2020年高考数学试卷-(理3卷含答案)

2020年高考数学试卷－（理科全国Ⅲ卷）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}*,,|),{(x y N y x y x A ≥∈=，}8|),{(=+=y x y x B ，则B A 中元素的个数为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．6

2．复数

i 311

-的虚部是（ ）

A ．10

3-

B ．10

1-

C ．

10

1 D ．

10

3 3．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1p ，2p ，3p ，4p ，且

∑==4

1

1i i

p

，则下面四种情形中，对

应样本的标准差最大的一组是（ ） A ．1.041==p p ，4.032==p p B ． 4.041==p p ，1.032==p p

C ．2.041==p p ，3.032==p p

D ．3.041==p p ，2.032==p p

4．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数)(t I （t 的单位：天）的Logistic 模型：)

53(23.01)

(--+=

t e

K t I ，其中K 为最大确诊病例数.当K

t I 95.0)(*

=时，标志已初步遏制疫情，则*

t 约为（319ln ≈）（ ）

A ．60

B ．63

C ．66

D ．69

5．设O 为坐标原点，直线2=x 与抛物线)0(2:2

>=p px y C 交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则的焦点坐标为（ ）

A ．)0,41(

B ．)0,2

1(

C ．)0,1(

D ．)0,2(

6．已知向量a ，b 满足5||=a ，6||=b ，6-=?b a ，则>=+

A ．35

31-

B ．35

19-

C ．

35

17 D ．

35

19 7．在ABC △中，，，，则（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

8．右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

9．已知，则（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

10．若直线与曲线和圆相切，则的方程为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 11.已知双曲线()22

22:10,0-=>>x y C a b a b

的左右焦点21,F F ，离心率为5.P 是C 上的一点，且P F P F 21⊥.若

21F PF ?的面积为4，则=a （ ）

A ． 1

B ．2

C ．4

D ．8

12．已知5458<,45138<.设53a log =,85b log =,138c log =,则（ ）

A ．a b c <<

B ．b a c <<

C ．b c a <<

D ． c a b <<

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若x ，y 满足约束条件0

201x y x y x +??

-???

，则32z x y =+的最大值是 ．

14．262

()x x

+的展开式中常数项是 （用数字作答）.

15．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ． 16．关于函数()1

sin sin f x x x

=+

． ①()f x 的图像关于y 轴对称；②()f x 的图像关于原点对称；

③()f x 的图像关于2

x π

=

对称；④()f x 的最小值为2．其中所有真命题的序号是 ． 三、填空题：本题共6题，17~21每题12分，22题10分。

17.(12分)设数列{}n a 满足13a =，134n n a a n +=-.

(1)计算 2a ，3a ，猜想{}n a 的通项公式并加以证明； (2)求数列{2}n n a 的前项和n S .

2

cos 3C =4AC =3BC =cos B =19

13

12

642+442+623+423+2tan tan 74πθθ?

?--= ??

?tan θ=2-1-12l y x =22

15

x y +=l 21y x =+122

y x =+

1

12

y x =

+1122

y x =

+

18．（12分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；

（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用改组区间的中点值为代表）；

（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空

气质量不好”.根据所给数据，完成下列的22

?列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公

园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

附：

2

2

()

()()()()

n ad bc

K

a b c d a c b d

-

=

++++

19．（12分）如图，在长方体

1111

ABCD A B C D

-中，点E，F分别在棱

1

DD，

1

BB上且

1

2DE ED

=，

1

2

BF FB

=．

（1）证明：点

1

C在平面AEF内；

（2）若2

AB=，1

AD=，

1

3

AA=，求二面角

1

A EF A

--的正弦值．

20．（12分）已知椭圆222:1(05)25x y C m m

+=<<

，A ，B 分别为C 的左右顶点.

（1）求C 的方程；

（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．

21.设R x c bx x x f ∈++=,)(3

，曲线)(x f 在点??

? ??)21(21

f ，处的切线与y 轴垂直. （1）求b ；

（2）若)(x f 有一个绝对值不大于1的零点，证明：)(x f 的所有零点的绝对值都不大于1.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,3222

2

?????+-=--=t

t y t

t x （t 为参数且1≠t ），C 与坐标轴交于A ，B 两点． （1）求AB ；

（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设R c b a ∈,,,,0=++c b a .1=abc

（1）证明：0<++ca bc ab ；

（2）用{}c b a ,,m ax 表示c b a ,,的最大值，证明：{}3

4,,max ≥c b a ．

2020年高考数学试卷－（理科全国Ⅲ卷）答案

1.C

2.D

3.B

4.C

5. B

6.D

7.A

8.C

9.D 10.D 11. A 12.A

13.7

14.240

15.

16.②③

17．解：（1）235,7,a a == 猜想21,n a n =+ 由已知可得

1(23)3[(21)]n n a n a n +-+=-+，

1(21)3[(21)]n n a n a n --+=--，

……

2153(3)a a -=-.

因为13a =，所以2 1.n a n =+

（2）由（1）得2(21)2n n n

a n =+，所以 23

325272(21)2n

n S n =?+?+?+

++?. ①

从而

234

1

2325272(21)2

n n S n +=?+?+?+

++?.②

-①② 得

23132222222(21)2n n n S n +-=?+?+?+

+?-+?，

所以1

(21)2 2.n n

S n +=-+ 18．解：（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：

（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为

1

(100203003550045)350100

?+?+?=． （3）根据所给数据，可得2

2?列联表：

根据列联表得

2

2100(3382237) 5.82055457030

K ??-?=≈???．

由于5.820 3.841>，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．

19．解：设AB a =，AD b =，1AA c =，如图，以1C 为坐标原点，11C D 的方向为x 轴正方向，

建立空间直角坐标系1C xyz -．

（1）连结1C F ，则1(0,0,0)C ，(,,)A a b c ，2(,0,)3E a c ，1(0,,)3F b c ，1(0,,)3EA b c =，11

(0,,)3C F b c =，得1EA C F =．

因此1EA C F ∥

，即1,,,A E F C 四点共面，所以点1C 在平面AEF 内．

（2）由已知得(2,1,3)A ，

(2,0,2)E ，(0,1,1)F ，1(2,1,0)A ，(0,1,1)AE =--，(2,0,2)AF =--，1(0,1,2)A E =-，

1(2,0,1)A F =-．

设1(,,)x y z =n 为平面AEF 的法向量，则

110,0,

AE AF ??=???=??n n 即0,220,y z x z --=??--=?可取1(1,1,1)=--n ．

设2n 为平面1A EF 的法向量，则

22110,0,

A E A F ??=???=??n n 同理可取21(,2,1)2=n ．

因为121212cos ,||||???=

=?n n n n n n ，所以二面角1A EF A --

的正弦值为

7

．

20．解：（1

=

2

2516m =， 所以C 的方程为22

1

252516

x y +=.

（2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >， 由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Q

y x y =-

-，

所以||BP y =

||BQ = 因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.

所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -

.

11

||PQ =直线11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ

的距离为2

，故11APQ △的

面积为15

222

?

=

. 22||PQ =直线22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q

的距离为26

，故22AP Q △

的面积为1

5

22

=. 所以APQ △的面积为

52

. 21．解：（1）2()3f x x b '=+．

依题意得1()02f '=，即304b +=.故3

4b =-．

（2）由（1）知3(3

)4

f x x x c -=+，2

()334

f x x '=-

. 令)0(f x '=，解得12x =-或1

2x =.

()f x '与()f x 的情况为：

因为1

1

(1)()24f f c =-=+，所以当1

4c <-时，()f x 只有大于1的零点. 因为1

1

(1)()24f f c -==-，所以当1

4c >时，f （x ）只有小于–1的零点． 由题设可知1

1

44c -≤≤， 当1=4

c -

时，()f x 只有两个零点1

2-和1. 当1

=4c 时，()f x 只有两个零点–1和1

2.

当11

44c -<<时，()f x 有三个等点x 1，x 2，x 3，且11(1,)2

x ∈--，211(,)22x ∈-，3

1(,1)2x ∈． 综上，若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，则()f x 所有零点的绝对值都不大于1. 22．解：（1）因为t ≠1，由220t t --=得2t =-，所以C 与y 轴的交点为（0，12）； 由2230t

t -+=得t =2，所以C 与x 轴的交点为(4,0)-．

故||AB =．

（2）由（1）可知，直线AB 的直角坐标方程为

1412

x y

+=-，将cos sin x y ρθρθ==，代入，得直线AB 的极坐标方程3cos sin 120ρθρθ-+=．

23．解：（1）由题设可知，a ，b 均不为零，所以

2222

1[()()]2

ab bc ca a b c a b c ++=++-++2221()2a b c =-++0<.

（2）不妨设max{a ，b ，c }=a ，因为1,()abc a b c ==-+，所以a >0，b <0，c <0.

由2

()

4

b c bc +≤

，可得3

4

a abc ≤

，故a ≥，所以max{,,}a b c ≥.