二次函数优秀教案
二次函数
【教学目标】
1．经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义；
2．了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。
【教学重难点】
体会二次函数意义，确定二次函数关系式中各项的系数。
【教学过程】
一、情景创设
1．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S 与半径r 之间的函数关系式是____________。
2．用16米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？设长方形的长为x 米，则宽为____________米，如果将面积记为y 平方米，那么变量y 与x 之间的函数关系式为________________________。
3．要给边长为x 米的正方形房间铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线的价格为每米30元，如果其他费用为1000元，门宽0.8米，那么总费用y 为多少元？
在这个问题中，地板的费用与______有关，为_______元，踢脚线的费用与 有关，为____________元；其他费用固定不变为____________元，所以总费用y （元）与x （m ）之间的函数关系式是________________________。
二、新知探索
上述函数关系有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不同？________________________________________________________________。
一般地，我们称________________________表示的函数为二次函数。
其中____________是自变量，____________函数。
一般地，二次函数
c bx ax y ++=2中自变量x 的取值范围是____________，你能说出上述三个问题中自变量的取值范围吗？
三、典例分析
例1．判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数A ．B ．C 的值。
x
x 1420
x
x
20
30
（1）231x y -= （2）)5(-=x x y
（3）123212+-=x x y （4）23)2(3x x x y +-= （5）
12312++=x x y （6）652++=x x y （7）1224-+=x x y （8）
c bx ax y ++=2例2．当k 为何值时，函数1)1(2+-=+k k x k y 为二次函数？
例3．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数。
（1）正方体的表面积S （cm 2）与棱长a （cm ）之间的函数关系；
（2）圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；
（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系；
（4）菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系。
四、巩固练习
（1）如图，学校准备将一块长为20m 、宽为14m 的矩形陆地扩建。如果长、宽都增加x m ，则扩建面积S(m 2)与x （m ）之间的函数关系式为_____________。
（2）如图，把一张长为30cm 、宽为20cm 的矩形纸片的一角渐趋一个正方形，则剩余扩建面积S(cm 2) 与所剪正方形边长x （cm ）之间的函数关系式为_____________。
（3）圆柱的高14cm ，则圆柱的体积V （cm 3）与底面半径r 之间的函数关系式为___________。
（4）某化肥厂10月份生产某种化肥200t ，如果11，12月的月平均增长率为x ，则12月份化肥的产量y(t)与x 之间的函数关系式为_____________。
初中数学《二次函数》的教学案例分
初中数学《二次函数》的教学案例分析及反思 一、教材研读与剖析 １．教材分析：本节课内容是在学生学习了一次函数、反比例函数等基础上的学习. 本章我们研究的是二次函数，要求学生通过探究实际问题与二次函数的关系，掌握利用顶点坐标解决最大值（或最小值）问题的方法. 学生要经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何描述变量之间的数量关系，感悟新旧知识的关系，深刻的体会数学中的类比思想方法. ２．教学目标：第一，理解和掌握二次函数的概念、性质，会做二次函数的图像，掌握二次函数的形式；第二，会建立二次函数模型，并能确定实际问题的自变量的取值范围；第三，会用待定系数法求二次函数的解析式；第四，从实际情景和实例中让学生探索分析，建立两个变量之间的二次函数，使学生能够理解如何将实际问题转化为数学问题，学会用数学符号和数学方法解决最值问题，让学生体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣. ３．教学重点和难点：第一，经历探究和表示二次函数的过程，获得二次函数的定义；第二，能够表示简单变量之间的二次函数关系；第三，探究利用二次函数解决实际生活中的最值问题. 本节难点在于如何将实际问题转化为二次函数的问题，其中“合作性学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力. 二、教学过程与设计 （１）温故而知新，回顾有关函数的知识，激发兴趣. 教师在课堂的开始，可以帮助学生回忆有关函数的定义——在某个变化过程中，有两个变量ｘ和ｙ，如果给定一个ｘ值，相应地就确定了一个ｙ值，那么我们称ｙ是ｘ的函数，其中ｘ是自变量，ｙ是因变量——做进一步巩固. 对“正比例函数、一次函数、反比例函数”的知识点进行总结，并在ｐｐｔ上给出一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（其中ｋ，ｂ是常数，且ｋ≠ ０）正比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ是不为０的常数）反比例函数ｙ＝■ （ｘ是不为０的常数）的形式. （２）创设问题情境，激发兴趣. 教师在ｐｐｔ上给出实际问题一，例如：现有６０米的篱笆要围成一个矩形场地，若矩形的长为１０米，它的面积是多少？若矩形的长分别为１５米、２０米、３０米时，它的面积分别是多少？从上两问同学们发现了什么？教师提问后，学生可独立回答. 在活动中，教师应重点关注：学生是否能准确的建立函数关系；学生是否能利用已学的函数知识求出最大面积；学生是否能准确的讨论出自变量的取值范围. 问题的设计，旨在运用函数模型让学生体会数学的实际价值，学会用函数的观点认识问题，解决问题，让学生在合作学习中共同解决问题，培养合作精神. 最后，提出问题：由矩形问题你有什么收获？让学生经过短时间的讨论与思考后，师生共同归纳总结出函数解析式ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ，ｂ，ｃ是常数，ａ≠ ０）的形式. 在ｐｐｔ上给出概念：我们把形如ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（其中ａ，ｂ，ｃ是常数，ａ≠ ０）的函数叫做二次函数. 称ａ为二次项系数，ｂ为一次项系数，ｃ为常数项. 通过层层设问，引导学生不断思考，积极探索，让学生感受到数学的应用价值，激发其学习的热情. （３）利用图像激发兴趣. 学习性质最好的方法就是根据图像来探索. 例如，教师可以给出以下的问题，让学生进行自由探索：填空：根据下边已画好抛物线ｙ＝－２ｘ２的顶点坐标是＿＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿＿，在＿＿＿＿＿侧，即ｘ＿＿＿＿＿０时，ｙ随着ｘ的增大而增大；在＿＿＿＿＿侧，即ｘ＿＿＿＿＿０时，ｙ随着ｘ的增大而减小.当ｘ＝＿＿＿＿＿时，函数ｙ的最大值是＿＿＿＿. 当ｘ＿＿＿＿０时，ｙ＜０. 教师让学生根据问题进行探究，并归纳出：二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠ ０）的图像和性质，顶点坐标与对称轴，位置与开口方向，增减性与最值. （４）小组合作探索二次函数与一元二次方程. 教师向学生展示二次函数ｙ＝ｘ２＋２ｘ，ｙ＝
(精)人教版数学九年级上册《二次函数》全章教案(最新)
22．1二次函数的图像和性质（一） 一、学习目标 1．知识与技能目标： （1）理解并掌握二次函数的概念； （2）能判断一个给定的函数是否为二次函数，并会用待定系数法求函数解析式； （3）能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式。 二、学习重点难点 1．重点：理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式； 2．难点：理解二次函数的概念。 三、教学过程 （一）创设情境、导入新课： 回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形式是怎样的？ （二）自主探究、合作交流： 问题1：正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为x，表面积为y，写出y与x的关系。问题2：n边形的对角线数d与边数n之间有怎样的关系? 问题3：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关系怎样表示? 问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点? 小组交流、讨论得出结论：经化简后都具有的形式。 问题5：什么是二次函数？ 形如。 问题6：函数y=ax2+bx+c，当a、b、c满足什么条件时，(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？
（三）尝试应用： 例1． 关于x 的函数 是二次函数， 求m 的值． 注意：二次函数的二次项系数必须是 的数。 例2． 已知关于x 的二次函数，当x=－1时，函数值为10，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为7。求这个二次函数的解析式．(待定系数法) （四）巩固提高： 1．下列函数中，哪些是二次函数? (1)y=3x －1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2－2x+1; (5)y=x 2－x(1+x); (6)y=x － 2+x ． 2．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积Ｓ与半径Ｒ之间的关系式。 3、n 支球队参加比赛，每两支队之间进行一场比赛。写出比赛的场数m 与球队数n 之间的关系式。 4、已知二次函数y=x2+px+q ，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为－ 5， 求这个二次函数的解析式． （五）小结： 1．二次函数的一般形式是 。2．会用 法求二次函数解析式。 （六）作业设计 22．1二次函数 y=ax 2的图像和性质（二） 一．学习目标： m m 2 21)x (m y --=
二次函数的教学案例
《二次函数》教学案例 一、教学目标: 1.通过探索归纳理解二次函数的定义. 2.能据实际问题，列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 教学重点：对二次函数概念的理解 教学难点：由实际问题确定二次函数关系式，并求出自变量的取值范围 教学过程： 一、问题情境： 1.水滴激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积A与半径r之间的函数关系式是。 2.用16m长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，生物园的面积y㎡与长方形的长x m之间的函数关系式为。 3、要给边长为x m的正方形房间铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线价格为每米30元，如果其它费用为1000元，那么总费用y= 。 二、问题归结：上述函数函数关系有哪些共同特征？它们与一次函数、反比例函数有什么不同？ 一般地，形如y=ax +bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的函数称为二次函数。其中x是自变量，y是x的函数。
三、概念巩固：判断下列函数哪些表示y是x的二次函数 （1）y=ax +bx+c （a、b、c是常数）（2）y= （3）y=x +5x-7 （4）y=-x 点评：对二次函数的判断必须注意：（1）二次项系数不可为0；（2）自变量x不可做分母；（3）自变量x的指数的最大值是2。 四、自变量的取值 函数自变量取的值通常有一定范围，你能说出上述三个问题中自变量的取值范围吗？ 点评：要注意结合问题实际确定自变量的取值，如上述问题（１）中的ｒ＞０，问题（２）中０＜ｘ＜８，问题（３）中ｘ＞０。一般的，二次函数y=ax +bx+c的自变量ｘ可以是任意实数。 五、例题教学 例：写出下列函数关系式及自变量的取值范围，并判断它们是什么类型的函数． ⑴正方体的表面积S cm与棱长a cm之间的函数关系； ⑵菱形的两条对角线的和为26cm，其中一条对角线的长为x cm，求菱形的面积S cm与对角线x cm之间的函数关系 ⑶圆的面积y cm与它的周长x cm 之间的函数关系； ⑷某种储蓄的年利率是x，存入10000元，两年后本息和y元与年利率x之间的函数关系； 六．知识反馈 1课本练习第7页2.3.4题
二次函数教案设计(全)
课题：1.1二次函数 教学目标： 1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。 2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。 3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。 4、会用待定系数法求二次函数的解析式。 教学重点：二次函数的概念和解析式 教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。 教学设计： 一、创设情境，导入新课 问题1、现有一根12m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”（板书课题） 二、 合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y 与x 之间的关系： （1）面积y (cm 2)与圆的半径 x ( Cm ) (2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y 元; (3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2) （一）教师组织合作学习活动： 1、先个体探求，尝试写出y 与x 之间的函数解析式。 2、上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。 （1）y =πx 2 （2）y = 2000(1+x)2 = 20000x 2+40000x+20000 (3) y = (60-x-4)(x-2)=-x 2+58x-112 （二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法。 x
二次函数复习课教学案例分析
二次函数复习课教学案例分析 一、复习课的目的是通过用多种方法求二次函数的解析式,从而培养学生的一题多解能力及探索意识. 二、教学目标： 1.理解二次函数的意义；会求二次函数的解析式； 2.通过变式教学，培养学生思维的敏捷性、广阔性、深刻性； 3.通过二次函数的教学让学生进一步体会研究函数的一般方法；加深对于数形结合思想的认识。 教学重点：二次函数的意义；会求二次函数的解析式。 教学难点：在求二次函数的解析式的过程中加深对于数形结合思想的认识。 三、探究与讨论 问题:已知二次函数的图象过点(1,0),在y轴上的截距为3,对称轴是直线x=2,求它的函数解析式. 1: 两点代入二次函数一般式再想到对称轴,从而以三元一次方 程组解得a,b,c, 2:还有没有其他方法,请大家再思考一下. 3:再想想看,是否还有其他解题途径. 4: 函数本身与图形是不可分割的,能数形结合,试用双根式解此题. 5: 最后,请同学们想一下,通过本堂课的学习,你获得了什么? 四、回顾与反思 1.每一个学生都有丰富的知识体验和生活积累,每一个学生都会有各自的思维方式和解决问题的策略.而我对他们的能力经常低估,在以往的上课过程中,总喋喋不休,深怕讲漏了什么,但一堂课下来,
学生收获甚微.本堂课,我赋予学生较多的思考和交流的机会,试着让学生成为数学学习的主人,我自己充当了一回数学学习的组织者,没 想到取得了意想不到的效果,学生不但能用一般式,顶点式解决此题,还能深层挖掘巧妙地用两根式解决此题,学生的潜力真是无穷. 2.通过本堂课的教学,我想了很多.新课程改革要求教师要有现 代的教学观、学生观，才能培养出具有创新精神和实践能力的下一代。所以教师应当走下“教坛”，与学生在民主、平等的氛围中交流意见，共同探讨问题。学生的主动参与是学习活动有效进行的关键所在，因此教师还应该在学生“学”上进行改革，从学生的实际出发，从学生的生活出发，才能把学生从被动听的束缚中解放出来，使学生真正成为学习的主人.本节课教师始终与学生保持着平等和相互尊重，为学生探究学习提供了前提条件. 在整个一节课上，基本上是学生讲为主，教师讲为辅。一些较为困难的问题，我也鼓励学生大胆思考，积极尝试，不怕困难，一个人完不成，讲不透，第二个人、第三个人补充，直到完成整个例题.这样上课气氛非常活跃，学生之间常会因为某个观点的不同而争论，这就给教师提出了更高的要求，一方面要控制好整节课的节奏，另一方面又要察言观色，适时地对某些观点作出判断，或与学生一同讨论.题是无穷尽而活的,只有让学生主动探索,才能真正地理解,巩固知识点,从而运用知识点,即真正知其所以然.今后,我将不断尝试,不断完善自身,使学生的讨论和思考更有意义.
二次函数学案(全章)(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】 【最新整理，下载后即可编辑】 第1课时 二次函数的概念 一、学习准备 1．函数的定义：在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称 是 的函数，其中 是自变量， 是因变量。 2．一次函数的关系式为y= (其中k 、b 是常数，且k≠0)；正比例函数的关系式为y ＝ (其中k 是 的常数)；反比例函数的关系式为y= (k 是 的常数)。 二、解读教材——数学知识源于生活 3．某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有 棵橙子树，这时平均每棵树结 个橙子，如果果园橙子的总产量为y 个，那么y= 。 4．如果你到银行存款100元，设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后,银 行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。那么你能写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)吗？ 。 5．能否根据刚才推导出的式子y=-5x 2+100x+60000和y=100x 2+200x+100猜想出二次函数的定义及一般形式吗？ 一般地，形如y ＝ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数。它 例1 下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2 32 1x y +- = (2)112+= x y (3)x y 222 += (4)1t s +=(5)22)3(x x y -+= (6)210r s π= 即时练习(1)2x y = (2)212= x y (3)) 1(+=x x y (4)1132 --=）（x y (5)c ax y -=2 (6)12+=x s 三、挖掘教材 6．对二次函数定义的深刻理解及运用 例2 若函数1232 ++=+-kx x y k k 是二次函数，求k 的值。 分析：x 的最高次数等于2，即k 2-3k+2=2，求出k 的值即可。 解： 即时练习：若函数1)3(232 ++-=+-kx x k y k k 是二次函数，则k 的值为 。 四、反思小结 1．我们通过观察、思考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想。 2．定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b ，c 是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数。 3．二次函数y=ax2+bx+c(a，b ，c 是常数，a≠0)的几种不同表示形式： (1) y=ax2 (a≠0)； (2) y=ax2+c (a≠0且c≠0)； (3) y=ax2+bx (a≠0且b≠0)。 4．二次函数定义的核心是关键字“二”，即必须满足自变量最高次项的指数为_____，且______项系数不为_____的整式。 第2课时 二次函数y ＝ax 2的图象与性质 一、学习准备 1．正比例函数y=kx(k ≠0)是图像是 。 2．一次函数y=kx+b(k ≠0)的图像是 。 3．反比列函数y=k x (k ≠0)的图像是 。 4．当我们还不了解一种函数图像的形状时，只能用描点法研究，描点法的一般步骤 是： ， ， 。 二、解读教材 2值） （2）根据图像，进行小结：
九年级数学二次函数教学案
第 14周第 1课时总第 43课时 课题：二次函数的定义 【学习目标】 1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义； 2.了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。 【学习重难点】 重点：二次函数的概念。 难点：确定实际问题中二次函数的关系式。 【学习过程】 一、预习交流 1．思考： （1）已知圆的面积是Scm 2，圆的半径是Rcm ，写出圆的面积S 与半径R 之间的函数关系式。 （2）已知一个矩形的周长是60m ，一边长是Lm ，写出这个矩形的面积S （m 2）与这个矩形的一边长L 之间的函数关系式。 （3）农机厂第一个月水泵的产量为50台，第三个月的产量y （台）与月平均增长率x 之间的函数关系如何表示？ 2.归纳： （1）函数解析式均为整式；（2）自变量的最高次数是2。 3.定义： 一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数。 【注意】这里b ，c 没有限制，而a ≠0。 练习一：下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a ，b ，c ？ （1）y=2-3x 2； （2）y=x (x-4)； （3）y= 2 1x 2-3x-1； （4）y= 4 1x 2+3x-8； （5）y=7x （1-x ）+4x 2； （6）y=（x-6）（6+x ）。 (7 ) y= 2 2561 x x - （8）y=(x-2)2 - x 2 ； 练习二：若函数( ) m m x m y --=2 12 是二次函数，则m 为 二、精讲点拨
例1．当k 为何值时，函数2 (1)1k k y k x +=-+为二次函数？ 例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数． ⑴圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系； ⑵某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系； ⑶菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系． 例3.已知二次函数2y ax =，当3x =时，5y =-。当5x =-时，求y 的值． 三、拓展延伸 1.考察下列函数：①2 13y x =+，②2 251y x x =-+，③3(1)y x x =-， ④3y x =-， ⑤234v t t =-（t 是自变量）中，二次函数是： 。 2.若一个边长为x cm 的无盖．．正方体形纸盒的表面积为y cm 2 ，则 ___________y =，其中x 的取值范围是 。 3.一矩形的长是宽的1.6倍，则该矩形的面积S 与宽x 之间函数关系式：S = 。 4. 如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的 十字形道路，请写出绿地面积y (㎡)与路宽x (m)之间 的函数关系式：y = 。 5. 如图，用50m 长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y (㎡)与它与墙平行的边的长x (m)之间的函数 关系式：y = 。 6.已知函数2 7 (3)m y m x -=-是二次函数，求m 的值． 四、系统总结 学生谈谈自己的收获 五、限时作业
【新人教版】九年级数学上册第22章《二次函数》教案
第二十二章二次函数 22．1 二次函数的图象和性质 22．1.1 二次函数 1．从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系．2．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式． 3．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围． 重点 二次函数的概念和解析式． 难点 本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力． 一.创设情境，导入新课 问题1 现有一根12 m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2 很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题)．
二.合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量y与x之间的关系： (1)圆的半径x(cm)与面积y(cm2)； (2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y元； (3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120 m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x (m)，种植面积为y(m2)． (一)教师组织合作学习活动： 1．先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式． 2．上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨． (1)y＝πx2(2)y＝20000(1＋x)2＝20000x2＋40000x＋20000 (3)y＝(60－x－4)(x－2)＝－x2＋58x－112 (二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法． 教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具有y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的形式． 板书：我们把形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic function)，称a为二次项系数，b为一次项系数，c
初中数学《二次函数》的教学案例分析
初中数学《二次函数》的教学案例分析 一、教材研读与剖析 １．教材分析：本节课内容是在学生学习了一次函数、反比例函数等基础上的学习. 本章我们研究的是二次函数，要求学生通过探究实际问题与二次函数的关系，掌握利用顶点坐标解决最大值（或最小值）问题的方法. 学生要经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何描述变量之间的数量关系，感悟新旧知识的关系，深刻的体会数学中的类比思想方法. ２．教学目标：理解和掌握二次函数的概念、性质，会做二次函数的图像，掌握二次函数的形式；会建立二次函数模型，并能确定实际问题的自变量的取值范围；会用待定系数法求二次函数的解析式；从实际情景和实例中让学生探索分析，建立两个变量之间的二次函数，使学生能够理解如何将实际问题转化为数学问题，学会用数学符号和数学方法解决最值问题，让学生体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣. ３．教学重点和难点：第一，经历探究和表示二次函数的过程，获得二次函数的定义；第二，能够表示简单变量之间的二次函数关系；第三，探究利用二次函数解决实际生活中的最值问题. 本节难点在于如何将实际问题转化为二次函数的问题，其中“合作性学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力. 二、教学过程与设计 （１）温故而知新，回顾有关函数的知识，激发兴趣. 教师在课
堂的开始，可以帮助学生回忆有关函数的定义——在某个变化过程中，有两个变量ｘ和ｙ，如果给定一个ｘ值，相应地就确定了一个ｙ值，那么我们称ｙ是ｘ的函数，其中ｘ是自变量，ｙ是因变量——做进一步巩固. 对“正比例函数、一次函数、反比例函数”的知识点进行总结，并在ｐｐｔ上给出一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（其中ｋ，ｂ是常数，且ｋ≠ ０）正比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ是不为０的常数）反比例函数ｙ＝■ （ｘ是不为０的常数）的形式. （２）创设问题情境，激发兴趣. 教师在ｐｐｔ上给出实际问题一，例如：现有６０米的篱笆要围成一个矩形场地，若矩形的长为１０米，它的面积是多少？若矩形的长分别为１５米、２０米、３０米时，它的面积分别是多少？从上两问同学们发现了什么？教师提问后，学生可独立回答. 在活动中，教师应重点关注：学生是否能准确的建立函数关系；学生是否能利用已学的函数知识求出最大面积；学生是否能准确的讨论出自变量的取值范围. 问题的设计，旨在运用函数模型让学生体会数学的实际价值，学会用函数的观点认识问题，解决问题，让学生在合作学习中共同解决问题，培养合作精神. 最后，提出问题：由矩形问题你有什么收获？让学生经过短时间的讨论与思考后，师生共同归纳总结出函数解析式ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ，ｂ，ｃ是常数，ａ≠ ０）的形式. 在ｐｐｔ上给出概念：我们把形如ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（其中ａ，ｂ，ｃ是常数，ａ≠ ０）的函数叫做二次函数. 称ａ为二次项系数，ｂ为一次项系数，ｃ为常数项. 通过层层设问，引导
(完整word版)第22章《二次函数》全章初备教案
第二十二章二次函数 22．1二次函数的图象和性质 22．1.1二次函数 教学目标 1．从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系． 2．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式． 3．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围． 教学重点 二次函数的概念和解析式． 教学难点 本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力． 教学过程 一、创设情境，导入新课 问题1现有一根12 m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题)． 二、合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量y与x之间的关系： (1)圆的半径x(cm)与面积y(cm2)； (2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y元； (3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120 m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x (m)，种植面积为y(m2)． (一)教师组织合作学习活动： 1．先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式． 2．上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨． (1)y＝πx2(2)y＝20000(1＋x)2＝20000x2＋40000x＋20000(3)y＝(60－x－4)(x－2)＝－x2＋58x－112 (二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法． 教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具有y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a ≠0)的形式． 板书：我们把形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数
二次函数学案(全章)
. 第1课时 二次函数的概念 一、学习准备 1．函数的定义：在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称 是 的函数，其中 是自变量， 是因变量。 2．一次函数的关系式为y= (其中k 、b 是常数，且k≠0)；正比例函数的关系式为y ＝ (其中k 是 的常数)；反比例函数的关系式为y= (k 是 的常数)。 二、解读教材——数学知识源于生活 3．某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵 树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有 棵橙子树，这时平均每棵树结 个橙子，如果果园橙子的总产量为y 个，那么y= 。 4．如果你到银行存款100元，设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。那么你能写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)吗？ 。 5．能否根据刚才推导出的式子y=-5x 2+100x+60000和y=100x 2+200x+100猜想出二次函数的定义及一般形式吗？ 一般地，形如y ＝ax 2 +bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数。它就是二次函数的一般形式，理解并熟记几遍。 例1 下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2 321x y +-= (2)112+=x y (3)x y 222 += (4)251t t s ++= (5) 22)3(x x y -+= (6)210r s π= 即时练习：下列函数中，哪些是二次函数？ (1) 2x y = (2)25213 2+-=x x y (3)) 1(+=x x y (4)1132 --=）（x y (5) c ax y -=2 (6)12+=x s 三、挖掘教材 6．对二次函数定义的深刻理解及运用 例2 若函数 12 32 ++=+-kx x y k k 是二次函数，求k 的值。 分析：x 的最高次数等于2，即k 2-3k+2=2，求出k 的值即可。 解： 即时练习：若函数1)3(2 32 ++-=+-kx x k y k k 是二次函数，则k 的值为 。 四、反思小结 1．我们通过观察、思考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想。 2．定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b ，c 是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数。 3．二次函数y=ax2+bx+c(a，b ，c 是常数，a≠0)的几种不同表示形式： (1) y=ax2 (a≠0)； (2) y=ax2+c (a≠0且c≠0)； (3) y=ax2+bx (a≠0且b≠0)。 4．二次函数定义的核心是关键字“二”，即必须满足自变量最高次项的指数为_____，且______项系数不为_____的整式。 第2课时 二次函数y ＝ax 2的图象与性质 一、学习准备 1．正比例函数y=kx(k ≠0)是图像是 。 2．一次函数y=kx+b(k ≠0)的图像是 。 3．反比列函数y=k x (k ≠0)的图像是 。 4．当我们还不了解一种函数图像的形状时，只能用描点法研究，描点法的一般步骤是： ， ， 。 二、解读教材 5．试作出二次函数y ＝x 2的图象。 ②描点：（在右图坐标系中描点） ③连线：（应注意用光滑的曲线连接各点） （2）根据图像，进行小结： ①y ＝x 2的图像是 ，且开口方向是 。 ②它是 对称图像，对称轴是 轴。在对称轴的左侧（x>0）,y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧（x<0），y 随x 的增大而 。 ③图像与对称轴有交点，称为抛物线的顶点此时，坐标为（ ， ）。 ④因为图像有最低点，所以函数有最 值，当x=0时，y 最小= 。6．变式训练1 作出二次函数y ＝-x 2的图象。 小结：①y ＝-x 2的图像是 ，且开口向 。 ②对称轴是 ，在对称轴左右的增减性分别是：在对称轴左侧，y 随x ，在对称轴的右侧，y 随x 的增大 。 ③顶点坐标是：（ ， ），且从图像看出它有最 点，所以函数有最 7．变式训练2 作出y ＝2x 2 ，y ＝0.5x 2 的图像。
二次函数的应用教学案例
二次函数的应用教学案例 一、教学目标 1.知识目标：学生能够利用二次函数与一元二次方程的关系求解；能够利用二次函数图象解决实际问题，从而熟练运用数形结合的方法解决问题。 2.技能目标：培养学生根据实际情况把二次函数转化为方程进行而解决问题的能力，引导学生把实际问题数学化，即建立数学模型解决实际问题。 3.情感目标：经历“问题情境——自主探究——交流与讨论——猜想结论——得出结论”的数学思维、活动过程，体验成功的喜悦，感受数学与实际生活的紧密联系，增加学习数学的兴趣。 二、教学重、难点 1.教学重点：把二次函数转化为方程的数学思想。 2.教学难点：把实际问题转化为与二次函数有关的数学问题。 三、教学用具 多媒体 四、教学过程 （一）引入练习： 1.已知一次函数23+=x y ，当x = 时，1-=y 。 【设计意图】利用简单的一次函数，学生体验“已知函数值求自变量取值”的方法，为下面的练习做铺垫。 2.已知二次函数322--=x x y ，当1=x 时，y = ；当x = 时，5=y 。 【设计意图】在上一题基础上解决二次函数中的问题，由此总结二次函数与一元二次方程之间的关系。 （学生独立完成，体验二次函数与一元二次方程的联系，得出结论：） （二）二次函数与一元二次方程： （展示图片，联系实际，学生通过用自己做了解的交通常识来回答一系列问题，从而调动起学习的兴趣和解决问题的积极性，同时实现师生之间的互动。） 情境：甲、乙两车在限速为40km/h 的湿滑弯道上相向而行时相撞。事后勘察测得，甲车刹车距离为12m ，乙车刹车距离超过10m ，但小于12m 。根据有关资料，在这样的湿滑路面上，甲车的刹车距离甲S （m ）与车速x （m ）之间的关系为201.01.0x x S +=甲，乙车的刹车距离乙 S （m ）与车速x 之间的关系为x S 4 1= 乙； （先由学生独立思考，再分小组与同学交流意见，讨论“用什么来衡量甲、乙谁违章”，打开解决问题的窗口），即 求：⑴甲车刹车前的行驶速度？甲车是否超速？ ⑵乙车刹车前的行驶速度？乙车是否超速？ 【设计意图】联系实习生活，体现“二次函数与一元二次方程的联系”在实际生活中的应用。利用交通事故案例，贴近生活，充分调动学生的积极性与学习兴趣，展开讨论，做出判断。再独立解题。 c bx ax y ++=2一元二次方程 m c bx ax =++2二次函数 y=m
《二次函数》整章教案
二次函数 【教学目标】 （1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围； （2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯。 【重点难点】 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 【教学过程】 一、试一试 问题1(P2) 1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下表的空格中： 2．x的值是否可以任意取?有限定范围吗? 3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式， 对于1：可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。 对于2：可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。 对于3：教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式．
二、提出问题 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 三、观察，概括 1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2)，提出以下问题让学生思考回答； (1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个? (各有1个) (2)多项式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分别是几次多项式? (分别是二次多项式) (3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点? (都是用自变量的二次多项式来表示的) (4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点？ 让学生讨论、交流，发表意见，归结为：自变量x为何值时，函数y取得最大值。2．二次函数定义：形如y=ax2＋bx＋c (a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项． 四、课堂练习 1.(口答)下列函数中，哪些是二次函数? (1)y=5x＋1；(2)y=4x2－1；(3)y=2x3－3x2；(4)y=5x4－3x＋1 2．P4练习第1，2题。 五、小结 1．请叙述二次函数的定义． 2，许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数关系式。 六、作业：P4习题26.1 第1-4题。 【课后反思】
第26章 二次函数 长铁一中全章学案
长铁一中导学·学案 《26.1 二次函数》学案 科目数学年级初三班级姓名 课型新课主备人湛洁审核人胡烨导学时间第13周 学习目标知识 1．知道二次函数的一般表达式；会利用二次函数的概念分析解题； 2．列二次函数表达式解实际问题． 能力 从实际问题中感悟变量间的二次函数关系，揭示二次函数概念.经历观察、思考、交流、归纳、辨析、实践运用等过程，体会函数中的常量与变量，深刻领悟二次函数意义. 情感 使学生进一步体验函数是描述变量间对应关系的重要数学模型，培养学生合作交流意识和探索能力。 教材分析重点理解二次例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式；难点能列出实际问题中二次函数解析式 导学操作过程设计（含导学方法、学法指导、课练、作业安排等） 复习 巩固 导入 新课 回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形式是怎样的？ 自主探究合作交流一、用函数关系式表示下列问题中变量之间的关系： 1.正方体的棱长是x，表面积是y,写出y关于x的函数关系式； 2.n边形的对角线条数d与边数n有什么关系？ 3.某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量，如果每年都必上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 二、观察所列函数关系式，看看有何共同特点? 共同特点：经化简后都具有的形式。 三、二次函数概念：一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。其中x是________，a是__________，b是___________，c是_____________． 注：函数y=ax2+bx+c，当a、b、c满足什么条件时，(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？ 四、尝试应用： 例1．下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项系数．（1）2 2x y=（2）y＝3x2＋2x（3）y＝3x2－1 （4）5 3 22- - =x x y （5）y＝x (x－5)＋2 （6）1 22 3+ - =x x y（7） x x y 1 2- =（8）2 2 )3 (x x y- - = 归纳：①函数表达式右边的各项是关系，各项系数前面的“-”是性质符号。 ②二次函数的几种常见形式： ③所缺项的系数看做. 例2: （1）已知4 2 )2 (- + - =m m x m y是关于x的二次函数，求m的值. 注意:二次函数的二次项系数必须是的数。
高中数学新课程创新教学设计案例二次函数修订稿
高中数学新课程创新教 学设计案例二次函数 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】
10 二次函数 教材分析 二次函数是重要的基本函数之一，由于它存在最值，因此，其单调性在实际问题中有广泛的应用，并且它与前面学过的二次方程有密切联系，又是后面学习解一元二次不等式的基础．二次函数在初中学生已学过，主要是定义和解析式，这里，在此基础上，接着学习二次函数的性质与图像，进而使学生对二次函数有一个比较完整的认识．本节先研究特殊的二次函数y＝ax2，（a≠0）的图像与 a值的关系，这可通过a在0的附近取值画图观察得到．然后，通过一个实例，如y＝x2＋4x＋6，研讨二次函数的性质与图像．最后，总结出一般性结论．这节内容的重点是二次函数的性质，即顶点坐标、对称轴方程、二次函数的单调性及其图像，难点是用配方法把y＝ax2＋bx＋c的形式转化为y＝a（x－h）2＋k的形式． 教学目标 1. 通过一个例子研究二次函数的图像和性质，得到一般性结论，培养学生归纳、抽象能力． 2. 掌握二次函数的概念、表达式、图像与性质．会用配方法解决有关问题，能熟练地求二次函数的最值． 3. 能初步运用二次函数解决一些实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力． 任务分析学习这节内容时要先复习一下学生初中学过的二次函数的有关问题．为了得到y＝ax2，（a≠0）的图像与a的关系以及二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质，这里遵循由特例到一般的原则，充分利用图像的直观性，以便学生接受．在这一过程中，应讲明配方法的操作过程． 教学设计 一、复习引申 1. 什么是二次函数？ 2. 在同一坐标系中作出下列函数的图像． （1）y＝－3x2．（2）y＝－2x2．（3）y＝－x2．（4）y＝－0.5x2． （5）ｙ＝0.5x2．（6）y＝x2．（7）y＝2x2．（8）y＝3x2． 3. 学生讨论：函数y＝ax2中系数a的取值与它的图像形状有何关系？ 4. 教师明晰：在a从－3逐渐变化到＋3的过程中，抛物线开口向下并逐渐变大，当a＝0时，y＝0，抛物线变为x轴，然后抛物线开口向上，并逐渐变小． 二、问题情境 已知二次函数f（x）＝x2＋4x＋6． （1）求它与x轴的交点坐标． （2）问：它有没有最值若有最大（小）值，最大（小）值是多少试求出此时对应的自变量ｘ的值． （3）画出它的图像． （4）它的图像有没有对称轴如果有，位置如何 （5）确定函数的单调区间． 1. 先让学生独立解答问题1，然后师生共同确定答案 （1）令y＝0，即x2＋4x＋6＝０，解得x1＝－6，x2＝－2．∴与ｘ轴交于两点（－6，0），（－2，0）．
人教版九年级上册二次函数全章教案
26.1.1 二次函数 1. 了解二次函数的有关概念． 2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。 3. 确定实际问题中二次函数的关系式。 一、知识链接： 1.若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。 2. 形如___________y =0)k ≠（的函数是一次函数 二、自主学习： 1．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。 分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = . 2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________． 3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式是 。 4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？ 。 5.归纳：一般地，形如 ，（,,a b c a 是常数，且 ）的函数为二次函数。其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 三、合作交流： （1）二次项系数a 为什么不等于0？ 答： 。 （2）一次项系数b 和常数项c 可以为0吗？ 答： . 四、跟踪练习 1．观察：①2 6y x =；②2 35y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④3 2y x x =-；⑤ 213y x x =-+；⑥()2 21y x x =+-．这六个式子中二次函数有 。（只填序号） 2.2 (1)31m m y m x x -=+-+ 是二次函数，则m 的值为______________． 5.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．