光学信息处理讲义

光学信息处理

1. 引 言

自六十年代激光出现以来，光学的重要发展之一是形成了一个新的光学分支——傅里叶光学。傅里叶光学是指把数学中的傅里叶分析方法用于波动光学，把通讯理论中关于时间、时域、时间调制、频率、频谱等概念相应地改为空间、空域、空间调制、空间频率、空间频谱，并用傅里叶变换的观点来描述和处理波动光学中学波的传播、干涉、衍射等。傅里叶变换已经成为光信息处理的极为重要的工具。

光学信息处理就是对光学图像或光波的振幅分布作进一步的处理。自从阿贝成像理论提出以后，近代光学信息处理通常是在频域中进行。由于光的衍射,图像的夫琅和费衍射分布,即图像的空间频谱分布与图像的空间分布规律不同,这使得在频谱面上对其进行处理可获得一些特殊的图像处理效果。近代光学信息处理具有容量大，速度快，设备简单，可以处理二维图像信息等许多优点，是一门既古老又年青的迅速发展的学科。光学信息存储、遥感、医疗、产品质量检验等方面有着重要的应用。

2. 实验目的

1) 通过实验，加强对傅里叶光学中有关空间频率、空间频谱和空间滤波等概念的理解。 2) 掌握光学滤波技术，观察各种光学滤波器产生的滤波效果，加深对光学信息处理基本思想的认识。

3) 加深对卷积定理的理解

4) 了解用光栅滤波实现图像相加减及光学微分的原理和方法。 5) 了解黑白图像等密度的假彩色编码。

3. 实验原理

1) 二维傅里叶变换和空间频谱

在信息光学中常用傅里叶变换来表达和处理光的成像过程。设在物屏X -Y 平面上光场的复振幅分布为g (x ，y ) ，根据傅里叶变换特性，可以将这样一个空间分布展开成一系列二维基元函数的线性叠加，即

)](2exp[y f x f i y x +π∫∫+∞

∞

?+=

y x y x y x

df df y f x f i f f

G y x g )](2exp[),(),(π （1）

式中f x 、f y 为x 、y 方向的空间频率，即单位长度内振幅起伏的次数，G (f x ，f y )表示原函数g (x ，y )中相应于空间频率为f x 、f y 的基元函数的权重，亦即各种空间频率的成分占多大的比例，也称为光场（optical field ）g (x ，y )的空间频谱。G (f x 、f y )可由g (x ，y )的傅里叶变换求得

∫∫+∞

∞

?+?=

dxdy y f x f i y x g f f G y x y x )](2exp[),(),(π (2)

g (x ，y )与G (f x ，f y )是一对傅里叶变换式，G (f x ，f y )称为g (x ，y )的傅里叶的变换，g (x ，y )是G (f x ，f y )的逆变换，它们分别描述了光场的空间分布及光场的频率分布，这两种描述是等

效的。

当g (x ，y )是空间周期函数时，空间频率是不连续的。例如空间周期为x 0的一维函数g (x)，即g (x )=g (x +x 0)。描述空间周期为x 0的一维光栅时，光栅面上光振幅分布可展成傅里叶级数

∑∑==)2exp()2exp()(0x nf i G x f i G x g n n n ππ (3)

上式中，n ＝0，±1，±2，……；f 0=1/x 0 ，称为基频；f n =nf 0，是基频的整数倍频，称为n 次谐波的频率。G n 是g (x )的空间频率，由傅里叶变换得

dx x nf i x g x G x x n )2exp()(102/2

/0

00π?=

∫+? (4)

2) 透镜的二维傅里叶变换性质

在光学上，透镜是一个傅里叶变换器，它具有二维傅里叶变换的本领。理论证明，若在焦距为F 的正透镜L 的前焦面（X -Y 面）上放一光场振幅透过率为g (x ，y )的物屏，并以波长为λ的相干平行光照射，则在L 的后焦面（X ′-Y ′面）上就得到g (x ，y )的傅里叶变换，即g (x ，y )的频谱，此即夫琅禾费衍射情况。其空间频谱

∫∫+∞

∞

?′+′?=′′dxdy y F y x F x i y x g F y F x G )](2exp[),(),(λλπλλ (5)

其中空间频率f x 、f y 与透镜像方焦面（频谱面）上的坐标有如下关系

F x f x λ/′= F y f y λ/′= （6）

显然，),(

F y F x

G λλ′

′就是空间频率为（F

y F x λλ′′,）的频谱项的复振幅，是物的复振幅分布的傅里叶变换，这就为函数的傅里叶变换提供了一种光学手段，将抽象的函数演算变成了实实在

在的物理过程。由于F

y F x λλ′′,分别正比于x ′，y ′，所以当λ、F 一定时，频谱面上远离坐标原点的点对应于物频谱中的高频部分，中心点x ′=y ′=0，f x =f y =0对应于零频。 3) 阿贝成像原理

现在我们知道，物体应该看成是大量空间信息的集合体，光信息处理涉及的空间信息的频谱不再是一个抽象的数学概念，它是展现在透镜焦平面上的物理实在。

1873年，德国人阿贝从波动光学的观点提出了一种成像理论。他把物体或图片看成包含一系列空间频率的衍射屏，在相干光照明下，物体通过透镜成像的过程分为两步：第一步是通过物的夫琅禾费衍射，在物镜后焦面上形成一个衍射图样，第二步是这些衍射图样发出的子波相干涉，在像平面上相干迭加形成物的像，通过目镜可以观察到这个像。

图1 阿贝成像原理图

按频谱分析理论，谱面上的每一点均具有以下四点明确的物理意义： （1）谱面上任一光点对应着物面上的一个空间频率成分。

（2）光点离谱面中心的距离，标志着物面上该频率成分的高低，离中心远的点代表物面上的高频成分，反映物的细节部分。靠近中心的点，代表物面的低频成分，反映物的粗轮廓。中心亮点是0级衍射即零频，反映在像面上呈现均匀背景。

（3）光点的方向，指出物平面上该频率成分的方向，例如横向的谱点表示物面有纵向栅缝。

（4）光点的强弱则显示物面上该频率成分的幅度大小。

由以上定性分析可以看出，阿贝的二次成像理论的第一次衍射是透镜对物作空间傅里叶变换，它把物的各种空间频率和相应的振幅一一展现在它的焦平面上。一般情况下，物体透过率的分布不是简单的空间周期函数，它们具有复杂的空间频谱，故透镜焦平面上的衍射图样也是极复杂的。第二次衍射是指空间频谱的衍射波在像平面上的相干迭加。如果在第二次衍射中，物体的全部空间频谱都参与相干迭加成像，则像面与物面完全相似。如果在展现物的空间频谱的透镜焦平面上插入某种光学器件（称之为空间滤波器），使某些空间频率成分被滤掉或被改变，则像平面上的像就会被改变，这就是空间滤波和光学信息处理的基本思想。

在实际光学成像系统中，像和物不可能完全一样。这是由于透镜的孔径是有限的，总有一些衍射角比较大的高次光线（高频信息）不能进入物镜而被丢掉。所以像的信息总是比物的少些。由于高频信息主要反映物的细节，因此，无论显微镜有多大的放大倍数，也不可能在像面上分辨出这些细节。这是限制显微镜分辨本领的根本原因。当物镜孔径极其小时，有可能只有零级衍射通过物镜，这时像面上有亮的均匀背景而无像分布。

4) 空间滤波和光信息处理

光信息处理是通过空间滤波器来实现的，所谓空间滤波器是指在图1中透镜的后焦平面上放置某种光学元件来改造或选取所需要的信息，以实现光信息处理。这种光学器件称为空间滤波器。

（b ）高通

（c ）带通（d ）方向

（a ）低通

图 2 空间滤波器

图2给出了几种常用的空间滤波器。（a ）低通滤波：目的是滤去高频成分，保留低频成分。由于低频成分集中在谱面的光轴（中心）附近，高频成分落在远离中心的地方，经低通滤波后图像的精细结构将消失，黑白突变处也变得模糊。（b ）高通滤波：目的是滤去低频成

分而让高频成分通过，其结果正好与低通滤波相反，使物的细节及边缘清晰。（c ）

带通滤波：根据需要，有选择的滤掉某些频率成分。（d ）方向滤波：只让某一方向，例如纵向的频率成分通过，则像面上将突出了物的横向线条。

5) 卷积

一个二维函数的卷积定义为：

ηξηξηξ∫∫

??=

∞

∞

?d d y x h f y x h y x f ),(),(),(*),(

(7)

卷积本身的概念比较抽象，卷积运算比较复杂。但是在理论上可以证明：两个函数乘积的傅里叶变换，等于它们各自的傅里叶变换的卷积。反之，两个函数卷积的傅里叶变换，等于它们各自傅里叶变换的乘积。这个卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段，并利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT))。

6) 图像相加减

利用正弦光栅作为空间滤波器，可在相干光学处理系统中对图像进行实时的相加和相减运算。

如图3所示，以正弦光栅作为滤波器，将其置于4F 系统的滤波平面上。正弦光栅的复振幅透过率为：

)2cos(),(0010?πν++=u f G G u g (8)

式中Ff u λ=,u,ν为场点坐标；F 为傅里叶变换透镜的焦距；0f 为光栅频率；f 是与场点

坐标u 对应的频率变量；0?表示光栅条纹的初位相，它决定了光栅相对于坐标原点的位置。

将图像A和图像B置于物面上。对于每一种物图像U 0(x,y)，在4F配置的系统中，它的像函数为物函数的对称函数U 0(-x,-y)与),(νu g 的傅里叶变换的卷积(省略共有的系数)。经过计算，像的函数为

00)),((2

1

)),((21),(),('00100100??λλi i e y F f x U G e y F f x U G y x U G y x U ??+?+???+

??= (9) 即在像面上呈现三个像，分别为0级像，-1级像，+1级像，它们都是原的

的再现。因此，在此系统中A，B各有三个像A 0，A -1，A +1，B 0，B -1，B +1，调节物面上A，B的距离b，使像面上A +1与B -1图像重合，此时A，B距离满足

F f b 02λ= (10)

当光栅条纹的初位相00?=，即光栅条纹与轴线重合时，即A +1与B -1像之间没有相差，

则实现了复振幅相加运算。

当光栅条纹的初位相02π

?=，即光栅条纹偏离轴线14

周期时，A +1与B -1像的位置不

变，但产生相反的相移，位相差为π，则实现了复振幅相减运算。

7) 光学微分

光学微分不仅是一种重要的光学—数学运算，在光学图像处理中也是突出信息的一种重要方法。在图象识别技术中，突出图象的边缘是一种重要的识别方法。对于一张比较模糊的图象，由于突出了其边缘轮廓而变得易于辨认。为了突出图象的边缘轮廓，我们可以用空间滤波的方法，去掉图象中的低频成分而突出图象的高频成分，从而使轮廓突出。虽然利用高通滤波可使像边缘增强，但由于光能量损失太大，因而使像的能见度大大降低，减弱了信号，利用光学微分法可以得到较满意的结果。复合光栅可以用来作为空间滤波器实现图像微分。

所谓的复合光栅是指在同一块全息干板上制作的两个栅线平行但空间频率稍许不同的光栅。为书写简单，设其初始位置时的振幅透过率函数为

)2cos()2cos(),(22110u f G u f G G u g ππν++=

(11)

光学微分的光路系统仍采用4F 系统，待微分的图像置于输入面的原点位置，微分滤波器置于频谱面上。作和上面一样的分析，此时像面上将有五幅图像，与G 0对应的0级像，与G 1，f 1相联系的为±1级A ±1，与G 2，f 2相联系的为±级A 2±1,两对±1级像中心相对0级中

心的距离分别为

2211,Ff x Ff x λλ=Δ=Δ

(12)

由于f 1,f 2之间存在差额2112,)(f f f f f <

f F x x x Δ=Δ?Δ=Δλ12

(13)

这就实现了微分运算的第一步。为实现二者相减，按照图相减同样的做法，将复合光栅平移一合适距离，引起二张图像的相移 u Δ

u f f Δ?=)(212π?

(14)

令π?=，得f

u Δ=

Δ21

。此时在±1级像所在处的场为 01010212

1

)'(21)'(21)','(U G e x U G x x U G y x U i Δ=+Δ+=+? (令21G G =) (15) 这样就实现了光学微分运算。

8） θ调制

θ调制实验是对阿贝的二步成像理论的一个巧妙应用。将一个物体用不同的光栅来进行编码，制作成θ片。将θ片置于白光照明中，在频谱面上进行适当的空间滤波处理，便可在输出面上得到一个假彩色的像。

我们知道，如果在一个透镜的前面放置一块光栅并用一束单色平行光垂直的照射它，在透镜的后焦面（即频谱面）上就会形成一串的衍射光斑，其方向将垂直于光栅的方向。如果有一个二维的图形，其不同部分由取向不同光栅制成（调制），显而易见，他们的衍射光斑也将有不同的取向，即在透镜的后焦平面（频谱面）上，各部分的频谱分布也将有不同，如果我们挡住某一部分的频谱，在频谱面后的这部分图象将会消失，可见，输入图象中各部分的频谱，只存在于调制光栅的频谱点附近。如果我们用白光照射θ片，则在频谱上可得到彩色的频谱斑（色散作用），每个彩色斑的颜色分布从外向里按赤、橙、黄、绿青、兰、紫的顺序排列，这是由于光栅的衍射角与光波长有关，波长越长衍射角越大。如果我们在频谱面上，放置一个空间滤波器，这种滤波器可以让不同方位的光斑串，不同的颜色有选择地通过，则我们就可以得到一幅彩色的像。而实际上物体（θ片）是无色的，这就实现了假彩色编码。

4. 实验光路

实验光路如图4所示，用一半导体激光器（λ＝632.8nm ）作光源，物面G 处放置透射的物（一维光栅或正交光栅)，谱面F 处放置各种滤波器（形状不同的光阑、狭缝等）。调节光路时要注意各有关器件的共轴等高。激光束经L 1、L 2（f=10cm）扩束准直后，形成大截面的平行光照在物面G 上，移动傅立叶透镜（f=15cm）L 3在像面H 上得到一个放大的实像，此

时物的频谱面在傅立叶透镜L的后焦面上。

调节平行光是利用平晶来判别的。所谓平晶是一块前后表面平行度很高的厚光学玻璃板，如果平行光束照射在平晶上，经前、后表面反射出来的两束光仍然是平行光，在它们重叠区不产生干涉条纹。反之，如果照射的光束不是平行光束，在重叠区则要产生干涉条纹。条纹的平行度越差，干涉条纹越密。调节光路时，使平晶与光束成一倾角，用接收屏接收平晶的反射光束，一般能观察到干涉条纹，细调扩束镜前后位置，使干涉条纹尽可能稀疏（由于光学玻璃的质料不是绝对均匀或前后表面不严格平行，不可能一点也没有干涉条纹），这样就得到了准直的平行光束。

物面G像面H

图4 空间滤波实验光路

5. 实验内容

1)．观察空间滤波现象。

物面上放置一维光栅(6线/mm或12线/mm)，光栅条纹沿竖直方向，这样，在频谱面上可看到水平排列的等间距衍射光点，在频谱面上用纸扎孔自制光阑，按表一中A，B，C，D，E分别通过一定的空间频率成分，依次记录像面上的特点及条纹间距，并对图象变化出适当的解释。

表一：一维光栅空间滤波现象的观察

通过的衍射 图象情况 简要解释

A B 全部 0级

C 0，±1级

D 0，±2级

E 除0级外

2）．方向滤波

在物面上换上正交光栅（光字屏），则频谱面上出现衍射图为二维的点阵列，像面上出现正交光栅像(网格)。在频谱面上加不同的空间滤波器，观察现象。

表二空间滤波实验现象观察

3) 卷积定理

用激光束分别照射在25线/mm和100线/mm的两个正交光栅上，观察各自的空间功率谱（即夫朗和费衍射图）。将两光栅重叠起来，观察并记录其频谱特点。先后转动两光栅之一，频谱面上有何变化？

4) (选做)光学图像加减

在物面上放置图加减片，频谱面放置一维光栅（100线/mm）作为滤波器，垂直光轴平移光栅，实现两者之间相位差为π、2π，观察像面上的图像变化，比较分析结果。试求出此一维光栅的空间频率。

（完成本实验，需要非常好的平行光并仔细地调节一维光栅的位置，使其准确地处于频谱面才能得到好的结果。因此光栅调节请使用三维调节架。）

图6 图形样品及实验结果

5) 光学微分

在物面上放置微分图片，频谱面放置复合光栅（本实验采用υ=100线/mm，υ0=102线/mm组成的复合光栅，）作为滤波器，垂直光轴平移光栅，观察像面上的图像变化，记录实验结果。

（完成本实验，需要非常好的平行光并仔细地调节复合光栅的位置，使其准确地处于频谱面才能得到好的结果。因此光栅调节请使用三维调节架。） 6)θ调制

以溴钨灯为光源按下图示安置光路，白光光源经准直透镜即可获得平行光，以照明4f 系统。在物面上放置θ片，频谱面放置在频谱面上放一张不透光的白纸，用针扎方法，自制滤波器，使得像面上的图形显示出为彩色图形。分析并解释实验结果。

图5

调制空间假彩色编码光路

五、思考题

1. 根据本实验结果，你如何理解显微镜、望远镜的分辨本领？为什么说一定孔径物镜只能具有有限的分辨本领？如增大放大倍数能否提高一起的分辨本领？

2. 本实验内容中1-5两部分均用一激光作为光源，有什么优越性？如以钠光或白炽灯代替激光，会产生什么困难，应采取什么措施？

3. 我们曾用低滤波器去了光字屏的网格而保留了“光”字，试设计一个滤波器能滤去字迹而保留网格。

4.怎样利用图像加来实现图像对比度反转？