.隐函数微分法
第五节 隐函数微分法
教学目的:(1) 了解隐函数存在定理的条件与结论;
(2) 会求隐函数的导数和偏导数。
教学重点:方程、方程组确定的二元隐函数的偏导数或全微分计算。 教学难点:方程、方程组确定的二元隐函数的偏导数或全微分计算。 教学方法:讲练结合 教学时数:2课时
一、一个方程的情形
1.(,)0F x y =
定理5.1 (隐函数存在定理1) 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内满足: ①具有连续的偏导数(,),(,)x y F x y F x y , ②00(,)0F x y =, ③00(,)0y F x y ≠,
则方程(,)0F x y =在点00(,)P x y 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值且具有连续导数的函数()y f x =,它满足条件00()y f x =,并有
y
x F F
dx dy -=. (1)
说明:
1)定理的条件是充分的,如方程330y x -=在原点(0,0)不满足条件③, 但它仍能确定唯一单值连续且可导函数y x =
2)若③换成00(,)0x F x y ≠,则确定隐函数(),x x y =在点00(,)x y 可导, 且
.y x
F dx
dy F =- 定理的证明从略,仅对公式(1)作如下推导:
设方程(,)0F x y =在点00(,)P x y 的某一邻域内确定一个具有连续导数的隐函数
()y f x =,则有恒等式 (,())0,F x f x ≡
两边对x 求导,得 0,x y
dy
F F dx +=由00(,)0y F x y ≠,得
y
x F F dx dy -=。 隐函数的求导公式
例1验证方程012
2=-+y x 在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值可导且0=x 时1=y 的隐函数()y f x =,并求这函数的一阶和二阶导数在0=x 的值.
解:令1),(2
2-+=y x y x F ,则 ,2x F x =,2y F y =,0)1,0(=F ,02)1,0(≠=y F
依定理知方程012
2
=-+y x 在点)1,0(的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且0=x 时
1=y 的函数)(x f y =.函数的一阶和二阶导数为
y x F F dx dy -= ,y
x -= ,00
==x dx dy
2
22y y x y dx y d '--=2
y y x x y ???
?
??
---=,13y -=
.10
2
2-==x dx y d
例2 已知x y
y x arctan ln
22=+,求dx
dy .
解:令,arctan ln ),(2
2x
y y x y x F -+= 则
,),(22y x y x y x F x ++=
,),(2
2y
x x
y y x F y +-= 所以
y x F F dx dy -= .x
y y x -+-= 2.(,,)0F x y z =
定理5.2(隐函数存在定理2) 设函数(,,)F x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内满足: ①具有连续的偏导数, ②000(,,)0F x y z =, ③000(,,)0z F x y z ≠,
则方程(,,)0F x y z =在点000(,,)P x y z 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数(,)z f x y =,它满足条件000(,)z f x y =,并有
z x F F x z -=??, z
y F F y z
-=??. 定理的证明从略,偏导公式与一元隐函数类似,请自己推导.
例3 设042
2
2
=-++z z y x ,求22x
z
??.
解:令,4),,(2
22z z y x z y x F -++=则,2x F x = ,42-=z F z
,2z x F F x z z x -=-=?? 22
x
z ??2)2()2(z x z x
z -??+-=2
)2(2)2(z z x
x z --?+-= .)2()2(32
2z x z -+-=
例4 设),(xyz z y x f z ++=,求
x z ??,y x ??,z
y
??. 思路:把z 看成y x ,的函数对x 求偏导数得
x
z
??,把z 看成y x ,的函数对x 求偏导数得x z ??,把y 看成z x ,的函数对z 求偏导数得z
y ??. 解:令,z y x u ++= ,xyz v = 则),,(v u f z = 把z 看成y x ,的函数对x 求偏导数得
x z ??)1(x z f u ??+?=),(x
z
xy yz f v ??+?+ 整理得
x z
??,1v
u v u xyf f yzf f --+=把x 看成y z ,的函数对y 求偏导数得 )1(
0+???=y x f u ),(y
x
yz xz f v ??+?+ 整理得
y
x
?? ,v u v u
yzf f xzf f ++-= 把y 看成z x ,的函数对z 求偏导数得 )1(
1+???=z y f u ),(z
y
xz xy f v ??+?+ 整理得
z
y ??.1v u v
u xzf f xyf f +--=
二、方程组的情形
(,,)0
1.(,,)0F x y z G x y z =??=?
为了叙述方便,引入雅可比(Jacobi )行列式:
(,)(,)x
y x
y F F F G G G x y ?=
?,
(,,)
(,,)
x
y z x y z x y z
F F F F
G
H G G G x y z H H H ?=?
定理5.3(隐函数存在定理3) 设(,,)F x y z 、(,,)G x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内满足:
①具有对各个变量的一阶连续偏导数,
②000(,,)0F x y z =,000(,,)0G x y z = ③
000(,,)
(,)
0(,)x y z F G x y ?≠?,
则方程组 (,,)0
(,,)0F x y z G x y z =??=?在点000(,,)P x y z 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有
连续偏导数的函数()
()y y x z z x =??=?
,它们满足条件00()y y x =,00()z z x =,并有
(,)
(,),(,)(,)x z x z
y z y
z
F F F
G G G dy x z F G F F dx
y z G G ??=-=-
??
(,)(,).(,)(,)y
x y x y z y
z
F F F
G G G y x dz F G F F dx
y z G G ??=-=-??
2. (,,,)0(,,,)0
F x y u v
G x y u v =??=? 定理5.4(隐函数存在定理4) 设(,,,)F x y u v 、(,,,)G x y u v 在点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内满足:
①具有对各个变量的一阶连续偏导数,
②0000(,,,)0F x y u v =,0000(,,,)0G x y u v = ③
0000(,,,)
(,)
0(,)x y u v F G u v ?≠?,
则方程组(,,,)0
(,,,)0F x y u v G x y u v =??=?在点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且
具有连续偏导数的函数(,)
(,)u u x y v v x y =??=?
,它们满足条件000(,)u u x y =,v v =000(,)x y ,并有
(,)1,(,)F G u x J x v ??=-?? (,)
1(,)F G v x J u x ??=-??, (,)1,(,)F G u y J y v ??=-?? (,)1.(,)
F G v y J u y ??=-??
定理的证明从略,仅推导偏导数公式如下:(同时也提供了一种比较实用的方法)
设方程组(,,,)0(,,,)0F x y u v G x y u v =??=?有隐函数组(,)
,(,)u u x y v v x y =??
=?
则 (,,(,),(,))0
(,,(,),(,))0F x y u x y v x y G x y u x y v x y ≡??
≡?
两边对x 求偏导得 00x
u v x u
v u v F F F x x u v G G G x x ???
+?+?=????
????+?+?=????
(这是关于u x ??,v x ??的线性方程组)
在点P 的某邻域内,系数行列式0,u
v
u v
F F J
G G =
≠故得
(,)1(,)u F G x J x v ??=-??,(,)
1(,)
v F G x J u x ??=-
?? 同理可得
(,)1(,)u F G y J y v ??=-??,(,)
1(,)
v F G y J u y ??=-
?? 例5:设22250,23 4.
x y z x y z ?++=?++=?,,求 , dy dz
dx dx .
解1:直接代入公式;
解2:方程两边对x 求导:
2220,1230.dy dz x y z dx dx
dy dz dx dx ?
++=????++=??
即
,23 1.dy
dz y z x dx dx
dy dz dx
dx ?+=-???
?+=-?? 23
y z
J =
32.y z =-在0≠J 的条件下, 1323x z u y z x
--?=?3,32z x y z -=- 2123
y x v y z x --?=?2,32x y y z -=- 例6:设0=-yv xu ,1=+xv yu ,求
x u ??,y u ??,x v ??和y
v
??. 解1:直接代入公式;
解2:运用公式推导的方法,将所给方程的两边对x 求导并移项得
,???????-=??+??-=??-??v
x v x x
u y u x v y x u
x x y y x J -= ,2
2y x +=在0≠J 的条件下,
x y y x x v y u x u ----=??,22y x yv xu ++-= x
y y x v y u
x x v ---=??,2
2y x xv yu +-= 将所给方程的两边对y 求导,用同样的方法可得
,22y x yu xv y u +-=?? .2
2y x yv xu y v ++-=?? 解3:(用全微分法) 方程组两边求全微分,得
00udx xdu vdy ydv udy ydu vdx xdv +--=??+++=? 即xdu ydv udx vdy
ydu xdv vdx udy -=-+??
+=--?
解得:2222
1[()()]1[()()]du xu yv dx xv yu dy x y dv yu xv dx xu yv dy x y ?
=--+-?+?
??=-+--?+?
所以,有
22,
xu yv u x x y +?=-?+ ,22y x yu xv y u +-=?? v x ??,22y x xv yu +-=.2
2y x yv xu y v
++-=?? 内容小结:
隐函数的求导法则(分以下几种情况):
1.(,)0F x y =;
2.(,,)0F x y z =; 3.(,,)0
(,,)0F x y z G x y z =??
=? 4.?
??==00)v ,u ,y ,x (G )v ,u ,y ,x (F . 思考题:已知)z
y
(z x ?=,其中?为可微函数,求?y z y
x z x =??+?? 解答:z
作业: 练习册P16---P19.
隐函数的求导方法总结
河北地质大学 课程设计(论文)题目:隐函数求偏导的方法 学院:信息工程学院 专业名称:电子信息类 小组成员:史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日
摘要 (3) 一.隐函数的概念 (3) 二.隐函数求偏导 (3) 1.隐函数存在定理1 (3) 2.隐函数存在定理2 (4) 3.隐函数存在定理3 (4) 三. 隐函数求偏导的方法 (5) 1.公式法 (5) 2.直接法 (6) 3.全微分法 (6) 参考文献 (8)
摘要 本文讨论了一元隐函数,多元隐函数的存在条件及相关结论,总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例,目的是更好的计算隐函数的求导 关键字:隐函数 偏导数 方法 一.隐函数的概念 一般地,如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ,在一定条件下,当x 取某区间的任一 值时,相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在,那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确 定了一个隐函数。例如,方程013 =-+y x 表示一个函数,因为当变量x 在()∞+∞-, 内取值时,变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。 二.隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P (x 。,y 。)在某一领域内具有连续偏导数, 且0),(=οοy x F ,0),(≠οοy x F y ,则方程0),(=y x F 在点(x 。,y 。)的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =,它满足条件)(οοx f y =,并有 y x y F F d d x - =。 例1:验证方程2x -2 y =0在点(1,1)的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数,且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ,并求该函数的导数dx dy 在x=1处的值。 解 令),(y x F =2x -2 y ,则 x F =2x ,y F =-2y ,)1,1(F =0,)1,1(y F =-2≠0 由定理1可知,方程2x -2y =0在点(1,1)的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数,当x=1时,y=1的隐函数为y=x ,且有 dx dy =y x F F -=y x 22=y x
第6章 多元函数微分学6-8导学解答(6.2.3 隐函数及其微分法)
6.2 多元函数微分法 6.2.3 隐函数及其微分法 一、相关问题 1.下面各方程和方程组能确定几个几元函数? (1)0), (=y x F ; (2)0),,(=z y x F ; (3)?? ?==0 ),,(0) ,,(z y x G z y x F ; (4)?? ?==0 ),,,(0),,,(v u y x G v u y x F (5)?? ?? ?===),(),(),(v u z z v u y y v u x x 二、相关知识 1.如何确定隐函数的因变量及自变量? 2.求隐函数的偏导数的方法有哪些? 3.一般来说m 个n m +元方程可以确定几个几元函数?如何确定因变量和自变量? 三、练习题 1.方程组22222z x y x y z ?+= ???++=? 在点(1,-1, 2)附近能否确定隐函数?并求隐函数的导数。 解 记 ()()2 2 2 ,,,,,22 z F x y z x y G x y z x y z =+-=++-,则 F , G 连续,且具有连续的偏导数;记()01 ,1,2P -,则 ()()()()00 0022,0,0; ||4011,p p x y F G F P G P x y ?====≠?, 根据隐函数组存在定理,必存在隐函数组()() x x z y y z =???=??且可以用以下方法求得隐函数的导数。 由方程组 ()()222 ,,0 2 ,,20z F x y z x y G x y z x y z ?=+-=???=++-=? 两边对 z 求导,视x 与 y 为z 的函数,得 ()()()()'' '' 220 10 xx z yy z z x z y z ?+-=??++=??
隐函数的微分法习题
隐函数的微分法习题 1. 书上习题8 33. 2. 设2),,(yz e z y x f x =,其中),(y x z z =是由 0=+++xyz z y x 确定的隐函数,求)1,1,0(-'x f 。 3. 设),,(z y x f u =有连续偏导数,)(x y y =和)(x z z =,分别由0=-y e xy 和0=-xz e z 所确定,求dx du 。 4. 设),,(z y x f u =有连续的一阶偏导数,又函数)(x y y =及)(x z z =分别由下列两式确定: 2=-xy e xy 和dt t t e z x x ?-=0sin ,求dx du 。 5. 设),,(z y x f u =有连续偏导数,且),(y x z z =由方程z y x ze ye xe =-所确定,求du 。 6. ),(y x z z =由隐函数0),,(=+++x z z y y x F 确定,求dz 。
1. 书上习题8 33. 证明由方程组所???'=+-=++) (cos sin )(ln sin cos ααααααf y x f z y x ⑴确定的函数),(y x z z =满足方程式222)()(z y z x z =??+??,其中),(y x αα=,)(αf 为任意可微分的函数。 在(1)两边同时对x 求偏导数: x f x z z x y x x ??'=???+???+???-ααααααα)(1cos sin cos 把)(αf '代入得到: αcos 1-=???x z z 即αc o s z x z -=?? α222cos )(z x z =??, 同理 可得 α222s i n )(z y z =??, 故 222)()(z y z x z =??+??。
2.4隐函数微分法
高等数学AⅠ 吉林大学数学学院 金今姬
第二章多元函数的微分学及其应用 一、偏导数 二、全微分 三、复合函数的微分法 四、隐函数微分法 五、方向导数与梯度 六、多元微分学的几何应用 七、多元函数的Taylor公式与极值问题
§4隐函数微分法 4.1 由方程式确定的隐函数的微分法4.2 由方程组确定的隐函数的微分法4.3 Jacobi行列式的性质
本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程012 2=?+y x 除了(-1,0),(1,0)外, 能确定隐函数; 在(-1,0),(1,0)的任何邻域内,y 都有两个值2) 在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性 及求导方法问题 . 所以不能确定隐函数; 2 1x y ?±=
4.1 由方程式确定的隐函数的微分法 定理4.1 设函数),(00y x P ),(y x F ;0),(00=y x F 则(1)方程00),(x y x F 在点=单值连续函数 y = f (x ) ,,)(00x f y =(2)函数y = f (x )在点x 0的某邻域内具有连续的偏导数, y x F F x y ?=d d (隐函数求导公式)定理证明从略,仅就求导公式推导如下: ① 具有连续的偏导数; 的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足 ),(00≠y x F y ②满足并且()[],0,≡x f x F
))(,(≡x f x F 两边对 x 求导 0d d ≡??+??x y y F x F y x F F x y ?=d d 0 ≠y F ,0),()(所确定的隐函数为方程设==y x F x f y 在),(00y x 的某邻域内则
.隐函数微分法
第五节 隐函数微分法 教学目的:(1) 了解隐函数存在定理的条件与结论; (2) 会求隐函数的导数和偏导数。 教学重点:方程、方程组确定的二元隐函数的偏导数或全微分计算。 教学难点:方程、方程组确定的二元隐函数的偏导数或全微分计算。 教学方法:讲练结合 教学时数:2课时 一、一个方程的情形 1.(,)0F x y = 定理5.1 (隐函数存在定理1) 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内满足: ①具有连续的偏导数(,),(,)x y F x y F x y , ②00(,)0F x y =, ③00(,)0y F x y ≠, 则方程(,)0F x y =在点00(,)P x y 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值且具有连续导数的函数()y f x =,它满足条件00()y f x =,并有 y x F F dx dy -=. (1) 说明: 1)定理的条件是充分的,如方程330y x -=在原点(0,0)不满足条件③, 但它仍能确定唯一单值连续且可导函数y x = 2)若③换成00(,)0x F x y ≠,则确定隐函数(),x x y =在点00(,)x y 可导, 且 .y x F dx dy F =- 定理的证明从略,仅对公式(1)作如下推导: 设方程(,)0F x y =在点00(,)P x y 的某一邻域内确定一个具有连续导数的隐函数 ()y f x =,则有恒等式 (,())0,F x f x ≡ 两边对x 求导,得 0,x y dy F F dx +=由00(,)0y F x y ≠,得 y x F F dx dy -=。 隐函数的求导公式
隐函数的求导方法总结
百度文库- 让每个人平等地提升自我 河北地质大学 课程设计(论文)题目:隐函数求偏导的方法 学院:信息工程学院 专业名称:电子信息类 小组成员:史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日
摘要 (3) 一.隐函数的概念 (3) 二.隐函数求偏导 (3) 1.隐函数存在定理1 (3) 2.隐函数存在定理2 (4) 3.隐函数存在定理3 (4) 三. 隐函数求偏导的方法 (5) 1.公式法 (5) 2.直接法 (6) 3.全微分法 (6) 参考文献 (8)
摘要 本文讨论了一元隐函数,多元隐函数的存在条件及相关结论,总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例,目的是更好的计算隐函数的求导 关键字:隐函数 偏导数 方法 一.隐函数的概念 一般地,如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ,在一定条件下,当x 取某区间的任一 值时,相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在,那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确 定了一个隐函数。例如,方程013 =-+y x 表示一个函数,因为当变量x 在()∞+∞-, 内取值时,变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。 二.隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P (x 。,y 。)在某一领域内具有连续偏导数, 且0),(= y x F ,0),(≠ y x F y ,则方程0),(=y x F 在点(x 。,y 。)的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =,它满足条件)( x f y =,并有 y x y F F d d x - =。 例1:验证方程2x -2 y =0在点(1,1)的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数,且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ,并求该函数的导数dx dy 在x=1处的值。 解 令),(y x F =2x -2 y ,则 x F =2x ,y F =-2y ,)1,1(F =0,)1,1(y F =-2≠0 由定理1可知,方程2x -2y =0在点(1,1)的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数,当x=1时,y=1的隐函数为y=x ,且有 dx dy =y x F F -=y x 22=y x
隐函数的求导方法总结
河北地质大学课程设计(论文) 题目:隐函数求偏导的方法 学院:信息工程学院 专业名称:电子信息类 小组成员:史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日
摘要 .......................................................................... 错误!未指定书签。 一.隐函数的概念 .................................................. 错误!未指定书签。 二.隐函数求偏导 .................................................. 错误!未指定书签。 1.隐函数存在定理1 ................................................ 错误!未指定书签。 2.隐函数存在定理2 ................................................ 错误!未指定书签。 3.隐函数存在定理3 ................................................ 错误!未指定书签。 三.隐函数求偏导的方法 .......................................... 错误!未指定书签。 1.公式法 ................................................................... 错误!未指定书签。 2.直接法 ................................................................... 错误!未指定书签。 3.全微分法 ............................................................... 错误!未指定书签。 参考文献 .................................................................. 错误!未指定书签。 摘要 本文讨论了一元隐函数,多元隐函数的存在条件及相关结论,总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例,目的是更好的计算隐函数的求导 关键字:隐函数偏导数方法 一.隐函数的概念 一般地,如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ,在一定条件下,当x 取某区间的任一值时,相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在,那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确定了一
隐函数的求导方法总结
河北地质大学 课程设计(论文) 题目:隐函数求偏导的方法 学院:信息工程学院 专业名称:电子信息类 小组成员:史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日
摘要 (3) 一.隐函数的概念 (3) 二.隐函数求偏导 (3) 1.隐函数存在定理1 (3) 2.隐函数存在定理2 (4) 3.隐函数存在定理3 (4) 三. 隐函数求偏导的方法 (5) 1.公式法 (5) 2.直接法 (6) 3.全微分法 (6) 参考文献 (8)
摘要 本文讨论了一元隐函数,多元隐函数的存在条件及相关结论,总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例,目的是更好的计算隐函数的求导 关键字:隐函数 偏导数 方法 一.隐函数的概念 一般地,如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ,在一定条件下,当x 取某区间的任一值时,相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在,那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确定了一个隐函数。例如,方程013=-+y x 表示一个函数,因为当变量x 在()∞+∞-,内取值时,变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。 二.隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P (x 。,y 。)在某一领域内具有连续偏导数, 且0),(= y x F ,0),(≠ y x F y ,则方程0),(=y x F 在点(x 。,y 。)的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =,它满足条件)( x f y =,并有 y x y F F d d x - =。 例1:验证方程2 x -2 y =0在点(1,1)的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数,且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ,并求该函数的导数dx dy 在x=1处的值。 解 令),(y x F =2 x -2 y ,则 x F =2x ,y F =-2y ,)1,1(F =0,)1,1(y F =-2≠0 由定理1可知,方程2 x -2 y =0在点(1,1)的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数,当x=1时,y=1的隐函数为y=x ,且有 dx dy =y x F F -=y x 22=y x 故 1=x dx dy =) 1,(!y x =1
高等数学--隐函数的求导法则
第五节 隐函数的求导法则 一、一个方程的情形 隐函数存在定理 1 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内具有连续偏导数,00(,)0F x y =,00(,)0y F x y ≠,则方程(,)0F x y =在点0x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()y f x =, 它满足条件00()y f x =,并有 d d x y F y x F =-. 说明:1) 定理证明略,现仅给出求导公式的推导:将()y f x =代入 (,)0F x y =,得恒等式 (,())0F x f x ≡, 等式两边对x 求导得 d 0d F F y x y x ??+=??, 由于0y F ≠ 于是得 d d x y F y x F =-. 2) 若(,)F x y 的二阶偏导数也都连续, 则按上述方法还可求隐函数的二阶导数: 22d d ()()d d x x y y F F y y x x F y F x ?? =-+-? ?? 2 2 ()x x y y x x x y y y y x x y y y F F F F F F F F F F F F --=- - - 22 32x x y x y x y y y x y F F F F F F F F -+=- . 例1 验证方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个
单值可导的隐函数()y f x =,并求22 d d ,00 d d y y x x x x ==. 解 设(,)sin e 1x F x y y x y =+--, 则 1) e x x F y =-,cos y F y x =-连续; 2) (0,0)0F =; 3) (0,0)10y F =≠. 因此由定理1可知,方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =. d 0d y x x =0x y F x F =-= e 10,0cos x y x y y x -=-=-==-, 22d 0d y x x = d e () 0,0,1 d cos x y x y y x y x -=-'===-- 02 01 (e )(cos )(e )(sin 1) (cos )x x x y y y y x y y y y x =='=-''-----?-=- -3=-. 隐函数存在定理还可以推广到多元函数.一般地一个二元方程(,)0F x y =可以确定一个一元隐函数,而一个三元方程(,,)0F x y z =可以确定一个二元隐函数. 隐函数存在定理2 设函数(,,)F x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内具有连续的偏导数,且000(,,)0F x y z =,000(,,)0z F x y z ≠,则方程(,,)0F x y z =在点00(,)x y 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数(,)z f x y =, 它满足条件000(,)z f x y =,并有 x z F z x F ?=-?,y z F z y F ?=-?. 说明:定理证明略,现仅给出求导公式的推导:将(,)z f x y =代入 (,,)0F x y z =, 得(,,(,))0F x y f x y ≡,