初三数学等腰三角形存在性专题

【2019·本溪】抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C，D重合）．过点C作直线PB的垂线交PB于点E，交x轴于点F．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当△PCF的面积为5时，求点P的坐标；

（3）当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．

【辽宁·葫芦岛】如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过B，C两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当＝时，求t的值；

（3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值．

【2019·白银】

如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m 为何值时PN有最大值，最大值是多少？

【2019·菏泽】如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A

的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点P在第二象限内，且PE＝OD，求△PBE的面积．

（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM 是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，AB＝4，交y轴于点C，对称轴是直线x＝1．

（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；

（2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x＝1的对称点F正好落在BC上，求点F 的坐标；

（3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q．设运动时间为t（t＞0）秒．

①若△AOC与△BMN相似，请直接写出t的值；

②△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

如图①，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，2），B（﹣2，0），C（0，2），D（2，0）四点，动点M以每秒个单位长度的速度沿B→C→D运动（M不与点B、点D重合），设运动时间为t（秒）．

（1）求经过A、C、D三点的抛物线的解析式；

（2）点P在（1）中的抛物线上，当M为BC的中点时，若△P AM≌△PBM，求点P的坐标；

（3）当M在CD上运动时，如图②．过点M作MF⊥x轴，垂足为F，ME⊥AB，垂足为E．设矩形MEBF与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；（4）点Q为x轴上一点，直线AQ与直线BC交于点H，与y轴交于点K．是否存在点Q，使得△HOK为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（2，0）和C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D．

（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；

（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠A，则△DEF能否为等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；

（3）若点P在抛物线上，且＝m，试确定满足条件的点P的个数．

如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（﹣2，0），C（6，0）．

（1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；

（2）如图2，连接AB，AC，设点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点P作PD⊥AC于点E，交x轴于点D，过点P作PG∥AB交AC于点F，交x轴于点G．设线段DG的长为d，求d与m的函数关系式，并注明m的取值范围；（3）在（2）的条件下，若△PDG的面积为，

①求点P的坐标；

②设M为直线AP上一动点，连接OM交直线AC于点S，则点M在运动过程中，在抛物线上是否存在点R，使得△ARS为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M及其对应的点R的坐标；若不存在，请说明理由．

【2019·四川·成都】

如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标；

（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式．

【2019·西藏】

已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P 是线段AB上方抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线解析式；

（2）当点P运动到什么位置时，△P AB的面积最大？

（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

人教版九年级数学知识点总结

第二十一章二次根式 1.二次根式:式子 a≥0叫做二次根式。 2.最简二次根式:满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式; (1)被开方数的因数是整数,因式是整式; (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式,因被开方数中含有4是可开得尽方的因数,又如 , ,..都不是最简二次根式,而 , ,5 , 都是最简二次根式。 3.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式。如 , , 就是同类二次根式,因为 2 , 3 ,它们与的被开方数均为2。 4.有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,则说这两个代数式互为有理化因式。如与 ,a+ 与a- , - 与 + ,互为有理化因式。二次根式的性质: 1. a≥0是一个非负数, 即≥0; 2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数,即: 2aa≥0; 3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值,即 |a| 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积,即 ? (a ≥0,b≥0)。 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根,即 (a≥0,b0)。 21.2 二次根式的乘除 1. 二次根式的乘法两个二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变,即(≥0,≥0)。

说明:(1)法则中、可以是单项式,也可以是多项式,要注意它们的取值范围,、都是非负数; (2)(≥0,≥0)可以推广为(≥0,≥0); (≥0,≥0,≥0,≥0)。 (3)等式(≥0,≥0)也可以倒过来使用,即(≥0,≥0)。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合,可以对一些二次根式进行化简。2. 二次根式的除法两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变,即(≥0,>0)。说明:(1)法则中、可以是单项式,也可以是多项式,要注意它们的取值范围,≥0,在分母中,因此>0; (2)(≥0,>0)可以推广为(≥0,>0,≠0); (3)等式(≥0,>0)也可以倒过来使用,即(≥0,>0)。也称“商的算术平方根”。它与二根式的除法结合,可以对一些二次根式进行化简。? 3. 最简二次根式 (1)被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式; (2)被开方数中不含分母。 21.3 二次根式的加减 1. 同类二次根式? 注:判断几个二次根式是否为同类二次根式,关键是先把二次根式准确地化成最简二次根式,再观察它们的被开方数是否相同。? (2)合并同类二次根式:合并同类二次根式的方法与合并同类项的方法类似,系数相加减,二次根号及被开方数不变。? 2. 二次根式的加减? (1)二次根式的加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,再将同类二次根式分别合并。? (2)二次根式的加减法与多项式的加减法类似,首先是化简,在化简的基础上去括号再合并同类二次根式,同类二次根式相当于同类项。? 一般地,二次根

等腰三角形存在性问题(带答案)

等腰三角形存在性问题（两圆一线）类型一、格点中的等腰三角形 1、在如图所示的5×５方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（） 2、.如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有( )个． 3、如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ABC为等腰三角形时，格点C的不同位置有处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于． 4、如图，在图中能画出与△ABC全等的格点三角形有几个？

类型二、定边几何法讨论：两圆一线 5、以线段AB为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来 6、（1）如图所示，线段OD的一个端点O在直线AB上，以OD为一边的等腰三角形ODP，并且使点P也在AB 上，这样的等腰三角形能画个（在图中作出点P）

（2）若△DOB=60°，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画个，（只写出结果）（3）若改变（2）中△DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（2）中的结果相同，则改变后 △DOB=． 7、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△PAB是等腰三角形，则这样的点P最多能确定（）个． 8、线段AB和直线l在同一平面上．则下列判断可能成立的有个直线l上恰好只有个1点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个2点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个3点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个4点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个5点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个6点P，使△ABP为等腰三角形．

2018年中考数学专题等腰三角形存在性问题(题型全面)压轴题

专题等腰三角形存在性问题题型一：几何图形 1、如图（1），在△ABC中，AB=AC，∠A=36°．（1）直接写出∠ABC的度数；（2）如图（2），BD是△ABC中∠ABC的平分线． ①找出图中所有等腰三角形（等腰三角形ABC除外），并选其中一个写出推理过程； ②在直线BC上是否存在点P，使△CDP是以CD为一腰的等腰三角形？如果存在，请在图（3）中画出满足条件的所有的点P，并直接写出相应的∠CPD的度数；如果不存在，请说明理由．

变式一：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒．（1）当t=1时，求△ACP的面积．（2）t为何值时，线段AP是∠CAB的平分线？（3）请利用备用图2继续探索：当t为何值时，△ACP是以AC为腰的等腰三角形？（直接写出结论）变式二：如图，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，点P开始从点A 开始沿△ABC的边做逆时针运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿△ABC 的边做逆时针运动，且速度为每秒2cm，他们同时出发，设运动时间我t秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）在运动过程中，△PQB能形成等腰三角形吗？若能，则求出几秒后第一次形成等腰三角形；若不能，则说明理由；（3）从出发几秒后，线段PQ第一次把直角三角形周长分成相等的两部分？

变式三：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB 的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB与点D、点E，图①，②，③是旋转得到的三种图形．（1）观察线段PD和PE之间的有怎样的大小关系，并以图②为例，加以说明；（2）△PBE是否构成等腰三角形？若能，指出所有的情况（即求出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能请说明理由．变式四：如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点E是边CD上任意一点（点E 与点C、D不重合），过点A作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，连接EF，交边AB于点G．设DE=x，BF=y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）如果AD=BF，求证：△AEF∽△DEA；（3）当点E在边CD上移动时，△AEG能否成为等腰三角形？如果能，请直接写出线段DE的长；如果不能，请说明理由．

(完整版)人教版初中数学知识点汇总

人教版初中数学知识点总结目录七年级数学（上）知识点(1) 第一章有理数(1) 第二章整式的加减(3) 第三章一元一次方程(4) 第四章图形的认识初步(5) 七年级数学（下）知识点(6) 第五章相交线与平行线(6) 第六章平面直角坐标系(8) 第七章三角形(9) 第八章二元一次方程组(12) 第九章不等式与不等式组(13) 第十章数据的收集、整理与描述(13) 八年级数学（上）知识点(14) 第十一章全等三角形(14) 第十二章轴对称(15) 第十三章实数(16) 第十四章一次函数(17) 第十五章整式的乘除与分解因式(18) 八年级数学（下）知识点(19) 第十六章分式(19) 第十七章反比例函数(20) 第十八章勾股定理(21) 第十九章四边形(22) 第二十章数据的分析(23) 九年级数学（上）知识点(24) 第二十一章二次根式(24) 第二十二章一元二次根式(25) 第二十三章旋转(26) 第二十四章圆(27)

第二十五章概率(28) 九年级数学（下）知识点(30) 第二十六章二次函数(30) 第二十七章相似(32) 第二十八章锐角三角函数(33) 第二十九章投影与视图(34) 1 七年级数学（上）知识点人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容. 第一章有理数一．知识框架二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； (2)有理数的分类: ①??? ??????????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数②???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；

等腰三角形的存在性问题

10．（2016山东省临沂市）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x 轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC．（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t 秒，当t为何值时，PA=QA？（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（2016山东省日照市）阅读理解：我们把满足某种条件的所有点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．例如：角的平分线是到角的两边距离相等的点的轨迹．问题：如图1，已知EF为△ABC的中位线，M是边BC上一动点，连接AM 交EF于点P，那么动点P为线段AM中点．理由：∵线段EF为△ABC的中位线，∴EF∥BC，由平行线分线段成比例得：动点P为线段AM中点．由此你得到动点P的运动轨迹是：．知识应用：如图2，已知EF为等边△ABC边AB、AC上的动点，连结EF；若AF=BE，且等边△ABC的边长为8，求线段EF中点Q的运动轨迹的长．拓展提高：如图3，P为线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），在线段AB的同侧分别作等边△A PC和等边△PBD，连结AD、BC，交点为Q．（1）求∠AQB的度数；（2）若AB=6，求动点Q运动轨迹的长．

12．（2016山东省日照市）如图1，抛物线 2 3 [(2)] 5 y x n =--+ 与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+3，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连结BC．（1）求m、n的值；（2）如图2，点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN、BN．求△NBC面积的最大值；（3）如图3，点M、P分别为线段BC和线段OB上的动点，连接PM、PC，是否存在这样的点P，使△PCM为等腰三角形，△PMB为直角三角形同时成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（2016山西省）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 28 y ax bx =+-与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．

人教版初三数学复习提纲-知识点

初三数学应知应会的知识点一元二次方程 1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时，ax 2 +bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ；其中a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2. 一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少. 3. 一元二次方程根的判别式:当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2 -4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题： Δ＞0 <=>有两个不等的实根； Δ=0<=>有两个相等的实根； Δ＜0 <=>无实根；Δ≥0 <=>有两个实根（等或不等）. 4. 一元二次方程的根系关系：当ax 2 +bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式： .a c x x a b x x )2(a 2a c 4b b x ) 1(212122 ,1= -=+-±-=，； ※ 5．当ax 2 +bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题： (以下等价关系要求会用公式a c x x a b x x 2121=-=+，；Δ=b 2 -4ac 分析，不要求背记) （1）两根互为相反数?a b -= 0且Δ≥0?b = 0且Δ≥0；（2）两根互为倒数?a c =1且Δ≥0?a = c 且Δ≥0；（3）只有一个零根?a c = 0且a b -≠0?c = 0且b ≠0；（4）有两个零根 ?a c = 0且a b -= 0?c = 0且b=0；（5）至少有一个零根 ?a c =0?c=0；（6）两根异号 ?a c ＜0 ?a 、c 异号；（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值?a c ＜0且a b -＞0?a 、c 异号且a 、b 异号；（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值?a c ＜0且a b -＜0?a 、c 异号且a 、b 同号；（9）有两个正根 ?a c ＞0，a b -＞0且Δ≥0?a 、c 同号， a 、b 异号且Δ≥0；（10）有两个负根 ?a c ＞0，a b -＜0且Δ≥0?a 、c 同号， a 、b 同号且Δ≥0. 6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解. ax 2 +bx+c=a(x-x 1)(x-x 2) 或 ax 2 +bx+c=??? ? ?? ----???? ? ?-+--a 2ac 4b b x a 2ac 4b b x a 22. 7．求一元二次方程的公式： x 2 -（x 1+x 2）x + x 1x 2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数. 8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一（设增长率为x ）： (1) 第一年为 a ,第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2 . （2）常利用以下相等关系列方程：第三年=第三年或第一年+第二年+第三年=总和. 9．分式方程的解法： . 0)1(≠），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母两边同乘最简去分母法

等腰三角形存在性问题及真题典例分析(含解析)

等腰三角形存在性问题几何图形存在性问题是中考二次函数压轴题一大常见类型，等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等均有涉及，本系列从等腰三角形开始，逐一介绍各种问题及常规解法．等腰三角形存在性问题【问题描述】如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形．【几何法】“两圆一线”得坐标（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．【注意】若有三点共线的情况，则需排除．作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．

C 21+23,0() C 11-23,0()C 1H =C 2H =13-1=23作AH ⊥x 轴于H 点，AH =1AC 1=AB=4-1()2+3-1()2=13 34C C 、同理可求，下求5C ．显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A 、B 均往下移一个单位，当点A 坐标为（1,0），点B 坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：故C 5坐标为（ 196,0）解得：x = 136 3-x ()2+22=x 2 设AC 5=x ，则BC 5=x ，C 5H =3-x AH =3， BH =2 而对于本题的5C ，或许代数法更好用一些．

【代数法】表示线段构相等（1）表示点：设点5C 坐标为（m ，0），又A 点坐标（1,1）、B 点坐标（4,3），（2）表示线段：5AC = 5BC （3）分类讨论：根据 55AC BC = ，（4）求解得答案：解得：236m =，故5C 坐标为23,06?? ??? ．【小结】几何法：（1）“两圆一线”作出点；（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．代数法：（1）表示出三个点坐标A 、B 、C ；（2）由点坐标表示出三条线段：AB 、AC 、BC ；（3）根据题意要求取①AB =AC 、②AB =BC 、③AC =BC ；（4）列出方程求解．问题总结：（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；（3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．

(完整版)一次函数与等腰三角形的存在性问题

一次函数与等腰三角形的存在性问题一．选择题（共3小题） 1．在平面直角坐标系中有两点：A（﹣2，3），B（4，3），C是坐标轴x轴上一点，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点C共有（） A．2个B．3个C．4个D．6个 2．（2008?天津）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0），B（2，0），若点C在一次函数y=﹣x+2的图象上，且△ABC为直角三角形，则满足条件的点C有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 3．（2016?江宁区一模）已知点A，B的坐标分别为（﹣4，0）和（2，0），在直线y=﹣x+2上取一点C，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点C 有（） A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共4小题） 4．（2015?杭州模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，0），B（2，0），设点C是函数y=﹣（x+1）图象上的一个动点，若△ABC是直角三角形，则点C的坐标是． 5．（2009秋?南昌校级期末）在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，2）、（0，0）、（3，0），若以点A、B、C、D为顶点构成平行四边形，则点D 的坐标应为． 6．（2009秋?扬州校级期中）在平面直角坐标系中若△ABC的顶点坐标分别为：A（3，0）、B（﹣1，0）、C（2，3）、若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为． 7．（2010春?江岸区期中）一个平行四边形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标分别是（﹣1，﹣1），（﹣2，3），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为．三．解答题（共14小题） 8．四边形ABCD中，BD，AC相交于O，且BD⊥AC，求证：AB2+CD2=AD2+BC2．9．如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A，点B，在第一象限是否存在点P，使以A，B，P为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

人教版初中数学知识点总结总复习

人教版初中数学知识点总结总复习 Prepared on 22 November 2020

一、考试指导思想初中毕业数学学业考试是依据《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《数学课程标准》）进行的义务教育阶段数学学科的终结性考试。考试要有利于全面贯彻国家教育方针，推进素质教育；有利于体现九年义务教育的性质，全面提高教育质量；有利于数学课程改革，培养学生的创新精神和实践能力；有利于减轻学生过重的课业负担，促进学生生动、活泼、主动地学习。数学学业考试命题应当根据学生的年龄特征、思维特点、数学背景和生活经验编制试题，面向全体学生，使具有不同认知特点、不同数学发展程度的学生都能正常表现自己的学习状况。学业考试要求公正、客观、全面、准确地评价学生通过初中教育阶段的数学学习所获得的发展状况。数学学业考试要重视对学生学习数学的结果与过程的评价，重视对学生数学思考能力和解决问题能力的发展性评价，重视对学生数学认识水平的评价；学业考试试卷要有效发挥选择题、填空题、计算（求解）题、证明题、开放性问题、应用性问题、阅读分析题、探索性问题及其它各种题型的功能，试题设计必须与其评价的目标相一致，加强对学生思维水平与思维特征的考查，使试题的解答过程体现《数学课程标准》所倡导的数学活动方式，如观察、实验、猜测、验证、推理等等。二、考试内容和要求（一）考试内容数学学业考试应以《数学课程标准》所规定的四大学习领域，即数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合应用的内容为依据，主要考查基础知识、基本技能、基本体验和基本思想。 1．关注基础知识与基本技能了解数的意义，理解数和代数运算的算理和算法，能够合理地进行基本运算与估算；能够在实际情境中有效地使用代数运算、代数模型及相关概念解决问题。能够借助不同的方法探索几何对象的有关性质；能够使用不同的方式表达几何对象的大小、位置与特征；能够在头脑里构建几何对象，进行几何图形的分解与组合，能够对某些图形进行简单的变换；能够借助数学证明的方法确认数学命题的正确性。正确理解数据的含义，能够结合实际需要有效地表达数据特征，会根据数据结果做合理的预测；了解概率的涵义，能够借助概率模型或通过设计活动解释事件发生的概率。有条件的地区还应当考查学生能否借助计算器进行较复杂的运算和从事数学规律的探究活动。 2.关注“数学活动过程” 包括数学活动过程中所表现出来的思维方式、思维水平，对活动对象、相关知识与方法的理解深度；从事探究的意识、能力和信心等。也包括能否通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想，并寻求证明猜想的合理性；能否使用恰当的语言有条理地表达数学的思考过程。 3．关注“数学思考”

二次函数与等腰三角形存在性问题

老师学生学管师学科名称年级上课时间月日 _ _ :00-- __ :00 课题名称等腰三角形的存在问题教学重点教学过程 1.（2011?）如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 2.（2011?）如图．已知二次函数y=﹣x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于

点B．（1）求此二次函数关系式和点B的坐标；（2）在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3.（2011?）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别是（0，1）和（1，0），P是线段 AB上的一动点（不与A、B重合），坐标为（m，1﹣m）（m为常数）．

（1）求经过O、P、B三点的抛物线的解析式；（2）当P点在线段AB上移动时，过O、P、B三点的抛物线的对称轴是否会随着P的移动而改变；（3）当P移动到点（）时，请你在过O、P、B三点的抛物线上至少找出两点，使每个点都能与P、B两点构成等腰三角形，并求出这两点的坐标． 4.（2011?市綦江县潭已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点B（12，0）和C（0，－6），对称轴为x＝2．

（1）求该抛物线的解析式：（2）点D 在线段AB 上且AD ＝AC ，若动点P 从A 出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q 以某一速度从C 出发沿线段CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ 被直线CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间t （秒）和点Q 的运动速度；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的结论下，直线x ＝1上是否存在点M ，使△MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 4.（2011?贵港）如图，已知直线y=﹣x+2与抛物线y=a （x+2）2 相交于A 、B 两点，点A 在y 轴上，M 为抛物线的顶点．（1）请直接写出点A 的坐标及该抛物线的解析式； C A B y x O P D Q

人教版初三数学知识点总结87881

初三知识整理全套教科书包含了课程标准（实验稿）规定的“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个领域的内容，在体系结构的设计上力求反映这些内容之间的联系与综合，使它们形成一个有机的整体九年级上册包括二次根式、一元二次方程、旋转、圆、概率初步五章内容，学习内容涉及到了《课程标准》的四个领域。包含以下章节：第21章二次根式第22章一元二次方程第23章旋转第24章圆第25 章概率初步本册书内容分析如下：第21章二次根式学生已经学过整式与分式，知道用式子可以表示实际问题中的数量关系。解决与数量关系有关的问题还会遇到二次根式。“二次根式” 一章就来认识这种式子，探索它的性质，掌握它的运算。在这一章，首先让学生了解二次根式的概念，并掌握以下重要结论：（1）是一个非负数；（2）≥0）；（3） (a≥0)．注：关于二次根式的运算，由于二次根式的乘除相对于二次根式的加减来说更易于掌握，教科书先安排二次根式的乘除，再安排二次根式的加减。“二次根式的乘除”一节的内容有两条发展的线索。一条是用具体计算的例子体会二次根式乘除法则的合理性，并运用二次根式的乘除法则进行运算；一条是由二次根式的乘除法则得到 (a≥0，b≥0)， (a≥0，b>0)，并运用它们进行二次根式的化简。

“二次根式的加减”一节先安排二次根式加减的内容，再安排二次根式加减乘除混合运算的内容。在本节中，注意类比整式运算的有关内容。例如，让学生比较二次根式的加减与整式的加减，又如，通过例题说明在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用。这些处理有助于学生掌握本节内容。第22章一元二次方程学生已经掌握了用一元一次方程解决实际问题的方法。在解决某些实际问题时还会遇到一种新方程——一元二次方程。“一元二次方程”一章就来认识这种方程，讨论这种方程的解法,并运用这种方程解决一些实际问题。本章首先通过雕像设计、制作方盒、排球比赛等问题引出一元二次方程的概念，给出一元二次方程的一般形式。然后让学生通过数值代入的方法找出某些简单的一元二次方程的解，对一元二次方程的解加以体会，并给出一元二次方程的根的概念， “22.2降次——解一元二次方程”一节介绍配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法。下面分别加以说明。（1）在介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如的方程。这样的方程可以化为更为简单的形如的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程，引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。（2）在介绍公式法时，首先借助配方法讨论方程的解法，得到一元二次方程的求根公式。然后安排运用公式法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及有两个相等实数根的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。由此引出一元二次方程的解的三种情况。（3）在介绍因式分解法时，首先通过实际问题引出易于用因式分解法的一元二次方程，引出因式分解法。然后安排运用因式分解法解一元二次方程的例题。最后对配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法进行小结。

新人教版初中数学知识点总结(完整版)

人教新版初中数学知识点总结（全面最新）目录一、七年级数学（上）知识点 1、有理数 2、整式的加减 3、一元一次方程 4、图形的认识初步二、七年级数学（下）知识点 5、相交线与平行线 6、实数 7、平面直角坐标系 8、二元一次方程组 9、不等式与不等式组 10、数据的收集、整理与描述三、八年级数学（上）知识点 11、三角形 12、全等三角形 13、轴对称 14、整式的乘除与分解因式 15、分式

四、八年级数学（下）知识点 16、二次根式 17、勾股定理 18、平行四边形 19、一次函数 20、数据的分析五、九年级数学（上）知识点 21、一元二次方程 22、二次函数 23、旋转 24、圆 25、概率六、九年级数学（下）知识点 26、反比例函数 27、相似 28、锐角三角函数 29、投影与视图七年级数学（上）知识点

第一章有理数一．知识框架二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数. (2)有理数的分类: ① ??? ?????? ????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数注意：0即不是正数，也不是负数； -a 不一定是负数，+a 也不一定是正数； π不是有理数； 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，互为相反数，即a 和- a 互为相反数；

0的相反数还是0； (2) a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) ?? ???<-=>=) 0()0(0) 0(a a a a a a 或???<-≥=)0a (a ) 0a (a a 或???≤->=)0()0(a a a a a ；正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；绝对值的问题经常分类讨论，零既可以和正数一组也可以和负数一组； 5.有理数比大小：两个负数比大小，绝对值大的反而小；数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；大数-小数＞ 0，小数-大数＜ 0. 6.倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1；若ab=1? a 、b 互为倒数；若ab=-1? a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对

中考压轴题等腰三角形存在性问题 -

中考压轴题等腰三角形存在性问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈．动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等．解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况．以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射．动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等．本专题原创编写面动形成的等腰三角形存在性问题模拟题．在中考压轴题中，面动形成的等腰三角形存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类．原创模拟预测题1．如图，抛物线 223 y x x =-++与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为．【答案】（122）或（122）．【分析】当△PCD是以CD为底的等腰三角形时，则P点在线段CD的垂直平分线上，由C、D坐标可求得线段CD中点的坐标，从而可知P点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得P 点坐标．【解析】 ∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，∴点P在线段CD的垂直平分线上，如图，过P作 PE⊥y轴于点E，则E为线段CD的中点，∵抛物线 223 y x x =-++与y轴交于点C，∴C （0，3），且D（0，1），∴E点坐标为（0，2），∴P点纵坐标为2，在 223 y x x =-++中，令y=2，可得 2232 x x -++=，解得x=12 ±，∴P点坐标为（122）或（12， 2），故答案为：（122）或（12，2）．

人教版初中数学知识点总结2017

人教最新版初中数学知识点总结2017 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

2 人教新版初中数学知识点总结七年级数学（上）知识点一.有理数知识框架二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成)0为整数且,(≠p q p p q 形式的数，都是有理数. (2)有理数的分类: ?????????????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数注意：0即不是正数，也不是负数； -a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；不是有理数； 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，互为相反数，即a 和- a 互为相反数； 0的相反数还是0； (2) a+b=0 a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) ?? ???<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a 或???<-≥=)0()0(a a a a a 或???≤->=)0()0(a a a a a ；

3 正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；绝对值的问题经常分类讨论，零既可以和正数一组也可以和负数一组； 5.有理数比大小：两个负数比大小，绝对值大的反而小；数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；大数-小数＞ 0，小数-大数＜ 0. 6.倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1 ；若ab=1 a 、b 互为倒数；若ab=-1 a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数. 8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）. 9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）. 10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定，负因数为奇数个时乘积为负，负因数为偶数个时乘积为正. 11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac . 12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；

(完整版)人教版初中数学知识点总结(全面)

人教新版初中数学知识点总结（全面最新）七年级数学（上）知识点第一章有理数一．知识框架二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成 )0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数. (2)有理数的分类: ① ?????????????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数注意：0即不是正数，也不是负数； -a 不一定是负数，+a 也不一定是正数； π不是有理数；

2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，互为相反数，即a 和- a 互为相反数； 0的相反数还是0； (2) a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) ?? ???<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a 或???<-≥=)0a (a )0a (a a 或???≤->=)0()0(a a a a a ；正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；绝对值的问题经常分类讨论，零既可以和正数一组也可以和负数一组； 5.有理数比大小：两个负数比大小，绝对值大的反而小；数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；大数-小数＞ 0，小数-大数＜ 0. 6.倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1；若ab=1? a 、b 互为倒数；

若ab=-1 a、b互为负倒数. 7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数. 8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）. 9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）. 10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定，负因数为奇数个时乘积为负，负因数为偶数个时乘积为正. 11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .

等腰三角形存在性(讲义+练习含答案)

一次函数与等腰三角形存在性问题重点内容梳理一、等腰三角形存在核心思想：——分类讨论（顶点未知，讨论顶点即可） 1. A为顶点：AP=AB→以A为圆心B为半径画圆（E为共线点）为顶点：BP=BA→以B为圆心A为半径画圆（F为共线点）为顶点：PA=PB→AB的中垂线（o为共线点）求取方法：1.采用两圆一线找到特殊位置点——找交点 2.两点之间距离公式表示等长线段，求取点坐标￥ 3.最终结论注：该类问题相对较综合，点坐标的求取方法较灵活，需综合运用几何与代数相关定理。

引例：已知，平面内点A（0,2），B（2,0）（1）求，AB所在直线解析式（2）若坐标轴上存在一点，使△ABC

①— ②A为顶点，AB=AC，A为圆心，AB为半径画圆， ③B为顶点，AB=BC，B为圆心，AB为半径画圆 ④C为圆心，AB中垂线

例题例题1.——x轴上的点 1.（2019秋?金水区校级月考）如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A，B，且OA＝ 8，OB＝6. （1）求直线AB的解析式．（2）在x轴上是否有在点Q，使以A，B，Q为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

| 【解答】解：（1）∵OA＝8，OB＝6， ∴A（8，0）、B（0，6），把点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b， ∴b＝6，k＝﹣， ∴直线AB的表达式为：y＝﹣x+6；（2）设点Q（s，0），则AB2＝100，AQ2＝（8﹣s）2，BQ2＝s2+36， ①当AB＝AQ时，100＝（8﹣s）2，解得：s＝18或s＝﹣2； ②当AB＝BQ时，100＝s2+36，可得：s＝±8（舍去8）； ③当AQ＝BQ时，（8﹣s）2＝s2+36，可得：s＝，、综上，点Q的坐标为：（18，0）或（﹣2，0）或（﹣8，0）或（，0）．易错：1. 两圆一线找交点，看清点的位置保证不重不漏 2.求取点的坐标，注意舍根

(完整版)人教版初中数学知识结构

【人教版初中数学知识结构图】 1、有理数（正数与负数） 2、数轴 6、有理数的概念3、相反数 4、绝对值 5、有理数从大到小的比较 7、有理数的加法、加法运算律 17、有理数8、有理数的减法 9、有理数的加减混合运算 10、有理数的乘法、乘法运算律 16、有理数的运算11、有理数的除法、倒数 12、有理数的乘方 13、有理数的混合运算 21、代数式14、科学记数法、近似数与有效数字 22、列代数式15、用计算器进行简单的数的运算 23、代数式的值18、单项式 27、整式的加减20、整式的概念19、多项式 24、合并同类项 25、去括号与添括号 26、整式的加减法 28、等式及其基本性质 29、方程和方程的解、解方程 198 32、一元一次方程30、一元一次方程及其解法初31、一元一次方程的应用33、代入（消元）法中35、二元一次方程组的解法34、加减（消元）法数193 36、相关概念及性质学数39、二元一次方程组37、三元一次方程组及其解法举例与38、一元方程组的应用40、一元一次不等式及其解法代45、一元一次不等式43、一元一次不等式41、不等式的解集数和一元一次不等式组44、一元一次不等式组42、不等式和它的基本性质 46、同底数幂的乘法、单项式的乘法 47、幂的乘方、积的乘方 51、整式的乘法48、单项式与多项式相乘 49、多项式的乘法 56、整式的乘除50、平方差与完全平方公式 52、多项式除以单项式 55、整式的除法53、单项式除以单项式 54、同底数幂的除法 57、提取公因式法 61、方法58、运用公式法 63、因式分解59、分组分解法 62、意义60、其他分解法66、含字母系数的一元 65、分式的乘除法——64、分式的乘除运算一次方程 72、分式69、可化为一元一次方程的分式方程及其应用67、分式方程解法、 70、分式的意义和性质增根 71、分式的加减法68、分式方程的应用 75、数的开方73、平方根与立方根 74、实数 86、二次根式的意义76、最简二次根式 79、二次根式的乘除法77、二次根式的除法