矩阵可逆的若干判别方法.doc

山西师范大学本科毕业论文

矩阵可逆的若干判别方法

姓名郭晓平

院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学

班级0701班

学号0751010139

指导教师宋蔷薇

答辩日期

成绩

矩阵可逆的若干判别方法

内容摘要

对线性代数和代数学而言，矩阵是一个主要研究对象和重要工具，其中可逆矩阵又是矩阵运算理论的整体不可或缺的一部分。在矩阵理论，可逆矩阵所占的地位是不可替代的，在坐标轴旋转变换公式的矩阵表示、线性变换、线性方程组等理论研究中，它均有重要意义。而且由于在许多有关数学、物理，经济的实际问题中，常常需要通过建立合适的数学模型化为线性代数和代数学等的问题，因此可逆矩阵也是解决实际问题比较常用的工具之一。鉴于可逆矩阵具有重要的理论和实践意义，研究矩阵可逆的判别方法也就相当有必要了。

本文结合所学知识并查阅相关资料，系统地整理并归纳总结了十一种矩阵可逆的判别方法及其证明过程。其中，可逆矩阵判别方法主要包括定义判别法、伴随矩阵判别法、初等变换判别法、线性方程组法、矩阵向量组的秩判别法等。另外，本文还给出了十种特殊矩阵可逆性的相关结论，最后针对这些判别方法选取了典型的例题，以便我们更好的掌握矩阵可逆的判别方法。

【关键词】矩阵逆矩阵初等变换伴随矩阵线性方程组

Some Methods for Judging Invertible Matrix

Abstract

The matrix is a main research subject and an important tool in linear algebra and algebra. The invertible matrix, which plays the role of the invertible number in rational numbers, is an essential part of the matrix theory. The very important status ,which the invertible matrix holds in the matrix theory ,can not be replaced. It has the important meaning for solving linear equations, linear transformation theory problems, rotating coordinate transform formula of matrix representation theory. And In solving practical problems such as mathematics, physics, economic and other fields, it is often need to establish proper mathematical models into linear algebra and algebra issues. Therefore it also is a commonly used tool, which is widely applied in practical problem. In view of the fact that the invertible matrix has important significance in both theory and practice, the study of judging invertible matrix is quite necessary.

Through combining with my knowledge, referring to the relevant materials, this paper systematically organizes and summarizes eleven kinds of methods for judging invertible matrix ,which contain definition method, the adjoin matrix method, elementary transformation method, linear equations method and so on ,and the proof process. This paper also gives ten special matrix invertible conclusions. Finally, this paper selects several typical examples aiming at these discriminate methods, so that we know the methods for judging invertible matrix.

【Key Words】matrix inverse matrix elementary transformation adjoin matrix Linear equations

目录

一、引言 (01)

二、预备知识 (01)

（一）基本概念 (01)

（二）可逆矩阵的性质 (01)

三、矩阵可逆的若干判别方法 (02)

（一）定义判别法 (02)

（二）行列式判别法 (02)

（三）秩判别法 (02)

（四）伴随矩阵判别法 (02)

（五）初等变换判别法 (02)

（六）初等矩阵判别法 (02)

（七）矩阵向量组的秩判别法法 (03)

（八）线性方程组判别法 (03)

（九）标准形判别法 (04)

（十）多项式判别法 (04)

（十一）特征值判别法 (05)

四、十种常见矩阵的可逆性 (05)

五、矩阵可逆判别方法的实例 (07)

六、小结 (11)

参考文献 (11)

致谢 (12)

矩阵可逆的若干判别方法

学生姓名：郭晓平 指导老师：宋蔷薇

一、引言

在矩阵的乘法运算中，就像理数的倒数一样，可逆矩阵是构成矩阵运算理论体系不可或缺的一部分。矩阵对解决数学中诸多理论问题都有重要意义。在矩阵理论中可逆矩阵有如此重要的地位作用，所以学习、研究可逆矩阵的判别方法，有助于进一步完善矩阵理论体系，也是相当有必要的。

解决实际问题（如国民经济中的调运方案等问题），第一步往往是建立合适的数学模型，然后化为线性代数和代数学等的问题。很多有关代数学方面的研究多数会情况下转化为有关矩阵的研究，特别是可逆矩阵的研究。矩阵可应用于物理、数学、经济等方面。可逆矩阵在矩阵中有着重要地位，可见研究可逆矩阵的判定也有着重要的实践意义。

本文系统地整理并归纳总结了十一种矩阵可逆的判别方法。

二、预备知识

（一）基本概念

定义1【1】 设数域F 上,n 阶方阵A ，如果存在n 阶方阵B 满足条件E AB =且

E BA =,就称A 可逆,并且称B 是A 的逆,记1-=A B .

定义2 记A 中元素ij a 的代数余子式为ij A ，令T n n ij A A ?=)(*,我们称矩阵*

A 为A 的伴随矩阵。

定义3[1] 矩阵A 的行秩和列秩称为A 的秩，记作)(A r . 定义4[2] 矩阵的三类初等行变换： (1)互换某两行的位置；

(2)用F 中某个非零数乘某行； (3)将某行的数倍加到另一行上。

初等列变换与初等行变换完全类似，只需将行换成列即可。

定义5 初等矩阵，是对单位矩阵E 施行一次初等变换得到的矩阵。 定义6 对A 施加一系列初等变换,它变为B ,则称A 与B 等价。 （二） 矩阵可逆的性质 性质1 A A =--11)(; 性质2 11)()(--=T T A A ; 性质3 111)(---=A B AB ; 性质4 111)(---=A k kA ;

性质5 矩阵A 与它的伴随矩阵*A 具有相同的可逆性，即A 可逆?*A ,且 *1*)(A

A A =-

性质6[2] 设n m F A ?∈,P ,Q 分别是m 阶和n 阶可逆方阵，)()(A r PAQ r =.

且)()(AQ r PA r =

三、矩阵可逆的若干判别方法

（一）定义[1]判别法

设对于n 阶方阵A ，如果存在n 阶方阵B 满足条件E AB =且E BA =,就称A 可逆,并且称B 是A 的逆,记1-=A B .

注：这种方法实际上是通过直接找到矩阵的逆，进而根据矩阵可逆的定义来证明矩阵可逆的，所以它多适用于简单矩阵和非具体矩阵。

（二）矩阵行列式判别法

定理[2]：A 可逆?A 是方阵且A 0≠（非退化）。

（三）秩判别法

n 阶矩阵A 可逆?n A r =)(.

证明:由A 可逆，知0≠A ,再由矩阵秩的定义，可得n A r =)(.所以由A 可逆可推得

n A r =)(.反过来，必要性也显然成立。

（四）伴随矩阵判别法

A 可逆?存在*

1A A

B =,使得E BA AB ==.

证明：若A 可逆，则显然0≠A ,且*

11A A

A =-. 反过来，如果有 *

1A A

B =,E BA AB ==, 则 *

11A A

B A =

=-. (1) 注：公式(1)便是求逆矩阵的公式。但是根据这个公式来求逆矩阵，矩阵阶数较大时计算量往往是相当大的且繁琐，因此该方法适合阶数较小的矩阵。

（五）初等变换判别法

对矩阵A 施行初等行（或者列）变换得到的矩阵B ,则B 可逆?A 可逆。

证明：设用初等行或列变换，将A 变为B ,因为初等变换是等价变换，从而并不改变A 的秩，所以A 与B 秩相等，故A 与B 有相同的可逆性，从而B 可逆?A 可逆。

命题得证。

（六）初等矩阵判别法

定理[1]：方阵A 可逆?A 可表成一些初等矩阵的乘积： s Q Q Q A 21=.

证明：充分性,由题知， s Q Q Q A 21=, 则有

02121≠==s s Q Q Q Q Q Q A ,

故A 可逆。

必要性的详细证明见于参考文献[1]第191页。 证毕。

定理[1]：方阵A 可逆?A 可以经过初等行变换化为单位矩阵。 证明：必要性，由矩阵A 可逆，知它可以表示成一些初等矩阵s P P P 21的乘积， 即s P P P A 21=,从而E A P P P s

=---1

1121

,也就是说，A 可以经过初等行变换化为单

位矩阵。

充分性，若A 可经过初等行变换化为单位矩阵，则存在一些初等矩阵s P P P ,,,21 ,

使得 E A P P P s = 21,从1

1

21

1---=s P P P A ,

故 011

1

2

1

1

1

21

11≠===------s

s

P P P P P P A ,

因此A 可逆。 证毕。

注：施加一系列初等行变换，可逆矩阵A 可化为单位矩阵，那么类似地施加一系列初等列变换可逆矩阵也可化为单位矩阵。具体方法：用一系列初等行变换进行以下过程A ()E →E ( )1-A ,则矩阵里右面的块即为A 的逆矩阵。同理,作列变换时，则相应地

进行???

? ??→???? ??-1A E E A 这一过程，矩阵里下面的块即为A 的逆矩阵。 （七）矩阵的向量组的秩判别法

1.定理[2]：n 阶方阵A 可逆?A 的各列（行）线性无关。

2.n 阶方阵A 可逆?A 的列（行）向量组的秩等于n .

证明：A 可逆等价于n A r =)(,从而n A r =)(,从而A 的各列（行）线性无关，从而A 的列（行）向量组的秩等于n .

将上述论述反过来说也是完全成立的。 命题得证。

（八）线性方程组判别法

1. 齐次线性方程组 ??

????

?=+++=+++=+++00022,221122,222212122,1212111n n n n n n

n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a

即O AX =（A 为该齐次方程组的系数矩阵）只有零解?A 可逆。

证明：用,,21αα n α,分别代表系数矩阵各列，则齐次方程组变为

02211=+++n n x x x ααα , 方程组只有零解，即021====n x x x ,从而,,21αα n α,线性无关，而,,21αα n α,线性无关的充要条件为A 可逆。故命题得证。

2.非齐次线性方程 ??

???

??=+++=+++=+++.,

,221122222212111212111n n nn n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a

即O AX =（A 为该方程组的系数矩阵）有唯一解?A 可逆。

证明：用,,21αα n α,分别代表系数矩阵各列，即????

??

? ??=nj j j j a a a 21α)1(n j ≤≤,则方程组可以写成向量形式 βααα=+++n n x x x 2211,

由0≠=A D ,知,,21αα n α,成1?n F 的一组基，故1?n F 每个向量β都可以写成

,,21αα n α,的线性组合的形式，

即 βααα=+++n n x x x 2211,

且系数n x x x ,,,21 由β唯一决定。换句话说，命题中的方程组有唯一解。

反过来，若方程组有唯一解，则必然有0≠=A D ,否则，方程组无解或有无穷多解。

（九）标准形判别法

引理[1]

：任何一个n s ?矩阵A 都与一个形式为??

?

?

??---r s r

s r n r

O O O E 的矩阵等价，该矩阵称为A 的标准形，且)(A r r =.其中r E 为单位矩阵,O 为零矩阵。

n 阶方阵A 可逆?矩阵A 的标准形是)(n E .

证明：根据引理可知，任何一个矩阵都可经过初等行或列变换化成引理中的标准对角阵。如果A 可逆，那么A 的秩只能是n ,等于矩阵A 的阶数，从而其标准形只能是单位矩阵。

反过来，如果A 标准型是n 阶单位矩阵，由引理，知A 的秩为n ,故A 可逆。 注：该判别法大多用于非具体矩阵的理论性证明。 （十）多项式判别法

n n ?的矩阵A 可逆?有多项式)(x f ,满足O A f =)(,且常数项不为零。 证明：必要性，设n n ij a A ?=)(，)(λf 是n n ?的矩阵A 的特征多项式，则

++-=-=2211()(a a A E f n λλλ A a n n nn )1()1

-+++- λ

. 由A 可逆,知0≠A ,从而0)1(≠-A n ,即多项式)(λf 的常数项不为零。又根据哈密

顿凯莱定理，知

++-=2211()(a a A A f n 0)1()1

=-+++-E A A

a n n nn , 故A 的特征多项式)(λf 为题中所求。

充分性，设有一常数项不为零的多项式011)(a x a x a x a x f m m m m ++++=- )0(0≠a , 则有 O A f =)(,即O E a A a A a A a m m m m =++++--0111L )0(0≠a ， 所以 E a A a A a A a m m m m 0111-=+++--L ， 从而 E A a A a A a a m m m m =+++-

--)(1

1110

, 即 E A a A a A a a m m m m =+++-

--)](1

[1110

，

故A 可逆。

（十一）特征值判别法

n n ?的矩阵A 可逆?矩阵A 的特征值全都不是零。

证明：必要性，假设n n ?的矩阵A 的特征多项式为)(λf ，则

A a a a f n n nn n )1()()(12211-+++++-=- λλλ,

根据根与系数的关系，可知所有特征值之积等于A ,又由A 可逆，知0≠A ,故所有特征值全不为零。

充分性，因为所有特征值全不为零，而所有特征值之积等于A ,故0≠A ,从而A 可逆，从而命题得证。

四、十种常见矩阵的可逆性

（一）单位矩阵??

?

?

?

?

?

?

?=100010001

E 是可逆的。

证明：显然E EE =成立，根据矩阵可逆的定义，可得单位矩阵E 可逆。而且知道E E E k =，故k E 也是可逆的。

（二）数量矩阵???

?

??

? ??=b b b B 000000可逆。 证明：显然,bE B =而单位矩阵E 是可逆的，再由矩阵可逆的性质41

11)(---=A k kA 知， E b E b bE B 11111)(-----===， 故B 可逆。

（三）令对角矩阵????

??

? ??=s b a A 000000 如果它的主对角线上的元均不为零，则A 是

可逆。

证明：记

??????

? ??=s b a A 000000 ?

????????

?

?=s b a B 100010001 , 显然E BA AB ==,根据矩阵可逆的定义，故A 是可逆的。

（四）分块矩阵

1.设m m ?矩阵C 与n n ?矩阵D ,都是可逆的,

则(1)准对角矩阵????

??D C

可逆，且???

? ??=???

?

?

?---11

1

D C D C ; (2)???? ??

D C 可逆，且?

??

? ??=???? ??---111

C D D C . 证明：(1)因为D C ,可逆，因而11,--D C 存在，又因为

E D C D C D C D C

=???

?

?????? ??=???? ??????

?

?----1111

， 故????

??D C 可逆，且???? ?

?=???? ??---111

D C D C ,

类似地，我们可以证明???? ??

D C 可逆，且???

?

?

?=???? ??---111

C

D D C . 2.设,,,n n m m n m F D F C F S ???∈∈∈且D C ,可逆，

则(1)分块矩阵????

??E S E

与????

??E S E 可逆，且,1

???? ??-=???

?

??-E S E

E S E ???

? ??-=???

?

??-E S E

E S E 1

; (2)分块矩阵????

?

?D S C

可逆，并且???

?

??-=???

?

??-----11111

D SD C C D S C

. 证明：(1)因为对n m F Q ?∈任意,我们有????

??+=???? ?????? ??E Q S E E Q E E S E 成立， 特别地，若令S Q -=，我们可以得到：,1

???

?

??-=???? ??-E S E E S E 同理，我们可得到： ???

? ??-=???? ?

?-E S E E S

E

1

. (2)因为 ???? ??=???? ??????

?

?---E S C E D S C D C 111

, 进而有 ???

? ?????

?

?

?=????

?

?----E S C E D C D S C

11

11 所以 1

-???? ??D S C ==???? ?????? ??-----11

1

1D C E S C E ???

? ??-----1111D SD C C . （五）正交矩阵是可逆的。

证明：设A 是正交矩阵，根据正交矩阵的定义,可以得到E AA T =,故A 是可逆的。 （六）当j i >(j i <)时，有0=ij a ,矩阵)(ij a A =称为上三角形矩阵，可逆上三角形

矩阵的逆仍是上三角形矩阵。这个结论对下三角形矩阵也是成立的。

证明:令????? ??=nn n a a a A 111,设???

?? ??=nn n n b b b b B 1

111是A 的逆，即E BA AB ==,比较E 和AB 的第一列元素：

,

0,0,

0,111,11,11,122222221211112121111n nn n n n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a =+=+++=+++=----

因为0≠A ，故0,,0,02211≠≠≠nn a a a ,因而0211,11====-b b b n n .同理可以比较其它列，得j i >时,0=ij b ,所以B 是上三角形矩阵，故可逆上三角形矩阵的逆仍是上三角形矩阵。

同理，结论对下三角形矩阵也是成立的。

（七）如果矩阵是奇数阶的，也是反对称的，则它是不可逆的。

证明：若对矩阵A 有T A A -=,则A A A n T n )1()1(-=-=. 当n 为奇数时,A A -=,所以0=A ,故矩阵A 不可逆。

（八）线性空间中，一组基到另外一组基的过渡矩阵是可逆的。 （九）线性空间中，任意一组基对应的度量矩阵是可逆的。 （十）-λ矩阵

-λ矩阵可逆的概念[1]：设数域F 上)(λA 是n 阶的-λ矩阵，如果存在数域F 上n 阶的-λ矩阵)(λB ,使得E B A =)()(λλ,则称)(λA 是可逆的，而称)(λB 是)(λA 的逆矩阵，并且-λ矩阵)(λA 的逆矩阵是唯一的，记为)(1λ-A .

n 阶的-λ矩阵)(λA 可逆?)(λA 是一个非零的数。

注1：当)(λA 可逆时，其逆矩阵)()

(1

)(*1λλλA A A =

-,其中)(*λA 是)(λA 的伴随矩阵。

注2：在数字矩阵中,n 阶矩阵A 可逆?0≠A （或矩阵A 是满秩的）。当n 阶的-λ矩阵)(λA 可逆时，则必有0)(≠λA ,即)(λA 是满秩的。但是，满秩的-λ矩阵不一定是可逆的，因为满秩的-λ矩阵的行列式可以是不恒为零的λ多项式，而且只有当它的行列式为非零的常数（即零次多项式）时,)(λA 才是可逆的。此外求可逆-λ矩阵的逆矩阵的方法和数字矩阵中逆矩阵的求法是一致的。

五、矩阵可逆判断的实例

例1 判断n 阶方阵????

???

??=10011

0111 B 是否可逆。 解：记n 阶方阵??????

?

?

?=01010

P 则O P n

=,12-++++=n P P P E B , 由E P E P P P

E P E B P E n n =-=++++-=--))(()(12 ,

根据矩阵可逆的定义， 知B 是可逆的，且=-=-P E B 1???

?

?

?

? ??--11111 .

注：该题运用定义法解答，此题关键在于它的技巧。

例2 判断n 阶方阵????

??? ??---=x b b b x b b b x B

是否可逆。 解:经计算可得,[]

n n b x b x B )()(2

1

-++=,显然0≠B ,故B 是可逆的。

注：该题运用行列式判别法。显然用定义法判断不太容易，此法比较合适。

例 3 判断向量组T T T T )3,2,1,1(,)1,1,1,1(,)9,4,1,1(,)5,3,1,1(4321-==-==ββββ是不是

线性相关的，并且求出秩。

解：令????

??

? ??--=3195214311111111B ,显然4321,,,ββββ分别是矩阵A 的各列,又08≠-=B ,

故B 的列秩为4,从而各列线性无关,所以4321,,,ββββ线性无关，且该向量组的秩为4.

注：运用矩阵可逆的秩的判别法解题较为简单。

例4 令????

??

? ??=m m m m A 1111

11111111,且,3)(=A r 求m 的值. 解：因为,3)(=A r 所以0=A ,而3)1)(3(3-=?-+=m m m A 或1=m .

当1=m 时，显然有1)(=A r （舍弃）。

当3-=m 时,??????? ??----=3111131111311113A ????→?+++143121,,r r r r r r ????

??

? ??---31101

3101130111

0， 可见,3)(=A r 符合题意，所以3-=m .

例 5 已知方阵???

?

??=d b c a A ,其中0≠-bc ad ,那么该矩阵是可逆的还是不可逆的？

若可逆，试求它的逆。

解：因为0≠-=bc ad A ,所以矩阵A 可逆，且???

?

??---==-a b c d bc ad A A A 11*1. 例6 令???? ??=5231A ,???

?

??-=1412B ,满足条件B YA B AX ==,,求Y X ,. 解: 根据*11A A A =-,我们有???

? ??--=???? ??--=-1235123511

A A , 所以，???

?

??--=???? ??-???? ??--==-3082141212351

B A X ，

同样地，因为B YA =,故 ???

?

??--=???? ??--???? ??-==-132258123514121BA Y .

注：该题运用的是伴随矩阵判别法。当矩阵的阶数较小时，用伴随矩阵判别法解题也是比较简单的。

例7 判断矩阵????

??

? ??-------=61212

32145314111A 是可逆的还是不可逆的，并求出它的秩。

解：我们对A 进行初等行变换,B A =????

??

? ??---→???????

??------=00000100211041116121232145314111,则A 与 B 等价,而显然A 的秩为3,且3小于矩阵B 的阶数，从而B 不可逆，故A 不可逆，且3)(=A r .

注：该题是用初等变换判别矩阵可逆的，当矩阵的阶数较大或元素复杂时，不妨使用该方法。

例8 设A 是一个n n ?矩阵，且r A r =)(,证明:存在一个n n ?的可逆矩阵P ,使1

-PAP 的后r n -行全为零。

证明：存在可逆矩阵Q P ,使???? ??=O O O E PAQ r ,并设???

? ??=--D C B G P Q 1

1,故

???

?

?????? ??=???? ??=---O O B G O O O E P Q O O O E PAP r r 111,

其右边的后r n -行全都是0,从而得证。 注：该题为多角矩阵判别可逆的典型应用。

例9 二阶矩阵???? ?

?m m 100是不是能够表示成形式为???? ??101y 与???? ??101y 的矩阵的乘积？ 解：可以，令?

???

?

?=m m A 100,显然0≠A ,所以可以设21Q Q A = t Q . 对?

???

?

?m m 100进行第三种初等变换： ???? ??m m 100???? ??-???→????? ?

????→?---111110)11()1(1212m m m m m c c a r r ,1101)1(21???? ?????→?--m r r 从而 ,11011011110011011011???? ??=???? ??-???? ?

????? ?????? ??-m m m m m 故

.101111011011101101111011011110110011111???? ??-???? ?????? ??-???? ??-=???? ??-???? ?????? ??-???

? ??=???? ??-----m m m m m m m m 例10 当n m ,满足什么条件时，齐次线性方程组 ??

?

??=++=++=++0

20032321321x nx x x nx x x x mx 只有零解？

解：根据矩阵可逆的线性方程组判别法，如果方程组只有零解，则必有该方程组的系数矩阵可逆，从而该系数矩阵的行列式

0)1(1

21111

1≠--==m n n n m D ,所以 1≠m 且0≠n .

例11已知齐次线性方程组??

?

??=++=++=++0

00323213221x x x x x x x x x λλλλ，将其系数矩阵记为A ,若存在三阶

矩阵O B ≠使得O AB =,则（ ）

)(A 2-=λ且0=B ;)(B 2-=λ且0≠B ;)(C 1=λ且0=B ;)(D 1=λ且0≠B .

解：选)(C .

根据题目中,O B ≠O AB =,显然得知方程组O AX =是存在非零解的， 于是便有 0=A ,

即 0)1(1

1

1100

101

111122=-=---=λλ

λλλλλ

λλ,

所以1=λ,而T A A ==1

111111

11,

又由O AB =知O A B T T =,可见方程组O X B T =存在零解（T A 存在非零列）, 于是0==T B B ，故选)(C .

例12 设??

?

??

?? ?

?==-----111

2111

000000m b b b B

Y ?

?

?

??

?

?

?

??-00

00000000

12

1

m

m b b b b , 其中0≠i b (m i ,,3,2,1 =),试求1-Y .

解：????

??=O b B O Y m ,其中????

??? ?

?=-121000000

m b b b

B

,因为???

? ??=???? ??---111

C D C D ， 所以 ???? ??=---O B b O Y n 11

1,故=-1Y ???

?????

???

?

??-010*********

0011n n b b b . 例13 ????

? ??+++--=112111

1)(2

2λλλλλλλλA ,判断矩阵是可逆的还是不可逆的。如果可逆，求出它的逆矩阵。

解：因为112111

1

)(22+++--=

λλ

λλλλ

λλA =1

1211111122

+++-----λλλλλλ0=, 但)(λA 的二阶子式1

21

1

++λλλ=12++-λλ0≠,所以2))((=λA r ,从而)(λA 是不满

秩的，故)(λA 不可逆。

[3]黄光谷、黄东、李阳等，高等代数辅导与习题解答[M]，华中科技大学出版社，2005.6，163-200页。

[4]徐仲、张凯院、吕金义等，高等代数考研教案[M]，西北工业大学出版社，2006.6，347-351页。

[5]钱吉林，高等数学习题精粹[M]，高等教育出版社中央民族大学出版社，2002.10，105-175页。

[6]刘志军，矩阵可逆的几个充分条件[J]，北华大学学报，2008，第7卷 第6期。

致谢：本文的完成离不开宋蔷薇老师的细心指导。从论文的选题到资

料的搜集直至最后修改的整个过程中，花费了宋老师很多的宝贵时间和精力，衷心地感谢宋老师！她宽厚的待人之道温暖着我、她严谨的治学态度鼓舞并激励着我，也将是我一生的榜样和追求！在此过程中，师长、同学、舍友们帮助了我很多，真挚的感谢你们！

四年大学生活即将结束，这几年里，老师们给了我很多关心和帮助，在老师尽心授课下，我满载了扎实的专业知识，即将顺利地完成学业。我始终怀着一颗感恩的心：感谢我的辅导员孙树林老师，感谢我的母校山西师范大学，祝愿我们数计学院的所有老师，身体健康，工作顺利！父母是

注：对于可逆的-λ矩阵，如同数字矩阵一样，也可以采用公式法（即伴随矩阵法）、初等变换法和分块矩阵的有关结果来求逆矩阵。

六、小结

判断矩阵可逆不只上述的十一种方法，根据这些判别方法，我们可以快速有效地解决许多有关矩阵逆矩阵的问题，它对学习矩阵和矩阵应用有着不可或缺、非常重要的作用。此外，研究构成元素本身的性质是研究矩阵性质的一个重要途径，矩阵的很多方面仍需要我们继续研究、探讨，进而使之更加完善。

参考文献：

[1]北京大学数学系几何与代数研究教研室前代数小组，高等代数-3版[M]，高等教育出版社，2003.9，185-204页，329-354页。

[2]李尚志，线性代数[M]，高等教育出版社，2006.5，1-230页，493-501页。

每个孩子的守望天使，所以我还要感谢辛辛苦苦养育我成人的父母，感谢二老!

最后，我要感谢各位评审老师！辛苦了!