0||≠A *11*)()(--=A A * 1*)1()(A A n --=-0||≠A l l A A )()(11--=* 1*)(A k kA n -=0||≠A E AA =-1 E E A A AA T T T T ===--)()()(11T A )(1-1 1)()(--=T T A A E AB AB AB ||)()(*=B I A B B A A B AB A B )|(|)())((*****==E AB E B A B B A |||| ||||*===))(()()(***AB A B AB AB =1 )(-AB * **)(A B AB =??? ???????????=nn n n n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 * A ??? ???????????=nn n n n n A A A A A A A A A A ΛΛΛΛΛΛΛ212221212111 *
【可逆矩阵判定典型例题】矩阵可逆
【可逆矩阵判定典型例题】矩阵可逆 典型例题（二）方阵可逆的判定 例1设A是n阶方阵,试证下列各式： （1）若|A|≠0,则(AT)-1=(A-1)T ； （2）若A、B都是n阶可逆矩阵,则 (AB)*=B*A* ；（3） (AT)*=(A*)T；（4）若|A|≠0,则(A*)-1=(A-1)* ；（5） (-A)*=(-1)n-1A*；（6）若|A|≠0,则(Al)-1=(A-1)l （l为自然数）；（7） (kA)*=kn-1A*.证（1）因为|A|≠0,故A是可逆矩阵,且AA-1 =E两边同时取转置可得 (AA-1)T=(A-1)TAT=(E)T=E 故由可逆矩阵的定义可知 (A-1)T是AT的逆矩阵.即 (A-1)T=(AT)-1 （2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有 (AB)*(AB)=|AB|E
另一方面 (B*A*)(AB)=B*(A*A)B=B*(|A|I)B =|A|B*B=|A||B|E=|AB|E 比较式（2-7）、（2-8）可知 (AB)*(AB)=(B*A*)(AB) 又因为A、B均可逆,所以(AB)也可逆,对上式两端右乘(AB)-1可得 (AB)*=B*A* （3）设n 阶方阵A为 ?aa12a?11 1n?A=?a??21a22a2n??? ??aa? ?n1n2ann?于是可得A的伴随矩阵A* 为 ?AA?11 21An1?A*=?A??12A22An2??? ???AA?1n2nAnn注意到?A的转置矩阵为 2-7）2-8）（ （ T 可推出A的伴随矩阵为 ?a11??a12
AT=? ??a?1n a21a22a2n A12A22An2 an1??an2???ann?? * 比较A与(A)可知 T* ?A11??A21 (AT)*=? ??A?n1 *T T* A1n??A2n???Ann?? (A)=(A) *-1|A|≠0AA（4）因为,故A可逆,A的逆矩阵为,并且由A=|A|E 可知 -1-1*-1-1|A|≠0A(A)=|A|E可得A由于,可逆且 1 (A-1)*=A |A| 另一方面,由 A*=|A|A-1