专题05 动点与特殊三角形存在性问题大视野(原卷版)
专题05 动点与特殊三角形存在性问题大视野
【例题精讲】
题型一、等腰三角形存在性问题
例1. 【2019·黄石期中】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=2cm，E、F分别是AB、AC 的中点，动点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时动点Q从点B出发，沿BF方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为ts（0＜t＜1），则当t=______时，△PQF为等腰三角形．
例2. 【2019·广州市番禺区期末】已知：如图，在Rt△ABC中，△C=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
例3. 【2019·乐亭县期末】如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P 是边AB或边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为______．
题型二、直角三角形存在性问题
例1. 【2019·厦门六中月考】如图，在RtΔABC中，△B=90°，AC=60，△A=60°．点D从点C出发沿CA方向以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，设点D、E运动的时间是t秒(0 （1）求证：AE=DF； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由． （3）当t为何值时，ΔDEF为直角三角形？请说明理由． 题型三、等腰直角三角形存在性问题 例1. 【2019·株洲市期末】（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB的直角顶点C在原点，将其绕着点O旋转，若顶点A恰好落在点（1，2）处．则△OA的长为______；△点B的坐标为______．（直接写结果） （2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰Rt△ACB如图放置，直角顶点C（-1，0），点A（0，4），试求直线AB的函数表达式． （3）拓展研究：如图3，在直角坐标系中，点B（4，3），过点B作BA△y轴，垂足为点A，作BC△x轴，垂足为点C，P是线段BC上的一个动点，点Q是直线y=2x-6上一动点．问是否存在以点P为直角顶点的等腰Rt△APQ，若存在，请求出此时P的坐标，若不存在，请说明理由． 【刻意练习】 1. 【2019·大连市期末】如图，直线x=t与直线y=x和直线y= 1 2 -x+2分别交于点D、E（E在D的上方）． （1）直线y=x和直线y= 1 2 -x+2交于点Q，点Q的坐标为______； （2）求线段DE的长（用含t的代数式表示）； （3）点P是y轴上一动点，且△PDE为等腰直角三角形，求t的值及点P的坐标． 2. 【2019·兴城市期末】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =kx +b 的图象经过点A （-2，6），且与x 轴交于点B ，与正比例函数y =3x 的图象相交于点C ，点C 的横坐标是1． （1）求此一次函数的解析式； （2）请直接写出不等式（k -3）x +b ＞0的解集； （3）设一次函数y =kx +b 的图象与y 轴交于点M ，点N 在坐标轴上，当△CMN 是直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点N 的坐标． 3. 【2019·泉州市晋江区期中】如图，在平面直角坐标系中，A （a ，0），B （0，b ），且a 、b 满足（a ﹣2） 2+ 0． （1）求直线AB 的解析式； （2）若点M 为直线y ＝mx 上一点，且△ABM 是等腰直角三角形，求m 值； （3）过A 点的直线y ＝kx ﹣2k 交y 轴于负半轴于P ，N 点的横坐标为﹣1，过N 点的直线y ＝2k x ﹣2 k 交AP 于点M ，试证明 PM PN AM -的值为定值． 4. 【2019·厦门大学附中期末】如图（1），Rt △AOB 中，△A ＝90°，△AOB ＝60°，OB ＝，△AOB 的平分 线OC交AB于C，过O点作与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动． （1）求OC、BC的长； （2）当t＝1时，求△CPQ的面积； （3）当P在OC上，Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值． 5. 【2019·潮州市期末】如图，在△ABC中，△A=120°，AB=AC=4，点P、Q同时从点B出发，以相同的速度分别沿折线B→A→C，射线BC运动，连接PQ. 当点P到达点C时，点P、Q同时停止运动. 设BQ=x，△BPQ和△ABC重叠部分的面积为S. （1）求BC的长； （2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）请直接写出△PCQ为等腰三角形时，x的值. 6. 【2019·南宁市期末】如图，在四边形ABCD中，AD△BC，△B=90°，AD=8cm，BC=10cm，AB=6cm，点 Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．若设运动时间为t（s）. （1）直接写出：QD=，PC=；（用含t的式子表示） （2）当t为何值时，四边形PQDC为平行四边形？ （3）若点P与点C不重合，且DQ≠DP，当t为何值时，△DPQ是等腰三角形？ 7. 【2019·涟源市期末】如图，已知矩形ABCD，AB=8，AD=4，E为CD边上一点，CE=5，动点P从点B 出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接EP，设点P的运动时间为t秒，则当t为何值时，△P AE为等腰三角形. 8. 【2019·重庆外国语月考】如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，△A＝30°，AB＝12，点F是AB的中点， 过点F作FD△AB交AC于点D．若△AFD以每秒2个单位长度的速度沿射线FB向右移动，得到△A1F1D1，当F1与点B重合时停止移动．设移动时间为t秒，如果D1，B，F构成的△D1BF为等腰三角形，求出t值． 9. 【2019·平潭期中】如图，在平面直角坐标系中，A(0,8)，B（4,0），AB的垂直平分线交y轴与点D，连接BD，M(a，1)为第一象限内的点. （1）求点D坐标； （2）当S△DBC=S△DBM时，求a的值； （3）点E为y轴上的一个动点，当△CDE为等腰三角形时，直接写出点E的坐标. 二次函数中的特殊三角形存在性问题 例1 ：如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标． 例2：如图，已知一次函数y=+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．:（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）设一次函数y=+2的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标． 例3：如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．:（1）求直线BD和抛物线的解析式．（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 1、如图，已知抛物线22 4233 y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ． 点M 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度向B 运动，过M 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ，交BC 于Q ．（1）求点B 和点C 的坐标；（2）设当点M 运动了x （秒）时，四边形OBPC 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围．（3）在线段BC 上是否存在点Q ，使得△DBQ 成为以．BQ ．．为一腰．．．的等腰三角形若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由． 2、二次函数21 8 y x =的图象如图所示，过y 轴上一点(0M ，2)的直线与抛物线交于A ，B 两点，过点A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ．⑴ 当点A 的横坐标为2-时，求点B 的坐标；⑵ 在⑴的情况下，分别过点A ，B 作AE x ⊥轴于E ，BF x ⊥轴于F ，在EF 上是否存在点P ，使APB ∠为直角．若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由；⑶ 当点A 在抛物线上运动时(点A 与点O 不重合)，求AC BD ?的值． y x O M D C B A 中考专题复习《动点问题》教学设计【学情分析】 动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路。动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论 【教学目标】 知识与技能： 1、利用特殊三角形的性质和定理解决动点问题； 2、分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度（动点怎么动）； 3、结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据。 过程与方法： 1、利用分类讨论的方法分析并解决问题； 2、数形结合、方程思想的运用。 情感态度价值观：通过动手操作、合作交流，探索证明等活动，培养学生的团队合作精神，激发学生学习数学的兴趣。 【教学重点】 根据动点中的移动距离，找出等量列方程。 【教学难点】 1、两点同时运动时的距离变化； 2、运动题型中的分类讨论 【教学方法】教师引导、自主思考 【教学过程】 一、动点问题的近况： 1、动态几何 图形中的点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 动态几何特点－－－－问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析 过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。在解这类问题时，要充分发挥空间想象的能力，不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。本节课重点来探究动态几何中的第一种类型----动点问题。所谓动点问题：是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放新题目。 2、三年中考概况； 近年来运动问题是以三角形或四边形为背景，用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题．这类题的特点是：图形中的某些元素(如点、线段、角等)或整个图形按某种规律运动，图形的各个元素在运动变化过程中相互依存，相互制约． 3、解题策略和方法： “动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。解决动点问题的关键是“动中求静”.动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 《一次函数中特殊三角形的存在性问题》教学设计 【教学目标】 1、知识与技能 （1）使学生体会定点与动点之间的关系，做到以静制动。 （2）通过数形结合，利用几何法和代数法求一次函数中特殊三角形的存在性问题。 2、过程与方法 （1）借助几何画板探究一次函数中特殊三角形的存在性问题，使学生初步形成正确、科学的分析解决问题的方法。 （2）学生与其他人交流的过程中，能合理清晰地表达自己的思维过程。 （3）在自己动手画图的过程中，培养学生的动手实践能力及丰富的想象力，积累数学活动经验，增强学生的创新意识。 3、情感态度与价值观 （1）通过新媒体手段和个性化的学习方式，培养学生交流合作的意识，激发学生学习数学的兴趣，树立学生学好数学的信心，培养学生良好的学习习惯。 （2）以小组活动形式对本节内容进行综合探索，在与他人的合作过程中，培养学生敢于面对挑战和勇于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的体验，培养学生的合作意识和团队精神。 【教学重、难点】 教学重点：（1）一次函数中的动点问题； （2）两圆一中垂线求等腰三角形；外K全等求等腰指教三角形。 教学难点：（1）分类讨论思想的运用； （2）学会以静制动 【学情分析】 学生已经初步掌握了用待定系数法求解一次函数的解析式，联立方程组求解两个一次函数图像的交点，求解三个顶点为定点的三角形的面积以及用铅锤法表示有顶点是动点的三角形的面积，但是对一次函数中特殊三角形的存在问题还存在一定的困难。 【教学活动策略及教法设计】 1.活动策略 课堂组织策略：创设贴近学生生活、生动有趣的问题情境，开展有效的数学活动，组织学生主动参与、勤于动手、积极思考，使他们在自主探究与合作交流中，主动发现特殊三角形中动点坐标的规律。 学生学习策略：明确学习目标，了解所需掌握的知识，在教师的组织、引导、点拨下主动地从事观察、实验、猜测、验证与交流等教学活动，从而真正有效地理解和掌握知识。 辅助策略：借助几何画板，使学生直观形象地观察、操作。 2、教法 演示法：通过几何画板演示两圆一中垂线和外K全等，使学生直观、形象的感知因动点的移动，在何时会出现等腰三角形和等腰直角三角形，思考在没有几何画板的时候，我们自己该如何作图，快速确定动点的位置。 实验法：让学生自己动手、在探究过程中，自己发现动点的规律 讨论法：在学生进行了自主探索之后，进行小组讨论，让他们进行合作交流，使之互 中考专题复习——动点问题 【学情分析】 动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路。动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论 【教学目标】 知识与技能： 1、利用特殊三角形的性质和定理解决动点问题； 2、分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度（动点怎么动）； 3、结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据。 过程与方法： 1、利用分类讨论的方法分析并解决问题； 2、数形结合、方程思想的运用。 情感态度价值观：通过动手操作、合作交流，探索证明等活动，培养学生的团队合作精神，激发学生学习数学的兴趣。 【教学重点】 根据动点中的移动距离，找出等量列方程。 【教学难点】 1、两点同时运动时的距离变化； 2、运动题型中的分类讨论 【教学方法】教师引导、自主思考 【教学过程】 一、动点问题的近况： 1、动态几何 图形中的点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 动态几何特点－－－－问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。在解这类问题时，要充分发挥空间想象的能力，不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。本节课重点来探究动态几何中的第一种类型----动点问题。所谓动点问题：是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放新题目。 专题动点与特殊三角形存在性问题大视野 【例题精讲】 题型一、等腰三角形存在性问题 例1. 【2019·黄石期中】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=2cm，E、F分别是AB、AC 的中点，动点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时动点Q从点B出发，沿BF方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为ts（0＜t＜1），则当t=______时，△PQF为等腰三角形． 例2. 【2019·广州市番禺区期末】已知：如图，在Rt△ABC中，△C=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值． 例3. 【2019·乐亭县期末】如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P 是边AB或边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为______． 题型二、直角三角形存在性问题 例1. 【2019·厦门六中月考】如图，在RtΔABC中，△B=90°，AC=60，△A=60°．点D从点C出发沿CA方向以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，设点D、E运动的时间是t秒(0 二次函数与三角形的存在性问题 一、预备知识 1、坐标系中或抛物线上有两个点为P （x1，y ），Q （x2，y ） (1)线段对称轴是直线2x 2 1x x += (2)AB 两点之间距离公式：221221)()(y y x x PQ -+-= 中点公式：已知两点 ()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为??? ??++222121y y ,x x 。 2、两直线的解析式为11b x k y +=与 22b x k y += 如果这两天两直线互相垂直，则有121-=?k k 3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2 （1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2 （2）当k1≠k2， ，L1与L2相交 （3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直 二、三角形的存在性问题探究： 三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形 （一）三角形的性质和判定： 1、等腰三角形 性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。 判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。 2、直角三角形 性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。 判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。 3、等腰直角三角形 性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。 判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形 4、等边三角形 性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。 判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 特殊三角形与动点问题 1、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D 运动的速度为每秒1个单位长度 （1）当t=2时，CD= ，AD= ；（请直接写出答案） （2）求当t为何值时，△CBD是直角三角形？并说明理由． （3）求当t为何值时，△CBD是等腰三角形？并说明理由． 2、已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题： （1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？ （2）当t为何值时，△PBQ是等腰三角形？ （3）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的关系式。 3、已知：如图所示，等边三角形ABC的边长为2，点P和Q分别从A和C两点同时出发，做匀速运动，且它们的速度相同．点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，设PQ与直线AC相交于点D，作PE⊥AC于E，当P和Q运动时，线段DE的长是否改变？证明你的结论． 4、如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s， （1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； （2）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编 专题01：动点问题 25. （2012吉林长春10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到 点B停止．点P在AD的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作 PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s). （1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）．（2）当点N落在AB边上时，求t的值． （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式． （4）连结CD．当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s 的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P 在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围． 【答案】解：（1）t－2。 （2）当点N落在AB边上时，有两种情况： ①如图（2）a，当点N与点D重合时，此时点P在DE上，DP=2=EC，即t－2=2，t=4。 ②如图（2）b，此时点P位于线段EB上． ∵DE=1 2 AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s， ∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4。 ∵PN∥AC，∴△BNP∽△BAC。∴PN：AC = PB：BC=2，∴PN=2PB=16-2t。 由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=20 3 。 综上所述，当点N落在AB边上时，t=4或t=20 3 。 （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况： 专题05 动点与特殊三角形存在性问题大视野 【例题精讲】 题型一、等腰三角形存在性问题 例1. 【2019·黄石期中】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=2cm，E、F分别是AB、AC 的中点，动点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时动点Q从点B出发，沿BF方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为ts（0＜t＜1），则当t=______时，△PQF为等腰三角形． 【答案】2. 【解析】 解：∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=2， ∴AC=2AB=4，BC=√42?22=2√3， ∵E、F分别是AB、AC的中点， ∴EF=1 2 BC=√3，BF= 1 2 AC=2，EF∥BC， 由题意得：EP=t，BQ=2t，∴PF=√3-t，FQ=2-2t， ①当PF =FQ 时， 则√3-t =2-2t ， 解得：t =2-√3； ②当PQ =FQ 时，过Q 作QD ⊥EF 于D ， 则PF =2DF ， ∵BF =CF ， ∴∠FBC =∠C =30°， 由上知，EF ∥BC ， ∴∠BFP =∠C =30°， 则DF DQ ，PF ， -t 2-2t ） 解得：t = 611 ； ③当PF =PQ 时，∠PFQ =∠PQF =30°， ∴∠FPQ =120°， 而在P 、Q 运动过程中，∠FPQ 最大为90°，所以此种情况不成立； 故答案为：2-√3或 611 +． 例2. 【2019·广州市番禺区期末】已知：如图，在Rt ∥ABC 中，∥C =90°，AB =5cm ，AC =3cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以1cm /s 的速度移动，设运动的时间为t 秒． 【例1】 （2）可用铅垂法，当点D坐标为() 2,6 -时，△ADE面积最大，最大值为14；（3）这个问题只涉及到A、E两点及直线x=-1（对称轴） ①当AE=AP时，以A为圆心，AE为半径画圆，与对称轴交点即为所求P点． ∵AE = 1 AP AH=3 ，∴ 1 PH 故(1P- 、(21, P-． ②当EA=EP时，以E点为圆心，EA为半径画圆，与对称轴交点即为所求P点． 过点E作EM垂直对称轴于M点，则EM=1， 34 P M P M === ，故(31,2 P- -、(41,2 P---． ③当P A=PE时，作AE的垂直平分线，与对称轴交点即为所求P点． 设() 5 1, P m -，()() 22 2 5 140 P A m =-++-，()() 22 2 5 =102 P E m --++ ∴()2 2921 m m +=++，解得：m=1． 故() 5 1,1 P-． 综上所述，P点坐标为(1 P-、(21, P -、(31,2 P- -、(41,2 P--、 () 5 1,1 P-． 【例2】 （1）223 y x x =--； （2）①当PM=PC时，（特殊角分析） 考虑∠PMC=45°，∴∠PCM=45°， 即△PCM是等腰直角三角形，P点坐标为（2，-3）； ②当MP =MC 时，（表示线段列方程） 设P 点坐标为()2,23m m m --，则M 点坐标为(),3m m -， 故线段()()223233PM m m m m m =----=-+ 故点M 作y 轴的垂线，垂足记为N ，则MN =m ， 考虑△MCN 是等腰直角三角形，故MC =， ∴23m m -+ ，解得3m =或0（舍）， 故P 点坐标为(3-． 综上所述，P 点坐标为（2，-3 ）或(3-． 【例3】 （1）234y x x =-++； （2）①考虑到∠DPM =45°，当DP =DM 时，即∠DMP =45°， 直线AM ：y =x +1， 联立方程：2341x x x -++=+， 解得：13x =，21x =-（舍）． 此时t =1． 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. G F D A E A C B D F E B A C D F B A C D 动点问题最值 最值问题有四种情形：定点到动点的最值，动点在圆上或直线上，就是点到圆的最近距离，和点到直线的最近距离；三角形两边之和大于第三边的问题，当两边成一直线最大；几条线段之和构成一条线段最小；还有就是对称点最小问题。 一、定点到动点所在圆的最大或最小值，动点在一个定圆上运动，其实质是圆外一点到圆的最大或最小距离，就是定点与圆心所在直线与圆的交点的两个距离。 方法：证明动点在圆上或者去找不变的特殊三角形，证明两个三角形相似，求出某些边的值。 1．如图，△ABC 、△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是（ ） A ．32- B ．13+ C ．2 D ．13- 提示：点M 在以AC 为直径的圆上 2．（2015?咸宁）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 是边BC 上的动点，BF ⊥AE 交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ．下列说法：①AG ＞GE ；②AE =BF ；③点G 运动的路径长为π；④CG 的最小值为﹣1．其中正确的说法是 ②③ ．（把你认为正确的说法的序 号都填上） 提示：G 在以AB 为直径的圆上：正确答案是：②④ 3、如图，正方形ABCD 的边长为4cm,正方形AEFG 的边长为1cm ，如果正方形AEFG 绕点A 旋转，那么C 、F 两点之间的最小距离为 4、如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°,M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将 △AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 长度的最小值是 5、如图，等腰直角△ACB ，AC=BC=5，等腰直角△CDP ，且PB=2，将△CDP 绕C 点旋转. （1）求证：AD=PB （2）若∠CPB=135°，求BD ； （3）∠PBC= 时，BD 有最大值，并画图说明； ∠PBC= 时，BD 有最小值，并画图说明. 分析：在△ABD 中有：BD ≤AB+AD ，当BD=AB+AD 时BD 最大，此时AB 与AD 在一条直线上，且AD 在BA 的延长线上，又△ACB 是等腰直角三角形，∠CAB=45°，由（1）知∠PBC=∠CAD=180°-45°=135° BD ≥AB-AD ，当BD=AB-AD 时BD 最小，此时，AB 与AD 在一条直线上，且AD 此时∠CAD=45°，所以∠PBC=∠CAD=45° 6、如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°,∠BAE=135°,AD=1， 2，F 为BE 中点. （1）求CF 的长 （2）将△ADE 绕A 旋转一周，求点F 运动的路径长； （3）△ADE 绕点A 旋转一周，求线段CF 的范围. 中考数学相似三角形动点问题专题复习一、几何动点问题 例题：如图，在△ABC 中，AB=8cm，BC=16cm，点P 从点A 出发沿AB 边向点B 以2cm/s 的速度移动，点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以4cm/s 的速度移动（有一点到达端点后即停止移动），如果P,Q 同时出发，经过几秒后△PBQ 和△ABC 相似？ 1、如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D 为BC 的中点，若动点E 以1cm/s的速度从A 点出发，沿着A→B→A 的方向运动，设E 点的运动时间为t 秒（0≤t＜6），连DE，当△BDE 是直角三角形时，t 的值为 2、如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点D 是BC 边的中点，动点P 从点C 出发，沿C→A→B 的方向在AC、AB 边上以每秒2 个单位的速度向点B 移动，运动至点B 即停止。连接PD，当点P 运动时间t 为何值时，线段PD 截 Rt△ABC 为两部分，所得的三角形与Rt△ABC 相似． 3、如图，在直角梯形ABCD 中， D 900 ，AB=10cm，BC=6cm，AB ∥CD , AC BC , F点以2cm / s 的速度在线段AB 上由A 向B 匀速运动，E 点同时以1cm / s 的速度在线段BC上由B 向C 匀速运动，设运动的时间为t （0＜t ＜5）. （1）求证：△ ACD ∽△BAC ； （2）求DC 的长 （3）当t 为何值时，△ FEB 为直角三角形？ 4、已知，在矩形ABCD 中，AB=a，BC=b，动点M 从点A 出发沿边AD 向点D 运动． （1）如图1，当b=2a，点M 运动到边AD 的中点时，请证明∠BMC=90°； G F D A B C E 动点问题最值 最值问题有四种情形：定点到动点的最值，动点在圆上或直线上，就是点到圆的最近距离，和点到直线的最近距离；三角形两边之和大于第三边的问题，当两边成一直线最大；几条线段之和构成一条线段最小；还有就是对称点最小问题。 一、定点到动点所在圆的最大或最小值，动点在一个定圆上运动，其实质是圆外一点到圆的最大或最小距离，就是定点与圆心所在直线与圆的交点的两个距离。 方法：证明动点在圆上或者去找不变的特殊三角形，证明两个三角形相似，求出某些边的值。 1．如图，△ABC 、△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、 FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是（ ） A ．32- B ．13+ C ．2 D ．13- 提示：点M 在以AC 为直径的圆上 2．（2015?咸宁）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 是边BC 上的动点，BF ⊥AE 交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ．下列说法：①AG ＞GE ；②AE =BF ；③点G 运动的路径长为π；④CG 的最小值为 ﹣1．其中正确的说法是 ②③ ．（把你认为正确的说法的序号都填上） 提示：G 在以AB 为直径的圆上：正确答案是：②④ 3、如图，正方形ABCD 的边长为4cm,正方形AEFG 的边长为1cm ，如果正方形AEFG 绕点A 旋转，那么C 、F 两点之间的最小距离为 4、如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°,M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 长度的最小值是 探究特殊四边形存在性问题 1．如图，抛物线y ＝x 2－2x －3经过点A （2，－3），与x 轴负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且OC ＝3OB . (1)求点B ，C 的坐标； (2)若点D 在y 轴上，且∠BDO ＝∠BAC ，求点D 的坐标； (3)若点M 为抛物线上一点，点N 在抛物线的对称轴上，是否存在以点A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标，若不存在，请说明理由． 第1题图 解：(1)令x ＝0得y ＝－3， ∴C (0，－3)， ∴OC ＝3， ∵OC ＝3OB ， ∴OB ＝1， ∴B (－1，0)， 把A (2，－3)，B (－1，0)分别代入y ＝ax 2＋bx －3得： ?????a －b －3＝04a ＋2b －3＝－3，解得? ????a ＝1b ＝－2， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3； (2)如解图①，过点B 作BE ⊥ AC ，交AC 延长线于点E . 第1题解图① ∵C (0，－3)，A (2，－3)， ∴AC ∥x 轴， ∴BE ＝3， 又∵OB＝1， ∴AE＝3，∴AE＝BE， ∴∠BAE＝45°， ∵∠BDO＝∠BAC＝45°， ∴OB＝OD， ∴D点的坐标为(0，1)或(0，－1)， (3)存在．如解图②. 第2题解图② 当AB∥MN时，由AB＝MN＝32，可知点M与对称轴的距离为3，由y＝x2－2x－3可得对称轴为直线x＝1， ∴点M的横坐标为4或－2，把x＝4和－2分别代入y＝x2－2x－3可得点M坐标， 把x＝－2代入y＝x2－2x－3得y＝4＋4－3＝5， ∴M1(－2，5)． 把x＝4代入y＝x2－2x－3得y＝16－8－3＝5， ∴M2(4，5)， 当MN与AB互相平分时，四边形AMBN是平行四边形，由AC＝BN＝2，可知点M与点C重合，∴点M3坐标为(0，－3)， ∴M的坐标为(－2，5)或(0，－3)或(4，5)． 2．如图，抛物线顶点P(1，4)，与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A，B. (1)求抛物线的解析式； (2)Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标； (3)若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E，是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由． 第2题图 解：(1)设抛物线解析式为：y＝a(x－1)2＋4(a≠0)． D P C N B M A E D F P C A B O F E D C B A 动点问题和压轴题训练 动态几何问题是近几年各地中考试题常见的压轴试题，它能考查学生的多种能力，有较强的选拔功能。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。 动点题一般方法是针对这些点在运动变化的过程中相伴随着的数量关系（如等量关系、变量关系）、图形位置关系（如图形的特殊状态、图形间的特殊关系）等进行研究考察．抓住变化中的“不变量”，以不变应万变。 首先根据题意理清题目中两个变量X 、Y 的变化情况并找出相关常量。 第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出。 第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象。 解答综合、压轴题，要把握好以下各个环节： 1.审题：这是解题的开始，也是解题的基础.一定要全面审视题目的所有条件和答题要求，以求正确、全面理解题意，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计. 审题思考中，要把握“三性”，即明确目的性，提高准确性，注意隐含性．解题实践表明：条件暗示可知并启发解题手段，结论预告并诱导解题方向，只有细致地审题，才能从题目本身获得尽可能多的信息．这一步，不要怕慢，其实“慢”中有“快”，解题方向明确，解题手段合理得当，这是“快”的前提和保证．否则,欲速则不达. 2.寻求合理的解题思路和方法：破除模式化、力求创新是近几年中考数学试题的显著特点，解答题体现得尤为突出，因此，切忌套用机械的模式寻求解题思路和方法，而应从各个不同的侧面、不同的角度，识别题目的条件和结论，认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，谨慎地确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃． 动点问题练习题 1、如图，点P 是边为1的菱形ABCD 对角线AC 的一个动点，点M 、N 分别是AB 、BC 的中点，则MP+NP 的最小值是 ； 2、若点P 为边长为5的等边三角形内的一个动点，作PD⊥BC 于点D ，PE⊥AC 于点E ，PF⊥AB 于点F ，则PD+PE+PF= ；反之，若PD=6，PE=10，PF=8，则等边△ABC 的面积为 ； 3、如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若E 、F 是线段AC 上的两个动点，分别从A 、C 两点以相同的速度1㎝/s 向C 、A 运动，若BD=12㎝，AC=16㎝，当t 时，四边形DEBF 为平行四边形；当时间t= 时，四边形DEBF 为矩形。 4. 如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每 秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒．(1) 求直线AB 的解析式；(2) 当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？ (3) 当t 为何值时，△APQ 的面积为5 24 个平方单位？ 特殊三角形的存在性 知识结构 模块一：直角三角形的存在性 考点分析 直角三角形的存在性问题，分类特征非常明显，首先考虑三角形的哪个角有可能称为直角，再把这个角为直角作为条件，并结合题目中的条件在进行说理计算．此类综合题需要用到的知识点较多，用于考察同学们的思维和分析能力． O x y 【例1】 （2015学年·奉贤区一模·第24题）如图，二次函数2y x bx c =++图像经过原点和 点A （2，0），直线AB 与抛物线交于点B ，且45BAO ∠=?. （1）求二次函数解析式及其顶点C 的坐标； （2）在直线AB 上是否存在点D ，使得BCD ?为直角三角形.若存在，求出点D 的坐标，若不存在，说明理由. 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 【例2】 （2015学年·虹口区一模·第24题）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 23y ax bx =++与x 轴分别交于点A （2，0）、点B （点B 在点A 的右侧），与y 轴交 于点C ，1 tan 2 CBA ∠= ． （1）求该抛物线的表达式； （2）设该抛物线的顶点为D ，求四边形ACBD 的面积； （3）设抛物线上的点E 在第一象限，BCE ?是以BC 为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E 的坐标． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 例题解析 B A O y x A B C P M A B C D E F G 【例3】 如图，在ABC ?中，AB = AC = 5 cm ，BC = 8 cm ，点P 为BC 边上一动点（不与点 B 、 C 重合），过点P 作射线PM 交AC 于点M ，使APM B ∠=∠． （1）求证：ABP ?∽PCM ?； （2）设BP = x ，CM = y ，求y 与x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当PCM ?为直角三角形时，求点P 、B 之间的距离． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 【例4】 （2015学年·静安区一模·第25题）已知：在梯形ABCD 中，AD // BC ，AC = BC = 10，5 4 cos = ∠ACB ，点E 在对角线AC 上，且CE = AD ，BE 的延长线与射线AD 、射线CD 分别相交于点F 、G ．设AD = x ，AEF ?的面积为y ． （1）求证：DCA EBC ∠=∠； （2）如图，当点G 在线段CD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如果DFG ?是直角三角形，求AEF ?的面积． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 导 学 过 程 设 计 一、看图说话 二、知识梳理 复习等腰、等边、直角三角形的性质与判定 三、我来闯关 探究一:等腰、直角三角形边、角计算 1.如果等腰三角形两边长分别为2和4，则这个等腰三角形的周长为___________. 2.如果等腰三角形的一个内角为50°，则其它的底角的度数是___________. 3.如果一个等腰三角形的一个内角为 100°，则它的顶角的度数是________. 4.已知直角三角形的两边长分别为3 和4，则第三边的长为 ________. 探究二:等腰、直角三角形的性质与判定 1.如图1，在△ABC 中，已知∠ABC 与∠ACB 的角分平线相交于点O ，过O 点作DE 平行于 BC 交AB 点D ，交AC 于点E ，已知DE ＝5，则BD+CE ＝________. 2.如图2，在△ABC ，BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，O 是BC 边的中点，连接OD 、OE 、 DE ，猜想△ODE 是等腰三角形吗？请说明理由。 3.如图3，在五边形ABCDE 中，AB ＝AE ，BC ＝DE ，∠B ＝∠E ，F 是CD 的中点，求证： 恩江中学数学中考总复习课导学案 图3 图1 探究三:等腰、直角三角形在平面直角坐标系中的应用 1.如图1在平面直角坐标系中，OA=OB=13,点B 在x 轴上，OB ＝10则点A 的坐标是________. 2.如图2在平面直角坐标系中，OA=AB=2,点A 在x 轴上，∠OAB ＝150°则点B 的坐标是________. 3.如图3在平面直角坐标系中，OA=2,OA 与x 轴的夹角是30° ，点P 在坐标轴上运动，若 速度从A 向点B 运动，到达B 点停止， （1）求当点P 运动多少秒时，△ACP （2）求当点P 运动多少秒时，△ACP 四、当堂检测 1.如果一个等腰三角形的周长10,其中一边长为4，则它的腰长为_________. 2.如果一个等腰三角形的一个外角为50°，则其它的顶角的度数是__________. 3.在直角三角形中，已知两直角边分别为3和4，则斜边上的高为__________. 五、课堂小结 六、 课后作业 七、教学反思 B 《二次函数专题培优》 ：特殊三角形与特殊四边形存在性问题 1、如图，已知抛物线经过A （1，0），B （0，3）两点，对称轴是x=﹣1． （1）、求抛物线对应的函数关系式； （2）、动点Q 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA 上运动，同时动点M 从O 点出发以每秒3个单位 长度的速度在线段OB 上运动，过点Q 作x 轴的垂线交线段AB 于点N ，交抛物线于点P ，设运动的时间为t 秒． ①、当t 为何值时，四边形OMPQ 为矩形； ②、△AON 能否为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由． 2、如图，抛物线22 5 212-+- =x x y 与轴相交于A 、B ，与轴相交于点C ，过点C 作C D ∥轴， 交抛物线点D ． （1）、求梯形ABCD 的面积； (2) 、 若梯形ACDB 的对角线AC 、BD 交于点E ，求点E 的坐标，并求经过A 、B 、E 三点的抛物线的解析式； （3）、点P 是射线CD 上一点，且△PBC 与△ABC 相似，求符合条件的P 点坐标． x y x 3、如图，抛物线y=－3 x2－ 2 333交x轴于A、B两点，交y轴于点C，顶点为D． （1）、求点A、B、C的坐标； （2）、把△ABC绕AB的中点M旋转180°，得到四边形AEBC． ①、求E的坐标；②、试判断四边形AEBC的形状，并说明理由； （3）、试探求：在直线BC上是否存在一点P，使得△PAD的周长最小，若存在，?请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 4、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 3 2+ + =bx ax y经过（－2，－5）和（5，－12）两点． （1）、求此抛物线的解析式； （2）、设此抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，D是线段BC上一点（不与点B、C重合），若以B、O、D为顶点的三角形与△BAC相似，求点D的坐标； （3）、点P在y轴上，点M在此抛物线上，若要使以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点M的坐标 5、如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，顶点M关于x轴的对称点是M′. (1)、求抛物线的解析式； (2)、若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积； (3)、是否存在过A、B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？ 若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 二次函数中构建特殊三角形存在性问题 一、二次函数与等腰三角形 例1：如图，已知抛物线224 233 y x x =- ++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ． 点M 从O 点出发，以每秒1个单位长度:的速度向B 运动，过M 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ，交BC 于Q ． （1）求点B 和点C 的坐标； （2）设当点M 运动了x （秒）时，四边形OBPC 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围． （3）在线段BC 上是否存在点Q ，使得△DBQ 成为以BQ 为一腰的等腰三角形？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由． 解：（1）把x =0代入224 233y x x =- ++得点C 把y =0代入224 233 y x x =-++得点B （2）连结OP ，设点P 的坐标为P （x ，y ） OBPC S 四边形=OPC S △+OPB S △ = 11 2322x y ??+??233x x =-++ ∵ 点M 运动到B 点上停止，∴03x ≤≤ ∴2 3324S x ? ?=--+ ?? ?（03 x ≤≤） （3）存在．=13 ① 若BQ = DQ ∵ BQ = DQ ，BD = 2 ∴ BM = 1 ∴OM = 3-1 = 2 ∴2tan 3QM OC OBC BM OB ∠=== ∴QM =23 所以Q 的坐标为Q （2，2 3 ） ． ② 若BQ=BD=2 ∵ △BQM ∽△BCO ，∴ BQ BC =QM CO =BM BO ∴ 2QM ∴ QM =13 ∵ BQ BC =BM OB ∴=3BM ∴ ∴ OM = 3 所以Q 的坐标为Q （313-，13 ） 例2：已知二次函数2y ax bx c =++的图象分别经过点（0，3），（3，0），（－2，－5）. 求：(1) 求这个二次函数的解析式； (2) 求这个二次函数的最值； (3) 若设这个二次函数图象与x 轴交于点C ，D （点C 在点D 的左侧），且点A 是该图象的顶点，请在这个二次函数的对称轴上确定一点B ，使△ACB 是等腰三角形，求出点B 的坐标. 解：（1）因为二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象经过（0，3） 所以c=3．所以y=ax 2 +bx+3． 又二次函数y=ax 2 +bx+3的图象经过点（3，0），（﹣2，﹣5）， ， 解这个方程组得： ， 所以这个二次函数的解析式为：y=﹣x 2 +2x+3； （2）因为a=﹣1＜0， 所以函数有最大值，二次函数中的特殊三角形存在性问题
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