可展曲面的等价条件及近似可展曲面项目研究报告
曲阜师范大学
国家级大学生创新创业训练计划
项目研究报告
项目名称:可展曲面的判定及近似可展曲面问题
项目编号:2013A206
指导教师:孔淑兰
项目成员:李扬 邱意雅 段振鑫 司苏亮 焉志豪
学 院:数学科学学院
时 间:2014年12月
项目简介:
可展曲面是微分几何学研究的重要内容之一，其可展性在几何学及实际工程应用中都有着极其重要的作用. 为此，本项目意在做两方面的探讨：1. 可展曲面的判定条件：分析条件的内涵、性质、特征；挖掘新的判定条件或简化已有条件的证明；考虑其它空间上的可展曲面的判定条件。2. 近似可展曲面：讨论曲面的近似可展性，寻求近似可展曲面的构造方法。
研究情况总结:
立项初期阶段，我们主要是先学习必备数学知识，即数学分析，解析几何，微分方程，微分几何等专业课程。通过对微分几何的学习，我们明确了研究的对象，对三种可展曲面有了充分的了解，因此产生
了适合我们的研究思路，并且决定把研究重点放在可展曲面的判定上来。
2013年8月至2013年12月，在指导教师的悉心教导下，通过各组员的相互学习和交流，我们充分了解了可展曲面的相关知识，为以后的研究奠定了良好的基础。
2014年1月至2014年4月，我们收集并研读了有关可展曲面的相关文献和论文资料，探究可展曲面各判定条件的等价性。
2014年5月至2014年8月，我们在研读论文文献资料的基础上，研究微分几何中有关可展曲面判定的条件，分析条件的内涵、性质、特征，寻找条件的等价性，探索新的判定条件或简化已有条件的证明，并得到了一些成果。
2014年9月至2014年11月，我们接着试着研究了近似可展曲面，寻求近似可展曲面的构造方法，起初是想通过曲面上的曲线的切线面去构造切线面，但是最终发现方法不可行，所以有关近似曲面的研究没有得到很好的成果。将问题推广到其他度量空间，如三维Mikowski空间由于时间可能力有限，故没有研究。
主要成果:
通过对已有等价条件分析和挖掘，我们简化了两条等价条件的原有证明，于此同时，通过Weingarten变换，我们也得到了一个新的等价条件，即一个平面是可展曲面的等价条件是这个曲面上每一点的Weingarten变换都是退化的。
直纹曲面是可展曲面的一个充要条件
直纹曲面是可展曲面的一个充要条件 摘要：可展曲面是直纹面的一种类型，可展曲面就是沿每一条直母线只有一个切平面.通过 几何分析方法，讨论了直纹曲面，给出了直纹曲面是可展曲面的一个充分切必要条件， 说明直纹曲面)()(),(:u e v u v u r S +=ρ是可展曲面，其充要条件是：沿准线)(,0:u r v C ρ==，曲面S 是它的切平面的包络面，并且给出了这个定理应用的两 个例子. 关键词：直纹曲面 可展曲面 包络面 1直纹曲面与可展曲面 我们知道由动直线产生的曲面为直纹曲面，动直线为该直纹曲面的直母线。如柱面、锥面、一条曲线的切线曲面等都是直纹曲面。文献[1]利用曲线测地挠率与曲线挠率的关系来刻划直纹曲面是可展曲面。本文利用包络面来刻划直纹曲面是可展曲面。 设))((:21u u u u C ≤≤=ρρ是直纹曲面S 上的一条准线，即C 与所有直母线相交，设)(u e 是过))((u P ρ点的直母线上的非零矢量，则直纹曲面S 的参数方程是 )()(:u e v u r S +=ρ （1） 其中21u u u ≤≤，+∞<<∞-v ，u 线是与准线C 平行的曲线，v 线是值母线。 特别地，当0)(ρρ=u 是常矢时 )(:0u e v r S +=ρ （2） 是锥面， 0)(:e v u r S +=ρ （3） 是柱面，其中0)(e u e =是常矢。 定义1 若直纹曲面（1）式沿每一条直母线只有一个切平面，即对一切的v 值， 法线方向上的矢量v u r r N ?=彼此平行，即对21v v ≠有： 0),(),(21=?v u N v u N （4） 则称直纹曲面（1）式是可展曲面。 定理1 直纹曲面 )()(:u e v u r S +=ρ 是可展曲面，其充要条件是： 0))(),(),((' ' =u e u e u ρ （5）
(完整版)高等数学答案第六章4曲面与曲线
习 题 6—4 1、一动点移动时，与)0,0,4(A 及xOy 面等距离，求该动点的轨迹方程. 解：设在给定的坐标系下，动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则 (,,)M x y z C MA z u u u r ∈? = 亦即 z z y x =++-222)4( 0)4(22=+-∴y x 从而所求的轨迹方程为0)4(22=+-y x . 2、 求下列各球面的方程： （1）圆心)3,1,2(-，半径为6=R ； （2）圆心在原点，且经过点)3,2,6(-； （3）一条直径的两端点是)3,1,4()5,32(--与；（4）通过原点与)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(- 解：（1）所求的球面方程为：36)3()1()2(2 2 2 =-+++-z y x （2）由已知，半径73)2(6222=+-+= R ，所以球面方程为49222=++z y x （3）由已知，球面的球心坐标12 3 5,1213,3242=-=-=+-==+=c b a ， 球的半径21)35()31()24(2 1 222=++++-= R ，所以球面方程为： 21)1()1()3(222=-+++-z y x （4）设所求的球面方程为：02222 22=++++++l kz hy gx z y x 因该球面经过点)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0(-，所以???????=-=++=+=08160621008160k h g g l 解之得???? ???=-=-==2210k g h l ∴所求的球面方程为0424222=+--++z y x z y x . 3、求下列旋转曲面的方程： （1）将yOz 坐标面上的抛物线22y z =绕z 旋转一周所生成的旋转曲面； 解：222x y z +=(旋转抛物面) .
第七章 曲线与曲面积分导学答案12-16(第一、二类曲面积分)
第七章 曲线与曲面积分 7.2.5第一类曲面积分 7.2.6 第二类曲面积分（导学解答） 一、相关知识 1．物质曲面的质量问题? 答：设∑为面密度非均匀的物质曲面, 其面密度为ρ(x , y , z ), 求其质量，把曲面分成n 个小块: ?S 1, ?S 2 , ? ? ?, ?S n (?S i 也代表曲面的面积);求质量的近似值: i i i i n i S ?=∑),,(1 ζηξρ((ξi , ηi , ζi ) 是?S i 上任意一点); 取极限求精确值: i i i i n i S M ?==→∑),,(lim 1 0ζηξρλ(λ为各小块曲面直径的最 大值). 2.空间曲面在坐标面上的有向投影？ 答：空间面积为S ?的有向平面在坐标面上的投影 将有向平面S ?投影到xoy 坐标面，所得投影记为xy S )(?，投影区域的面积记为()xy σ?；设平面S ?的法向量n 与z 轴正向的夹角为γ，则 ()xy S ?()c o s 0 0c o s 0 () c o s 0 xy xy σγγσγ??>? =≡? ?-?γ（上侧）， 则xy xy S )()(σ?=?；如果 πγπ ≤<2 ，0cos <γ（下侧），则xy xy S )()(σ?-=?；如果 2 π γ= ，0cos =γ，则0cos )(=?=?S S xy γ。 同理可以定义S ?在yoz 、zox 坐标面上的投影为()yz S ?及()zx S ?为： ()cos 0()0 cos 0() cos 0yz yz yz S σαασα??>? ?=≡??-??? ?=≡? ?-?
曲面展开方法
1 展开方法概述 三维CAD 软件进行展开放样适用于较为复杂的、不可展曲面的展开。 用三维CAD 软件进行展开放样大致分为4个步骤。 1.1 绘制草图 草图是生成曲面和实体的基础。草图绘制要以设计图样为依据，出于工艺性考虑可以做适当修改;较复杂的图形在二维设计软件上绘制后，可以插入到草图中;草图绘制后要添加约束。 1. 2 建立模型 建模就是在草图轮廓的基础上，通过软件的功能生成面或实体。 由于展开放样在物体的某一特性面上(如中性层面)进行的，因此在建模操作过程中，一般以曲面的特征进行。用于展开放样的建模方法有:拉伸曲面、放样曲面、旋转曲面、延伸曲面等。 1. 3 分解曲面 草图绘制和建模是放样的过程，获取数据才是最终目的。 三维CAD 软件只提供了一般镀金件的展开功能，并没有提供曲面展开的功能。分解曲面就是将曲面分解为若干个彼此相连的、在不同平面的三角形区域，以这些三角形平面代替曲面，以达到近似展开的目的。 1. 4 绘制展开图 绘制展开图就是将分解曲面形成的，彼此相连的三角形绘制在同一平面上。展开图要按工艺要求加以整理，并标注尺寸及相关信息，以指导生产。 2 展开方法特点 用三维CAD 软件进行展开放样与传统的展开放样方法比较，有如下特点。 2.1 简单 传统展开放样方法在画法几何知识的基础上，研究点、线、面的投影关系。利用投影法、旋转法、放射线法、截面法、换面法等一系列技巧来求取空间线段的实长，从而达到展开的目的。这种方法专业性强，不易掌握。划线多，工作量大。 用三维CAD 软件进行展开放样，从原理上与传统的展开放样方法截然不同。它不再需要画法几何的知识，不需要研究投影关系，也不需要展开的原理、方法和技巧。因为在三维CAD软件中生成了要展开的曲面，各种几何关系便可一目了然。对曲面进行分解，便可获得展开的数据。这种方法绘图量极少，只需要绘制有关的轮廓线。 2.2 准确 传统展开放样由于方法复杂，划线多，难免出错。一旦出错，将影响所有后续工作。放样过程的检验也非常困难。 用三维CAD 软件进行展开放样，通过在车图中添加几何关系、标注相关尺寸，使图中的每个几何要素之间相互约束，提高了绘图的精确性和绘图的速度。操作过程的每一步都可以修改。修改后，将自动调整其后续的相关过程或提示有关信息。 2.3 实用 用三维CAD 软件进行展开放样过程简单，一般工程技术人员都能快速掌握。适合生产中较复杂结构件的展开。 3 展开实例 风机行业中机翼型叶片和进风口斜锥的展开是比较困难的。虽然有些资料介绍了机翼型叶片的展开方法，但由于步骤复杂，真正掌握和应用的很少。用三维CAD 软件进行展开就很容易。 下面以4 -72NolO机翼型叶片展开为例，简述展开过程。
可展曲面的等价条件及近似可展曲面项目研究报告
曲阜师范大学 国家级大学生创新创业训练计划 项目研究报告 项目名称:可展曲面的判定及近似可展曲面问题 项目编号:2013A206 指导教师:孔淑兰 项目成员:李扬 邱意雅 段振鑫 司苏亮 焉志豪 学 院:数学科学学院 时 间:2014年12月 项目简介: 可展曲面是微分几何学研究的重要内容之一，其可展性在几何学及实际工程应用中都有着极其重要的作用. 为此，本项目意在做两方面的探讨：1. 可展曲面的判定条件：分析条件的内涵、性质、特征；挖掘新的判定条件或简化已有条件的证明；考虑其它空间上的可展曲面的判定条件。2. 近似可展曲面：讨论曲面的近似可展性，寻求近似可展曲面的构造方法。 研究情况总结: 立项初期阶段，我们主要是先学习必备数学知识，即数学分析，解析几何，微分方程，微分几何等专业课程。通过对微分几何的学习，我们明确了研究的对象，对三种可展曲面有了充分的了解，因此产生
了适合我们的研究思路，并且决定把研究重点放在可展曲面的判定上来。 2013年8月至2013年12月，在指导教师的悉心教导下，通过各组员的相互学习和交流，我们充分了解了可展曲面的相关知识，为以后的研究奠定了良好的基础。 2014年1月至2014年4月，我们收集并研读了有关可展曲面的相关文献和论文资料，探究可展曲面各判定条件的等价性。 2014年5月至2014年8月，我们在研读论文文献资料的基础上，研究微分几何中有关可展曲面判定的条件，分析条件的内涵、性质、特征，寻找条件的等价性，探索新的判定条件或简化已有条件的证明，并得到了一些成果。 2014年9月至2014年11月，我们接着试着研究了近似可展曲面，寻求近似可展曲面的构造方法，起初是想通过曲面上的曲线的切线面去构造切线面，但是最终发现方法不可行，所以有关近似曲面的研究没有得到很好的成果。将问题推广到其他度量空间，如三维Mikowski空间由于时间可能力有限，故没有研究。 主要成果: 通过对已有等价条件分析和挖掘，我们简化了两条等价条件的原有证明，于此同时，通过Weingarten变换，我们也得到了一个新的等价条件，即一个平面是可展曲面的等价条件是这个曲面上每一点的Weingarten变换都是退化的。
高等数学答案第六章4 曲面与曲线
习 题 6—4 1、一动点移动时,与)0,0,4(A 及xOy 面等距离，求该动点的轨迹方程. 解：设在给定的坐标系下,动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则 (,,)M x y z C MA z ∈?= 亦即 z z y x =++-222)4( 0)4(22=+-∴y x 从而所求的轨迹方程为0)4(22=+-y x ． 2、 求下列各球面的方程： （1)圆心)3,1,2(-,半径为6=R ； (2)圆心在原点,且经过点)3,2,6(-； (3)一条直径的两端点是)3,1,4()5,32(--与;（4)通过原点与)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(- 解:(1）所求的球面方程为:36)3()1()2(2 2 2 =-+++-z y x (2)由已知,半径73)2(6222=+-+= R ,所以球面方程为49222=++z y x (３）由已知,球面的球心坐标12 3 5,1213,3242=-=-=+-==+=c b a , 球的半径21)35()31()24(2 1 222=++++-= R ,所以球面方程为： 21)1()1()3(222=-+++-z y x （4)设所求的球面方程为:02222 22=++++++l kz hy gx z y x 因该球面经过点)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0(-,所以???????=-=++=+=08160621008160k h g g l 解之得???? ???=-=-==2210k g h l ∴所求的球面方程为0424222=+--++z y x z y x . 3、求下列旋转曲面的方程: (１）将yOz 坐标面上的抛物线22y z =绕z 旋转一周所生成的旋转曲面; 解:222x y z +=(旋转抛物面) ．
可展曲面的识别与重建方法研究
哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 目录 摘要...............................................................................................................................I Abstract............................................................................................................................II 第1章绪论. (1) 1.1课题来源 (1) 1.2研究目的和意义 (1) 1.3国内外研究现状 (2) 1.3.1可展曲面的造型方法研究 (2) 1.3.2复杂曲面的展开技术研究 (4) 1.4本文的研究内容及组织结构 (5) 第2章可展曲面及平面多边形表示方法介绍 (7) 2.1可展曲面概述 (7) 2.1.1直纹面 (7) 2.1.2可展曲面 (8) 2.1.3复杂可展曲面 (9) 2.2可展曲面的平面多边形表示 (10) 2.2.1曲面距离度量标准 (10) 2.2.2变分形状逼近算法 (12) 2.2.3平面多边形模型构造 (14) 2.3本章小结 (15) 第3章可展区域识别算法 (16) 3.1可展区域识别算法流程 (16) 3.2母线识别 (17) 3.2.1过渡边界 (17) 3.2.2母线边界 (18) 3.2.3母线选择 (20) 3.3可展区域划分 (21) 3.3.1平面多边形区域相邻关系 (21) 3.3.2算法实现 (22) 3.4可展区域的筛选 (23)
直纹曲面和可展曲面
直纹面和可展曲面 一 直纹面的定义 由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面。这些直线称为直纹面的直母线。 如，柱面、锥面、单叶双曲面（纸篓面)、双曲抛物面。空间曲线的切线曲面、正螺面、空间曲线的主法线曲面等都是直纹面。 二 直纹面的参数表示 在直纹面上取一条与所有直母线都相交的曲线（C ），其参数表时为 ()a a u = ，这样的曲线称为 直纹面的导线。设()b u 是过 导线（C ）上()a u 点的直母线上 的单位向量，导线（C ）上()a u 点 到直母线上任一点P(u,v)的距 离为|v|,则向径O P r = 可以表示 为 : ()()r a u vb u =+ 。 这就是直纹面的参数方程。直纹面的v-线是直母线，u-线是与导线（C ）平行的曲线。 三 直纹面的切平面 对直纹面()()r a u vb u =+ , ()()u r a u vb u ''=+ , u v r r a b vb b ''?=?+? , ()()(,,)a b b b b a b b ''''???=- ，()a b '∴? ‖()b b '? ?(,,)0a b b ''= 。 （1）若()a b '? 不平行于()b b '? ，即(,,)0a b b ''≠ ，则当 P 点在一条直 母线上移动时，参数v 随 P 点的变化而变化，因此直纹面的法向量n
（或切平面）绕直母线而旋转。 （2）若()a b '? 平行于()b b '? ，即(,,)0a b b ''= ，则当 P 点在一条直母 线上移动时，虽然v 变化了，但是 u v r r ? 只改变长度，不改变方向。 也即 u v u v r r n r r ?=? 保持不变。这说明当P 点沿直母线移动时，它的法向 量（或切平面）不变，此时直纹面沿一条直母线有同一个切平面。 四 直纹面的高斯曲率 对于直纹面()()r a u vb u =+ ,()v r b u = 。所以曲面在 P 点沿方向v r 的法 截线就是直母线，故曲率为零。据梅尼埃定理cos n κκθ =,因此在P 点 沿v r 的法曲率0n κ=.据前面的讨论,只当P 点是双曲点或抛物点时才可 能出现0n κ=的情况。这说明直纹面上的高斯曲率0K ≤。 下面将指出，当(,,)0 a b b ''≠ 时，0K <，当 (,,) 0a b b ''= 时 0K =。 由直纹面的方程 ()() r a u vb u =+ 得 uu r a vb ''''=+ ，uv r b '= ，0vv r = 。u v u v r r n r r ''?==? ，L = …… ，(,,)0a b b M N ''== ，22 LN M K EG F -= - 22 2 (,,)() a b b E G F ''= - ，所以当(,,)0a b b ''≠ 时，0K <，当 (,,) 0a b b ''= 时 0K =。 因沿直母线总有0n κ=，故直母线是直纹面的渐近线。 五 腰曲线 1 腰点的定义：设l 为过导线 上点()a u 的直母 线，l '是过导线上 的邻近点()a u u +? 的直母线，作l 和 l '的公垂线（如图），垂足分别为 M
CATIAV5-6R2013中文版曲面设计教程第七章曲线曲面分析
第7章 曲线曲面分析 本章导读： 完成曲面模型之后，进行曲线曲面的分析，便于查找设计中的矛盾和不符合要求的地方。曲线曲面分析包括曲线连续性和曲率分析、距离、截面曲率、反射、曲率、拐点曲线、高亮、环境和斑马线分析这些命令，本章主要对这些内容进行介绍。
196 7.1 曲线分析 曲线分析包括曲线连续性分析和曲线曲率梳分析，在曲线分析当中要经常用到这两种方法。 7.1.1 曲线连续性分析 单击【形状分析】工具栏上的【连接检查器分析】按钮，系统弹出如图7-1所示的【连接检查器】对话框。单击【元素】选项组中的【源】和【目标】文本框，从绘图区中选择分析元素。从【类型】选项组中选择分析类型，分别是【曲线-曲线连接】、【曲面-曲面连接】、【曲面-曲线连接】、【边界】、【投影】。在【快速】选项卡中设置简单分析条件，分别是G0、G1、G2、G3、【交叠缺陷】，在其后的微调框中输入分析的最小数值。 图7-1 【连接检查器】对话框 单击【显示】选项组中的【有限色标】按钮，系统弹出如图7-2所示的【连接检查器分析】对话框。单击【完整色标】按钮，系统弹出如图7-3所示的【连接检查器分析】对话框。 按下【梳】 开关按钮，图形中显示分析结果，如图7-4所示。按下【包络】 开关按钮，图形中显示分析结果，如图7-5所示。在【连接】选项组中【最小间隔】和【最大间隔】微调框中输入分析的范围。在【信息】选项组中设置显示内容，分别是【最大值】、【最小值】、【G1模式下的相切】、【G2模式下的凹面】。在【离散化】选项组中设置显示离散程度，分别是【轻度离散化】、【粗糙离散化】、【中度离散化】、【精细离散化】。在【最大偏差】选项组中显示G0、G1、G2、G3模式下的最大偏差值。
第六章 曲线与曲面
?∑====-∞→∞→t n i i i n n dt dt t dP P P n L c 01 1) (lim )(lim T dt dc dt dp dt dp dt dc dt dp dt dp T dc dp c T dt dp dt dp dt dp if t dc dp T c P dc dp c P t P c P t C r dt dp t r if P t P t t P P c ?=?== =±==?≠→=??=→?=??→???→??=?-?+=?→?对比上两式：对于参数对于一般参数＝单位切矢量，则：为曲线参数，即如选择设弧长为点切线方向的方向为点有切线弦长 ，:1 0:1lim ) ()(C 00)()(0曲线过于平坦 如果切矢量远小于弦长曲线过顶点或回转 倍如果切矢量是弦长的：切矢量：单位切矢量明确概念：??n dt dp dc dp )()()()(0)()(0 c P P t P P t c c t t c c dt t dP dt dc dt dt t dP c t ==?=?=?>=?=?可以用弧长参数表示曲线存在反函数的单调函数是关于参数k dc z d dc y d dc x d k c p dc p d k c p dc dp T dc dT T T T T c T c k T T T T T T T T c T T T c T T c T T T T T c c c 1)()()()()()lim ()lim (lim 1lim ,2/1222222 222''22 '21210002 12 10212121212121=??????++=?==?===???=??=∴=???=???=???=?=?? →?→?→?? →?? ?ρ?????曲率半径：又又：ΘΘ为单位主法线矢量点的法线）与主法线（通过曲率中心的法线平行垂直的平面）法平面（通过该点与在同一平面 点为中心向外辐射），以曲线某点有一束法线（为单位法矢量为法矢量，法矢量的矢量垂直单位切矢量对于空间的参数曲线：为曲率矢量，模为＝＝＝平行的单位矢量记为与垂直 与线的切线方向单位切矢量，方向为曲N R N T R N T N 1 KN N N T :????????????KN K KN dc dT dc dT dc dT dc dT T ρ?? ? ???????=?=?=???=化直平面决定的平面法平面决定的平面密切平面决定的平面通过定点标系，下列关系成立：组成互相垂直的直角坐为单位副法线矢量其中副法线的法线和垂直于设BT NB TN R T B N B N T N T B B N T B N T N T B ,,,,第六章 曲线与曲面 一、 曲线、曲面参数表示的基础知识 1、 参数曲线的定义：切矢量、法矢量、曲率、挠率 §切矢量：坐标变量关于参数的变化率； 弧长：对正则曲线P （t ）参数从0到T 的弧长； §曲率：曲线的弯曲变化率； §法矢量