微积分第3周讲课提纲(隐函数微分法、方向导数、梯度)

常用基本初等函数求导公式积分公式

基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间 x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则

设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或 ２. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出． 可以推出下表列出的公式：

浅谈微积分与化学的关系

浅谈微积分与化学的关系 说到微积分与化学的关系，首先要从微积分的创造与发展说起。 微积分是微分和积分两门学问的统称，研究的范畴有三，包括微分、积分，以及微分和积分两者之间的关系。微分主要讨论一个变量怎样随时间（或其他变量）改变，而积分则主要讨论计算面积的方法。它们两者的关系由「微积分基本定理」（或称「牛顿－莱布尼茨公式」）给出：简单来说，这条定理说明，在适当的条件下，求积分是求微分之逆，求微分也是求积分之逆。以下简称微积分的历史。一微积分发展的蒙芽时期早在希腊时期，人类已经开始讨论「无穷」、「极限」以及「无穷分割」等概念。这些都是微积分的中心思想；虽然这些讨论从现代的观点看有很多漏洞，有时现代人甚至觉得这些讨论的论証和结论都很荒谬，但无可否认，这些讨论是人类发展微积分的第一步。例如公元前五世纪，希腊的德謨克利特（Democritus）提出原子论：他认為宇宙万物是由极细的原子构成。在中国，《庄子．天下篇》中所言的「一尺之捶，日取其半，万世不竭」，亦指零是无穷小量。这些都是人类对早期的极限以及无穷等概念的原始认识。其他关於无穷、极限的论述，还包括芝诺（Zeno）几个著名的悖论1：其中一个悖论说一个人永远都追不上一隻乌龟2，因為当那人追到乌龟的出发点时，乌龟已经向前爬行了一小段路，当他再追完这一小段，乌龟又已经再向前爬行了一小段路。芝诺说这样一追一赶的永远重覆

下去，任何人都总追不上一隻最慢的乌龟－－当然，从现代的观点看，芝诺说的实在荒谬不过；他混淆了「无限」和「无限可分」的概念。人追乌龟经过的那段路纵然无限可分，其长度却是有限的；所以人仍然可以以有限的时间，走完这一段路。然而这些荒谬的论述，开啟了人类对无穷、极限等概念的探讨，对后世发展微积分有深远的歷史意味。 另外值得一提的是，希腊时代的阿基米德（Archimedes）已经懂得用无穷分割的方法正确地计算一些面积，这跟现代积分的观念已经很相似。由此可见，在歷史上，积分观念的形成比微分还要早－－这跟课程上往往先讨论微分再讨论积分刚刚相反。 二、十七世纪的大发展－－牛顿和莱布尼茨的贡献 中世纪时期，欧洲科学发展停滞不前，人类对无穷、极限和积分等观念的想法都没有甚麼突破。中世纪以后，欧洲数学和科学急速发展，微积分的观念也於此时趋於成熟。在积分方面，一六一五年，开普勒（Kepler）把酒桶看作一个由无数圆薄片积累而成的物件，从而求出其体积。而伽利略（Galileo）的学生卡瓦列里（Cavalieri）即认為一条线由无穷多个点构成；一个面由无穷多条线构成；一个立体由无穷多个面构成。这些想法都是积分法的前驱。

基本初等函数的导数公式表

导数基本知识汇总试题 基本知识点： 知识点一、基本初等函数的导数公式表（须掌握的知识点） 1、=c '0 2、 =n n x nx -1'（） （n 为正整数） 3、 ln =x x a a a '（） =x x e e '（） 4、ln =a long x x a 1'（） 5、ln =x x 1 '（） 6、sin cos =x x '（） 7、 cos sin =-x x '（） 8、=-x x 211'（） 知识点二：导数的四则运算法则 1、v =u v u '''±±（） 2、 =u v uv v u '''+（） 3、(=Cu Cu '' ） 4、u -v =u v u v v 2'''（） 知识点三：利用函数导数判断函数单调性的法则 1、如果在(,)a b ，()f x '>0，则()f x 在此区间是增区间，(,)a b 为()f x 的单调增区间。 2、如果在(,)a b ，()f x '<0，则()f x 在此区间是减区间，(,)a b 为()f x 的单调减区间。 一、计算题 1、计算下列函数的导数； （1）y x 15= （2） )-y x x 3=≠0（ （3）)y x x 54=0 （ （4）)y x x 23=0 （ （5）)-y x x 23 =0 （ （6）y x 5=

（7）sin y x = （8）cos y x = （9）x y =2 （10）ln y x = （11）x y e = 2、求下列函数在给定点的导数； （1）y x 1 4= ，x =16 （2）sin y x = ，x π =2 （3）cos y x = ，x π=2 （4）sin y x x = ，x π =4 （5）3y x = ，11 28（，） （6）+x y x 2=1 ，x =1 （7）y x 2 = ，,24（）

论文浅谈导数的应用

浅谈导数的应用 摘要：法国数学家费马为研究极值问题而引入了导数的思想，导数是我们进一步学习数学和其他自然科学的基础，是研究现代科学技术中必不可少的工具．我们要明确导数的内涵，知道运用导数思想解题的方法，从而通过提出问题的数学特征，建立导数关系的数学模型．一般地，导数思想是从构造函数利用导数函数的性质，解决不同类型的问题，导数思想在中学数学、高等数学以及我们日常生活中占有极其重要的地位，本文详细介绍导数思想的内涵和本质，使人们对导数的内容有更深的理解，以便在遇到各种问题时能够考虑到导数思想，从而优化解决问题的过程． 关键词：极限;导数;微分

Shallowly Discusses the Application of Derivative Abstract:To study extremely problems, French mathematician Fermat brought in derivative idea. Derivative is the basis for us to learn math and other natural science further, an indispensable tool in research of modern science and technology. We should understand the concept and acquire the capacity of solving problems with mathematical ideas and create derivative model according to the mathematical feature of the given problem. On average, we use specific derivative in accordance with definite trait of the various problems. The derivative idea plays an important part in middle school math, advanced math and our daily life. In this chapter, the concept and essence of derivative are introduced to deepen people's understanding in math and help to simplify people's derivative. Key words:Limit; Derivative; Differential

浅谈导数在高中数学中的应用

浅谈导数在高中数学中的应用 浅谈导数在高中数学中的应用 【关键词】高中数学中的导数；应用 导数是高中数学新教材中新增内容之一，它的引入给传统的中学数学内容注入了新的生机和活力，也为中学数学解决问题注入了新的途径和方法。导数是高等数学的内容，是对函数图像和性质的总结和拓展，是研究函数单调性、极值、最值的重要工具。利用导数可以解决现实生活中的最优化问题。由此可见，它在高中教学中起着非常重要的作用。本从几个方面出发，谈一谈导数的应用。 1 几何方面的应用在导数概念的基础上，结合函数图像研究导数的几何意义是导数概念的延伸，是导数知识的重要内容。导数是微积分中的重要基础概念，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续，不连续的函数一定不可导。 在解析几何中，我们求曲线的切线，只需要知道曲线的方程=f （x）和曲线上的任意一点，利用对函数求导就可以得到这一点的切线方程。

下面给出求曲线的切线方程的方法步骤： （1）求导数，得到曲线在该点的切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条下，利用点斜式求出切线方程：-f（x0）=f’（x0）（x-x0） 例1 试求曲线=xlnx上点（1，2）的切线方程 解：对函数f（x）=xlnx 求导得f’（x）=lnx+1 所以f’（1）=ln1+1=1，所以在点（1，2）的切线方程为 -2=1（x-1） 即=x+1 切线方程：=x+1 先求出函数=f（x）在x=x0处的导数，即曲线在该点处的切线斜率，再由直线方程的点斜式便可求出切线方程。 例2 求垂直于直线2x-6+1=0并且和曲线=x3+3x2-相切的直线方程。 解因为所求的直线与已知直线2x-6+1=0垂直 所以所求直线的斜率1=-3 又因为所求直线与=x3+3x2-相切， 所以它的斜率2=‘=3x2+6x 因为1=2 即3x2+6x=-3 所以（x+1）2=0 即x=-1 代入曲线方程得=（-1）3+3（-1）2-=-3

基本初等函数的导数公式的推导过程

基本初等函数的导数公式推导过程 一、幂函数()f x x α=（α∈Q *）的导数公式推导过程 命题 若()f x x α=（α∈Q *），则()1f x x αα-'=． 推导过程 ()f x ' ()()()()()()000112220 011222011222011220 lim lim C C C C lim C C C C lim C C C lim lim C C C x x x x x x f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x αα αααααααααααααααααααααααα ααααααα?→?→--?→--?→--?→--?→+?-=?+?-=?+?+?++?-=?-+?+?++?=??+?++?=?=+?++L L L L ()11 11 C x x x ααααααα---?== 所以原命题得证． 二、正弦函数()sin f x x =的导数公式推导过程 命题

推导过程 ()f x ' ()() ()()()()0000020lim sin sin lim sin cos cos sin sin lim cos sin sin cos sin lim cos sin sin cos 1lim cos 2sin cos sin 12sin 1222lim x x x x x x f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ?→?→?→?→?→?→+?-=?+?-=??+?-=??+?-=??+?-=???????????+?-- ? ????????=2 00002sin cos cos 2sin sin 222lim 2sin cos cos sin sin 222lim 2sin cos 22lim sin 2lim cos 22x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ?→?→?→?→????????- ???=???????- ???=?????+ ???=?????????=+??? ???????? 当0x ?→时，sin 22 x x ??=，所以此时sin 212x x ?=?． 所以()0lim cos cos 2x x f x x x ?→???'=+= ??? ，所以原命题得证． 三、余弦函数()cos f x x =的导数公式推导过程 命题

浅谈导数与微分

学校：贵阳学院 系别: 数学与信息科学学院专业：数学与应用数学 班级：09应数班 科目：数学分析选讲 老师：姚老师 姓名：郑刚 学号：090501401007

浅谈导数与微分 一、引言 我们知道一个函数在某点可导和可微是等价的，那我就分别从导数和微分的定义与应用来讨论它们的联系与区别。 二、导数的定义 1. 函数在一点处可导的概念 1【】 定义 设函数y =f (x )在x 0的某个邻域内有定义．对应于自变量x 在x 0处有改变量?x ，函数y =f (x )相应的改变量为?y =f (x 0+?x )-f (x 0)，若这两个改变量的比 ()() x x f x x f x y ????00-+= 当?x →0时存在极限，我们就称函数y =f (x )在点x 0处可导，并把这一极限称为函数y =f (x )在点x 0处的导数(或变化率)，记作0 |x x y ='或f '(x 0) 或0 x x dx dy =或0 ) (x x dx x df =．即 0 |x x y ='=f '(x 0)=x x f x x f x y x x ??????) ()(lim lim 000 -+=→→ 比值x y ??表示函数y =f (x )在x 0到x 0+?x 之间的平均变化率，导数 |x x y ='则表示了函数在点x 0处的变化率，它反映了函数y =f (x )在点x 0 处的变化的快慢． 如果当?x →0时x y ??的极限不存在，我们就称函数y =f (x )在点x 0 处不可导或导数不存在． 在定义中，若设x =x 0+?x ，则(2-1)可写成 f '(x 0)=()()0 lim x x x f x f x x --→

浅谈导数在解决实际问题中的应用文献综述

毕业论文文献综述 数学与应用数学 浅谈导数在解决实际问题中的应用 一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念，综述范围，简要说明有关主题的或争论焦点） 本论文的主要目的是通过查阅各种相关文献，寻找各种相关信息，来研究导数在几何、物理及其经济上的一些应用，首先我们来介绍一些概念： 定义1[] 1 设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，若极限 ()()000 lim x x f x f x x x →-- (1) 存在，则称函数f 在点0x 处的导数，记作()'0f x . 令0x x x =+?,()()00y f x x f x ?=+?-,则(1)式可改写为 ()()()00'000 lim lim x x f x x f x y f x x x ?→→+?-?==??V (2) 所以,导数是函数增量y ?与自变量增量x ?之比 y x ??的极限.这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率(又称差商),而导数()'0f x 则为 f 在0x 处关于x 的变化率.若(1)(或(2)式极限不存在,则称f 在点0x 处不可导. 定义2[] 1 设函数()y f x =在点0x 的某右邻域[)00,x x δ+上有定义，若右极限 ()()0000 lim lim x x f x x f x y x x ++?→?→+?-?=?? ()0x δ

高等数学导数与微分练习题

作业习题 1、求下列函数的导数。 （1）223)1(-=x x y ； （2）x x y sin = ； （3）bx e y ax sin =； （4）)ln(22a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）x x x y )1(+=。 2、求下列隐函数的导数。 （1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y =+求)0(y ''。 3、求参数方程???-=-=) cos 1()sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy 与二阶导数 2 2dx y d 。 4、求下列函数的高阶导数。 （1）,αx y =求)(n y ； （2）,2sin 2x x y =求)50(y 。 5、求下列函数的微分。 （1）)0(,>=x x y x ； （2）2 1arcsin x x y -= 。 6、求双曲线122 22=-b y a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。 7、用定义求)0(f '，其中?????=, 0,1sin )(2 x x x f .0, 0=≠x x 并讨论导函数的连续性。 作业习题参考答案： 1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y ]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222?-+-= )37)(1(222--=x x x 。 （2）解：2sin cos )sin ( x x x x x x y -='='。 （3）解：bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='=' )cos sin (bx b bx a e ax +=。

基本初等函数的导数公式表

导数基本知识汇总试题 基本知识点： 知识点一、基本初等函数的导数公式表（须掌握的知识点） 1、"0 2、 （乂7二心I （n 为正整数） 3、 Ca x y=a x \na Ce x y=e x （long a xy=-^— 4、 xina （lnxX=- 5、 x 6、 （sin Q 二 cos x 7 （cos x ）‘二-sin x '（ly=-± 8. x 对 知识点二：导数的四则运算法则 1、 （"土 v y=u ± v r 2、 （nv ）r =u F v + //v r 3、 （Cu7=Cu 4、 v 知识点三：利用函数导数判断函数单调性的法则 1. 如果在广（力＞°,则/a ）在此区间是增区间，为/（X ）的单调增区间。 2、如果在（""），广（x ）v0,则/（x ）在此区间是减区间，（心）为/（X ）的单调减区 间。 一、计算题 1. 计算下列函数的导数: (1) y = x 15 (2) y = x* (XH O) (3) 5 y = x 4 (x a 0) (4) 2 y = x^ (XA O) (5) 2 y = x 3 (X A 0) (6) y = x 5

(7) ＞，=v2 , 24) (7) y = sin x (8) y = cos x (9) y=r (10) y = In x (11) y = e x 2、求下列函数在给泄点的导数: 2 (1)尸存，“16 7T . X =— (4) y = xsinx , 4 x y = --- (6) 1+F ,兀=1 (2) y = sinx (3)y = cosx x = 2TT 3 (5) ＞，=v

浅谈微积分

微积分 微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具。 什么是微积分？它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。比如，子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念 如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分支的还是牛顿和莱布尼茨。 牛顿在1665年5月20目的一份手稿中提到“流数术”，因而有人把这一天作为诞生微积分的标志。牛顿关于微积分的著作很多写于 1665 - 1676 年间，但这些著作发表很迟。他完整地提出微积分是一对互逆运算，并且给出换算的公式，就是后来著名的牛顿-莱布尼茨公式。牛顿是那个时代的科学巨人。在他之前，已有了许多积累：哥伦布发现新大陆，哥白尼创立日心说，伽利略出版《力学对话》，开普勒发现行星运动规律--航海的需要，矿山的开发，火松制造提出了一系列的力学和数学的问题，微积分在这样的条件下诞生是必然的。

德国数学家莱布尼茨使微积分更加简洁和准确，他从几何方面独立发现了微积分，在牛顿和莱布尼茨之前至少有数十位数学家研究过，他们为微积分的诞生作了开创性贡献。但是池们这些工作是零碎的，不连贯的，缺乏统一性。莱布尼茨创立微积分的途径与方法与牛顿是不同的。莱布尼茨是经过研究曲线的切线和曲线包围的面积，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则的。牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学，造诣较莱布尼茨高一筹，但莱布尼茨的表达形式采用数学符号却又远远优于牛顿一筹，既简洁又准确地揭示出微积分的实质，强有力地促进了高等数学的发展。 如果说牛顿从力学导致“流数术”，那莱布尼茨则是从几何学上考察切线问题得出微分法。 牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。 牛顿当时采用的微分和积分符号现在不用了，而莱布尼茨所采用的符号现今仍在使用。莱布尼茨比别人更早更明确地认识到，好的符号能大大节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。 微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。 前面已经提到，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。 不幸的是，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的

基本初等函数及常数的导数公式

()()()()()()()( )( )()()1 222 2 ()'0 ()'()'ln '1 (log )'ln 1ln '(sin )'cos cos 'sin tan 'sec cot 'csc sec 'sec tan csc 'csc cot arcsin 'arccos '1arctan '11cot '1a a x x x x a c x ax a a a e e x x a x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x arc x x -========-==-==-= ==+-=+ 导数运算法则 ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()2'''''''''u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x v x u x v x u x v x u x u x ±=±=+??-= ? ???????

1220 ln 1ln 1log ln sin cos cos sin tan sec cot csc sec sec tan csc csc cot arcsin arccos 1arctan 1arc cot u u x x x x a dc dx ux dx de e dx da a adx d x dx x d x dx x a d x xdx d x xdx d x xdx d x xdx d x x xdx d x x xdx d x dx d x dx d x dx x d x -========-==-==-= ==+-=211dx x + 微分的四则运算： ()()2()0d u v du dv d uv udv vdu v udv vdu d u u u ±=±=+-??=≠ ???

浅谈导数在解题中的应用

浅谈导数在解题中的应用 1 引言 导数是微分学的理论基础，它的思想最初是由法国数学家费马为研究极值问题而引入的．导数作为研究客观世界物质变化的有力工具，在现代化建设的各个领域内有着广泛的应用．现在高中数学教材已引入了导数的内容，这不仅丰富了中学数学知识， 也为中学数学问题的研究提供了新的视角、新的方法和新的途径，同时优化了解题思维，简化了运算过程，拓宽了解题思路．本文就导数在解题中的应用进行总结，同时对部分问题通过初等数学解法和导数解法比较，进一步说明利用导数解题的优越性． 2 导数的基本理论 2.1导数的定义 设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，若极限0 00 ()() lim x x f x f x x x →--存在,则称函数f 在 点0x 处可导，并称该极限为函数f 在点0x 处的导数，记作0()f x '． 2.2 导数的几何意义 函数f 在点0x 的导数)(0x f '是曲线)(x f y =在点),(00y x 处的切线斜率． 2.3 导数的相关结论[1](P93;123-124;142-143)． 3 导数在解题中的应用 3.1 导数在求极限中的应用 在求解极限的问题时，主要是用导数的定义式，即0 000 ()() lim ()x x f x f x f x x x →-'=-来解决， 所以导数的概念是应用导数求解问题的基础． 例1[2](P23) 设函数0()f x 在0x 处可导，试求下式的极限值． 000()() lim 2h f x h f x h h →+-- 解 000()()lim 2h f x h f x h h →+--00000()()()() lim 2h f x h f x f x f x h h →+-+--= 00000000()()()()1 1lim[][()()]()22 h f x h f x f x f x h f x f x f x h h →+---'''=+=+= 已知导数概念的变形式，通过加减同一式子或分子分母同乘一式子，化成导数定义式的和差，或导数定义式与函数的极限的和差等形式，从而求出所要求的极限值．

微积分2导数与微分考例

导数与微分 1. 已知'(0)1f =，求 0(2)(3)lim sin5x f x f x x →-. 解 由等价无穷小的代换 ， 原极限x x f f f x f x x f x f x x )5()0()0()2(lim )5()2(lim 00-+-=-=→→ x f x f x f x f x x )0()5(lim )0()2(lim 00---=→→ 3)0('5)0('20 5)0()5(lim 502)0()2(lim 200-=-=-----=→→f f x f x f x f x f x x 2. 设函数???≤>+++=0, 0,2)sin 1()(x ax x a x b x f 。 b a ,为何值时)(x f 在0=x 处可导？ 解 可导时)(x f 在0=x 处连续，则有0)0(2)0(==++=+f b a f 。 可导时，左右导数必相等。? ??<>=00cos )('x a x x b x f 因此a f b f ='=='-+)0()0(。于是1-==b a 。 3. 求)0(,)(ln ln sin 2>+=x x x y x 的导数。 解 ()() )'ln (sin 1)ln(ln 21)ln(ln 2'ln sin ln sin x x e x x e x x y x x x x ?+?='+?=?? )ln cos sin (1)ln(ln 2sin x x x x x x x x ++?= 4. 设0334 3=-+xy x y 确定了隐函数)(x f y =，求'y 和"y 。 解 0'3312'332=--+xy y x y y ，3 2123')33(x y y x y -=-，x y x y y --=23 4'。 则 2 2322)()1'2)(4())(12'("x y yy x y x y x y y ------=。 2 22332223)()142)(4())(124(x y x y x y y x y x y x x y x y ----------=

浅谈多元函数微积分学理论与应用

浅谈多元函数微积分学理论与应用 机电工程学院力学1班刘俊1203040110 摘要：在我们的生活中，很多时候一个事物的变化是由许多其他事物共同作用的结果，反映到数学上，就是一个变量依赖于多个变量的情形。我们在研究这类问题时，需要建立数学模型，来更好的研究变量的性质和它们之间的作用关系等等，这就是我们要学习多元函数微积分学。 关键词：多元函数、偏导数、全微分、求导、隐函数等。 1、多元函数的概念 例、圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间的具有关系 V=πr2h 这里r、h在集合｛（r、h）｜r>0，h>0｝内取定一对值（r，h）时，V的对应值随之确定。 定义设D是R2的一个非空子集，称映射f：D→R为定义在D上的二元函数，通常记为z=f（x，y），（x，y）∈D，把定义中的D换成n维空间Rn内的点集D，映射f：D→R就称为定义在D上的n元函数。 多元函数的定义域的求法与一元函数类似，也是先写出其构成部分的各简单函数的定义域的不等式，然后解联立不等式组，得出各变量的依存关系，即定义域。 与一元函数一样，二元和二元以上的函数也只与定义域和定义关系有关，而与用什么字母表示自变量和因变量无关。 第一节还有几个"集"的概念，比较重要的像连通集：点集D中任意两点均可用完全落在D中的折线连接起来。 2、多元函数的极限 定义设二元函数f（P）= f（x，y）的定义域为D，P0（x0，y0）是D的聚点，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点P（x，y）∈D∩U（P0，δ）时，都有｜f（P）-A｜=｜f（x，y）-A｜<ε成立，那么就称常数A为函数f（x，y）当（x，y）→（x0，y0）时的极限，记作lim f （x，y）=A。 与一元函数极限不同的是：二元函数的极限要求点P（x，y）以任何方式、任何方向、任何路径趋向于P0（x0，y0）时，都有f（x，y）→f（x0，y0）。 3、多元函数的连续性 定义设二元函数f（P）= f（x，y）的定义域为D，P0（x0，y0）是D的聚点，且P0∈D，如果lim f（x，y）=f（x0，y0），则称函数f（x，y）在点P0（x0，y0）连续。 在有界闭区域上连续的函数有这样一些性质①有界性②最大值、最小值③介值。 定义设函数f（x，y）的定义域为D，P0（x0，y0）是D的聚点。如果函数f（x，y）在点P0（x0，y0）不连续，则称P0（x0，y0）为函数f（x，y）的间断点。 4、偏导数的定义 其实就是把一个自变量看成常数再对另一个自变量求导。要注意的就是：对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续，这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P0时，函数f（P）趋于f（P0），但不能保证点P按任何方式趋于P0时，函数值f（P）都

基本初等函数的导数公式

基本初等函数的导数公式 学习目标： 掌握初等函数的求导公式； 学习重难点： 用定义推导常见函数的导数公式． 一、复习 1、导数的定义； 2、导数的几何意义； 3、导函数的定义； 4、求函数的导数的流程图。 （1）求函数的改变量()(x f x x f y -?+=? （2）求平均变化率 x y = ?? （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ??→?0 lim 本节课我们将学习常见函数的导数。首先我们来求下面几个函数的导数。 （1）、y=x （2）、y=x 2 （3）、y=x 3 问题：1-=x y ，2-=x y ，3-=x y 呢？ 问题：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？ 二、学习过程 1、基本初等函数的求导公式： ⑴ ()kx b k '+= (k,b 为常数) ⑵ 0)(='C (C 为常数) ⑶ ()1x '= ⑷ 2()2x x '= ⑸ 32()3x x '= ⑹ 2 1 1()x x '=- ⑺ '= 由⑶~⑹你能发现什么规律? ⑻ 1()x x ααα-'= （α为常数） ⑼ ()ln (01)x x a a a a a '=>≠， ⑽ a a 11(log x)log e (01) x xlna a a '= = >≠，且 ⑾ x x e )(e =' ⑿ x 1)(lnx =' ⒀ cosx )(sinx =' ⒁ sinx )(cosx －=' 从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。

例1、求下列函数导数。 （1）5-=x y ( 2）x y 4= （3）x x x y = (4)x y 3log = （5）y=sin(2 π +x) (6) y=sin 3 π （7）y=cos(2π－x) 例2.若直线y x b =-+为函数1y x = 图象的切线,求b 的值和切点坐标. 变式1.求曲线y=x 2 在点(1,1)处的切线方程. 总结切线问题：找切点 求导数 得斜率 变式2:求曲线y=x 2过点(0,-1)的切线方程 变式3:已知直线1y x =-,点P 为y=x 2 上任意一点,求P 在什么位置时到直线距离最短. 三:课堂练习. 1.求下列函数的导数 (1)3y x = (2)y = (3)2 1y x = (4)3x y = (5)2log y x = (6)cos y x = 四、小结 （1）基本初等函数公式的求导公式 （2）公式的应用 随堂检测： 1. 已知3()f x x =,则'(1)f = 。 2．设y = ，则它的导函数为 。 3．过曲线3y x -=上的点1 (2,)8 的切线方程为 。 4．求下列函数的导函数 （1）2y x -= （2）y = (3）41y x = （4）2x y = （5）4log y x = （6）ln y x = （7）sin()2y x π=- （8）3cos()2 y x π =+ 5．求曲线x y e =在0x =处的切线方程。

基本初等函数导数公式附导数运算法则

1.2．2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）教学目的：1熟练掌握基本初等函数的导数公式。 2掌握导数的四则运算法则； 3能利用给出的公式和法则求解函数的导数。 教学重点难点 重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学安排：两课时 教学过程： 引入：复习巩固导数的基本公式，及其基本运算规律。 且 知识讲解： 一：基本初等函数的导数公式 为了方便我们将可以直接使用的基本初等函数的导数公式表如下：

关于表特别说明：1 常数函数 的导 数是 0； 2幂函数 导数是以对应幂函数的指数为系数 3 余弦函 数的导数是正弦函数的相反 数。 从图像上来看，正弦函数在区间上单调递增，瞬时变化率为正， 和余弦函数在该区间的正负是一致的， 余弦函数在区间上是单调递减，瞬时变化率为负， 和正弦函数在该区间的正负是相反的，故 有一个负号。 4

的导数是它自身。 5 例1计算下列函数的导数 强调：1幂函数和指数函数是两种不同的函数，关键是看变量所处的 位置是在底数上还是在指数上。 2 导函数的定义域决定于原函数的定义域。 练习：求下列函数的导数。 例 2．（课本P14例1）假设某国家在20 那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约 是多少（精确到0.01 ）？ /年） 在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．

提出问题： 10个年头，这种 0.01）？ 二导数的计算法则 推论1 导数不变） 2 （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数 的导数） 3 解决问题： 公式和求导法则，有 /年） 0.4元/年的速度上涨．例3 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数，并注明定义域。

导数与微分导数概念

第二章 导数与微分 第一节 导数概念 1.x x x y = ，求y ' 2．求函数y =2tan x +sec x -1的导数y ' 3. x x y 1010 +=，求y ' 4. 求曲线y =cos x 上点)2 1 ,3(π处的切线方程和法线方程式. 5.3ln ln +=x e y ，求y ' 6.已知? ??<-≥=0 0 )(2x x x x x f 求f +'(0)及f -'(0), 又f '(0)是否存在？ 7.设????? =≠=0 ,00 ,1sin )(x x x x x f ，用定义证明)(x f 在点0=x 处连续，但不可导。

8. 证明: 双曲线xy =a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a 2 . 9.讨论函数y =|sin x |在x =0处的连续性与可导性: 10.设函数? ??>+≤=1 1 )(2x b ax x x x f ，为了使函数f (x )在x =1处连续且可导, a , b 应取什么值？ 第二节 函数的求导法则 1.设()22arcsin x y =，求y ' 2．求函数y =sin x ?cos x 的导数y ' 3．求函数y =x 2ln x 的导数y '

4．求函数x x y ln =的导数y ' 5．求函数3ln 2+=x e y x 的导数y ' 6. )(cos )(sin 2 2x f x f y +=，求y ' 7. n b ax f y )]([+=，求y ' 8. ) ()(x f x e e f y =，求y ' 9. x x x y arcsin 12 +-=，求y ' 10．求函数y =x 2ln x cos x 的导数y ' 第三节 高阶导数 1. x x x y ln 1 arctan +=，求y ''

微分论文

浅谈微分中值定理中值点的确定及渐进性 吴伟 (吉首大学数学与统计学院，湖南吉首，416000) 摘要：本文主要讨论了微分中值定理中值点θ能被确定的几种函数类型， '法则，得到了初等函数的关于并通过拉格朗日中值定理、泰勒定理、L Hospital 中值点θ的一些具体性质。另外本文还讨论了一些复合函数及其他函数类型的微分中值定理中值点θ确定及渐进性。 '法则；关键词：微分中值定理中值点；泰勒定理；拉格朗日中值定理；L Hospital 渐进性 Discussion On Differential Mean Value Theorem Value Point and Progressive Wu Wei (College of Mathematics and Statistics,Jishou University,Jishou Hunan 416000）) Abstract：This paper mainly discusses The Theory Of Differential Mean Value Theorem value pointθcan be defined in several function types,and through the 'principle, getting the Lagrange’s m ean theory, Taylor’s Theory, L Hospital elementary function on some specific property of mean value pointθ.We also discusses some composite function and other fuction types of differential mean value pointθtheorem and progressive. Key words：Differential mean value theorem；Taylor’s Theory；Lagrange’' principle；Progressive s mean theory；L Hospital

高等数学考研大总结之四导数与微分知识讲解

第四章 导数与微分 第一讲 导数 一，导数的定义： 1函数在某一点0x 处的导数：设()x f y = 在某个()δ,0x U 内有定义,如果极限 ()()0 lim 00→??-?+x x x f x x f (其中()() x x f x x f ?-?+00称为函数()x f 在(0x ,0x +x ?)上的平均变化率(或差商)称此极限值为函数()x f 在0x 处的变化率)存在则称函数()x f 在0x 点可导.并称该极限值为()x f 在0x 点的导数记为()0/ x f ,若记()()00,x f x f y x x x -=?-=?则 ()0/ x f =()()0 00lim x x x x x f x f →--=0lim →???x x y 解析：⑴导数的实质是两个无穷小的比。 即：函数相对于自变量变化快慢的程度,其绝对值 越大,则函数在该点附近变化的速度越快。 ⑵导数就是平均变化率(或差商)的极限,常用记法: ()0/ x f ,0/x x y =,0x x dx dy =。 ⑶函数()x f 在某一点0x 处的导数是研究函数()x f 在点0x 处函数的性质。 ⑷导数定义给出了求函数()x f 在点0x 处的导数的具体方法,即：①对于点0x 处的自变量增量x ?,求出函数的增量（差分）y ?=()()00x f x x f -?+②求函数增量y ?与自变量增 量x ?之比x y ??③求极限0 lim →???x x y 若存在,则极限值就是函数()x f 在点0x 处的导数,若极限不 存在,则称函数()x f 在0x 处不可导。 ⑸在求极限的过程中, 0x 是常数, x ?是变量, 求出的极限值一般依赖于0x ⑹导数是由极限定义的但两者仍有不同，我们称当极限值为∞时通常叫做极限不存在，而导数则不同，因其具有实在的几何意义，故当在某点处左，右导数存在且为同一个广义实数值时我们称函数在某点可导。实质是给导数的定义做了一个推广。 ⑺注意: 若函数()x f 在点0x 处无定义,则函数在0x 点处必无导数,但若函数在点0x 处有定义,则函数在点0x 处未必可导。 2 单侧导数：设函数()x f 在某个(]00,x x δ-（或[)δ+00,x x ）有定义，并且极限