《离散数学》双语教学 第一章 真值表,逻辑和证明
《离散数学》双语教学第一章真值表，逻辑和证明《离散数学》双语教学第一章真值表，逻辑和证明
CHAPTER 1
TRUTH TABLES, LOGIC, AND PROOFS
Glossary
statement, proposition:命题 logical connective:命题联结词
compound statement:复合命题 propositional variable:命题变元
negation:否定(式)
truth table:真值表
conjunction:合取 disjunction:析取 propositional function:命题公式fallacy: 谬误
syllogism:三段论
universal quantification:全称量词化 existential quantification:存在量词化 hypothesis(premise): 假设～前提～前件 conditional statement, implication:条件式～蕴涵式 consequent, conclusion:结论～后件 converse:逆命题
contrapositive:逆否命题
biconditional, equivalence:双条件式～等价
(逻辑)等价的 logically equivalent:
contingency:可满足式
tautology:永真式(重言式)
contradiction, absurdity:永假(矛盾)式 logically follow:是…的逻辑结论 argument:论证
axioms:公理
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《离散数学》双语教学第一章真值表，逻辑和证明 postulate:公设
rules of reference:推理规则
modus ponens:肯定律 modus tollens:否定律
reductio ad absurdum:归谬律
proof by contradiction:反证法
counterexample:反例 minterm:极小项
disjunctive normal form:主析取范式
maxterm:极大项
conjunctive normal form:主合取范式
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《离散数学》双语教学第一章真值表，逻辑和证明
本章内容及教学要点:
1.1 Statements and Connectives
教学内容:statements(propositions)～compound statement～
connectives:negation～conjunction～disjunction～truth tables 1.2 Conditional Statements
教学内容:implications(conditional statements)～biconditional～equivalent～and quantifications
1.3 Equivalent Statements
教学内容:logical equivalence～converse～inverse～contrapositive～tautology～contradiction(absurdity)～contingency～properties of logical connectives
1.4 Axiomatic Systems: Arguments and Proofs
教学内容:rules of reference～augument～valid argument～hypotheses～premises～law of detachment(modus ponens)～syllogism～modus tollens～addition～proof by contradiction 1.5 Normal Forms
教学内容:minterm～disjunctive normal form～maxterm～conjunctive normal form
定理证明及例题解答
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《离散数学》双语教学第一章真值表，逻辑和证明
Logic, developed by Aristotle, has been used through the centuries in the development of many areas of learning including theology, philosophy, and mathematics. It is the foundation on which the whole structure of mathematics is built. Basically it is the science of reasoning, which may allow us to determine statements about mathematics whether are true or false based on a set of basic assumptions called axioms. Logic is also used in computer science to construct computer programs and to show that programs do what they are designed to do.
逻辑学是研究人的思维形式的科学. 而数理逻辑是逻辑学的一个重要分支～是用数学形式化的方法研究思维规律的一门学科. 由于它使用了一套符号来简洁
地表达出各种推理的逻辑关系～故它又称符号逻辑.
数理逻辑用数学方法研究推理、利用符号体系研究推理过程中前提和结论之间的关系. 数理逻辑的主要内容:逻辑演算(L和L)、公理化集合论、模型论、S p
构造主义与证明论. 数理逻辑在电子线路、机器证明、自动化系统、编译理论、
算法设计方法方面有广泛的应用.
The rules of logic specify the meaning of mathematical
statements. Logic is the basis of all mathematical reasoning, and it has practical applications to the design of computing machines, to system specifications, to artificial intelligence(AI), to computer programming, to programming languages, and to other areas of computer science, as well as to many other fields of study.
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《离散数学》双语教学第一章真值表，逻辑和证明
1.1 Statements and Connectivess(命题和联结词)
命题逻辑研究的对象是命题及命题之间的逻辑关系.
Propositions are the basic building blocks of logic. Many mathematical statements are constructed by combining one or more propositions.
定义1.1.1 A proposition is a statement or declarative sentence that is either true or false, but not both,命题是一个非真即假的陈述句,.
因此不能判断真假的陈述句、疑问句、祈使句和感叹句都不是命题.
,1, The true or false value assigned to a statement is called its truth value; (一个命题的真或假称为命题的真值. 真用T或1表示～假用F或0表示)
,2, 一个陈述句有真值与是否知道它的真假是两回事.
例1.1.1 判断下列语句是不是命题,若是～给出命题的真值: (1) 陕西师大不是一座工厂.
(2) 你喜欢唱歌吗,
(3) 给我一块钱吧:
(4) 我不是陕西师大的学生.
(5) 我正在说谎.
Logical connectives(命题联结词)
数理逻辑的特点是并不关心具体某个命题的真假～而是将逻辑推理变成类似数学演算的形式化过程, 关心的是命题之间的关联性. 因此需要进行命题符号化.
命题联结词的作用是为了将简单命题组合成复合命题.
We will now introduce the logical connectives that are used to form new propositions from existing propositions. And once truth values have been assigned to simple propositions, we can progress to more complicated compound statements.
A statement that contains no connectives is called a simple
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statement. We will use p,q,r…to represent simple statements(简单命题
就是简单陈述句～用字母p,q,r…(或带下标)表示),Sometimes, the letters p,q,r,s,…are used to denote propositional variables that can be replaced
by statements(命题变元:可以用命题代替的变元).
A statement that contains logical connectives(命题联结词) is called compound statements(复合命题). In general, a compound statement may have many component parts, each of which is itself a statement, represented by some propositional variable. The truth of a compound proposition is determined by the truth or falsity of the component parts.
propositional constant(命题常元):T(1)或F(0)～或者表示一个确定的命
题,
propositional variable(命题变元):可用一个特定的命题取代。
指派(解释):用一个具体命题或T、F代替一个命题变元.
常用的有五种命题联结词～先介绍三种:
，(1) negation connective否定联结词，,,
，p(否定式):非p (not p)
If p is a statement, the negation of p is the statement not p, denoted by ，p.
，p:不～非～没有
规定，p 是T当且仅当p是F.
,(2) conjunction connective合取联结词
, pq(合取式) :p并且q～p合取q
, : 并且～且～既…又…～不仅…而且…
If p and q are statements, the conjunction of p and q(p和q的合取) ,is the compound statement “p and q”, denoted by pq. The proposition ,,pq is true when both p and q are true and is false otherwise. (规定pq
是T当且仅当p和q都是T.)
,(3) disjunction connective析取联结词
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, pq(析取式):p或者q～p析取q
,:或～或者说～不是…就是～要么…要么
If p and q are statements, the disjunction of p and q(p和q的析取) ,is the compound statement “p or q”, denoted by pq. The proposition ,pq is true when p or q are true and is false when both p and q are false.
,This is used in an inclusive sense. (规定pq是T当且仅当p～q中至少一
,个是T或者pq是F当且仅当p～q都是F).
Now we will introduces truth table to decide how the truth of a compound proposition is determined by the truth or falsity of the component parts.
A truth table lists all possible combinations (cases) of the truth and falsity of the component propositions.The truth table(真值表) of a compound proposition is as follows: The left columns are the component parts and their truth values, and the right column are the truth value of the compound proposition(左边部分是组成复合命题的各简单命题的真值指派,右边部分是复合命题的相应真值).
,,例1.1.2 The truth tables of pq, pq and ，p.
,,q p q pq p q p
，p p T T T T T T
T F F T F T T F
F T F F T T F T
F F F F F F
,, 例1.1.3 The truth table of p(，qr).
,,p ((， q) r) p q r
T T T T T F T F T
T T F T T F T F F
T F T T T T F T T
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T F F T T T F F F
F T T F F F T F T
F T F F F F T F F
F F T F T T F T T
F F F F F T F F F
1 *
2 1
3 1
ASSIGNMENTS:
PP6-9:12～14～28～30～34～40～58～60
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《离散数学》双语教学第一章真值表，逻辑和证明1.2 Conditional Statements,条件式,
,,联结词,, (4) conditional connective条件,蕴含, , pq(条件式、蕴涵式):如果p则q
,In the implication pq, p is called the hypothsis(antecedent or premise) and q is called the conclusion(consequence). The
,implication pq is the proposition that is false when p is true and q is
,false, and is true otherwise. (规定pq是F当且仅当p是T～q是F. p 称为条件式的前件(前提)～q称为条件式的后件(结论))
,:如果(若)…就(则)～只要…就～若…才能
,例1.2.1 The truth table of pq.
,q pp q
T T T
T F F
F T T
F F T
The conditional is expressed in English in several ways:
If p, then q.
p is sufficient for q.
p is a sufficient condition for q.
q is necessary for p.
q is a necessary condition for p.
p only if q(or only if q then p)
,(5) biconditional connective双条件 (等值)联结词,, ,
,pq (双条件式) :p当且仅当q
,The biconditional pq is the proposition that is true when p and q
,have the same truth values, and is false otherwise. (规定pq是T当
且仅当p～q或者都是T～或者都是F.)
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例1.2.2 The truth table of p,q.
,q pp q
T T T
T F F
F T F
F F T
The biconditional is also expressed in English in several ways:
p if and only if q.
p is necessary and sufficient for q.
p is a necessary and sufficient condition for q.
Translating sentences into logical expressions removes ambiguity. Once we have translated sentences from English(Chinese,etc.) into
logical expressions we can analyze them to determine their truth values, manipulate them, and use rules of reference to reason abut them. (命题符号化的目的在于用五个联结词将日常语言中的命题转化为数理逻
辑中的形式命题～其关键在于使用适当的联结词. 对自然语言中语句之间的逻辑
关系以及命题联结词的含义要有正确的理解:
(1) 确定语句是否是一个命题,
(2) 找出句中连词～用适当的命题联结词表示.,
例1.2.3 试将下列命题符号化:
(1) 若你不看电影～则我也不看电影.
(2) 小王一边吃饭～一边看书.
(3) 只有在生病时～我才不去学校.
(4) 当且仅当我生病时～我才不去学校.
解例1.2.3
,,例1.2.4 Change each of the following to the form pq or qp:
(1) He will succeed only if he works hard.
(2) Having money is sufficient for being happy.
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(3) Sam will play golf if and only if it is warm.
(4) Having money is necessary for being happy.
(5) Sam will play golf if and only if it is warm.
(6) Being lucky is a necessary and sufficient condition for being
successful.
命题表达式(logical expression)
一个命题越复杂～符号化该命题所需的命题变元和联结词就越来越多. 如何安排这么多的东西使之有意义呢,
一个命题表达式是由下列方式递归定义的:
(1) 命题常元或命题变元是一个命题表达式,
(2) 若A是一个命题表达式～则(，A)也是一个命题表达式,
,,,,(3) 若A、B是命题表达式～则(AB)、(AB)、(AB)和(AB)均为命题表达式,
(4) 只有经过有限次地应用(1)、(2)、(3)所得的结果才是命题表达式.
注:1、对于一个命题表达式～数理逻辑的目的在于利用这些形式化的表达式来研究命题之间的逻辑关系. 这种逻辑关系是用真假来表示的,只有对其所有的变元指派以确定的真值后～它才有真值;
2、命题表达式无限多,
3、Precedence of logical connectives(命题联结词的优先级)在一个复杂的命题表达式中～常常有许多括号和联结词～为了简便起见～规定下列运算顺,,,,序:，～～～～. 从而外层括号可以省略,在不会引起混淆的情形中～可以省略命题表达式中的一些括号.
若命题表达式 A是命题表达式A 的一部分～则称A是A的子命题表达式. 11 ,,,,例1.2.5 求命题表达式(p(qs))，(ps)的子命题表达式. 定义1.2.1 设命题表达式A(p, p, …, p)含有n个命题变元p, p, …, p～12n12np, p, …, p 是其中的r个不同命题变元. 用命题表达式B, B, …, B同时分j1j2jr12r别代替p, p, …, p在A中每一次出现所得到的命题表达式B称为A的一个代j1j2jr 第 11 页共 47 页 2010-12-27
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入实例.
,,,,,例1.2.6 设命题表达式A(p,q,s)为(pqs)，(ps)～B为pq～则用B
,,,,代入A中的p所得的代入实例为命题表达式((pq)(qs))，
,,((pq)s).
,若C为qp～则用B和C分别取代A中的p和s所得的代入实例为命题表
,,,,,,,,达式((pq)(q(qp)))，((pq)(qp)).
在命题逻辑中～还有一种所谓的替换. 但代入是对命题变元来进行的. 而替换则是对某一子命题表达式来进行的～它只要求对该子命题表达式的某一处出现或某几处出现进行替换.
,,,,,例1.2.7 设公式A(p～q)为(p(qs))，(ps)～B为，p，s～则用B
,,,,代入A中的子公式，(p?s)所得的公式为(p(qs))(，p，s).
Assignments:
PP11-13:6～8～40～44～48
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1.3 Equivalent Statements,等价命题,
If two compound statements p and q are true in exactly the same cases, then they are said to be logically equivalent(逻辑等价的或等价,的) , or we say that p is equivalent to q. We will denote this by pq. We
can establish their equivalence by constructing truth tables for them and then comparing the two truth tables. Or by using the tautologies, which we will introduce in the following text.
,,例1.3.1 ，p，q and ，(pq) are logically equivalent, i.e. ，
,,,，q，(pq). p
,Associated with the conditional statement pq are three other
statements: its converse, inverse, and contrapositive.
,, qp is the converse(逆命题) of pq.
,,，q，p is the contrapositive(逆否命题) of pq.
,,，p，q is the inverse(否命题) of pq.
例1.3.2 Let the implication be “If it is raining, then I get wet.” Give its
converse, inverse and contrapositive.
A statement that is true in every case is called a tautology. A
statement that is always false in every case is called a
contradiction
or an absurdity. And a statement that can be true or false,
depending on the truth values of its component parts, is called a contingency(设
A 是一个命题表达式～若A在任何指派下都为T～则称为永真式(重言式),若A
在任何指派下都为F～则称A为永假式(矛盾式),若至少存在一个指派使A为T
～
则称A为可满足式).
,,,例1.3.3 判断下列几个公式的类型: p，p～p，p～pq.
,,例1.3.4 用真值表决定公式，(，pq)p的类型.
解例1.3.4
注: 1、永真式必为可满足式～反之则不然,永真式的否定是永假式～反之亦然, 第 13 页共 47 页 2010-12-27
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2、决定一个公式是否是一个永真式、永假式或可满足式有两种方法:真值表法(适用于变元少而简单的公式)和公式推理,等价取代,法,
n223、共有个不同的n元真值表,
4、永真式的合取、析取、蕴含和等值式都是永真式.
,定理1.3.1 p is equivalent to q if and only if pq is a tautology.
,,,定理1.3.2 pq是永真式当且仅当条件式pq和qp都是永真式. 定理1.3.3 The connectives for propositions have the following
properties (命题运算满足下列性质):
Idempotent laws(等幂律):
,,,,ppp, ppp
Double negation law(双否律):
,，(，p)p
De Morgan’s laws(德.摩根律):
,,,,,,，(pq)，p，q, ，(pq)，p，q
Commutative laws(交换律):
,,,,,,pqqp, pqqp
Associative laws(结合律):
,,,,,,,,,,p(qr)(pq)r, p(qr)(pq)r
Distributive laws(分配律):
,,,,,,,,,,,,p(qr)(pq)(pr), p(qr)(pq)(pr)
Identity laws(同一律):
,,,,pTp, pFp
Domination laws(零一律):
,,,,pTT, pFF
Absorption laws(吸收律):
,,,,,,p(pq)p, p(pq)p
Negation laws(有补律):
,,,,p，pT, p，pF
Logical equivalences involving implications:
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,p,q,，pq(条件式转化律), p,q,，q,，p (逆否律),
,,,,,, (pq)(pr)p(qr)
,,,,,,(pr)(qr)(pq)r
Logical equivalences involving biconditionals:
,,,,,pq(pq)(qp),
,,,,,pq(pq)(，p，q) (双条件式转化律)
where T can represent any tautology and F can represent any
contradiction.
Any component of a compound statement can be replaced by any
statement logically equivalent to that statement without changing the
truth value of the statement.
定理1.3.4(代入原理) 永真(假)式的代入实例是永真(假)式.
,定理1.3.5(替换原理) 设A为命题公式 C的子命题公式～若AB～且将C中,A的一处或若干处出现用B代替得到D～则CD.
替换和代入虽都是从一个命题公式变换得到另一个新的命题公式～但代入是对命题变元进行的～且必须同时替换某变元的所有出现(处处代入),而替换的对象则是子命题公式～且只需取代某子命题公式的一处或若干处出现(部分替换). 例1.3.5 Establishes the equivalence:
,,,,,, (qr)(p，r) (pq)r
Assignments:
PP17-19:8～10～12～14～28～30～40～48～52～54～56
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1.4 Axiomatic Systems: Arguments and Proofs
Much of mathematics deals with theorems and proofs of theorems. Theorems are “true” statements about the mathematical system being considered.
A theorem is a statement that can be shown to be true. We demonstrate that a theorem is true with a sequence of statements that form an argument (证明～推理).
Two important questions will arise in the study of mathematics are: (1) When is a mathematical argument valid(correct)? (2) What
methods can be used to construct a valid mathematical argument?
An argument consists of a collection of statements called hypotheses and a statement called its conclusion. A valid
argument is an argument whose conclusion true whenever all the hypotheses are true.
To construct proofs, methods are needed to derive new statements from old ones. The statements used in a proof can include axioms(公理) or postulates(公设), the hypotheses of the theorem to be proved, and previously proved theorems. The rules of inference(推理规则), which are means used to draw conclusions from other assertions, tie together the steps of a proof.
In a mathematical system, all of the information necessary to prove a theorem must be contained in axioms and previously proven theorems.
推理就是从一组已知的命题出发～按照一组推理规则推出新的命题的过程.
已知命题称为推理的前提～推出的命题称为推理的结论. 推理过程是一个有限公
式序列～它以一个前提开始. 它的最后一个公式是结论～其余的公式或者是一个
公理、公设或给定的前提～或者是由若干个在它前面出现的公式的有效结论.
定义1.4.1 Suppose that the implication H?H?…?H ?C is a 12n
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tautology, we say that C logically follows from H,H,…,H. 12n
Virtually all mathematical theorems are composed of implications of the type
H?H?…?H?C 12n
,The H are called the hypotheses(假设) or premises(前提), si
and C is called the conclusion.
To prove the theorem, we are trying to show that C will be true if
all the H are true. i
The first method of showing that an argument is valid is to
construct a truth table and show that whenever all of the hypotheses are true, then the conclusion is true too.
例1.4.1 Determine whether the following argument are valid or not: ,(1) pq
, pr
, qr
？ r
,(2) pq
, qr
r
？ p
解例1.4.1
The second is to use the rules of inference to prove the validity of the conclusion. The various steps in a mathematical proof of a theorem must follow from the use of various rules of inference, and a mathematical proof of a theorem must begin with the hypotheses, proceed through various steps, each justified by some rule of inference, 第 17 页共 47 页 2010-12-27
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and arrive at the conclusion.
In fact, in order to prov e a theorem of the typical form H?H?…?H?C, we begin with the hypotheses H,H,…,H and show 12n12n
that some result C logically follows. Then, using H,H,…,H,C, we
112n1
show that some other result C logically follows. We continue this 2 process, producing int ermediate statements C,C,…,C, called steps in 12k
the proof, until we can finally show that the conclusion C logically follows H,H,…,H, C,C,…,C. Each logical step must be justified by
12n12k
some valid proof technique, based on the rules of inference or
some other rules that come from tautological implications,永真蕴涵式,.
In all, a valid argument is formally a sequence of statements each of which is
(1) A hypothesis
(2) An axiom or postulate
(3) A previously proven theorem or proposition
(4) A statement implied by previous statements as a conclusion of
a valid argument
(5) Logically equivalent to a previous statement
前面讲过的逻辑等价式和永真蕴含式都可以适当地变成可用的推理规则. 常用的有:
(1) Addition rule(附加规则)
p
？,pq
(2) Specialization rule(化简规则)
p,q
？ p
(3) Modus ponens (law of detachment,假言推理,肯定律)
p
p,q
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逻辑式与真值表1
11.4 逻辑式与真值表1 【预习】第三册课本第17至18页内容. 【预习目标】了解逻辑式的定义及真值表的概念. 【导引】 1.逻辑代数式：由常量1,0以及逻辑变量经逻辑运算构成的式子，简称逻辑式． 2.逻辑式真值表：用表格的形式列出逻辑变量的一切可能值与相应的逻辑式的值的表． 3.逻辑变量只能取0或1，所得逻辑式的值也只有0或1． 4.逻辑运算的次序依次为“非运算”“与运算”“或运算”，如果有添加括号的逻辑式，首先要进行括号内的运算． 【试试看】 1.当00AB =时，逻辑式B A AB F +=的值为 . 2.使逻辑式F AB CD =+的值为1的变量组合取值有 （ ） A ．1100ABCD = B ．0101ABCD = C ．1010ABC D = D ．0010ABCD = 【本课目标】了解逻辑式的定义及其对应的真值表的概念，能够进行逻辑式与真值表的互化. 【重点】逻辑式的运算及逻辑式对应的真值表. 【难点】逻辑式与真值表的互化. 【导学】 任务1 理解逻辑式的定义，学会求逻辑式的运算结果. 【例1】写出下列各式的运算结果． （1）011?+ ；（2）001++ ；（3）0101?+? ；（4）0111++? ．
【试金石】写出下列各式的运算结果． （1）101?+ ； （2）()101?+ ； （3）()0100+?+ ； （4）0100?++ ． 任务2 会根据给定的逻辑式写出其对应的真值表. 【例2】列出逻辑式C A B A +的真值表． 【试金石】列出逻辑式AB B A ++的真值表． 【检测】 1. 写出下列各式的运算结果． （1）101+? ； （2）001000++?+? ． 2. 列出逻辑式A B AB ++的真值表．
习题三：真值表与等价公式
习题三：真值表与等价公式 1．求下列各复合命题的真值表。 （1） )(R Q P ∨→ （2） )()(Q P R P →∨∧ （3） )()(P Q Q P ∨?∨ （4） R Q P ∧?∨)( （5） ))()(())(R P Q P R Q P →→→→→→（ 2．试求下列各命题的真值表并解释其结果。 （1） )()(P Q Q P →∧→ （2） P )Q P (→∧ （3） )Q P (Q ∨→ （4） )Q P ()Q P (∨??→ （5） ))Q P ((Q)P (?∧?∧∨? 3．作出下列命题的真值表：并非“室内很冷或很乱”也不是“室外暖和且室内太脏”。 4．试以真值表证明下列命题。 （1） 合取运算之结合律； （2） 析取运算之结合律； （3） 合取（∧）对析取（∨）之分配律； （4） 德.摩根律。
5．有下表求出公式654321,,,,,F F F F F F 。在表上有问号（？）的地方以F 或T 代入都可以，只要所求的公式形式较为简单。 表（1-4.11） 此两个变元的命题公式。 7．证明下列等价试。 （1） )()(B A A A B A ?→→??→→ （2） )()()(B A B A B A ∧?∧∨??? （3） B A B A ?∧?→?)( （4） )()()(B A B A B A ∧?∨?∧??? （5） )))((()))(())(((D B A C D B A C D C B A →?∧?∨∨→∧→∧∧ （6） C B A C B A →?∧?∨→)()( （7） D B A D B D A →∨?→∧→)()()( （8） C A D B C D B C B A →→∧?∨→∧→∧))(())(())(( 8．化简以下各式 （1） C A B B A ∧?→??→))()(( （2） ))((B B A A ?∧∨?∨
恒等式的证明
恒等式的证明
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第五讲恒等式的证明 代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一．本讲主要介绍恒等式的证明．首先复习一下基本知识，然后进行例题分析． 两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等． 把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等． 证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧． 1．由繁到简和相向趋进 恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)． 例1 已知x+y+z=xyz，证明： x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz． 分析将左边展开，利用条件x+y+z=xyz，将等式左边化简成右边． 证因为x+y+z=xyz，所以 左边=x(1-z2-y2-y2z2)+y(1-z2-x2+x2z2)+(1-y2-x2+x2y2) =(x+y+z)-xz2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2 =xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx) =xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx) =xyz+xyz+xyz+xyz =4xyz=右边． 说明本例的证明思路就是“由繁到简”．
逻辑学 习题参考答案
----一、填空： 1、形式逻辑是研究思维的形式及其规律的科学。 2、概念的内涵越多，则外延越小；内涵越少，则外延越大；这种关系叫反变关系。 3、概念的矛盾关系是指a、b两概念的外延没有任何部分重合，其外延之和等于其属概念的外延。如金属和非金属。 4、定义是揭示概念内涵的逻辑方法，划分是揭示概念外延的逻辑方法。 5、当O判断为真时，同素材的判断A 假；E真假不定；I 真假不定。 6、当O判断为假时，同素材的判断A真；E 假；I 真。 7、当A判断为真时，同素材的判断E 假；O为假；I 真。 8、当A判断为真时，同素材的判断E 假；O为假；I 真。 9、关系判断由关系者项、关系项和量项三部分组成。 10、在模态判断中，必然p和可能p之间是差等关系；必然非p与可能p之间是矛盾关系。 11、在“有S不是P”中，逻辑变项是S,P；逻辑常项是有……不是。 12、一个判断的主项周延，则这个判断是全称判断；一个判断的谓项周延，则这个判断是否定判断。 13、若p∨q为真，p为真，则q取值为真假不定；若q为真，则p的取值为真。 14、若一有效三段论的结论为全称肯定判断，则其大前提应为全称肯定判断，小前提应为全称肯定判断。 25、矛盾律的要求是：在同一思维过程中，对于具有上反对和矛盾关系的判断，不应该承认它们都是真的。 26、排中律的要求是：在同一思维过程中，对于具有下反对和矛盾关系的判断，不应该承认它们都是假的。 27、若一有效三段论，其小前提为特称否定判断，则其大前提应为全称肯定判断，结论应为特称否定判断。 28、若一有效三段论，其大前提为MIP，则其小前提应为MAS，结论应为SIP。 28、思维的逻辑规律包括同一律、矛盾律、排中律和充足理由律。 29若p→q为真，则当p为真时，q的取值为真；当p为假时，q的取值为可真可假。 30、三段论第一格的特殊规则是：（1）小前提必须是肯定判断、大前提必须是全称判断。 31、复合判断包括联言判断、选言判断、假言判断和负判断等形式。 32、“只有请外国人当教练，中国足球才能走向世界。”这一判断的负判断的等值判断为就 算沒有请外国人当教练，中国足球也能走向世界。用符号表示为p∧ q。（看不清负号在 哪） 33、“我班同学都是南方来的。因此，南方来的都是我班同学。”上述推理违背了换位法推理中前提中不周延的项，结论里也不得周延的规则。正确的推理应为我班同学都是南方来的。因此，有些南方来的是我班同学。 34、在充分条件的假言判断中，前件真则后件真，前件假则后件假。 35、“只有多喝水，才能减肥”。上述假言判断的负判断是并非只有多喝水，才能减肥，用符号表示为 p←q 。 36、根据概念外延之间重合情况，可以将概念间的关系分为全同关系、真包含关系、真包含于关系、交叉关系和全异关系。 37、“苹果就是长在树上的水果”，这一定义犯了定义过宽的规则，“文学可分为戏剧、散
三角恒等式证明9种基本技巧
三角恒等式证明9种基本技巧 三角恒等式的证明是三角函数中一类重要问题，这类问题主要以无条件和有条件恒等式出现。根据恒等式的特点，可采用各种不同的方法技巧，技巧常从以下各个方面表示出来。 1．化角 观察条件及目标式中角度间联系，立足于消除角间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是证明三角恒等式时一种常用技巧。 例1求证：tan 23x - tan 21x =x x x 2cos cos sin 2+ 思路分析：本题的关键是角度关系：x=23x -2 1 x ，可作以下证明： 2．化函数 三角函数中有几组重要公式，它们不仅揭示了角间的关系，同时揭示了函数间的相互关系，三角变换中，以观察函数名称的差异为主观点，以化异为为同（如化切为弦等）的思路，恰当选用公式，这也是证明三角恒等式的一种基本技巧。 例2 设A B A tan )tan(-+A C 22sin sin =1，求证：tanA 、tanC 、tanB 顺次成等比数列。 思路分析：欲证tan 2 C = tanA ·tanB ，将条件中的弦化切是关键。 3．化幂 应用升、降幂公式作幂的转化，以便更好地选用公式对面临的问题实行变换，这也是三角恒等式证明的一种技巧。 例3求证 cos4α-4cos2α+3=8sin 4 α 思路分析：应用降幂公式，从右证到左：
将已知或目标中的常数化为特殊角的函数值以适应求征需要，这方面的例子效多。如 1=sin 2 α+cos 2 α=sec 2 α-tan 2 α=csc 2 α-cot 2 α=tan αcot α=sin αcsc α=cos αsec α，1=tan450 =sin900 =cos00 等等。如何对常数实行变换，这需要对具体问题作具体分析。 例4 求证 αααα2 2sin cos cos sin 21--=α α tan 1tan 1+- 思路分析：将左式分子中“1”用“sin 2 α+cos 2 α”代替，问题便迎刃而解。 5．化参数 用代入、加减、乘除及三角公式消去参数的方法同样在证明恒等式时用到。 例5 已知acos 2 α+bsin 2 α=mcos 2 β，asin 2 α+bcos 2 α=nsin 2 β，mtan 2 α=ntan 2 β(β≠n π) 求证：(a+b)(m+n)=2mn 6．化比 一些附有积或商形式的条件三角恒等式证明问题，常可考虑应用比例的有关定理。用等比定理，合、分比定理对条件加以变换，或顺推出结论，或简化条件，常常可以为解题带来方便。 例6 已知(1+ cos α)(1- cos β)=1- 2 ( ≠0，1)。求证：tan 2 2α= -+11tan 22 β 思路分析：综观条件与结论，可考虑从条件中将 分离出来，以结论中 -+11为向导，应用合比定理即可达到论证之目的。
恒等证明-第4讲恒等式证明竞赛班教师版
第四讲 利用恒等式解题 代数式的恒等变形可以认为是解决数学问题必不可少的一种变形（运算）的方式。将已知、求证的式子进行适当、巧妙的变形，使问题得到解决，也是衡量一个同学数学能力的标准之一。因此，国内外各级数学竞赛试题中，都有大量涉及恒等变形的试题。 一、 基础知识 1． 恒等变形的意义 如果一个等式中的字母取允许范围内的任意一个值，等式总能成立，那么这个等式叫做恒等式；把一个式子变形为与原式恒等的另一种不同形式的式子，这种变形叫做恒等变形。 2． 恒等变形的分类 恒等变形主要分为无条件限制等式和有条件限制等式变形两大类； 恒等变形主要形式可概括为整式变形、分式变形和根式变形。 3． 三种数学方法在恒等变形中的体现 初中同学接触到的数学方法在恒等变形中的体现主要有：换元法、配方法、待定系数法。 二、 例题部分－分式部分 例1．（★，1999年北京市）不等于0的三个正数a 、b 、c 满足1111 a b c a b c ++= ++，求证：a 、b 、c 中至少有两个互为相反数。 《初中数学竞赛同步辅导》，华中师范大学出版社，P113，例5 例2．（★）不等于0的三个正数a 、b 、c 满足 1111 a b c a b c ++= ++，求证：对任意整数n ， 21 21 21 212121 1 111 n n n n n n a b c a b c ------++= ++； 《初中数学竞赛同步辅导》，华中师范大学出版社，P116，4 《奥数教程》初二年级，华东师范大学出版社，P90，例3 例3．（★）设a 、b 、c 都不为0，2a b c ++=，1111 2 a b c ++=；求证：a ，b ，c 中至少有一个等于2； 【证明】：由 11112a b c ++=，得2abc ab bc ca =++，故()()0a b c ab bc ca abc ++++-= 从而()()()0a b b c c a +++=，若a ＋b ＝0，则c ＝2，其余类似； 例4．（★★）若x 、y 、z 不全相等，且111 x y z p y z x + =+=+=，求所有可能得p ，并且证明：0xyz p += 【证明】：由x 、y 、z 不全相等，则x 、y 、z 必互不相等；∵1 p z x =+ ，及1x p y =-，得1y p z yp =+-，
逻辑大题1到8卷
大题一 四、图表题(共20分，1小题7分，2小题7分，3小题6分) 1.已知：a、b、c、d是概念，且 1)没有一个a是d，且也没有一个b是d。 2)a与b交叉。 3)c真包含于b。 请用欧拉图表示a、b、c、d可能的外延关系。 2.已知：某球队在三个前锋A、B、C中要派一个上场。教练征求领队、副教练和队医的意见，三人陈述如下： 领队：只要A不上场，B就上场。副教练：除非B不上场，C才上场。 队医：要么B上场，要么或者A上场或者C不上场。 请用真值表的方法回答下列问题： 真值表的行数可以根据需要增加或减少。请据表回答： 1)教练采纳一人的意见，上场？ 2)教练采纳二人的意见，上场？ 3)教练采纳三人的意见，上场？ 2.请用简化真值表的方法判定下面的推理是否有效。 p→q∨r, q →(?p→r), ?r∨(q←?p) ├? (p?q?r) 五、分析题（共20分，每小题5分） 写出1、2、3小题的推理形式，推理是否正确，为什么？ 1. 所有的律师都是司法工作者，因此，有些司法工作者不是律师。 2. 如果张某是自杀致死的，那么，他或有自杀原因，或者身上不应有搏斗伤痕。经查他身上没有搏斗伤痕但有自杀原因，所以，张某是自杀致死的。 3. 用10克、20克、40克的马铃薯块分别种在同一块田里，施肥、光照、水分、 管理等等情况都一样，结果，10克块茎的产量是245克，20克和40克块茎的 产量分别是430克和535克，可见，播种大块的马铃薯块茎，能提高产量。【共变法】 4. 甲：或者所有的S都是P，或者有M不是P。 乙：有的S不是P，并且所有的M是P。 丙：甲和乙说的都对。 丁：甲和乙说的都不对。 请问：丙与丁谁违反了逻辑基本规律，为什么？ 六、证明题（10分） 已知：四个有效三段论，它们的式相同，格不同，其大、小前提的主项都周延。 写出它们的形式，并写出推导过程。 七、综合题（10分） A、B、C、D涉嫌参与某一案件，公安人员已掌握： 1、如果B不参与，那么A不参与。 2、或者D参与，或者A和C同时参与。
三角函数恒等式的证明
三角形内有关角的三角函数恒等式的证明 张思明 课型和教学模式：习题课，“导学探索，自主解决”模式 教学目的： （1）掌握利用三角形条件进行角的三角函数恒等式证明的主要方法，使学生熟悉三角变换的一些常用方法和技巧（如定向变形，和积互换等）。 （2）通过自主的发现探索，培养学生发散、创造的思维习惯和思维能力，体验数形结合、特殊一般转化的数学思想。并利用此题材做学法指导。 （3）通过个人自学、小组讨论、互相启发、合作学习，培养学生自主与协作相结合的学习能力和敢于创新，不断探索的科学精神。 教学对象：高一（5）班 教学设计： 一．引题：（A，B环节） 1．1复习提问：在三角形条件下，你能说出哪些有关角的三角恒等式？ 拟答： ， …… ， ，
…… 这些结果是诱导公式，的特殊情况。 1．2今天开始的学习任务是解决这类问题：在三角形条件下，有关角的三角恒等式的证明。学习策略是先分若干个学习小组（四人一组），分头在课本P233---P238，P261-266的例题和习题中，找出有三角形条件的所有三角恒等式。 1．3备考：期待找出有关△ABC内角A、B、C的三角恒等式有： （1）P233：例题10：sinA+sinB+sinC=4cosA/2cosB/2cosC/2 (2)P238:习题十七第6题：sinA+sinB-sinC=4sinA/2sinB/2cosC/2. (3) cosA+cosB+cosC=1+4sinA/2sinB/2sinC/2. (4) sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC. (5)cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC. (6)P264:复参题三第22题：tgA+tgB+tgC = tgAtgBtgC. (7) 也许有学生会找出:P264--（23）但无妨。 1．4请各组学生分工合作完成以上恒等式的证明： 提示：建议先自学例题10，注意题目之间的联系，以减少证明的重复劳动。 二．第一层次的问题解决（C，D环节） 2．1让一个组上黑板，请学生自主地挑出有“代表性”的3题（不超过3题）书写证明过程。然后请其他某一个组评判或给出不同的证法。 证法备考：（1）左到右：化积---->提取----->化积。 （2）左到右：化积---->提取----->化积sin(A+B)/2=cosC/2
逻辑学 简单习题及答案
第三章 复合命题及推理 练习题 1 一、写出下列复合命题的形式。（每小题5分，共35分） 1．甲、乙、丙中至少有一个是上海人。 令：p表示“甲上海人” q表示“乙是上海人” r表示“丙是上海人” 原命题的形式是：p ∨q ∨r 或：﹁（﹁p∧﹁q∧﹁r） 2．甲、乙、丙并非都是上海人。 令：p表示“甲上海人” q表示“乙是上海人” r表示“丙是上海人” 原命题的形式是：﹁（p∧ q∧ r） 或：﹁p ∨﹁q ∨﹁r 3．明天我们或者去看电影，或者去看展览，要不然就去游泳。 令：p表示“我们明天去看电影” q表示“我们明天去看展览” r表示“我们明天去游泳” · 原命题的形式是：（p ∨q） r ∨ 4．请勿在场内吸烟、随地吐痰、乱扔杂物，违者罚款。 令：p表示：“在场内吸烟。” q表示：“在场内随地吐痰。” r表示：“在场内乱仍杂物。” s表示：“被罚款。” 原命题的形式是：p∨ q∨ r → s 5. 如果遭遇敌人，敌人势力小，就消灭它再走；敌人多，就一面抵抗，一面通过。 方法一：令：p表示：“遭遇敌人。” q表示：“敌人势力小。” r表示：“消灭敌人再走。” s表示：“敌人多。” t表示：“一面抵抗，一面通过。” 原命题的形式是：（p∧q→ s）∧（p∧s→ t） 方法二：令：p表示：“遭遇敌人。” q表示：“敌人势力小（敌人少）。” r表示：“消灭敌人再走。” t表示：“一面抵抗，一面通过。” 原命题的形式是：（p∧q→ s）∧（p∧﹁q→ t） 方法三：令：p表示：“遭遇敌人。” q表示：“敌人势力小。” r表示：“消灭敌人再走。” s表示：“敌人多。”
t表示：“抵抗” u表示：“通过” 原命题的形式是：（p∧q→ s）∧（p∧s→ t∧u） 6. 承认不懂，才能从不懂变懂；承认不会，才能从不会变会。 令：p表示：“承认不懂。” q表示：“从不懂变懂。” r表示：“承认不会。” s表示：“从不会变会。” 原命题的形式是：(p←q)∧( r←s) 7．要是不立即做手术，这伤员很快就会死亡；要是做手术而不输血，那也还是难免死亡。 令：p表示：“立即做手术。” q表示：“伤员会死亡。” r表示：“输血。” 原命题的形式是：（﹁p→q）∧（p∧﹁r→ q） 二、写出下列推理的形式，并判断其形式是否正确。若正确，说明其使用了什么规则；若不正确，请说明原因。（每小题8分，共40分） 1．要是这个降落的球不受外力影响，它就不会改变降落方向；它没有改变降落方向，因此，它一定没有受到外力影响。 令：p表示：“这个降落的球不受外力影响。” q表示：“这个球不改变方向。” 上述推理的形式是：p→ q，q ├ p 这个推理形式不正确，因为根据充分条件假言命题的逻辑特性，肯定后件，不能必然由此肯定前件。 2．他只有熟悉法律，才能当法官；他没能当法官，可见，他不熟悉法律。 令：p表示：“他熟悉法律。” q表示：“他当法官。” 上述推理的形式是：p← q，﹁q ├﹁p 这个推理形式不正确，因为根据必要条件假言命题的逻辑特性，否定后件，不能必然由此否定前件。 3．发明永动机只是天真的梦想。因为，如果真能发明永动机，那么，能量守恒定律就不起作用了；而该定律是正确的。 令：p表示：“能发明永动机。” q表示：“能量守恒定律起作用。” 上述推理的形式是：p→﹁q，q ├﹁p 上述推理形式正确，使用的是充分条件假言推理的否定后件式。 4．如果2号队员伤病已痊愈并且恢复了竞技状态，那么，他就会被派上场。2号队员伤病已痊愈，但没有被派上场。所以，他还没有恢复竞技状态。 令：p表示：“2号队员伤病已痊愈。” q表示：“2号队员恢复了竞技状态。” r表示：“2号队员被派上场。” 上述推理的形式是：(p∧q)→ r，p，﹁r├﹁q 上述推理形式正确，使用的是反三段论。
逻辑式与真值表
课题：逻辑式与真值表 课时：两课时 教学目标：1、了解逻辑式的概念； 2、会填写逻辑式的真值表； 3、理解等值逻辑式的涵义； 4、能够判断逻辑式是否等值 教学重点：理解等值逻辑式的概念，并能判断逻辑式是否等值。 教学难点：填写逻辑式的真值表 教学过程： 一、创设情境，导入课题 A 、A ·（B+C ）、[(A B)+C] + D 、1、0 有常量1、0以及逻辑变量经逻辑运算构成的式子叫做逻辑代数式，简称逻辑式。 逻辑运算的优先次序依次为“非运算”、“与运算”、“或运算”，如果有添加括号的逻辑式，首先要进行括号内的运算。 二、动脑思考，探索新知 列出逻辑变量的一切可能取值与相应的逻辑式的值的表，叫做逻辑式的真值表。 问题1：试写出AB B A +?的真值表。 A B AB B A +? 1 1 1 0 0 1 0 分析：可以先写出B A ?和AB ，再计算AB B A +? 问题2：试写出B A +与B A ?的真值表，并观察它们值的关系 A B A+B B A + A B B A ? 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1
如果对于逻辑变量的任何一组取值，两个逻辑式的值都相等，这样的两个逻辑式叫做等值逻辑式，等值逻辑式可用“=”连接，并称为等式。需要注意，这种相等是状态的相同。 问题3：用真值表验证下列等式是否成立 A·（B+C）=A·B+A·C A B C B+C A·（B+C）A·B A·C A·B+A·C 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 可以看出对于逻辑变量的任何一组值，A·（B+C）与A·B+A·C的值都相同，所以A·（B+C）=A·B+A·C。 随堂练习 1.填写下列真值表，并判断有没有等值逻辑式 （1） A B A·B B A?B A+ （2） A B A+B B A? A+B
试用列真值表的方法证明下列异或运算公式
[2-1] 试用列真值表的方法证明下列异或运算公式。 （1）A A =⊕0 （2）A A =⊕1 （3）0=⊕A A （4）1=⊕A A (5)B A ⊕=A ⊙B (6)()A B C AB AC ⊕=⊕ [2-2]证明下列等式（方法不限） (1)AB BC AC AB BC AC ??=++ (2) ()()()AB BC AC A B B C A C ++=+++ （3）AB AC AB AC +=+ （4）()()()A C B D B D AB BC +++=+ [2-3] 写出下列函数的对偶式及反函数： (1)Y AB CD =+ （2）Y A B C D E =++++ （3）Y AB C D BC D C E D E =++++++ （4）()Y A C BD AC AC D E ??=+++?? （5）()Y ABC A B C AB BC AC =+++++ （6）()Y AD B C D =++ [2-4] 已知逻辑函数的真值表如表P1-1（a ）、（b ）,试写出对应的逻辑函数式。 表 表P1-1（b ）
[2-5] 用逻辑代数的基本公式和常用公式将下列逻辑函数化为最简与或形式 （1）B A B B A Y ++= （2）C B A C B A Y +++= （3）B A BC A Y += （4）()()()()Y A B A B C A C B C D =++++++ （5） ） ）（（B A C B AD CD A B A Y +++= （6））（）（CE AD B BC B A D C AC Y ++++= （7）Y AC ABC ACD CD =+++ （8）)( )(C B A C B A C B A Y ++++++=）（ （9））（）（D A D A B AD D A B E C AB C B Y +++++= （10）F E AB E D C B E D C B E D B F E B A D C A AC Y +++⊕+++= ） （ [2-6] 写出图P2-1中各逻辑图的逻辑函数式，并化简为最简与或式。 图2－1 [2-7] 将下列各函数式化为最小项之和的形式。
《离散数学》双语教学 第一章 真值表,逻辑和证明
《离散数学》双语教学第一章真值表，逻辑和证明《离散数学》双语教学第一章真值表，逻辑和证明 CHAPTER 1 TRUTH TABLES, LOGIC, AND PROOFS Glossary statement, proposition:命题 logical connective:命题联结词 compound statement:复合命题 propositional variable:命题变元 negation:否定(式) truth table:真值表 conjunction:合取 disjunction:析取 propositional function:命题公式fallacy: 谬误 syllogism:三段论 universal quantification:全称量词化 existential quantification:存在量词化 hypothesis(premise): 假设～前提～前件 conditional statement, implication:条件式～蕴涵式 consequent, conclusion:结论～后件 converse:逆命题 contrapositive:逆否命题 biconditional, equivalence:双条件式～等价 (逻辑)等价的 logically equivalent: contingency:可满足式 tautology:永真式(重言式) contradiction, absurdity:永假(矛盾)式 logically follow:是…的逻辑结论 argument:论证
axioms:公理 第 1 页共 47 页 2010-12-27 《离散数学》双语教学第一章真值表，逻辑和证明 postulate:公设 rules of reference:推理规则 modus ponens:肯定律 modus tollens:否定律 reductio ad absurdum:归谬律 proof by contradiction:反证法 counterexample:反例 minterm:极小项 disjunctive normal form:主析取范式 maxterm:极大项 conjunctive normal form:主合取范式 第 2 页共 47 页 2010-12-27 《离散数学》双语教学第一章真值表，逻辑和证明 本章内容及教学要点: 1.1 Statements and Connectives 教学内容:statements(propositions)～compound statement～ connectives:negation～conjunction～disjunction～truth tables 1.2 Conditional Statements 教学内容:implications(conditional statements)～biconditional～equivalent～and quantifications 1.3 Equivalent Statements 教学内容:logical equivalence～converse～inverse～contrapositive～tautology～contradiction(absurdity)～contingency～properties of logical connectives
链接版第一章真值表、逻辑和证明
CHAPTER 1 TRUTH TABLES, LOGIC, AND PROOFS Glossary statement, proposition：命题 logical connective：命题联结词 compound statement：复合命题 propositional variable：命题变元 negation：否定(式) truth table：真值表 conjunction：合取disjunction：析取 propositional function：命题公式 fallacy: 谬误 syllogism：三段论 universal quantification：全称量词化 existential quantification：存在量词化 hypothesis(premise)：假设，前提，前件 conditional statement, implication：条件式，蕴涵式 consequent, conclusion：结论，后件 converse：逆命题 contrapositive：逆否命题 biconditional, equivalence：双条件式，等价 logically equivalent：(逻辑)等价的 contingency：可满足式 tautology：永真式(重言式) contradiction, absurdity：永假(矛盾)式 logically follow：是…的逻辑结论 argument：论证 axioms：公理
postulate：公设 rules of reference：推理规则 modus ponens：肯定律 m odus tollens：否定律 reductio ad absurdum：归谬律 proof by contradiction：反证法counterexample：反例 minterm：极小项 disjunctive normal form：主析取范式maxterm：极大项 conjunctive normal form：主合取范式
数理逻辑
数理逻辑 引言 逻辑思想 亚里士多德欧几里德几何 逍遥学派斯多葛学派 麦加拉学派智者派 经院哲学经院逻辑 培根穆勒黑格尔康德 形式逻辑 数理方向 莱布尼茨 布尔 弗雷格 罗素皮亚诺 1903年《数学原则》 两个演算经典逻辑非经典逻辑 ●经典逻辑的一些基本特征： 1.是外延逻辑。 2.是二值逻辑。 3.承认排中律。 反证法：假设非A（即A未假），如果推出了逻辑矛盾，就能得到A。 4.承认矛盾律。 5.不含有模态词。 6.使用实质蕴涵。 7.是确定的、保真的推理。 8.基于离散性的逻辑 ●20世纪初以来新兴的非经典逻辑： 1.内涵逻辑（外延原则：用内涵不同但真值相同的命题去替换复合命题中的支命题，复合命题真值保持不变） 2.多值逻辑（将来可能命题） 3.模态逻辑 4.直觉主义逻辑 5.弗协调逻辑 6.相干逻辑、衍推逻辑 7.条件句逻辑 8.模糊逻辑概率逻辑辩证逻辑…… ●数理逻辑的应用领域： ——服务于哲学研究。 ——服务于数学研究。 ——服务于语言学研究。 ——服务于自然科学研究。 ——服务于计算机科学。 ●第一编命题逻辑的基本内容：
第一章主要介绍命题逻辑的一些比较重要的基本概念。主要包括命题、命题的真值、真值联结词、真值形式、真值函项、真值表、简化真值表、重言式、推理的形式结构、重言等值式等等。 第二章主要介绍公理化的命题演算系统。主要包括公理化的方法、命题演算形式系统、命题演算的定理的推演和证明、求否定运算和求对偶运算。 第三章主要介绍同一真值函项，不同表达式的标准表达形式——范式、优范式，以及命题演算系统的一致性、完全性，还有公理的独立性。 第四章主要是介绍了一些不同符号体系的命题逻辑以及不同于古典命题演算的其它命题演算系统(多值、直觉主义、模糊、模态、相干等)。 第一篇命题逻辑 ●“命题” 的两种理解 这是一本书。 This is a book. 此乃书也。 ●命题逻辑狭谓词逻辑谓词逻辑 命题逻辑，以简单命题作为研究基本单位，而不再对简单命题进行结构上的分析。 谓词逻辑，对简单命题进行了进一步的分解，它把命题分析到了个体变项、谓词和量词。 狭谓词逻辑，仅研究量词作用于个体变项。（广义谓词逻辑进行了进一步的推广，还研究量词作用于命题变项和谓词变项） 一·一简单命题复合命题命题的真值 ●简单命题：不包含其它的命题成分的命题。 ●复合命题：就是包含其它命题成分的。 基本的复合命题有哪些？ ●命题的真假 上海或者是中国最大的城市，或者不是中国最大的城市。 真值表中给出的真假是事实真假还是逻辑真假？ 复合命题的真假是怎样确定的？ 一·二真值联结词 自然语言联结词真值联结词真值联结词的名称 并非?否定 或者∨析取并且∧合取 若，则→蕴涵 当且仅当?等值一·三五个基本真值联结词 ●五个真值联结词的真值特征 1．否定的真值特征：总是取反值。 2．析取的真值特征：同假它为假，否则它为真； 3．合取的真值特征：同真它为真，否则它为假； 4．蕴涵的真值特征：前真后假它为假；否则它为真； 5．等值的真值特征：同真同假它为真，否则它为假。 ▲命题联结词的逻辑含义和自然语言联结词的含义并不完全相同。 1. 否定词与“并非”、“不” 2. 合取词与“并且”
第4章 布尔代数和逻辑简化 (2011)
第4章布尔代数和逻辑简化 本章大纲 4.1 布尔运算和表达式 4.2 布尔代数的定律和法则 4.3 狄摩根定理 4.4 逻辑电路的布尔分析 4.5 用布尔代数进行简化 4.6 布尔表达式的标准形式 4.7 布尔表达式和真值表 4.8 卡诺图 4.9 卡诺图SOP最小化 4.10 卡诺图POS最小化 4.11 5变量卡诺图 本章学习目标 ■应用布尔代数的基本定律和法则 ■应用狄摩根定理到布尔表达式 ■用布尔表达式描述逻辑门网络 ■计算布尔表达式 ■使用布尔代数的定理和法则简化表达式 ■变换任意的布尔表达式为乘积加和(SOP)形式 ■变换任意的布尔表达式为加和乘积(POS)形式 ■使用卡诺图简化布尔表达式 ■使用卡诺图简化真值表函数 ■使用“无关紧要”条件简化逻辑功能 ■在系统应用中使用布尔代数和卡诺图方法 重要术语 ■变量 ■反码 ■加和项 ■乘积项 ■乘积的加和(SOP) ■加和的乘积(POS) ■卡诺图 ■最小化 ■“无关紧要” ■ PAL 简介 1854年，乔治·布尔(George Boole)出版了一本著作，题目为《思想定律的调查研究并基于此建立了逻辑和概率的数学理论》。这篇著作中公式化的“逻辑代数”，今天被称为布尔代数。布尔代数是表示以及分析逻辑电路运算的一种方便而系统的方法。克劳德·香
农(Claude Shannon)第一次应用布尔的工作来分析和设计逻辑电路。1938年，香农在MIT 写了一篇论文，题目是《延迟和转换电路的符号分析》。 本章介绍了布尔代数的定律、法则和定理，以及它们在数字电路上的应用。你将学习 怎样用布尔表达式来定义一个给定的电路，然后计算它的运算。你还会学习怎样使用布尔 代数和卡诺图来简化逻辑电路。 4.1 布尔运算和表达式 布尔代数是关于数字系统的数学。布尔代数的基本知识对于学习和分析逻辑电路是必 不可少的。在上一章中，对于非、与、或、与非以及或非门相关的布尔运算和表达式已经 得到了介绍。本节复习了上述内容并提供了附加的定义和信息。 学完本节之后，你应当能够 ■ 定义变量 ■ 定义文字 ■ 识别加和项 ■ 计算加和项 ■ 识别乘积项 ■ 计算乘积项 ■ 解释布尔加法 ■ 解释布尔乘法 布尔代数中所使用的术语为变量、反码和文字。变量是用以表示逻辑量的符号（通常 是斜体大写字母）。一个单变量可以具有1或者0的数值。反码是变量的反相，并且由变量 上方的横杠（上划杠）表示。例如，变量A 的反码是A — 。如果A = 1，那么A — = O 。如果A = 0，那么A — = 1。变量A 的反码读作“A 非”或者“A 横杠”。有时候用撇符号而不是 上划杠来指示变量的反码；例如，B '就表示B 的反码。在本书中，使用的是上划杠。文字 是一个变量或者变量的反码。 在微处理器中，算术逻辑单元(ALU)根据程序的指令，对数字数据执 行算术和布尔逻辑运算。逻辑运算等价于你所熟悉的门运算，但是每次至少处理8位。布 尔逻辑指令的例子为与、或、非和异或，它们被称为助记符。汇编语言程序使用助记符来 指定运算。另一个称为汇编器的程序将助记符翻译成可以被微处理器理解的二进制代码。 布尔加法 □ 或门就是一个布尔加法器 记得在第3章中，布尔加法等价于或运算，其基本法则用或门表示如下： _ 在布尔代数中，加和项是文字的加和。在逻辑电路中，加和项由或运算所生成，并没 有涉及到与运算。加和项的一些例子为C B A B A B A ++++、、和D C B A +++。
离散数学,逻辑学,命题公式求真值表
离散逻辑学实验 班级：10电信实验班学号：Q 姓名：王彬彬 一、实验目的 熟悉掌握命题逻辑中的联接词、真值表、主范式等，进一步能用它们来解决实际问题。 二、实验内容 1. 从键盘输入两个命题变元P和Q的真值，求它们的合取、析取、条件和双条件的真值。（A） 2. 求任意一个命题公式的真值表（B，并根据真值表求主范式（C）） 三、实验环境 C或C＋＋语言编程环境实现。 四、实验原理和实现过程（算法描述） 1.实验原理 （1）合取：二元命题联结词。将两个命题P、Q联结起来，构成一个新的命题P∧Q, 读作P、Q的合取, 也可读作P与Q。这个新命题的真值与构成它的命题P、Q的真值间的关系为只有当两个命题变项P = T, Q = T时方可P∧Q =T, 而P、Q只要有一为F则P∧Q = F。这样看来，P∧Q可用来表示日常用语P与Q, 或P并且Q。 （2）析取：二元命题联结词。将两个命题P、Q联结起来，构成一个新的命题P∨Q, 读作P、Q的析取, 也可读作P或Q。这个新命题的真值与构成它的命题P、Q的真值间的关系为只有当两个命题变项P = F, Q = F时方可P∨Q =F, 而P、Q只要有一为T则P∨Q = T。这样看来，P∨Q可用来表示日常用语P或者Q。 （3）条件：二元命题联结词。将两个命题P、Q联结起来，构成一个新的命题P→Q, 读作P条件Q, 也可读作如果P，那么Q。这个新命题的真值与构成它的命题P、Q的真值间的关系为只有当两个命题变项P = T, Q = F时方可P→Q =F,
其余均为T。 （4）双条件：二元命题联结词。将两个命题P、Q联结起来，构成一个新的命题P←→Q, 读作P双条件于Q。这个新命题的真值与构成它的命题P、Q的真值间的关系为当两个命题变项P = T, Q =T时方可P←→Q =T, 其余均为F。 （5）真值表:表征逻辑事件输入和输出之间全部可能状态的表格。列出命题公式真假值的表。通常以1表示真，0 表示假。命题公式的取值由组成命题公式的命题变元的取值和命题联结词决定，命题联结词的真值表给出了真假值的算法。真值表是在逻辑中使用的一类数学表，用来确定一个表达式是否为真或有效。 （6）主范式： 主析取范式：在含有n个命题变元的简单合取式中,若每个命题变元与其否定不同时存在,而两者之一出现一次且仅出现一次,称该简单合取式为小项。由若干个不同的小项组成的析取式称为主析取范式;与A等价的主析取范式称为A的主析取范式。任意含n个命题变元的非永假命题公式A都存在与其等价的主析取范式,并且是惟一的。 主合取范式：在含有n个命题变元的简单析取式中,若每个命题变元与其否定不同时存在,而两者之一出现一次且仅出现一次,称该简单析取式为大项。由若干个不同的大项组成的合取式称为主合取范式;与A等价的主合取范式称为A的主合取范式。任意含n个命题变元的非永真命题公式A都存在与其等价的主合取范式,并且是惟一的。 五、代码设计结果：
数字电路与逻辑设计习题 2第二章逻辑函数及其简化
第二章逻辑函数及其简化 一、选择题 1. 以下表达式中符合逻辑运算法则的是 。 A.C ·C=C 2 B.1+1=10 C.0<1 D.A+1=1 2. 逻辑变量的取值１和０可以表示： 。 A.开关的闭合、断开 B.电位的高、低 C.真与假 D.电流的有、无 3. 当逻辑函数有n 个变量时，共有 个变量取值组合？ A. n B. 2n C. n 2 D. 2n 4. 逻辑函数的表示方法中具有唯一性的是 。 A .真值表 B.表达式 C.逻辑图 D.卡诺图 5.F=A B +BD+CDE+A D= 。 A.D B A + B.D B A )(+ C.))((D B D A ++ D.))((D B D A ++ 6.逻辑函数F=)(B A A ⊕⊕ = 。 A.B B.A C.B A ⊕ D. B A ⊕ 7．求一个逻辑函数F 的对偶式，可将F 中的 。 A .“·”换成“+”，“+”换成“·” B.原变量换成反变量，反变量换成原变量 C.变量不变 D.常数中“0”换成“1”，“1”换成“0” E.常数不变 8．A+BC= 。 A .A+ B B.A+ C C.（A+B ）（A+C ） D.B+C 9．在何种输入情况下，“与非”运算的结果是逻辑0。 A ．全部输入是0 B.任一输入是0 C.仅一输入是0 D.全部输入是1 10．在何种输入情况下，“或非”运算的结果是逻辑0。 A ．全部输入是0 B.全部输入是1 C.任一输入为0，其他输入为1 D. 任一输入为1 二、判断题（正确打√，错误的打×） 1． 逻辑变量的取值，１比０大。（ ）。 2． 异或函数与同或函数在逻辑上互为反函数。（ ）。 3．若两个函数具有相同的真值表，则两个逻辑函数必然相等。（ ）。 4．因为逻辑表达式A+B+AB=A+B 成立，所以AB=0成立。（ ）