四边形中三角形的中位线的应用
四边形中三角形的中位线的应用
例1. 已知点E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 四边的中点，试问四边形EFGH 是平行四边形吗？
分析：这是个引子问题，也是个基础问题。只要连结四边形ABCD 的一条对角线，再利用三角形中位线性质和平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可解决问题。它也有许多引伸。如：当四边形ABCD 满足什么样条件时，连结它四边中点所得到的四边形是菱形？答案是对角线相等。想想为什么？
例3. 已知：如图，四边形ABCD ，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，试说明AD BC EF +>2。
分析：本题看条件很简单，如何得结论似乎无处入手。但只要想到三角形中位线，知道构造三角形，这问题也不难。
解：连结BD ，取BD 中点为H ，连结EH 、FH 。
因为点E 、F 分别是AB 、CD 的中点
所以EH AD FH BC =
=1212，
又EH FH EF +>，所以1212AD BC EF +> 即AD BC EF +>2
例4. 已知：如图，四边形ABCD ，AC 、BD 交于点O ，且AC ＝BD ，点E 、F 分别是AB 、CD 中点，连结EF 交AC 、BD 于G 、H ，试说明OG ＝OH 。
分析：本题看条件比例3多了一个条件，但解题仍比较困难，这时经验与想象力就很重要了。
解：取BC 中点为M ，连结ME 、MF
因为点E 、F 分别是AB 、CD 的中点
所以ME AC MF BD ==1212，
ME ∥AC ，MF ∥BD
又AC ＝BD ，所以ME ＝MF
则∠MEF ＝∠MFE
又ME ∥AC ，MF ∥BD
所以∠1＝∠MEF ，∠2＝∠MFE
所以∠1＝∠2，OG ＝OH
《三角形的中位线》教学设计
《三角形的中位线》教学设计 [设计思路] （一）教材分析 本课时在教学中注重新旧知识的联系，强调直观与抽象的结合，鼓励学生大胆猜想，大胆探索新颖独特的证明方法和思路，让学生经历“探索—发现—猜想—证明”这一过程，同时渗透归纳、类比、转化等数学思想方法。通过本节课的学习，应使学生理解三角形中位线性质，不但能指出了三角形的中位线与第三边的位置关系和数量关系，而且还为证明线段之间的位置关系和数量关系提供了新的思路。 （二）学情分析 针对本班学生基础知识不够扎实，新知识接受能力不强，数学思想方法运用不够灵活的现状,本节课着眼于基础，注重能力的培养，积极引导学生首先通过实际操作获得结论，然后借助于平行四边形的有关知识进行探索和证明。在此过程中注重知识渗透转化、类比、归纳的数学思想方法，使学生能充分参与到教学过程中去，从而提高本节课的教学效果。 （三）教学目标 1.知识目标 （1）理解三角形中位线的概念。 （2）掌握三角形中位线的性质。 （3）会运用性质进行论证和计算。 2.能力目标
通过性质证明，培养学生思维的广阔性，渗透对比转化的思想。 3.情感目标 通过学生动手操作、观察、实验、推理、猜想、论证等过程，让学生体验知识的发生和发展过程，培养学生的创新意识。 （四）教学重点与难点 教学重点：三角形中位线的概念与三角形中位线的性质. 教学难点：三角形中位线性质的证明。 （五）教学方法与学法指导 对于三角形中位线定义的引入采用类比法，在此基础上，教师引导学生通过探索、猜测等自主探究的方法先获得结论再去证明。在此过程中，注重对证明思路的启发和数学思想方法的渗透，而对于定理的证明过程，则运用多媒体的优势，给予演示增强直观性，使学生易于理解和接受。 （六）教具和学具的准备 教具：多媒体、刻度尺、教学三角板。 学具：三角板、刻度尺。 [教学过程] 一、引入 谈话：同学们好，今天这节课我将与大家一起来学习三角形中位线的概念与性质。 二、新授 （1）对照图片，回顾三角形中线的概念及 特点：
新人教版八年级数学下册学案：三角形的中位线导学案
第十八章 平行四边形 . . . ∠ADC DE. . 1 .2 DE BC DE BC 求证：∥，
分析： 证法 1：证明：延长DE 到F ，使EF=DE ．连接AF 、CF 、DC ． ∵AE=EC ，DE=EF ， ∴四边形ADCF 是_______________． ∴CF ∥AD ,CF=AD ， ∴CF_____BD ,CF_____BD ， ∴四边形BCFD 是 ________________， ∴DF_____BC ,DF_______BC ， 12 DE DF =又∵， ∴DE_____BC ,DE=______BC. 证法2：证明：延长DE 到F ，使EF=DE ．连接FC ． ∵∠AED=∠CEF ，AE=CE ， ∴△ADE_____△CFE ． ∴∠ADE=∠_____,AD=_______, ∴CF______AD,∴BD______CF. ∴四边形BCFD 是___________________. ∴DF_______BC. 12DE DF =又∵， ∴DE_____BC ,DE=______BC. 要点归纳：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半． 符号语言：△ABC 中，若D 、E 分别是边AB 、AC 的中点， 12 =. DE BC DE BC 则， 重要结论：①中位线DE 、EF 、DF 把△ABC 分成四个全等的三角形；有三组共边的平行四边形，它们是四边形ADFE 和BDEF ，四边形BFED 和CFDE ，四边形ADFE 和DFCE. ②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一.
北师大版八年级数学下册 三角形的中位线教学设计教案
《3三角形的中位线》教案 教学目标 知识与技能： 1、理解和领会三角形中位线的概念． 2、理解并掌握三角形中位线定理及其应用． 过程与方法： 经过探索三角形中位线定理的过程，理解它与平行四边形的内在联系，感悟几何学的推理方法． 情感态度与价值观： 培养学生合情推理意识，形成几何思维分析思路，体会几何学在日常生活中的应用价值．教学重难点 重点：理解并应用三角形中位线定理． 难点：三角形中位线定理的探索与推导． 学习过程 一、复习引入 1、什么叫三角形的中线？ 2、三角形的中线有几条？ 二、合作交流，探究新知 1、问题引入： 接下来，我们就要来探究一个问题，A、B两点被池塘隔开，现在要测量出A、B两点间的距离，但又无法直接去测量，怎么办？ 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 2、用例题证明中位线的定理： 例：如图已知，在△ABC中，点D，E分别是△ABC的边AB、AC中线， 求证：DE∥BC，且DE=1/2BC． 证明：如图，延长DE到F，使EF=DE，连结CF． ∵DE=EF，AE=EC，∠AED=∠CEF，
∴△ADE ≌△CFE ∴AD=FC ，∠A=∠CEF ∴AB ∥FC 又AD=DB ∴BD //CF 所以，四边形BCFD 是平行四边形． ∴DE ∥BC 且DE=2 1BC ． 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 3、解决引入问题： A 、 B 两点被池塘隔开，现在要测量出A 、B 两点间的距离，但又无法直接去测量，怎么办？ 在A 、B 外选一点 C ，连结AC 和BC ，并分别找出AC 和BC 的中点 D 、 E ，如果能测量出DE 的长度，也就能知道AB 的距离了．（AB=2DE ） 三、应用迁移 已知：如图所示，在四边形ABCD 中，E 、F 、H 、M 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 求证：四边形EFHM 是平行四边形． 分析：因为已知点分别是四边形各边中点，如果连结对角线就可以把四边形分成三角形，这样就可以用三角形中位线定理来证明出四边形EFGM 对边的关系，从而证出四边形EFGH 是平行四边形． 证明：连结AC ． ∵AM=MD ，CH=HD ∴HM //AC ，HM=1/2AC （三角形中位线定理）． 同理，EF //AC ，EF=1/2AC ∴HM //EF ∴四边形EFGH 是平行四边形． 四、课堂检测，巩固提高： 1、△ABC 中，E 、F 分别为AB ，AC 的中点，若AB=8，AC=12，BC=18，那么EF=________． 2、顺次连结任意四边形各边中点所得的图形是______． 3、已知三角形的3条中位线分别为3cm 、4cm 、6cm ，则这个三角形的周长是（ ） A ．3cm B ．26cm C ．24cm D ．65cm
3.6 三角形、梯形的中位线 (1)导学案
3.6 三角形、梯形的中位线 (1) 学习目标： 知识：1.探索并掌握三角形中位线的概念及性质。 2.会利用三角形中位线的性质解决相关问题。 3.体会转化的思想方法。 能力：在观察、操作、归纳、推理等探究过程中，发展合情推理能力。 情感：在合作、探究过程中，体会成功的喜悦，调动学生学习的积极性。 学习重点：三角形中位线性质的探索及其初步应用。 学习难点：运用转化思想解决有关问题。 一、情境创设：怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？ 二、探索活动： 1.操作：将一张三角形纸片剪成两部分， 使分成的两部分能拼成一个平行四边 形。(小组讨论) 步骤：(1)剪一个三角形，记为△ABC ； (2)分别取AB 、AC 的中点D 、E ，连接 DE ； (3)沿DE 将△ABC 剪成两部分并将△ADE 绕点E 旋转180到△CFE 的位置得四边 形BCFD 。(学生继续完成操作) 2.讨论：(1)四边形BCFD 为平行四边形吗？为什么？ (2)线段DE 与线段BC 有怎样的关系，为什么？ 3.归纳： 叫做三角形的中位线。 说说三角形中位线与三角形中线的区别： 三角形中位线的性质： 三．典型例题： 例1 如图，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，四边形EFGH 是平行四边形吗？为什么？ 例2 在□ABCD 中，AC 、BD 交于O ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、OB 、CD 、OD 的中点。说明： ∠HEF=∠FGH 。 四、巩固练习 1．△ABC 的各边边长为4、6、8，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，则DE= ； EF= ；FD= 。 A D E F C B F A O H G D C B E F E H G D C B A
三角形中位线定理 知识讲解
三角形中位线定理 【学习目标】 1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理． 2. 掌握中点四边形的形成规律. 【要点梳理】 要点一、三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个 小三角形的周长为原三角形周长的1 2 ，每个小三角形的面积为原三角形 面积的1 4 . （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 要点二、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 【典型例题】 类型一、三角形的中位线 1、（优质试题?北京）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN． （1）求证：BM=MN； （2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长． 【思路点拨】（1）根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明．
初中几何中三角形中位线定理的应用
初中几何中三角形中位线定理的应用 三角形中位线定理在初中教材体系中是一个很重要的定理，学好本节内容将有助于梯形中位线定理乃至整个平面几何知识的学习。它具有两个方面的特性：（1）平行于第三边，这是位置关系； （2）等于第三边的一半，这是数量关系。就第一个特性而言，中位线定理与平行线等分线段定理中的推论2（经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边）存在着互逆关系。我们利用这两个特性，能证明（求解）许多几何问题，以下举例说明它的具体应用。 一、证明问题 1、证明角相等关系 例1、已知：如图在四边形ABCD 中 对角线AC=BD ，E 、F 分别为AB 、CD 中点，点O 为AC ，BD 的交点，M 、N 为EF 与BD ，AC 的交点。求证：OM=ON 分析：证明OM=ON 可转化成证明 ∠OMN=∠ONM ，由于E 、F 为AB 、CD 的中点这时只要取AD 中点H 作出△ABD 与 △ACD 的中位线，即可得到EH=21BD ,HF=21AC,因为AC=BD,从而 得到EH=HF 所以∠HEF=∠HFE,因为 EH//BD, FH//AC 所以∠HEF=∠OMN, ∠HFE=∠ANM 从而得到∠DMF=∠ANM 这样要求证问题就解决了。 证明：取AD 中点H 并分别连结EH 、HF ，即EF 与FH 分别为△ABD 与△DAC 的中位线。 ∴EH=21BD ，EH//BD ，HF=21AC ，FH//AC (三角形中位线定理) 而 AC=BD ，∴EH=HF ，∴∠HEF=∠HFE 又∵EH//BD ，HF//AC ，∴∠HEF=∠ DMF ，∠HFE=∠ANM ∴∠DMF=∠ANM ，∴OM=ON 例2、如图、四边ABCD 中，AB=CD ， M 、N 分别为AD 、BC 的中点，EF ⊥MN
三角形的中位线教学设计
三角形的中位线教学设计 宣汉县第二中学徐霞 一、教材分析 《三角形的中位线》是北师大版九年级（上）第三章《证明三》的第一节，平行四边形的第3课时的教学内容，教材安排一个学时完成。本节教材是在学生学完了三角形、四边形内容之后,作为三角形和四边形知识的应用和深化所引出的一个重要性质定理，它揭示了线与线之间的位置关系，线段与线段间的数量关系，对进一步学习非常有用，尤其是在证明两直线平行和论证线段倍分关系时常常要用到.由于在本章最后要探索特殊平行四边形的中点四边形，为了知识的连贯性和探索的完整性我将本节中探索一般四边形的中点四边形的形状调整到探索特殊平行四边形的中点四边形一起完成。 二、学情分析 本章从内容上讲是《证明一》和《证明二》的继续，初三的学生对于推理证明的基本要求、基本步骤和方法已经初步掌握。对于本节课三角形中位线定义的理解及完成大部分练习也不是难事，但在本节学习中学生容易出现以下问题：一是如何证明线段的倍分问题；二是应用中位线性质定理时怎样添加辅助线的问题. 三、教学目标 1.理解三角形中位线的概念，会证明三角形的中位线定理，能应用三角形中位线定理解决相关的问题； 2.进一步经历“探索—猜想—证明”的过程，发展探究能力、推理论证的能力；培养数学应用意识 3.在命题的证明过程中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力； 4.在定理的证明和应用过程中体归纳、类比、转化等数学思想方法。 四、教学重难点 重点：三角形中位线性质定理证明及应用 难点：用添加辅助线的方法来推证三角形中位线定理,了解证明线段倍分关系问题的基本要领. 五、教学准备：教师准备多媒体课件，三角板. 六、教学过程 （一）创设情境，导入新课 1.多媒体展示右图，观察思考：
人教版八年级下册数学第3课时 三角形的中位线(导学案)
18.1.2 平行四边形的判定 镇海中学陈志海 第3课时三角形的中位线 一、新课导入 1.导入课题 同学们，前面我们学习平行四边形时，常把它分割成三角形来研究，今天我们反过来利用平行四边形来研究三角形的有关问题. 2.学习目标 （1）知道什么是三角形的中位线. （2）知道三角形中位线的性质. 3.学习重、难点 重点：三角形的中位线及其性质. 难点：三角形中位线性质的运用. 二、分层学习 1.自学指导 （1）自学内容：P47练习下面至P48探究上面的内容. （2）自学时间：3分钟. （3）自学方法：看书，看图，认识三角形中位线的意义. （4）自学参考提纲： ①画图说明什么是三角形的中位线，一个三角形有几条中位线？三角形的中位线与中线有什么不同？怎么区分？ ②如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，连接DE、EF、DF、AE、BF、CD，则图中的中线是AE、BF、CD，中位线是DE、DF、EF. 2.自学：结合自学参考提纲进行自主学习. 3.助学 （1）师助生：①明了学情：了解学生是否掌握中位线的准确含义. ②差异指导：指导中位线与中线的区别. （2）生助生：学生之间相互交流、研讨疑难之处.
4.强化:三角形中位线的意义. 1.自学指导 （1）自学内容：三角形中位线与第三边的位置和大小关系. （2）自学时间：10分钟. （3）自学方法：测量中位线长、第三边长并猜想. （4）探究提纲： ①任画一个三角形，取三边的中点并相互连接，然后量中位线长和第三边长，重复画几次，看结果如何. ②通过测量一条中位线长与第三边的长，你有什么发现吗？ ③如右图，△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，试量一下DE、BC的长，比较量出的数据，你有什么发现？DE与BC在位置上有什么关系吗？说出你的猜想. ④结合你的实验猜想出三角形的中位线的性质是 1 , 2 DE BC DE BC =. 2.自学：学生结合探究提纲自主探究学习. 3.助学 （1）师助生： ①明了学情：关注学生画图、度量的情况及判断总结的结论是否合理. ②差异指导：指导学生结合测量数据进行猜想并归纳. （2）生助生：学生研讨疑难之处. 4.强化：三角形中位线的性质. 1.自学指导 （1）自学内容：探究三角形中位性质的证明方法. （2）自学时间：5分钟. （3）自学方法：由DE=12BC思考DE怎么处理可使BC=2DE. （4）探究提纲： 如右图，D、E分别为AB、AC的中点， 求证： 1 2 DE BC DE BC = ，.
八年级数学鲁教版三角形的中位线1教学设计
3. 三角形的中位线(1) 一、学生知识状况分析 本节课是在学生学习了全等三角形、平行四边形的性质与判定的基础上学习三角形中位线的概念和性质。三角形中位线是继三角形的角平分线、中线、高线后的第四种重要线段。三角形中位线定理为证明直线的平行和线段的倍分关系提供了新的方法和依据，也是后续研究梯形中位线的基础。三角形中位线定理所显示的特点既有线段的位置关系又有线段的数量关系，因此对实际问题可进行定性和定量的描述，在生活中有着广泛的应用。 二、教学任务分析 本节课以“问题情境——建立模型——巩固训练——拓展延伸”的模式展开，引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出问题与学生共同探索、讨论解决问题的方法，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义。 利用制作的多媒体课件，让学生通过课件进行探究活动，使他们直观、具体、形象地感知知识，进而达到化解难点、突破重点的目的。 教学目标 1、认知目标 （1）知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同。 （2）理解三角形中位线定理，并能运用它进行有关的论证和计算。 （3）通过对问题的探索及进一步变式，培养学生逆向思维及分解构造基本图形解决较复杂问题的能力． 2、能力目标 引导学生通过观察、实验、联想来发现三角形中位线的性质，培养学生 观察问题、分析问题和解决问题的能力。 3、德育目标 对学生进行事物之间相互转化的辩证的观点的教育。 4、情感目标 利用制作的Powerpoint课件，创设问题情景，激发学生的热情和兴趣，
激活学生思维。 教学重难点 【重点】：三角形中位线定理 【难点】：难点是证明三角形中位线性质定理时辅助线的添法和性质的灵活应用． 三、教学过程分析 本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情景,导入课题；第二环节：教师讲授、传授新知；第三环节：师生共析、证明定理；第四环节：灵活运用、自我检测；第五环节：回顾小结、共同提升；第六环节：分层作业，拓展延伸；第七环节：课后反思。 第一环节：创设情景，导入课题 １．怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？ 操作：（1）剪一个三角形，记为△ABC （2）分别取AB,AC中点D,E，连接DE （3）沿DE将△ABC剪成两部分，并将△ABC绕点E旋转180°，得四边形BCFD. 2、思考：四边形ABCD是平行四边形吗？ 3、探索新结论：若四边形ABCD是平行四边形，那么DE与BC有什么位 置和数量关系呢？
北师大版数学八年级下册6.3《三角形的中位线》导学案2
6.3 三角形的中位线 【学习目标】 1.了解三角形中位线的概念. 2.会证明三角形的中位线定理。 【重点】掌握和运用三角形中位线定理。 【难点】三角形中位线定理的证明。 【学习过程】 一、温故而知新 1.在右图中,你可补充一些什么条件,使得△ADE∽△ABC? 问: 补充 AB AD =32;AC AE =3 2 呢? 二、初生牛犊不怕虎，让我来探索： 探索一：1、思考：你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？你是怎么做的？请画出草图。 2、如果连结三角形每两边的中点，能得到四个全等的三角形吗？ ※定义：连接三角形 的 叫做三角形的中位线。 探究二：1、你能猜想出三角形的中位线与第三边有怎样的关系? B C A D E
A E B F C G D H ※定理：三角形的中位线 与第三边，且 第三边的 。 2、请写出已知、求证，并证明： 3、请利用三角形中位线定理，证明连结三角形每两边的中点得到的四个三角形全等。 探究三：任意作一个四边形，并将其四边的中点依次连接起来，得到一个新的四边形，这个新的四边形的形状有什么特征？请证明你的结论. 三、看我有多棒 1、三角形的中位线平行于__________，且等于__________的一半. 2、连结任意四边形的四边中点，所得到的四边形是__________. 3、一个三角形的三边长分别为4，5，6，则连结各边中点所得三角形的周长为__________. 4、三角形三条中位线将其分成__________个全等三角形. 5、如图所示，△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，AB =10 cm ， AC =6 cm ，则四边形ADEF 的周长为_________. C A B D E
(完整版)人教版八年级下三角形中位线定理
知识点回顾（笔记） 证一证 如图，在△ABC 中，点D,E 分别是AB,AC 边的中点. 1 .2 DE BC DE BC =求证：∥， 证法1：证明：延长DE 到F ，使EF=DE ．连接AF 、CF 、DC ． ∵AE=EC ，DE=EF ， ∴四边形ADCF 是_______________． ∴CF ∥AD ,CF=AD ， ∴CF_____BD ,CF_____BD ， ∴四边形BCFD 是____________ ∴DF_____BC ,DF_______BC ， 12 DE DF =又∵， ∴DE_____BC ,DE=______BC. 证法2：证明：延长DE 到F ，使EF=DE ．连接FC ． ∵∠AED=∠CEF ，AE=CE ， ∴△ADE_____△CFE ．（全等） ∴∠ADE=∠_____,AD=_______, ∴CF______AD,∴BD______CF. ∴四边形BCFD 是___________________. ∴DF_______BC. 12DE DF =又∵， ∴DE_____BC ,DE=______BC.
类型1 三角形中位线的定理及运用 例1如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，求AC的长. 例2 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数． 类型2中位线辅助线的构造 例3如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE. 例4. 如图，在△ABC中，AB=AC，CD是AB边上的中线，延长AB到点E，使BE=AB，连接CE．求 证：CD= CE。
初中数学《三角形的中位线》教学案
《3.6三角形的中位线》教学案
1、如图1：在△ABC 中，DE 是中位线 （1）若∠ADE=60°，则∠B= 度，为什么？ （2）若BC=8cm ，则DE= cm ，为什么？ 2、如图2：在△ABC 中，D 、E 、F 分别是各边中点，AB=6cm ，AC=8cm ，BC=10cm ，则△DEF 的周长= cm 3、如图，A 、B 两地被建筑物阻隔，为测量A 、B 两地间的距离，在地面上 选一点C ，连接CA 、CB ，分别取CA 、CB 的中点D 、E 。 ①若DE 的长为36cm ，求AB 两地间的距离 ②如果D 、E 两地间还有阻隔，你有什么解决办法？ 四、例题运用，形成能力 下面我们通过习题尝试运用三角形的中位线性质。 例题： 如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，四边形EFGH 是平行四边形吗？为什么？ 提问：你是如何思考这个问题的？ 变式训练： 变式1：如果这个条件不变，改变结论：如EG 与FH 的关系等。 变式2：四边形ABCD 是平行四边形呢？ 变式3：四边形ABCD 是矩形呢？ 变式4：四边形ABCD 是菱形呢？ 五、小结反思，巩固提高 1． 你是如何发现三角形的中位线及 学生练习，教师巡回指导，特别是关注后进的学生，帮助他们解决学习上的困难。 鼓励学生回答： 可利用： ①一组对边平行且相等； ②两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形 学生口答从①定义，②图形，③性质几方面比较回答。 学生先自主思考练习， 然后再小组讨论，交流思考问题的体会 角形的高与中位线的关系，做下铺垫. 通过直观的观察让学生得到三角形中位线的性质，培养学生对客观世界的直观认识，培养学生的猜测、归纳能力。 用推理的方法对三角形的中位线的性质进行验证。培养学生严密的数学态度，也发展学生有条理地思考和表达能力。 适时的练习有助于学生 巩固知识，运用知识。 H G F E D C B A
三角形的中位线导学案
三角形的中位线--------导学案 射洪县洋溪中学校刘勇 一、学习目标： 掌握三角形中位线的概念、三角形中位线的定理。 二、情感目标 经历探究三角形中位线定理的过程，从中得到数学的乐趣。 三、能力目标： 通过对例题的理解。步骤的掌握、注意解题格式。 四、重点：掌握和运用三角形中位线定理。 五、难点：三角形中位线定理的证明。 六、教学方法：多媒体教学共析法 七、教学过程： （一）情境引入： 问题：A、B两点被池塘隔开,如何测量A、B两点距离呢？为什么?（多媒体展示）（二）新知介绍 A 定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 如图，D、E是AB、AC中点，我们就把DE叫△ABC 的中位线D E 注意： 1、三角形的中位线和中线区别： B C 三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段 A 三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段 2、理解三角形的中位线定义的两层含义: ①∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线 ②∵DE为△ABC的中位线，∴D、E分别为AB、AC的中点 3、一个三角形共有条中位线。 B C （三）中位线的性质： A 1 2 已知：在△ABC 中，DE是△ABC 的中位线 B C 求证：DE ∥BC，且DE=1/2BC
语言描述：∵DE是△ABC的中位线 ∴DE∥BC，DE=1/2BC 用途：①证明平行问题②证明一条线段是另一条线段的2倍或1/2 友情提示：中点想到-------中线、中位线 A 基础练习一： 1.如图1：在△ABC中，DE是中位线 D E （1）若∠ADE=60°，则∠B= 度，为什么？ （2）若BC=8cm，则DE= cm，为什么？ B C 2.如图2：在△ABC中，D、E、F分别是各边中点 B EF=3cm，DF=4cm，DE=5cm， D F 则△ABC的周长= cm A E C 3、解决课前问题：（见课件） （四）典型例题分析： 例1：求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形 A H B C 练习二：1、顺次连接四边形各边中点得到的是 2、顺次连接矩形各边中点得到的是 3、顺次连接菱形各边中点得到的是 4、顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点得到的是 5、顺次连接对角线相等的四边形各边中点得到的是 ★6、顺次连接四边形各边中点得到正方形，那么这个四边形的特点是 矩形菱形对角线互相垂直的四边形 对角线相等的四边形
《三角形的中位线定理》教学设计 (表格版)
《三角形的中位线定理》教学设计 【教学目标】 1.知识与技能目标： （1）知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同； （2）理解三角形中位线定理，并能运用它解决有关问题。 2.能力与过程目标： 借助动手操作及动画变换等形式的直观演示，引导学生通过观察、实验、猜测、联想来发现三角形中位线的性质，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力。经历探索三角形中位线定理的过程，发展合情推理能力，掌握三角形中位线定理； 3.德育目标： 对学生进行事物之间相互转化的辩证的观点的教育。 4.情感目标： 利用多媒体课件，创设问题情境，激发学生的学习热情和兴趣，激活学生的思维。 【教学重点与难点分析】 1、教学重点：掌握和运用三角形中位线性质； 2、教学难点：三角形中位线定理的证明及应用。 【教学方法】 对于三角形中位线的引入采用发现法，在教师的指导下，学生通过观察、探索、猜测、联想等自主探究的方法先获得结论，再去证明。在此过程中，注重对证明思路的启发和数学方法的渗透，提倡证明方法的多样性。课堂教学中，始终以“教师为主导，学生为主体、探究为主线”的教学思想，充分发挥主体地位的作用。 【教学用具】 教师：三角尺、剪刀、三角形纸片、计算机多媒体课件 学生：基本学具、导学案 【设计理念】 本节课我设计故事和问题情境导入，以学案导学，变静态、封闭型课堂为动态、开放性的知识互动交流和探究。借助动手操作演示，配合PowerPoint、几何画板等多媒体手段的动态辅助演示，用以突出教学重点，突破教学难点。力求遵循学生学习数学的认知规律，注意让学生经历知识的生成和发展过程，通过悬而未决的问题、简单的操作活动引起学生的注意，培养其分析问题、解决问题的能力，让学生在学习过程中不断构建各种数学模型，总结数学思想和规律，以便更好地运用所学的知识、方法去解决问题，真正体现“以学生为本”的理念。教学过程中选用的习题练习又易到难，梯度递升，贯穿了转化、一题多解、方程、倍分等数学思想和方法，融知识生成与解决途径于其中，体现了新课标的思想内涵。
三角形的中位线导学案
1 三角形的中位线 一、 知识框架 二、 目标点击 1、探索并掌握三角形中位线定理. 2、会利用三角形中位线定理进行计算和证明. 三、 (重)难点预见 学习重点：利用三角形中位线定理进行计算和证明. 学习难点：探索三角形中位线定理. 四、 学法指导 1、结合教材和预习学案，先独立思考，遇到困难小对子之间进行帮扶交流完成学习任务。 2、学具准备：三角板（或直尺），量角器。 五、 自主探究 1、 学一学 叫做三角形的中位线. 任意画一个△ABC ，你能画出它的一条中位线吗？它有几条中位线？ 思考：三角形的中位线与三角形的中线是一回事吗？为什么？ 2、量一量 任意画△ ABC ，如图(2),设AB 、AC 边的中点分别为D ，E ，连接DE ，分别度量∠ADE 与∠B 的大小，你发现DE 与BC 有怎样的位置关系？分别量出线段DE 与BC 的长，你发现DE 与BC 之间有怎样的数量关系？对于△ABC 其他的两条中位线，重复上面的实验，你会得到什么结论？ 3、 猜一猜 归纳上面的测量结果，你认为三角形的中位线具有什么性质？ 4、证一证 已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 与AC 边的中点， 求证：D E ∥BC DE= 2 1BC （温馨提示：同学们可以用相似三角形的性质证明，也可以 延长DE 到F,使EF=DE,构造平行四边形来进行证明。） A B C 图（1） A B C 图（2） A C D E
2 通过刚才的证明，你能叙述你所证明的结论吗？你能编制一个小口诀来进行快乐记忆吗？ 如果写成 “∵” “∴”形式该怎么写？ ∵ ∴ . 六、基础在线 口诀引领：中点见中点，形成中位线，有了中位线，解题就好办。 （1） 已知：如图，△ABC 三边的中点分别为D 、E 、F ， 如果AB=6cm ，AC=8 cm ，BC=10 cm 。那么△DEF 的周长是 cm. （2）在菱形ABCD 中，如图，E 、F 分别是AB 、AC 的中点， 如果EF=2cm ，那么菱形ABCD 的周长是 cm. （3） 求证：三角形的中位线与第三边的中线互相平分. 七、能力升级 如图，点E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、 DA 的中点. 求证：四边形EFGH 是平行四边形. （温馨提示：同学们可以连接对角线，将四边形转化为 三角形，利用三角形的中位线定理进行证明。） 八、经典分析 利用三角形的中位线定理判定四边形的形状 （一）结论：顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形为平行四边形。 B A F C A D E H D G C A F B
人教版八年级数学下册三角形中位线教学设计
人教版义务教育课程标准教科书八年级下册 18.1.2《平行四边形的判定》（三）教学设计 一、教材分析 1、地位作用：本课时所要探究的三角形中位线是三角形中一条重要的线段，三角形中位线定理是三角形的一个重要性质定理。因此，在教学中通过创设有趣的情境问题，激发学生的学习兴趣，注重新旧知识的联系，强调直观与抽象的结合，鼓励学生大胆猜想，大胆探索新颖独特的证明方法和思路，让学生充分经历“探索—发现—猜想—证明”这一过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用，同时渗透归纳、类比、转化等数学思想方法。通过本节课的学习，应使学生理解三角形中位线定理不仅指出了三角形的中位线与第三边的位置关系和数量关系，而且为证明线段之间的位置关系和数量关系（倍分关系）提供了新的思路，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。 2、教学目标： 1、探索并掌握三角形的中位线的概念、性质。 2、会利用三角形中位线的性质解决有关问题。 3、让学生交流讨论，培养学生合作学习的能力。 3、教学重、难点: 重点： 1、认识三角形的中位线，会画三角形的中位线； 2、理解三角形的中位线性质，会用中位线性质去解决相关问题。 难点：利用三角形中位线性质解决有关问题 重难点突破方法：对于三角形中位线定理的引入采用发现法，在教师的引导下，学生通过探索、猜测等自主探究的方法，先获得结论再去证明。在此过程中，注重对证明思路的启发和数学思想方法的渗透，提倡证明方法的多样性，而对于定理的证明过程，则运用多媒体演示。 二、教学准备：多媒体课件、导学案 三、教学过程：
猜想：DE∥BC, 你能验证你的猜想吗？证明：延长DE
19.1.2三角形的中位线(学案)
19.1.2平行四边形的判定2 班级_______________姓名________________学号_________________小组_______________ 学习目标：①理解并掌握三角形中位线的概念及性质定理②能应用中位线的性质定理解题 一、温故知新 二、探究问题 如图，在△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 边上的中点，分别连接DE 、EF 、FD ，请你猜想，此时图中有无平行四 边形？若有请列出来。 ________________________________________________ 分步探究： 1、研究DF 与BC 的关系（注：要从位置关系与数量关系两方面讨论） 猜想：①位置关系___________________________ ②数量关系___________________________ 已知：在△ABC 中，D 、F 分别是AB 、AC 边上的中点 求证：__________________________________________ 证明：延长DF 至M ，使DF=FM 连接CM ∵ D 、F 分别是AB 、AC 的中点 ∴____ = ____，____ = ____ 在△AFD 与△CFM 中 ∵ ?? ??? （像DF 这样的线就叫做三角形的中位线，具有一些特殊的性质） 2、归纳概念——三角形中位线的定义及性质定理 ⑴定义：_____________________________________________ 图示： A B C D E F A B C D F ∴△AFD ≌△CFM （ ） ∴MC = _____ = _____ ∴∠______ =∠ ______ ∴________∥_________ ∴MC ______BD ∴四边形BCMD 为平行四边形 ∴BC=DM=2DF ，BC ∥DM ∴DF _____ 12 BC A B C D F
《三角形的中位线》导学案及练习题
6.3三角形的中位线 【学习目标】 1.了解三角形中位线的概念. 2.会证明三角形的中位线定理。 【重点】掌握和运用三角形中位线定理。 【难点】三角形中位线定理的证明。 【学习过程】 一、初生牛犊不怕虎，让我来探索： 探索一：1、思考：你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？ 2、如果连结三角形每两边的中点，能得到四个全等的三角形吗？ 3、 ※定义：连接三角形 的 叫做三角形的中位线。 探究二：1、你能猜想出三角形的中位线与第三边有怎样的关系? ※定理：三角形的中位线 与第三边，且 第三边的 。 2、已知三角形ABC ，其中D ,E 为AB,AC 边的中点、 3.几何语言的书写： C A B D E . 2 1 BC DE 求证:DE ∥BC, C A B D E
A E B F C G D H 习题练习:1 1.如图：EF 是?ABC 的中位线， (1) EF=4，BC=___;∠AEF=60度，∠B= (2)BC=6, EF=___,∠C=70度，∠ =70度 2.在□ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，点E 是边BC 的中点，AB=4,则OE 的长是=______ 例题1：一个三角形的三边长分别为4，5，6，则连结各边中点所得三角形的周长为__________. 变式练习:1.已知三角形ABC 的周长为m ，连接三角形ABC 三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的中点构成第三个三角形，.......依此类推，第二个三角形的周长为___;第三个三角形的周长为__ _;......第2015个三角形的周长为________ 探究题：任意作一个四边形，并将其四边的中点依次连接起来，得到一个新的四边形，这个新的四边形的形状有什么特征？请证明你的结论. 变式练习：在四边形ABCD 中，E,F,G ,H 分别是AB, CD,AC,BD 的中点。四边形EGFH 是平行四边形？ 请证明你的结论。
四边形中三角形的中位线的应用
四边形中三角形的中位线的应用 例1. 已知点E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 四边的中点，试问四边形EFGH 是平行四边形吗？ 分析：这是个引子问题，也是个基础问题。只要连结四边形ABCD 的一条对角线，再利用三角形中位线性质和平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可解决问题。它也有许多引伸。如：当四边形ABCD 满足什么样条件时，连结它四边中点所得到的四边形是菱形？答案是对角线相等。想想为什么？ 例3. 已知：如图，四边形ABCD ，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，试说明AD BC EF +>2。 分析：本题看条件很简单，如何得结论似乎无处入手。但只要想到三角形中位线，知道构造三角形，这问题也不难。 解：连结BD ，取BD 中点为H ，连结EH 、FH 。 因为点E 、F 分别是AB 、CD 的中点 所以EH AD FH BC = =1212， 又EH FH EF +>，所以1212AD BC EF +> 即AD BC EF +>2 例4. 已知：如图，四边形ABCD ，AC 、BD 交于点O ，且AC ＝BD ，点E 、F 分别是AB 、CD 中点，连结EF 交AC 、BD 于G 、H ，试说明OG ＝OH 。
分析：本题看条件比例3多了一个条件，但解题仍比较困难，这时经验与想象力就很重要了。 解：取BC 中点为M ，连结ME 、MF 因为点E 、F 分别是AB 、CD 的中点 所以ME AC MF BD ==1212， ME ∥AC ，MF ∥BD 又AC ＝BD ，所以ME ＝MF 则∠MEF ＝∠MFE 又ME ∥AC ，MF ∥BD 所以∠1＝∠MEF ，∠2＝∠MFE 所以∠1＝∠2，OG ＝OH
北师大版数学八下《三角形的中位线》word导学案
AB DE 21 = A B C D E 课题：6.3三角形的中位线 课型 新课 主备人 陈秀香 审核人 初二数学组 上课时间 教师评价 班级 姓名 座号 第 组第 号 组内评价并签名： 【学习目标】 理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理，并能较熟练地应用三角形中位线定理进行有关的证明和计算，经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。 【学习重难点】 学习重点：掌握和运用三角形中位线的定理 学习难点：三角形中位线定理的证明和灵活应用 【预习学法指导】利用10分钟时间认真阅读课本第150-152页, 按顺序完成导学案，完 成自主高效的预习. 复习巩固 1、三角形的中线的定义： 2、一个三角形有______条中线 【自主探究一】三角形的中位线 1、三角形中位线定义：_______________________________ 一个三角形共有 条中位线，在右图上画出来。 思考：三角形的中位线是连结 的线段 三角形的中线是连结 的线段 2、（1）D 、E 分别是AB 、AC 的中点，通过度量你发现DE 与 BC 有怎样的数量关系 （2）用量角器量一量∠ADE 与∠B 的度数，你发现DE 与BC 有怎样的位置关系? （3）尝试用自己的语言叙述你发现的性质： （4）证明你的发现：已知：DE 是△ABC 的中位线 求证：DE//AB ， 证明：延长DE 到F ，使 ,连接BF 在△CDE 和△BFE 中 ?? ? ? ?=∠=∠=EF DE BE CE 21 ∴△CDE ≌△BFE （ ） ∴CD= （全等三角形对应边相等） ∠C= （全等三角形对应角相等） ∴AC// （ 内错角相等，两直线平行） ∵CD=AD ∴AD= （ ） 图1
三角形中位线性质的应用
三角形中位线性质的应用 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．三角形中位线性质，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度． 例1如图1，已知：△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM 和CAN ，P 是BC 的中点．求证：PM ＝PN 证明：作ME ⊥AB ，NF ⊥AC ，垂足E ，F 因为△ABM 、△CAN 是等腰直角三角形 所以AE ＝EB ＝ME ，AF ＝FC ＝NF ， 根据三角形中位线性质，可知， PE ＝ 2 1AC ＝NF ，PF ＝2 1AB ＝ME PE ∥AC ，PF ∥AB 所以∠PEB ＝∠BAC ＝∠PFC 所以∠PEB+ ∠MEB ＝∠PFC+ ∠NFC 即∠PEM ＝∠PFN 所以△PEM ≌△PFN 所以PM ＝PN ． 例2如图2，已知：△ABC 中，AD 是角平分线，BE ＝CF ，M 、N 分别是BC 和EF 的中点．求证：MN ∥AD ． 证明：连结EC ，取EC 的中点P ，连结PM 、PN 根据三角形中位线性质，可知， MP ∥AB ，MP ＝ 2 1BE ，NP ∥AC ，NP ＝2 1CF 因为BE ＝CF ，所以MP ＝NP ， 所以∠3=∠4= 1802 M PN -∠ ， ∠MPN ＋∠BAC ＝180 （两边分平行的两个角相等或互补） 所以∠1=∠2=1802 M PN -∠ ， 所以∠2=∠3． 因为NP ∥AC ， 所以MN ∥AD ． 练一练： 1．如图3，已知E 、F 、G 、H 是四边形ABCD 各边的中点． 则①四边形EFGH 是 形； ②当AC ＝BD 时，四边形EFGH 是 形； ③当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是 形； ④当AC 和BD 时，四边形EFGH 是正方形形． 2．如图4，已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝7，AD 是角平分线，CM ⊥AD 于M ，且N 是BC N P 图1 C M 图 2 图3