数列专项训练(含答案)

数列与数学归纳法专项训练

1.如图，曲线2(0)y x y =≥上的点i P 与x 轴的正半轴上的点i Q 及原点O 构成一系列正三角形△OP 1Q 1，△Q 1P 2Q 2，…△Q n-1P n Q n …设正三角形1n n n Q P Q -的边长为n a ,n ∈N ﹡(记0Q 为O ),(),0n n Q S .（1）求1a 的值; （2）求数列{n a }的通项公式n a 。

2. 设{}{},n n a b 都是各项为正数的数列，对任意的正整数n ，都有21,,n n n a b a +成等差数列，2211,,n n n b a b ++成等比数列．

（1）试问{}n b 是否成等差数列？为什么？

（2）如果111,a b ==1n a ??????的前n 项和n S ．

3. 已知等差数列｛n a ｝中，2a ＝8，6S ＝66. （Ⅰ）求数列｛n a ｝的通项公式； （Ⅱ）设n n a n b )1(2+=

，n n b b b T +++=Λ21，求证：n T ≥16

.

4. 已知数列{n a }中531=

a ，112--=n n a a （n ≥2，+∈N n ），数列}{n

b ，满足11-=n n a b （+∈N n ）

（1）求证数列{n b }是等差数列；

（2）求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由；

（3）记++=21b b S n …n b +，求1)1(lim +-∞→n n S b n n ．

5. 已知数列{a n }中，a 1>0, 且a n +1=23n a +， (Ⅰ)试求a 1的值，使得数列{a n }是一个常数数列； (Ⅱ)试求a 1的取值围,使得a n +1>a n 对任何自然数n 都成立； (Ⅲ)若a 1 = 2，设b n = | a n +1－a n | (n = 1，2，3，…)，并以S n 表示数列{b n }的前n 项的

和，求证：S n <2

5．

6. （1）已知：)0(∞+∈x ，求证x x x x 11ln 11<+<+；

（2）已知：2≥∈n N n 且，求证：1

1211ln 13121-+++<<+++n n n ΛΛ。

7. 已知数列{}n a 各项均不为0，其前n 项和为n S ，且对任意*∈N n ，都有

n n pa p S p -=?-)1(（p 为大于1的常数），并记

n

n n n n n n S a C a C a C n f ??++?+?+=21)(2211Λ. （1）求n a ；

（2）比较)1(+n f 与)(21n f p

p ?+的大小*∈N n ； （3）求证：???

????????? ??-+-?-+≤≤?---=∑1212111111)()()12(n n i p p p p i f n f n (*∈N n ).

8. 已知n N *∈，各项为正的等差数列{}n a 满足

263521,10a a a a ?=+=，又数列{}lg n b 的前n 项和是

()()11lg312

n S n n n n =+--。 （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）求证数列{}n b 是等比数列；

（3）设n n n c a b =，试问数列{}n c 有没有最大项？如果有，求出这个最大项，如果没有，

说明理由。

9. 设数列{}n a 前项和为n s ,且(3),(32)+∈+=+-N n m ma s m n n ,其中m 为常数,m .3≠

(1) 求证:是等比数列;

若数列{}n a 的公比q=f(m),数列{}n b 满足),2,)((231,11≥∈==+-n N n b f b a b n n 求证:?

?????n b 1为等差数列,求n b .

10. 已知数列}{n a 满足：,21,121==a a 且0]1)1[(22])1(3[2=--+--++n n n n a a ，*N n ∈．

（Ⅰ）求3a ，4a ，5a ，6a 的值及数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设n n n a a b 212?=-，求数列}{n b 的前n 项和n S ；

11. 将等差数列{}n a 所有项依次排列，并作如下分组：1234567(),(,),(,,,),a a a a a a a …第一