导数、微分、积分之间的区别与联系
导数、微分、积分之间的区别与联系
儿子现在上高中物理竞赛，需要补充些微分的知识，我把孩子问到的问题讲解后用形象的语言整理了一下，恰好近期在整理初高中衔接知识点
导数：曲线某点的导数就是该点切线的斜率，在物理学里体现了是瞬时速度，二阶导数则是加速度。这个是由牛顿提出并研究的方向。
微分：也就是把函数分成无限小的部分，当曲线无限的被缩小后,可以近似当作直线对待,微分也就能表示为导数与dx的乘积。这个是莱布尼兹提出并研究的方向。
其实导数和微分本质上说并无区别，只是研究方向上的差异。
积分：定积分就是求曲线与x轴所夹的面积；不定积分就是该面积满足的方程式,因此后者是求定积分的一种手段,本质上来说,不定积分就是变限的定积分。
换一个角度来说：
导数y'是函数在某一点的变化率,微分是改变量,导数是函数微分与自变量微分之商,即y'=dy/dx,所以导数与微分的理论和方法统称为微分学（已知函数,求导数或微分）.积分则是微分学的逆问题。
极限是微分、导数、不定积分、定积分的基础,最初微积分由牛顿、莱布尼茨发现的时候,没有严格的定义,后来法国数学家柯西运用极限,使微积分有了严格的数学基础.极限是导数的基础,导数是极限的化简.微分是导数的变形。
微分：无限小块的增量可以看作是变化率，也就是导数。积分：无限小块的面积和可以看作是整个面积。
可导必连续，闭区间上连续一定可积，可积一定有界。
拓展资料
导数
导数是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx 的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记
作f'(x0)或df(x0)/dx。导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。
对于可导的函数f(x)，x↦f'(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数（简称导数）。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。
不定积分与导数和微分的关系
不定积分与导数和微分的关系 不定积分与导数和微分的关系 在微积分中，不定积分、导数和微分是三个重要且密切相关的概念。 它们之间存在着紧密的联系和相互影响，互为逆过程。本文将深入探 讨不定积分与导数和微分的关系，通过从简到繁的方式，帮助读者更 好地理解这一主题。 我。不定积分的概念和性质 不定积分是微积分中的一种运算。它的概念可以通过对导数运算的逆 运算来理解。给定一个函数f(x)，如果存在一个函数F(x)，使得F'(x) = f(x)，那么F(x)就是f(x)的不定积分，通常表示为∫f(x)dx。不定积分表示我们在求函数f(x)的导数时所得到的原函数。 不定积分具有以下性质： 1. 线性性质：对于任意的常数a和b，有∫(af(x) + bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。 2. 可加性质：对于任意的函数f(x)和g(x)，有∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx。 3. 常数项性质：对于任意的函数f(x)，有∫f(x)dx + C，其中C为常数。
二。导数和微分的概念和性质 导数是微积分中的另一种重要概念。给定一个函数f(x)，其导数表示函数在某一点上的变化率。导数是通过极限的思想定义的，即f'(x) = lim┬(h→0)〖(f(x+h) - f(x))/h〗。导数可以描述函数的变化趋势和曲线的斜率。 微分是导数的微小变化，可以理解为导数的不确定性。微分在一元函数中通常表示为dx，可以表示函数f(x)在某一点上的微小变化量。微分可以帮助我们研究函数在局部的性质和变化。 导数和微分具有以下性质： 1. 线性性质：对于任意的常数a和b，有(d/dx)(af(x) + bg(x)) = a(d/dx)(f(x)) + b(d/dx)(g(x))。 2. 可加性质：对于任意的函数f(x)和g(x)，有(d/dx)(f(x) + g(x)) = (d/dx)(f(x)) + (d/dx)(g(x))。 3. 导数的链式法则：对于复合函数f(g(x))，其导数可以表示为 (d/dx)(f(g(x))) = f'(g(x)) * g'(x)。 三。不定积分与导数和微分的关系 1. 不定积分与导数的关系：
导数、微分、积分之间的区别与联系
导数、微分、积分之间的区别与联系 儿子现在上高中物理竞赛，需要补充些微分的知识，我把孩子问到的问题讲解后用形象的语言整理了一下，恰好近期在整理初高中衔接知识点 导数：曲线某点的导数就是该点切线的斜率，在物理学里体现了是瞬时速度，二阶导数则是加速度。这个是由牛顿提出并研究的方向。 微分：也就是把函数分成无限小的部分，当曲线无限的被缩小后,可以近似当作直线对待,微分也就能表示为导数与dx的乘积。这个是莱布尼兹提出并研究的方向。 其实导数和微分本质上说并无区别，只是研究方向上的差异。 积分：定积分就是求曲线与x轴所夹的面积；不定积分就是该面积满足的方程式,因此后者是求定积分的一种手段,本质上来说,不定积分就是变限的定积分。 换一个角度来说： 导数y'是函数在某一点的变化率,微分是改变量,导数是函数微分与自变量微分之商,即y'=dy/dx,所以导数与微分的理论和方法统称为微分学（已知函数,求导数或微分）.积分则是微分学的逆问题。 极限是微分、导数、不定积分、定积分的基础,最初微积分由牛顿、莱布尼茨发现的时候,没有严格的定义,后来法国数学家柯西运用极限,使微积分有了严格的数学基础.极限是导数的基础,导数是极限的化简.微分是导数的变形。 微分：无限小块的增量可以看作是变化率，也就是导数。积分：无限小块的面积和可以看作是整个面积。 可导必连续，闭区间上连续一定可积，可积一定有界。 拓展资料 导数 导数是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx 的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记
导数 微分 积分的区别
导数微分积分的区别 导数和微分的区别在于，它们的对象不同。微分是用变化率来描述运动，导数是用变化率来描述几何图形的位置或变化趋势；它们表示的物理意义不同，但两者之间可以相互转化，如微分可以用导数来表示，反之亦然。 微分与积分有着密切的联系。一个函数在一个变量时间区间上的微分等于这个函数在这个时间区间上积分，这是一般的原则，当一个函数可以积分而不可以微分时，那么这个函数就无法确定是增是减，也就无法确定它在这个时间区间上的变化率。所以我们常常看到有些书中提出：在某一点取极限，往往可以由函数的微分来推出，但是在取极限的地方所得的近似结果并不是最终结果。在我们考虑积分时，很明显地必须加以选择，但是通常不应该只是去取微分，特别是计算极限时。 为了加深理解这一点，先回忆一下下面的一段话。罗尔事实上用一种奇怪的方式证明了费马小定理：“如果G是一个g'(G)，那么G的任意非平凡的实g'(G)都是它的无穷乘积，而每个g'(G)都与g同构，且G/g'(G)总是连续的……”他把费马小定理推广到可微可导函数：“如果G是一个g'(G)，那么G的任意非平凡的实g'(G)都是它的无穷乘积，而每个g'(G)都与g同构，且G/g'(G)总是连续的……”他又写道：“若G是一个g'(G)，那么G/g'(G)总是连续的……”对于任意函数g'(G)， g/g'(G)不是连续的，就是分段函数，例如余弦函数。连续的分段函数比连续的导数更容易确定它在
这个时间区间上的变化率。因此罗尔的工作是重要的，虽然我们说罗尔发现了一种新的方法，但是如果没有伯努利这种数学家提供了精巧的方法的话，人们是无法想像的。如果可以用高斯函数替代f(x)，那么它们之间的关系就会简单多了。至今，甚至直到现在，仍然有许多人无法接受这样的观点。他们的理由是：高斯函数与连续性毫不相干，根本不可能是一个实际存在的函数。其实他们是犯了一个错误，如果高斯函数不可微的话，那么它的导数一定连续；否则，它的导数就不连续。 另外还有求极限过程中如何确定积分路径的问题，这也是学习微分学与积分学的同学经常遇到的问题，需要特别注意。
积分方程与微分方程的区别
积分方程与微分方程的区别 在数学中，积分方程和微分方程是两种重要的方程类型，它们在各个领域中都有广泛的应用。虽然积分方程和微分方程都涉及到方程和变量之间的关系，但它们在解题方法、形式以及应用方面存在一些显著的区别。 积分方程是通过积分来描述变量之间的关系，而微分方程是通过导数来描述变量之间的关系。积分方程中的未知函数是通过积分来求得的，而微分方程中的未知函数是通过导数来求得的。换句话说，积分方程是已知函数求解未知函数，而微分方程是已知导数求解未知函数。 积分方程中的解是无穷多个的，而微分方程中的解是一个或有限个的。这是因为积分方程中的积分常数是未知的，可以取任意值，因此解的形式可以是一个函数加上一个任意常数。而微分方程中的解是通过初始条件唯一确定的，因此解的形式是确定的，不含任意常数。 积分方程通常用于描述累积效应，而微分方程通常用于描述瞬时效应。积分方程中的变量通常代表一段时间内的累积量，例如总体积、总质量等。而微分方程中的变量通常代表瞬时量，例如速度、加速度等。因此，积分方程更适用于描述持续变化的过程，而微分方程更适用于描述瞬时变化的过程。
积分方程和微分方程在应用方面也有一些不同。积分方程在物理学中常用于描述连续介质的性质，如热传导、扩散等。而微分方程在物理学中常用于描述运动学和动力学问题，如牛顿运动定律、电路中的电流等。 积分方程和微分方程在解题方法、形式以及应用方面存在一些明显的区别。积分方程通过积分来描述变量之间的关系，解是无穷多个的，适用于描述累积效应；微分方程通过导数来描述变量之间的关系，解是一个或有限个的，适用于描述瞬时效应。积分方程通常用于描述连续介质的性质，而微分方程通常用于描述运动学和动力学问题。这两种方程类型各有其特点和应用领域，在数学和应用数学中都有重要的地位。
微分导数积分的区别与联系
微分导数积分的区别与联系微分、导数、积分都是微积分的基本概念，它们是互相关联的。微分和导数是一对概念，积分和微分则是互逆的操作。下面我就详细介绍微分、导数和积分的区别和联系。 一、微分和导数的区别与联系 微分和导数是密切相关的两个概念。微分属于导数的一种运算方法，可以说微分是导数的一种表现形式。 微分描述了函数在某一点附近的变化情况，是函数值的增量与自变量的增量之比的极限，可以看作是一个过程。微分常用“dy”来表示，表示函数y=f(x)在某一点x处的微小变化量。微分的物理意义是函数f(x)在x处的切线的斜率，即函数f(x)在x处的导数。 导数描述了函数在整个定义域上的变化规律，是一个函数。导数可以看作是微分的结果，是微分的极限。导数常用“f'(x)”或 “df(x)/dx”来表示，表示函数y=f(x)的导数。 微分和导数的关系可以用下面的式子来表示：
dy=f'(x)dx 二、积分和微分的区别与联系 积分和微分是微积分中的两个重要概念，也是微分方程的基本工具。 1.区别： 积分是微分的逆运算，它描述了曲线下某一区间的累计性质。积分可以看作是将一个函数变成另一个函数的一个过程，它反映了曲线下的面积、容积等的大小。积分常用符号“∫”表示。 微分是为了求解导数而发展起来的概念，它描述了函数在某一点附近的变化情况。微分可以看作是一个过程，它表示了函数值的微小变化量。微分常用符号“d”表示。 2.联系： 微分和积分之间存在一种联系，即微分和积分是互逆的操作。对一个函数进行积分然后再对积分结果进行微分，可以得到原函数。这个关系可以用下面的式子来表示： ∫(d/dx)f(x)dx = f(x) + C
积分和微积分
微积分包括微分和积分，积分包括不定积分和定积分。 一、微分： 如果函数在某点处的增量可以表示成 △y=A△x+o(△x) (o(△x)是△x的高阶无穷小） 且A是一个与△x无关的常数的话，那么这个A△x就叫做函数在这点处的微分，用dy表示,即dy=A△x △y=A△x+o(△x),两边同除△x有 △y/△x=A+o(△x)/△x,再取△x趋于0的极限有 lim△y/△x=lim[A+o(△x)/△x]=limA+lim[o(△x)/△x]=A+0 f'(x)=lim△y/△x=A 所以这里就揭示出了,导数与微分之间的关系了, 某点处的微分:dy=f'(x)△x 通常我们又把△x叫自变量的微分,用dx表示所以就有 dy=f'(x)dx.证明出了微分与导数的关系 正因为f'(x)=dy/dx,所以导数也叫做微商（两个微分的商） 二、积分 求积分的过程,与求导的过程正好是逆过程,好加与减,乘与除的关系差不多。1、不定积分：求一个函数f(x)的不定积分,就是要求出一个原函数F（x）,使得F'(x)=f(x)，
而F(x)+C（C为任意常数）就是不定积分∫f'(x)dx的所有原函数， 不定积分其实就是这个表达式：∫f'(x)dx 2、定积分：定积分与不定积分的区别是,定积分有上下限,∫（a,b）f'(x)dx 而不定积分是没有上下限的,因而不定积分的结果往往是个函数,定积分的结果则是个常数,这点对解积分方程有一定的帮助。 三、联系和区别 微积分包括微分和积分，积分包括不定积分和定积分。 其中，不定积分没有积分上下限，所得原函数后面加一个常数C；定积分是在不定积分的基础上，加上了积分上下限，所得的是数。 dy/dx 叫导数，将dx乘到等式右边，就是微分。
导数与微分的区别与联系
导数与微分的区别与联系 导数和微分是高等数学中重要的概念，在工程、物理等领域也广泛地运用，本文阐述其之间的区别与联系。 导数的概念是在微积分学中提出的，它是指一个变量关于另一个变量的变化速率，是二元函数变化量之比，是一种分析数学形式，可用来分析函数的变化趋势，即取得函数的斜率，以二次函数为例，导数被定义成函数某一点处的斜率，其发端在公式y=ax²+bx+c 中，导数的公式为dy/dx=2ax+b，其中，dy/dx是一个实数量，表示y函数到一点处的斜率，是一个“局部”的量，也就是指函数在某处变化率。 而微分是指函数某一段区间上的变化量，是一种“连续性”的量，对自变量和因变量之间的函数进行分析，可以用定积分项或估值定积分项间断微分来表达，其具体公式可以表示为：d(y)/dx=(y2-y1)/(x2-x1)，即，如果函数在x1和x2点处分别取得y1和y2的值，则在x1到x2的变化量就是y1到y2的变化量，这就是微分的定义。 因此，导数与微分的区别在于：导数是一个对函数在某处变化量的测量，而微分是一个连续变化量的测量；导数是一个局部点的量，而微分是一个区间的量；从形式上看，导数是一阶变化量，而微分是二阶变化量。 联系的话，微分的出现归因于导数的存在，从微分的定义可以看出，它把导数进行了积分，形成了跨越了多个数据间隔，即在数定量上的连续性的概念，而本质上微分的定义仍基于导数的概念，两者存在千丝万缕的关系，微分运用数学算法，将多个点之间的变化量进行积分，形成了合乎要求的曲线图，更广义地将局部变量积分，形成全局变量。 总之，导数和微分是互为依存的，前者是提出微分的基础，即导数概念的概括，而后者则依此将导数进行定义和积分，形成了较为完整的数学模型，所以，导数和微分之间相辅相成，却又存在着清晰的界限。
导数 微分 积分的区别
导数微分积分的区别 一、导数和微分的区别，导数： 导数与微分的定义可以表示为： 4．如果微分是从极限的逆命题得出，那么导数就是从极限的逆 定理得出。在以上定义中，如果取x=0时的值为0，则称为隐函数，反之，取x=a+b时的值为0，则称为显函数，由此可见，在求函数的导数时，如果不知道具体的函数，也就无法知道其导数的具体形式。例如，求函数y=1/x的导数时，若不知道函数的极限，则无法确定具体的取值范围，只能根据其单调性和增减性来判断取x=0还是x=a+b 时的导数为0。二、导数和积分的区别： 5．把导数放在等式左边，表示被积函数是一次、二次或三次的 可导函数，则称这种积分为一阶导数；把导数放在等式右边，表示被积函数是多次的可导函数，则称这种积分为二阶导数。 6．在一个闭区间上定义了一个连续可导的函数，它的导数总存在，并且等于该函数的原函数。 7．有时候我们需要用导数讨论函数的近似计算，例如函数在某点取极大值时，我们需要求函数的极大值。 8．在一个函数内部，可能存在导数。如函数y=x的导数就是指当x趋于某一数值y 时，函数值x的变化率。三、对象不同：导数研究的是函数的局部情况，而积分研究的是整个函数。四、作用不同：导数主要用于求函数的近似值，而积分主要用于求函数的最大（小）值。五、应用场合不同：导数主要用于求函数的近似值，而积分主要用于求函数的最大（小）值。六、思想方法不同：导数的思想方法是极限的思想方法，而积分
的思想方法是极限的思想方法和导数的思想方法的结合。七、适用条件不同：导数主要用于求函数的近似值，而积分主要用于求函数的最大（小）值。八、两者关系不同：导数是积分的逆运算，即：如果f(x)是定义在[a， b]上的连续可导的函数，那么 f'(x)=f(x)-f(a)f'(x)'(b)，其中， f'(x)'是f'(x)-f(a)f'(x)'(b)在[a， b]上的积分。九、两者联系不同：导数是积分的逆运算，即：如果f(x)是定义在[a， b]上的连续可导的函数，那么 f'(x)=f(x)-f(a)f'(x)'(b)，其中， f'(x)'是f'(x)-f(a)f'(x)'(b)在[a， b]上的积分。
微分与积分详解
微分与积分详解 微分与积分是高等数学中最基础的两个概念之一。它们是数学中极为重要的概念，是应用广泛的数学工具。微分与积分不仅在科学技术方面有着广泛的应用，而且在社会生活中也有着重要的作用。下面详细介绍微分与积分的基本概念及其应用。 一、微分 微分是关于导数的一种概念。在数学中，函数是我们经常听到的概念，而导数则是函数中处理率的概念。一个函数的导数是该函数的斜率，其代表了函数在某一点的瞬时变化率。微分就是用导数来表述变量的微小变化，即一点的无限小的变化量。 在微分中，我们需要了解的几个重要概念如下： 1.导数（Derivative） 函数的导数描述了函数的瞬时变化率。数学上用一个斜率来表示。如果一个函数y=f(x)在某个点x0处有导数，那么这个导数就是f(x)在x0处的斜率。 函数f(x)在x0处的导数可以看做是函数在x0处的切线的斜率。在同一曲线上的不同点的切线斜率是不同的，因此函数在不同的点上的导数也是不同的。 2.微分（Differential）
微分就是在导数的基础上引出的概念。微分可以表示函数的小变化，即函数在一点上的无限小的变化量。 函数f(x)在某一点x0的微分dx可以表示为： (dy/dx)dx。其中dy/dx是函数f(x)在x点处的导数，dx 是x点的微小增量。 二、积分 在微积分中，积分是求面积、体积、质量、能量等计算的基础现象，其作用是求曲线下的面积。积分是微分的逆运算，表示求被积函数在一定区间内的面积的算法。 1.不定积分 对于函数f(x)，若存在一个函数F(x)使得在一个区间内都有F'(x)=f(x)，则称F(x)为f(x)的一个原函数。 不定积分，就是不包含区间界限的积分，记为 ∫f(x)dx。这里的dx表示在x方向上的小增量。求不定积分的过程叫做积分运算。 2.定积分 定积分是指被积函数在积分区间上的求和，实际上是对曲线的变化量的求和。它在物理学中有着广泛的应用，可以算出某一时间内的平均速度、总路程或总损失等。 定积分的运算定义为：∫abf(x)dx。其中a、b分别为积分的区间界限，f(x)是在[a,b]内的连续函数。 三、微分与积分的应用
数学知识点归纳微分与积分的基本关系
数学知识点归纳微分与积分的基本关系 微分与积分是数学中两个非常重要的概念，在微积分领域起着重要 的作用。微分与积分之间存在着基本的关系，本文将对微分与积分的 基本关系进行归纳与阐述。 一、微分与积分的概念及基本性质 在介绍微分与积分的关系之前，首先需要明确微分与积分的概念及 其基本性质。 1. 微分 微分是研究函数变化率的工具，是导数的代表。对于函数f(x)，其 微分可以表示为df(x)或者dy，表示函数f(x)在x处无穷小的变化量。 2. 积分 积分是研究函数面积的工具，是不定积分和定积分的统称。对于函 数f(x)，其积分可以表示为∫f(x)dx，表示函数f(x)在某一区间上的面积。 微分与积分是两个相互联系的过程，通过微分可以求得函数的导数，反过来通过积分可以求得函数的原函数。 二、微分与积分的关系 微分与积分之间的关系可以通过微积分的基本定理来描述。 1. 微积分的基本定理
基本定理的第一部分是微分与积分的逆运算关系，也就是反函数， 即如果函数F(x)是f(x)的一个原函数，那么f(x)就是F'(x)的导数。这一 定理可以表示为∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数。 基本定理的第二部分是微积分基本定理，它提供了求定积分的一个 简便方法。基本定理第二部分可以表示为∫\_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a)，其中F(x)是f(x)的一个原函数。 2. 微分与积分的基本关系 根据基本定理的第一部分，可以得出微分与积分的基本关系：如果 F(x)是f'(x)的一个原函数，那么f(x)是F'(x)的一个原函数。即f(x)的不 定积分是F(x)再加上一个常数C，可以表示为∫f'(x)dx = F(x) + C。 另外，微积分基本定理的第二部分提供了一种方法来计算定积分。 通过将函数f(x)的一个原函数F(x)在区间[a, b]上求积分，可以得到定积分的值∫\_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a)。 三、应用举例 微分与积分的基本关系在实际问题中有广泛的应用。以下是一些常 见的应用举例。 1. 求曲线上某点的切线与法线 通过求函数在某点的导数，可以求得函数在该点的切线斜率。而切 线的斜率恰好与函数的导数相等。另外，通过求导数的倒数，可以得 到切线的法线斜率。
导数与微积分
导数与微积分 导函数 导函数的概念涉及：的对于区间 , 上任意点处都可导,则在各点的导数也随x的变化而变化,因而也是自变量x的函数,该函数被称为的导函数,记作 ; 一、基本函数的导函数 C'=0C为常数 x^n'=nx^n-1 n∈Q sinx'=cosx cosx'=-sinx e^x'=e^x a^x'=a^xlna loga,x' = 1/xlna lnx'= 1/x 二、和差积商函数的导函数 fx + gx' = f'x + g'x fx - gx' = f'x - g'x fxgx' = f'xgx + fxg'x fx/gx' = f'xgx - fxg'x / gx^2 三、复合函数的导函数 设 y=ut ,t=vx,则 y'x = u'tv'x = u'vx v'x 例：y = t^2 ,t = sinx ,则y'x = 2t cosx = 2sinxcosx = sin2x 一般定义
设函数在点的某个邻域内有定义,当自变量在处取得增量Δ点仍在该邻域内时,相应地函数取得增量Δ；如果Δ与Δ之比当Δ时的极限存在,则称函数在点处可导,并称这个极限为函数在点处的导数,记为,即 , 也可记作,或; 邻域 数学分析的定义 以a为中心的任何开区间称为点a的邻域,记作Ua 设δ是任一正数,则在开区间a-δ,a+δ就是点a的一个邻域,这个邻域称为点a的δ邻域,记作Ua,δ,即Ua,δ={x|a-δ