高考数学一轮复习第二章函数第三节函数的奇偶性与周期性夯基提能作业本文

第三节函数的奇偶性与周期性

A组基础题组

1.下列函数中,既是偶函数又在(0,∞)上是减函数的是( )

A.y=x1

B.y=ln x2

C.y=

D.y=x2

2.已知函数f(x)=3x,则f(x)( )

A.是偶函数,且在R上是增函数

B.是奇函数,且在R上是增函数

C.是偶函数,且在R上是减函数

D.是奇函数,且在R上是减函数

3.设f(x)是定义在R上周期为3的函数,当x∈[2,1)时, f(x)=则f=( )

A.0

B.1

C.

D.1

4.已知偶函数f(x)在区间[0,∞)上单调递增,则满足f(2x1)

A. B.

C. D.

5.奇函数f(x)的定义域为R,若f(x1)为偶函数,且f(1)=2,则f(4)f(5)的值为( )

A.2

B.1

C.1

D.2

6.若函数f(x)=ln(ax)是奇函数,则a的值为.

7.函数f(x)在R上为奇函数,且当x>0时, f(x)=1,则当x<0时, f(x)= .

8.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且f(x)g(x)=,则f(1),g(0),g(1)之间的大小关系是.

9.(2018贵州贵阳质检)设f(x)的定义域为(∞,0)∪(0,∞),且f(x)是奇函数,当x>0时, f(x)=.

(1)求当x<0时, f(x)的解析式

(2)解不等式f(x)<.

10.已知函数f(x)=是奇函数.

(1)求实数m的值

(2)若函数f(x)在区间[1,a2]上单调递增,求实数a的取值范围.

B组提升题组

1.若f(x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时, f(x)=x1,则不等式xf(x)>0在[1,3]上的解集为( )

A.(1,3)

B.(1,1)

C.(1,0)∪(1,3)

D.(1,0)∪(0,1)

2.(2017四川成都第二次诊断检测)已知函数f(x)的定义域为R,当x∈[2,2]时, f(x)单调递减,且函数f(x2)为偶函数,则下列结论正确的是( )

A.f(π)

B.f(π)

C.f()

D.f()

3.设f(x)是(∞,∞)上的奇函数, f(x2)=f(x),当0≤x≤1时, f(x)=x.

(1)求f(π)的值

(2)当4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积.

4.函数f(x)的定义域D={x|x≠0},且满足对任意x1、x2∈D,有f(x1x2)=f(x1)f(x2).

(1)求f(1)的值

(2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论

(3)如果f(4)=1, f(x1)<2,且f(x)在(0,∞)上是增函数,求x的取值范围.

答案精解精析

A组基础题组

1.D 由函数的奇偶性排除A、C,由函数的单调性排除B,由y=x2的图象可知,当x>0时,此函数为减函数,又该函数为偶函数,故选D.

2.B 本题考查函数的奇偶性、单调性.

易知函数f(x)的定义域为R,

∵f(x)=3x=3x=f(x),∴f(x)为奇函数,

又∵y=3x在R上为增函数,y=在R上为增函数,

∴f(x)=3x在R上是增函数.故选B.

3.D 因为f(x)是周期为3的周期函数,所以f=f=f=4×2=1,故选D.

4.A 由f(x)是偶函数知f(x)=f(|x|),则f(2x1)

|2x1|<,解这个不等式即得x的取值范围是.故选A.

5.A 设g(x)=f(x1),∵f(x1)为偶函数,

∴g(x)=g(x),

即f(x1)=f(x1),

∵f(x)是奇函数,

∴f(x1)=f(x1)=f(x1),

∴f(x2)=f(x), f(x4)=f(x)=f(x2)=f(x),

则f(4)=f(0)=0, f(5)=f(1)=2,

∴f(4)f(5)=02=2,故选A.

6.答案±1

解析∵f(x)=ln(ax)是奇函数,∴f(x)f(x)=0,

即ln(ax)ln(ax)=0恒成立,所以ln[(1a2)x21]=0,

即(1a2)x2=0恒成立,

∴1a2=0,即a=±1.

7.答案 1

解析因为f(x)为奇函数,当x>0时, f(x)=1,所以当x<0时,x>0,

f(x)=f(x)=(1),

即当x<0时, f(x)=(1)= 1.

8.答案f(1)>g(0)>g(1)

解析在f(x)g(x)=中,

用x替换x,得f(x)g(x)=2x,

由于f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,

所以f(x)=f(x),g(x)=g(x),

因此得f(x)g(x)=2x.

联立得f(x)=,g(x)=,

于是f(1)=,g(0)=1,g(1)=,

故f(1)>g(0)>g(1).

9.解析(1)f(x)是奇函数,

当x<0时,x>0,此时f(x)=f(x)==.

(2)f(x)<,当x>0时,<,

所以<,所以>,

所以3x1<8,解得x<2,

所以x∈(0,2)

当x<0时,<,所以>,

所以3x>32,所以x<2,

所以原不等式的解集是(∞,2)∪(0,2).

10.解析(1)设x<0,则x>0,

所以f(x)=x2mx, f(x)=(x)(x)=xx.

又f(x)为奇函数,所以f(x)=f(x),

即xx=x2mx,所以m=2.

(2)要使f(x)在[1,a2]上单调递增,

结合f(x)的图象知

所以1

B组提升题组

1.C f(x)的图象如图.

当x∈[1,0)时,由xf(x)>0,得x∈(1,0)

当x∈[0,1)时,由xf(x)>0,得x∈?

当x∈[1,3]时,由xf(x)>0,得x∈(1,3).

故x∈(1,0)∪(1,3).

2.C 因为函数f(x2)为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称,又当x∈[2,2]时, f(x)单调递减,所以当x∈[2,6]时, f(x)单调递增, f()=f(4),因为2<4<3<π,所以f()

3.解析(1)由f(x2)=f(x),得

f(x4)=f((x2)2)=f(x2)=f(x),

∴f(x)是以4为周期的周期函数.

∴f(π)=f(1×4π)=f(π4)=f(4π)=(4π)=π4.

(2)由f(x)是奇函数与f(x2)=f(x),

得f((x1)2)=f(x1)=f((x1)),即f(1x)=f(1x).

从而可知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.

又当0≤x≤1时, f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示.

设当4≤x≤4时, f(x)的图象与x轴围成的图形的面积为S,

则S=4S△OAB=4×=4.

4.解析(1)因为对于任意x 1,x2∈D,

有f(x1·x2)=f(x1)f(x2),

所以令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),所以f(1)=0.

(2)f(x)为偶函数.

证明如下:令x1=x2=1,

有f(1)=f(1)f(1),

所以f(1)=f(1)=0.

令x1=1,x2=x,

有f(x)=f(1)f(x),

所以f(x)=f(x),所以f(x)为偶函数.

(3)依题设有f(4×4)=f(4)f(4)=2,

由(2)知, f(x)是偶函数,

所以f(x1)<2?f(|x1|)

又f(x)在(0,∞)上是增函数.

所以0<|x1|<16,

解得15

所以x的取值范围是(15,1)∪(1,17).