夯基提能作业本

第六节对数与对数函数

A组基础题组

1.(2016河南洛阳模拟)函数f(x)=

-2x

的定义域是( )

A.(-3,0)

B.(-3,0]

C.(-∞,-3)∪(0,+∞)

D.(-∞,-3)∪(-3,0)

2.若函数y=f(x)是函数y=3x的反函数,则f(1

2

)的值为( )

A.-log23

B.-log32

C.1

9

D.√3

3.如果lo g1

2x

2

y<0,那么( )

A.y

B.x

C.1

D.1

4.函数f(x)=log a|x|+1(0

5.(2016山东济南模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(-x),当x∈(0,1

2

]时, f(x)=log2(x+1),则f(x)在区

间(1,3

2

)内是( )

A.减函数且f(x)>0

B.减函数且f(x)<0

C.增函数且f(x)>0

D.增函数且f(x)<0

6.计算:log23·log34+(√3)log34= .

7.函数y=log2|x+1|的单调递减区间为,单调递增区间为.

8.已知函数f(x)=a x+log a x(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a2+6,则a的值为.

9.计算:(1)lg 25+lg 2·lg 50+(lg 2)2;

.

(2)√(lg3)2-lg9+1·(lg√27+lg8-lg√1 000)

lg0.3·lg1.2

10.(2017广东茂名一中期末)已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3).

(1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间;

(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.

B 组 提升题组

11.设函数f(x)定义在实数集上, f(2-x)=f(x),且当x ≥1时, f(x)=ln x,则有( ) A.f (1

3)

2)

B.f (12)

3)

C.f (1

2)

3)

D.f(2)

2)

3)

12.设a,b,c 均为正数,且2a =lo g 12

a,(12)b

=lo g 12

b,(12

)c

=log 2c,则( )

A.a

B.c

C.c

D.b

13.已知函数f(x)={log 2x,x >0,

3x ,x ≤0,关于x 的方程f(x)+x-a=0有且只有一个实根,则实数a 的取值范围

是 .

14.设f(x)=log a (1+x)+log a (3-x)(a>0且a ≠1),且f(1)=2,求f(x)在区间[0,3

2]上的最大值.

15.已知函数f(x)=3-2log 2x,g(x)=log 2x.

(1)当x ∈[1,4]时,求函数h(x)=[f(x)+1]·g(x)的值域;

(2)如果对任意的x ∈[1,4],不等式f(x 2)·f(√x )>k ·g(x)恒成立,求实数k 的取值范围.

答案全解全析 A 组 基础题组

1.A 因为f(x)=

√1-2x

,所以要使函数f(x)有意义,需使{x +3>0,

1-2x >0,

即-3

2.B 由y=f(x)是函数y=3x 的反函数,知f(x)=log 3x,从而f (1

2)=log 31

2=-log 32,故选B.

3.D 由lo g 12

x

y<0,得lo g 12

x

y

1.所以x>y>1.

4.A 由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数,图象关于y 轴对称.设g(x)=log a |x|,先画出x>0时g(x)的图象,然后作其关于y 轴对称的图象,即画出x<0时g(x)的图象,最后将函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象,结合选项知选A.

5.B 因为f(x)是R 上的奇函数, 则有f(x+1)=f(-x)=-f(x). 当x ∈(1,32)时,x-1∈(0,1

2

),

所以f(x)=-f(x-1)=-log 2x,所以f(x)在区间(1,3

2)内是减函数且f(x)<0.

6.答案 4 解析

log 23·log 34+(√3)log 34=lg3lg2·2lg2

lg3+31

2log 34=2+3log 32=2+2=4.

7.答案 (-∞,-1);(-1,+∞) 解析

作出函数y=log 2x 的图象,再作出其关于y 轴对称的图象即可得到函数y=log 2|x|的图象,再将y=log 2|x|的图象向左平移1个单位长度,就得到函数y=log 2|x+1|的图象(如图所示).由图知,函数y=log 2|x+1|的单调递减区间为(-∞,-1),单调递增区间为(-1,+∞).

8.答案 2

解析 显然函数y=a x 与y=log a x 在[1,2]上的单调性相同,因此函数f(x)=a x +log a x 在[1,2]上的最大值与最小值之和为f(1)+f(2)=(a+log a 1)+(a 2+log a 2)=a+a 2+log a 2=log a 2+6,故a+a 2=6,解得a=2或a=-3(舍去). 9.解析 (1)原式=(lg 2)2+(1+lg 5)×lg 2+lg 52 =(lg 2+lg 5+1)×lg 2+2lg 5

=(1+1)×lg 2+2lg 5=2×(lg 2+lg 5)=2. (2)原式 =

√(lg3)2-2lg3+1·(32

lg3+3lg2-32

)

(lg3-1)·(lg3+2lg2-1)

=(1-lg3)·32

(lg3+2lg2-1)

(lg3-1)·(lg3+2lg2-1)=-3

2.

10.解析 (1)因为f(1)=1,所以log 4(a+5)=1,因此a+5=4,a=-1,此时f(x)=log 4(-x 2+2x+3). 由-x 2+2x+3>0得-1

令t=-x 2+2x+3,则t=-x 2+2x+3在(-1,1]上单调递增,在(1,3)上单调递减.

又y=log 4t 在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)的单调递增区间是(-1,1],单调递减区间是(1,3). (2)存在.理由如下:

假设存在实数a,使f(x)的最小值为0. 令h(x)=ax 2+2x+3,则h(x)有最小值1, 因此应有{a >0,

12a -4

4a

=1,

解得a=1

2. 故存在实数a=12

,使f(x)的最小值为0.

B 组 提升题组

11.C 由f(2-x)=f(x),得f(1-x)=f(x+1),即函数f(x)图象的对称轴为直线x=1,结合图象,可知f (1

2)

3

)

12.A ∵a>0,∴2a >1,∴lo g 12

a>1,∴0

2.

∵b>0,∴0<(12)b

<1,∴0

b<1,∴1

2

)c

>0,∴log 2c>0,∴c>1,

∴0

2

13.答案 (1,+∞)

解析 问题等价于函数y=f(x)与y=-x+a 的图象有且只有一个交点,结合函数图象可知a>1.

14.解析 ∵f(1)=log a 2+log a 2=2log a 2=2, ∴log a 2=1,解得a=2,

∴f(x)=log 2(1+x)+log 2(3-x)=log 2[(1+x)·(3-x)]=log 2[-(x-1)2+4], 设u=-(x-1)2+4, ∵x∈[0,3

2],∴3≤u ≤4,

∵y=log 2u 在定义域内是增函数, ∴log 23≤log 2u ≤2,即log 23≤f(x)≤2, ∴f(x)在区间[0,3

2]上的最大值是2.

15.解析 (1)h(x)=(4-2log 2x)·log 2x=-2(log 2x-1)2+2,因为x ∈[1,4],所以log 2x ∈[0,2],故函数h(x)的值域为[0,2].

(2)由f(x 2)·f(√x )>k ·g(x)得(3-4log 2x)(3-log 2x)>k ·log 2x,令t=log 2x,因为x ∈[1,4],所以t=log 2x ∈[0,2],所以(3-4t)(3-t)>k ·t 对一切t ∈[0,2]恒成立, ①当t=0时,k ∈R ; ②当t ∈(0,2]时,k<

(3-4t)(3-t)

t

恒成立,即k<4t+9t -15恒成立,因为4t+9t ≥12,当且仅当4t=9t ,即t=3

2时取等号,

所以4t+9t

-15的最小值为-3,∴k<-3. 综上,k ∈(-∞,-3).