(完整版)利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题

法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) lim f x

x a

0及 l im g x 0 ；

x a

⑵在点 a 的去 心邻域内，

f(x) 与g(x) 可导且

g'(x) K ;

(3) f x lim

l ,那么

x a

g x

f x f x

lim -=lim l 。

x a

g x

x a

g x

f x f x lim =lim l 。

x a

g x x a g x

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 1.将上面公

式中的X — a , x —x 换成 X — +x, X — -X, x a , x a 洛必达法则也成立。 2. 洛必达法则可处理°，—, 0

, 1 ,

,

Q °

,

型。

3. 在着手求极限以前，首先要检查是否满足 0 , — , 0 , 1 , ° , 0° , 型定

式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时 称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。 4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使 用，直到求出极限为止。

f(x) 和g(x)在

，A 与 A,

上可导，且

g'(x)工0 ;

⑶lim

x l ,那么

x

g

x

f x f x

lim =lim l 。

x g x x g x

法则3若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)

lim f x

及 lim g x

(2)在点

x a

x a

a 的去心邻域内，f(x) 与g(x)可导且

g'(x) K ;

f (3) lim

x

l ，那么

x a

g x

0 及［im g x 0 ; (2) Af 0，

和g(x)满足下列条件：⑴lim f x

x

法则2若函数f(x)

二.高考题处理

1.(2010年全国新课标理)设函数f(x) e x 1 x ax 2。( 1)若a 0,求f(x)的单调区间；(2)

若当x 0时f(x) 0，求a 的取值范围 0，对任意实数a,均在f(x) 0 ；当x 0时，f(x) 0等价于

2 . ( 2011年全国新课标理)已知函数，曲线y f(x)在点(1,f (1))处的切线方程为 x 2y

3 0。(I)求a 、b 的值；(U )如果当x 0，且x 1时，f (x)—-，求k 的 x 1 x 取值范围。

(0,1)时，h

h x 在0,1上为减函数，在1,

上为增函数；故h x >h 1 =0

h x 在0, 上为增函数Q h 1 =0 当x (0,1)时，h x 0，当x (1，+ )时,

h x 0 当 x (0,1)时，g x 0，当 x (1， + )时，g x 0

g x 在0,1上为减函数，在1,

上为增函数

解：(II )当 x 0时，f(x)

x

e x 1

2

x

x

x 1

e

2

(x>0),

x

x x

则 g (x)

x

e

2

e 3

x 2

，令

x

2e x

0，则 h x

1， h x XgX 0，

0,

上为增函数，h x 0 ;知h x 在0, 上为增函数， g x 0， g(x)在 0,

上为增函数。由洛必达法则知，

lim

x 0

x e x 1 2

x

l

x^

e

x

x

lim e 3，故a —综上，知a 的取值范围为

解：(II ) 由题设可得，当x

0,x 1时，k<空邛1恒成立。

1 令 g (x)=

2xln x

1 x 2

1(x

0,x

1),则 g x

2 x x 2 1 ln x x 2 1

1 x

2 2

x 2ln x 1

x 2 1 ln x x 2 1 ( x

0,x

1 )

2xln x

易知h x 2ln x

1 —在 0,

x

上为增函数, 0 ；故当

时，h x

k 0，即k 的取值范围为(-,0]

3.已知函数f(x)=x — (1+a)lnx 在x=1时，存在极值。(1)求实数a 的值；(2)若x>1,

mlnx>f (x)-1成立,求正实数m 的取值范围

x-1

4.已知函数

f(x)= e x ,曲线y=f(x)在点(x °,y °)处的切线为y=g(x).

(1)证明：对于 x R , f(x) g(x);

⑵ 当x 0时，f(x) 1 +总，恒成立，求实数a 的取值范围。

1 x

x

x 2

洛必达法则知

小

x l n x 切 (2)

切？^ ‘ c 1 ln x *

1 2

呵卞1

解：mln x

x In x 1

x In x 1 m

(x 1)ln x

(x 1)

ln x

(x 1)ln x (x 1)ln x

1

ln x

x 1 =g

(X)

g(x) (l nx )-1+( x-1)1,则 g(x)

1 1 x lnx

2 (x 1)2

x(l nx)2 (x 1)2 x(x 1)(l nx)2

2 2

h(x)= x(ln x) (x 1) h (x)

(ln x)2

2l nx 2x 2,令 r(x) h (x )，贝U r (x)

2ln x _2_

2x

，令 x

M (x )= M (x)=

:r(x)，

2-2x

<0,则，r(x)为减，且r(1)=0,则h (x )为减，且

x

不 存 在 ， 对 g(x) 在 x=1 处

g(x)

g(x)

lim

x 1 x 1 In x

(x 1)l nx

lim

x 1

lim ln x

x 1

xln x

lim 1

1 1

，则 m 》1/2.

x ln x 1 1 ln 1

2 2

1 1/x x

h(1)=0,则g(x)为减，这

样, 用 罗 比 达 法 则

解：分离变量： a e (1 x) (1 x)

=h(x),去导数，h (x )=

—：

1

(x>0)，分

x x

子 r(x)= e x (x 2 x 1) 1 ,(x [0,

)，扩展定义域]，求导r (x) e x (x 2 3x ) 0，

可知，r(x)

为定义域内增函数，而 r (x ) r(0)=0.所以h (x)》0.为增函数。则

a h(0)----不

存在,罗比达法则可得为

1

练习

1. 2006年全国2理

x >0都有f(x) sax 成立，求实数a 的取值范围.

设函数f(x)= (x + 1)ln(x + 1)，若对所有的

2. 2006全国1理

1 x

已知函数f X

e ax . (I)设a 0，讨论y

f x 的单调性; 1 x

(n)若对任意 x 0,1恒有f x 1，求a 的取值范围.

3. 2007全国1理

4. 设函数 f(x) e x e x . (I)证明：f (x)的导数 f (x) > 2 ;

(n)若对所有 x > 0都有f (x) > ax ，求a 的取值范围.

5. 2008全国2理

设函数f(x)

sinx

. (I)求f(x)的单调区间；

2 cosx

(n)如果对任何 x > 0 ,都有f (x) < ax ，求a 的取值范围.

2k n 3,2k n “

( k Z )是减函数

3

3

2xcosx 2sin x sin xcosx x 则 g '

(x)

-------------- xvcosx? -------------------

解：(I) f (x)

(2 cos x)cos x sin x( sinx)

(2 cosx)2

2cos x 1 (2 cosx)2

当 2k n 2 n

x

2k n 2n (k Z ) 时，cosx 3 3

当 2k n 2 n x 2k n

4 n

(k Z ) 时，cosx 3

3

1

—,即 f (x)

；

2 1

，即 f (x) 0

.

2

因此f (x)在每一个区间

2k n

25

,2k n

3

(k Z )是增函数，f (x)在每一个区间

解：(I)

略 (n)

应用洛必达法则和导数 若x 0 ,则a R ； f(x)

sin x 2 cosx

ax

若x 0，贝U —

sin x — ax

等价于a

2 cosx

sin x

x(2 cosx) ，即 g(x)

sin x x(2 cosx)

记h(x) 2xcosx 2sin x sin xcosx x ,

h'(x) 2cosx 2xsinx 2cosx cos2x 1

2xs in x cos2x 1 2si n x 2xsinx 2sinx(sinx x)

而lim g(x) lim - sin x cosx

lim 1

x 0 x 0x(2 cosx) x 02+cos x xsinx 3

另一方面，当x [, )时，

sin x 1

g(x)

1 1 1

1

-，因此a

1

x(2 cosx) x 3 3

6. 2008辽宁理

In x 设函数f (x) In x ln( x 1).

1 x

⑴求f (x)的单调区间和极值;

⑵是否存在实数a，使得关于x的不等式f (x)…a的解集为(0, ) ?若存在，求a的取值范围试说明理由.

7. 2010新课标理

设函数f(x)=e x 1 x ax2. (I)若a 0,求f (x)的单调区间

(n)若当x》O寸f (x)求a的取值范围.

8 .2010新课标文

已知函数f(x) x(e x 1) ax2.

解：(I)略

(n)应用洛必达法则和导数

当x 0 时，f (x) 0，即x(e x 1) ax2.

①当x 0时，a R ；

②当x 0时，x(e x 1) ax2等价于e x 1;若不存在

(I)若f (x)在x 1时有极值，求函数f (x)的解析式; (n)当x 0时, f (x) 0，求a的取值范围

ax，也即a

2

2

7

x

记 g(x) e

x

1 , x (0,)，则 g'(x)

记 h(x) (x 1)e x x

x (0,)，则 h'(x) xe 0，因此 h(x) (x

1)e x 1 在(0,

)上单调递

增，且 h(x) h(0) 所以 g '(x)

x

0,从而g(x) —在(0,

x

)上单调递增?

由洛必达法则有 x e limg(x) lim - x 0 x 0 x x

e

lim 1，即当x x 0 1

0 时，g(x)

所以g(x) 1，即有a 1 ?综上所述，当a 1， x 0 时,

f(x)

0成立.

9. 2010全国大纲理 设函数f (x) 1 e (I)

证明：当x 1时, (n)

设当x 0时, f(x) f (x)-

x

x ax 1

求a 的取值范围?

解：(I)略 (n)

应用洛必达法则和导数 由题设x 0 ,此时f (X )

0.

①当 a 0时，若x ax

0， f (x) ②当 a 0时，当x 0时,

f(x)

，即 1 ax 1 — 不成立; ax

1

x ；

—;

1

ax 0，则a

0,则1 x

ax 1 等价于

，即

x ax 1 x

xe

x

xe x

x 记 g(x) xe -

e x

1 xe * x ，则 g '(x)

2x 2 x x

e x e 2e 1 (xe x x)2

x

e / x

(xe

x 2 X\ e ).

记 h(x) e x x 2 2 e x ，则 h'(x) e x 2x e x , h''(x) X " x

e

+e

0.

因此，h'(x) e x 2x e x 在(0,

)上单调递增，且h'(0)

0,所以 h'(x)

即 h(x)在(0,

)上单调递增，且h(0)

0，所以h(x) 0.