九年级数学三等分角问题
“三等分角”是数学史上一个著名问题，但仅用尺规不可能“三等分角” .下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角“的方法（如图），将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，边OB 在x
轴上、边OA 与函数1y x
=
的图象交于点P ，以P 为圆心，以2OP 为半径作弧交图象于点R .分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM 得到得到∠MOB ，则13MOB AOB ∠=∠.
要明白帕普斯的方法，请你研究以下问题：
（1）设1(,)P a a 、1(,)R b b ，求直线OM 相对应
的函数解析式（用含a,b 的代数式表示）.
（2）分别过P 和R 作y 轴和x 轴的平行线，两直
线相交于点Q ，请说明Q 点在直线OM 上，据此证明13
MOB AOB ∠=∠. （3）应用上述方法得到结论，你如何三等分一个
钝角（用文字简要说明）.
解：（1）设直线OM 的函数关系式为
)1,(),1,(,b
b R a a P kx y =． 则),1,(a b M ∴ab
b a k 11=÷=． ∴直线OM 的函数关系式为x ab
y 1=． （2）∵Q 的坐标)1,(b a 满足x ab
y 1=，∴点Q 在直线OM 上． （或用几何证法，见《九年级上册》教师用书191页）
∵四边形PQRM 是矩形，∴SP=SQ=SR=SM=2
1PR ． ∴∠SQR=∠SRQ ．
∵PR=2OP ，∴PS=OP=2
1PR ．∴∠POS=∠PSO ． ∵∠PSQ 是△SQR 的一个外角，
∴∠PSQ=2∠SQR ．∴∠POS=2∠SQR ．
∵QR ∥OB ，∴∠SOB=∠SQR ． ∴∠SOB=3
1∠AOB ． （3）以下方法只要回答一种即可．
方法一：利用钝角的一半是锐角，然后利用上述结论把锐角三等分的方法即可．
方法二：也可把钝角减去一个直角得一个锐角，然后利用上述结论把锐角三等分后，再将直角
利用等边三角形（或其它方法）将其三等分即可．
方法三：先将此钝角的补角（锐角）三等分，再作它的余角
直尺与圆规三等分任意一个角的证明方法
5、将C点与D点相连形成线段CD 6、作CD的中垂线交AB的延长线于N 以N为圆心，以CN为半径划弧CD ,交∠AOB的弧（弧Ⅰ）于F点，分出的弧FB是∠A OB的弧（弧Ⅰ）的三分之一 7、连接FB,以FB为半径，以A为圆心划弧交弧Ⅰ于G, 连接GO和FO,则∠AOG=∠GOF=∠FOB 二、证明 在上法三等分任意角∠AOB图的基础上连接GF和AG(见图二) 2、把该弧的弦AB 用平行线法分成3等分，使AL=LC=CB（作法略） 3、用圆规找出AB的中点O′，以O′为圆心，以A O′ 为半径划弧Ⅱ，它实际上是平角∠A O′B的弧（也是以AB为直径的半圆的弧） 4、以B点为圆心，以B O′为半径划弧交平角∠A O′B的弧（弧Ⅱ）于D 5、将C点与D点相连形成线段CD 6、作CD的中垂线交AB的延长线于N 以N为圆心，以CN为半径划弧CD ,交∠AOB的弧（弧Ⅰ）于F点，分出的弧FB是∠A OB的弧（弧Ⅰ）的三分之一 7、连接FB,以FB为半径，以A为圆心划弧交弧Ⅰ于G, 连接GO和FO,则∠AOG=∠GOF=∠FOB 二、证明 在上法三等分任意角∠AOB图的基础上连接GF和AG(见图二) 2、把该弧的弦AB 用平行线法分成3等分，使AL=LC=CB（作法略） 3、用圆规找出AB的中点O′，以O′为圆心，以A O′ 为半径划弧Ⅱ，它实际上是平角∠A O′B的弧（也是以AB为直径的半圆的弧） 4、以B点为圆心，以B O′为半径划弧交平角∠A O′B的弧（弧Ⅱ）于D 5、将C点与D点相连形成线段CD 6、作CD的中垂线交AB的延长线于N 以N为圆心，以CN为半径划弧CD ,交∠AOB的弧（弧Ⅰ）于F点，分出的弧FB是∠A OB的弧（弧Ⅰ）的三分之一 7、连接FB,以FB为半径，以A为圆心划弧交弧Ⅰ于G, 连接GO和FO,则∠AOG=∠GOF=∠FOB 二、证明 在上法三等分任意角∠AOB图的基础上连接GF和AG(见图二)
尺规作图三大几何难题教学提纲
尺规作图三大几何难 题
安溪六中校本课程之数学探秘 尺规作图三大几何问题 一、教学目标 1．让学生了解尺规作图三大几何问题如何产生的？ 2．经历探索尺规作图三大几何问题如何解决的过程，进一步体会数学方法思想。 3．学生通过自主探究、合作交流体会尺规作图三大几何问题有什么教育价值？ 二、问题背景 传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图也感到无能为力。这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。用数学语言表达就是：已知一个立方体，求作一个立方体，使它的体积是已知立方体的两倍。另外两个著名问题是三等分任意角和化圆为方问题。古希腊三大几何问题既引人入胜，又十分困难。问题的妙处在于它们从形式上看非常简单，而实际上却有着深刻的内涵。它们都要求作图只能使用圆规和无刻度的直尺，而且只能有限次地使用直尺和圆规。但直尺和圆规所能作的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、作两圆的交点、作一条直线与一个圆的交点。某个图形是可作的就是指从若干点出发，可以通过有限个上述基本图形复合得到。这一过程中隐含了近代代数学的思想。经过2000多年的艰苦探索，数学家们终于弄清楚了这3个古典难题是
“不可能用尺规完成的作图题”。认识到有些事情确实是不可能的，这是数学思想的一大飞跃。然而，一旦改变了作图的条件，问题则就会变成另外的样子。比如直尺上如果有了刻度，则倍立方体和三等分任意角就都是可作的了。数学家们在这些问题上又演绎出很多故事。直到最近，中国数学家和一位有志气的中学生，先后解决了美国著名几何学家佩多提出的关于“生锈圆规”(即半径固定的圆规)的两个作图问题，为尺规作图添了精彩的一笔。或描述如下: 这是三个作图题，只使用圆规和直尺求出下列问题的解，直到十九世纪被证实这是不可能的： 1.立方倍积，即求作一立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的两倍。 2.化圆为方，即作一正方形，使其与一给定的圆面积相等。 3.三等分角，即分一个给定的任意角为三个相等的部分。 三、问题探秘 1.立方倍积 关于立方倍积的问题有一个神话流传：当年希腊提洛斯（Delos）岛上瘟疫流行，居民恐惧也向岛上的守护神阿波罗（Apollo）祈祷，神庙里的预言修女告诉他们神的指示：“把神殿前的正立方形祭坛加到二倍，瘟疫就可以停止。”由此可见这神是很喜欢数学的。居民得到了这个指示后非常高兴，立刻动工做了一个新祭坛，使每一稜的长度都是旧祭坛稜长的二倍，但是瘟疫不但没停止，反而更形猖獗，使他们都又惊奇又惧怕。结果被一个学者指出了错误：「棱二倍起来体积就成了八倍，神所要的是二倍而不是八倍。」大家都觉得这个说法很对，於是改在神前并摆了与旧祭坛同形状同大小的两个祭坛，可是瘟
北京版-数学-三年级上册-《解决问题》单元分析
《解决问题》单元分析 教学目标 1．能够根据运算顺序掌握用脱式的方法计算两步式题，并能正确计算。 2．引导学生在初步学习解决有关的加减混合、乘加减、除加减以及需要用小括号的数学问题时，进行观察思考，体验现实生活中的数学问题，鼓励学生算法多样化，能够选择合适的算法。（在解决问题时，既可以分步列式解答计算，也可以列综合算式解答计算，学生可以自主选择，不做统一要求。） 教学重点和难点 1．教学重点：掌握两步式题的运算顺序和脱式的方法，并能正确计算。掌握用两步解决的实际问题的正确列式。 2．教学难点：已知两个条件（其中有一个已知条件要用两次），需要用两步解答的实际问题。 学好本单元的关键是培养学生的分析与解决实际问题的能力。 主要内容及其地位作用 本单元是在学生已经学过四则混合运算式题的运算顺序，并会用口算的方法计算两步的四则混合运算式题的基础上进行学习的，把口算的过程用脱式的形式进行计算；在学生已经学过连加、连减、加减混合、乘加减、除加减的两步解答的实际问题的基础上继续进行学习的。 本单元共安排5个例题。 例题1：货车上原来装有130包书，运走3小车，每小车装18包。货车上还剩下多少包书？ 这是一道需要两步解答的实际问题。本例题的主要教学目的是用脱式的方法解答两步计算的四则混合运算式题。原来学生已经学过四则混合运算式题的运算顺序，并用口算的方法计算两步的四则混合运算式题，直接写出得数，现在要用脱式的方法，把计算过程用脱式的形式表示出来。 完成“试一试”的实际问题时，可以帮助学生画出枝形图进行分析。 例题2：小卡车上装有6台电视机，大卡车上装的电视机的台数是小卡车的5倍。两辆车上一共装了多少台电视机？ 这是一道含有两个已知条件需要两步解答的实际问题。因为两个条件中有一个条件要用两次，对学生来讲这是一个难点。教材中为了突破这个难点，画了下图：
三年级解决实际问题(1)
三年级解决实际问题 教学目标： 1.使学生了解差额等分问题，掌握方法，解决实际问题。 2.通过实际操作，总结差额等分问题的解题方法。 3.使学生体会到数学学习的快乐。 教学重点：通过操作，观察思考，总结出差额等分问题的解题方法。 教学难点：掌握解题方法，正确解答实际问题。 一、复习引入 1.摆一摆：根据所给信息，提出问题。 第一排：●●●●● 第二排：●●● 生1：第一排和第二排共有多少个？ 生2：第一排比第二排多几个？ 生3：第二排比第一排少几个？ 生4：第二排再添上几个就和第一排同样多？ 生5：第一排去掉几个就和第二排同样多？ 生6：两排相差多少个？ 小结：同学们对于已知的两个数量，我们可以提求和的问题，可以提求差的问题，还可以提有关倍的问题。 2.试一试：根据所给信息，谁愿意提问题？ 第一排：●●●●●●●● 第二排：●●●●
过渡：同学们对以前学的知识掌握得很好，今天我们根据这两个已知条件，再学习点新知识，有信心学好吗？ 二、探索新知 活动一：移一移 1. 第一排：●●●●● 第二排：●●● 2.理解题意，动手操作 第一排：●●●● 第二排：●●●● 3.交流：你是怎样想的？ 追问：从哪移到哪？为什么只移动1个？ 活动二： 1.看懂信息，读懂问题 小红给小刚多少根小棒，两人就同样多了？ 2.读懂了这道题，你想用什么方法来解决它? 生1：摆的方法。 生2：计算的方法。
生3：你对书上的两种计算方法，有什么看法？ 师针对学生的回答进行重点点拨。 方法一：先求什么，再求什么。 方法二：先求什么，再求什么，最后求什么。 3.小结：这两道题，有一个共同的特点，就是怎样把两种数量不同的量转化为数量相同的量。你有什么好的方法？（移多补少）它有什么规律吗？学生交流。 板书：把差等分 解题的关键是什么？（先求差，再等分） 三、巩固提高 1.请你帮他们调整一下，是两边的人数同样多？ 提示：获取信息，寻找问题，确定解决办法，列式计算。 交流：你是怎样想的？ 2.独立完成，教师巡视指导。 要使两人玻璃球个数同样多，小华要给小红多少个玻璃球？
论创客教育和折纸
浅谈学校创客教育和现代折纸 常州市西夏墅中学 213135 赵燕杰 摘要：创客教育的盛行，是当今社会和国家对创新型人才和工匠型人才需求的体现。然而，创客教育并不仅仅指以信息技术为核心的开源硬件的学习和教育，我们应当关注创客精神的本质，因地制宜的，开创性的开发和实施多领域的多种形式的创客教育。现代折纸就是这样一种具备创客精神的，又极具特色的创客教育新领域。 关键词：创客教育创客精神现代折纸工匠精神 几年前，“创客教育”还只是一个属于极少数老师讨论的话题，但现在，创客教育已经成为众多学术专家和教育人士研究的课题。 创客教育是从国外创客运动引入的，最先由从事信息技术教学的一批热心教师尝试并推动的，国内各类媒体上面的介绍往往是从机器人大赛、三维打印、Scratch编程等话题进入读者的视野，这就给普通读者形成了第一印象，觉得创客就是运用信息技术制造有创意的实物电子作品。目前许多学校考虑建设“创客空间”，首先想到的就是需要配置多少台三维打印机、多少套机器人设备等问题。 江苏师范大学教育科学学院副教授杨现民在一篇学术论文中写到，创客教育在我国已经悄然兴起，并在大踏步地摸索前进。杨现民在归纳总结创客教育的定义时写到：创客教育是一种融合信息技术，秉承“开放创新、探究体验”教育理念，以“创造中学”为主要学习方式和培养各类创新人才为目的的新型教育模式。 但这仅仅是“创客教育”的其中一个定义，创客也不应该仅仅指那些运用信息技术、工程技术的人。事实上，创客和创客教育的定义都有狭义和广义之分。 关于创客的概念，狭义的说法是那些对计算机、机械、技术、科
学、数字艺术、电子技术等有着共同兴趣而在一起社会化协作的人群。广义的说法是指那些出于兴趣与爱好，努力把各种创意转变为现实的人。因此，对创客成果往往也有着狭义和广义的不同理解，狭义的创客成果大多指利用电子技术、计算机、机器人、3D打印、数控设备，以及传统的金属加工、木材加工、传统手工艺等加工制作的产品。广义的创客成果包括一切创新的物质文明产品和非物质文明产品。 创客在美国和欧洲，包括了社会维度和文化维度。在社会维度，比如具有创新精神的社会活动家组织新型的社会团体或活动，高效地解决社会问题，他就是创客。再比如具有创新精神的政治家，提出新的社会制度，促成新型的社会生产关系以更好地推动社会发展，他也是创客。在文化维度，艺术家就是创客，文化创意同样体现着创客精神。 关于创客教育，国内教育界的祝智庭教授及其团队有着深入系统的研究。祝智庭教授指出：“创客有广义和狭义两层概念，创客教育也应有广义和狭义两层理解。广义上创客教育应是一种以培育大众创客精神为导向的教育形态。狭义上的创客教育则应是一种以培养学习者，特别是青少年学习者的创客素养为导向的教育模式。” 作为一名中学教师，本文讨论的创客教育主要是指学校为提升学生创客素养的一种教育模式，是狭义概念上的创客教育，然而其内含的创客概念可以是广义的。学校创客教育除了机器人、3D打印、Scratch编程之外，完全可以因地制宜的、创新性的开发多种领域的内容和形式。
利用渐开线三等分任意角的方法和证明
利用渐开线三等分任意角的方法和证明 要求：如果所示，以园心为A，半径为AC的园的渐开线作为辅助线，现在要把∠CAB三等分。 操作：利用渐开线三等分任意角∠CAB的尺规作图步骤： 1、以B点做切线，和渐开线相交于E； 2、在BE线段上做三等分点F，即BF=BE/3； 3、以A点为圆心，AF长为半径，相交渐开线于G； 4、以G点为圆心，BF长为半径，相交基圆于D； 5、连接AD，∠CAD即为∠CAB的三等分角。
证明： 1、先证明△BAF与△DAG全等 根据作图，BE是垂直于AB的圆上点B的切线，所 以∠FBA是直角，BF2=FA2-AB2，DG是垂直于AD的圆上点D的切线，所以∠ADG是直角，DG2=GA2-AD2,其中，AB=AD为园A的半径，且AF=AG，所 以BF=DG，△BAF与△DAG全等。 2、根据渐开线的性质，直线BE的长度=园弧BDC的长度，直线DG的长度 =园弧DC的长度，又因为DG=BF=BE/ 3，所以园弧DC的长度=园弧BDC的长度/3，因 此，∠CAD即为∠CAB的三等分角 总结： 伽罗瓦所证明的是，在不使用任何辅助线或用到除尺规外其他工具的前提下，不能在有限次操作内，使用尺规作图法三等分任意角，也就是说这三个限制只要有一个不成立，那么不能三等分任意角就不成立。 实际上只要引入渐开线，在有限次操作内，使用尺规作图法N等分任意角都是可行的，而且这种方法也同样可以解决化圆为方的问题。这样，通过引入渐开线就一举解决的三大几何作图问题中的两个“不可能”的难题，并且渐开线在物理上是很容易得到的，它的本质是绕基圆展开的线，或者说大家常用的卷尺，就是渐开线所对应的物理实物。
简述三大几何难题
三大几何难题 古希腊是世界数学史上浓墨重彩的一笔，希腊数学的成就是辉煌的，它为人类创造了巨大的精神财富。其中，几何是希腊数学研究的重心，柏拉图在他的柏拉图学院的大门上就写着“不懂几何的人，勿入此门”。历史上第一个公理化的演绎体系《几何原本》阐述的也基本上为几何内容。 古希腊的几何发展得如此繁荣，但有一个问题一直没有得到解决，那就是著名的尺规作图三大难题。它们分别是化圆为方、三等分任意角以及倍立方问题。这三个问题首先是“巧辨学派”提出并且研究的，但看上去很简单的三个问题，却困扰了数学家们两千多年之久。 这些问题的难处，是作图只能用直尺和圆规这两种工具，其中直尺是指只能画直线，而没有刻度的尺。在欧几里得的《几何原本》中对作图作了规定，只有圆和直线才被承认是可几何作图的，因此在这本书的巨大影响下，尺规作图便成为希腊几何学的金科玉律。并且，古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值。因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，在这里，就是要在有限的次数中解决这三个问题。化圆为方 圆和正方形都是常见的几何图形，人们自然会联想到可否作一个正方形和已知圆等积，这就是化圆为方问题。 三等分任意角 用尺规二等分一个角很容易就可以作出来，那么三等分角呢？三等分180,90角也很容易，但是60,45等这些一般角可以用尺规作出来吗？ 倍立方 关于倍立方问题是起源于一个祭祀问题，第罗斯岛上流行着一种可怕的传染病,一时人心惶惶,不可终日.人们来到阿波罗神前,请求阿波罗神像的指示.阿波罗神给了祈求人这样一个指示:“神殿前有一个正方体祭坛,如果能不改变它的形状而把它的体积增加1倍,那么就能消灭传染病.”人们连夜赶造了一个长、宽、高都比正方体祭坛大一倍的祭坛,可是,那传染病传播得更加厉害了.人们又来到阿波罗神像前祈求.神说:“我要你们增加一倍的是祭坛的体积,你们把长、宽、高都增加1倍,祭坛的体积不是要比原来体积大7倍了吗?”人们绞尽脑汁想找出一个答案,可是始终没有人能解答这个难题. 由三大问题的起源，可以看出，化圆为方和三等分角是人们在已有知识的基础上，向更深层次，更一般的方向去思考、探索，这也是希腊数学的理论性的演绎推理与抽象性的表现。而倍立方则是起源于建筑的需要，这也反应了数学的发展是离不开现实社会的推动的。 三个几何难题提出后，有很多人都为之做了不懈的努力。可以说，但凡是数学史上称得上是数学家的人，都研究过这个问题。由三大难题引出的各种结论与发现也数不胜数，例如割圆曲线、阿基米德螺线等。但这些解法并没有完全遵从尺规作图的要求，因此也不算解决了三大难题。但是由19世纪所证出的三大几何难题的不可解，可以发现，只有冲破尺规的限制才能解决问题。正如很多事情，我们觉得无论如何也找不到解决的办法，就是因为有太多的枷锁罩在我们身上，只有打破这些桎梏，才会豁然开朗，找到一片新天地。 三大几何问题的真正解决是在19世纪解析几何创立之后，人们知道了直线与圆分别是二元一次方程和二元二次方程的轨迹，交点则是方程组的解，因此一个几何量是否能用尺规作出，则是它能否由已知量经过有限次加、减、乘、除、开平方运算得到。那么三大难题就可以转换成代数的语言来表示： 1化圆为方设圆的半径为一个单位,要作一面积等于单位圆的正方形,设这个正方形连长为x,则x2=π.集能否用尺规作出一条长为π的线段?
北师大版初三数学中考模拟试题及答案
初三数学综合测试题（1） （考试时间90分钟，满分100分） 一、选择题：（本大题共10题，每小题3分，共30分） 每小题给出四个答案，其中只有一个符合题目的要求，请把选出的答案编号填在下面的答题表一内，否则不给分. 答题表一 1、下列计算正确的是 A. 236333=? B. -(-a +1)= a -1 C. 3m 2-m 2=3 D. (-3)2= -3 2、由几个小正方体所搭成的几何体的俯视图如下面左侧图形所示.(正方形中的数字表 示该位置叠放的小正方体的个数)，那么这个几何体的正视图是 3、根据右图提供的信息，可知一个热水瓶的价格是 A ．7元 B ．35元 C ．45元 D ．50元 4、如果分式 1 x 1x +-的值为零，那么x 的值为 A. -1或1 B. 1 C. -1 D. 1或0 第3题 共52元
5、已知α为等腰直角三角形的一个锐角，则cosα等于 A ． 2 1 B ．22 C ．23 D ．33 6、若一个正多边形的外角等于30°，则这个多边形的边数是 A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 7、四张完全相同的卡片上，分别画有：线段、等边三角形、平行四边形、圆，现从中随 机抽取一张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率是 A ． 43 B ．21 C ．4 1 D ．1 8、已知二次函数y = x 2的图象向右平移3个单位后，得到的二次函数解析式是 A.2)3x (y -= B. 2)3x (y += C. 3x y 2-= D. 3x y 2+= 9、如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB=8，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的长可以是 A ．1.5 B ．2.5 C ．4.5 D ．5.5 第9题 10、如图，圆锥底面直径为6cm ，母线长为12cm ，则其侧面展开为扇形的圆心角为 A. 30o B. 45o C. 60o D. 90o 二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请将答案填入答题表二内，否则 不给分） 答题表二 第10题
MathStudio36 阿基米德螺线与三等分任意角
MathStudio for iPad 使用方法入门 （36） 阿基米德螺线与 三等分任意角 2016年6月16日
★三等分任意角是几何作图三大难题之一，不能只用直尺圆规三等分任意角是早有的定论。 ★免除“只用尺规作图”的限制，就能三等分任意角吗？ ★现在就探讨借助阿基米德螺线来三等分任意角吧
直线y=cx=7x c=7 X轴与直线夹角φ =tan-1(c)=tan-1(7)=1.4289 同心圆C1 ρ1=r1=0.5 r1=0.5 同心圆C2 ρ2=r2= 1 r2=1 同心圆C3ρ3=r3=1.5 r3=1.5 阿基米德螺线ρ=aθ 螺线与同心圆C1 的交点P1(x1,y1) , OP1与X轴夹角=θ1螺线与同心圆C2 的交点P2(x2,y2) OP2与X轴夹角=θ2螺线与同心圆C3 的交点P3(x3,y3) OP3与X轴夹角=θ3 θ3= φ =1.4289 a=ρ3/θ3=r3/tan-1(c)=1.5/1.4289=1.0498 计算得θ2=ρ2/a=θ3×ρ2/ρ3=θ3×1/1.5=θ3×2/3=0.9526 θ1=ρ1/a=θ3×ρ1/ρ3=θ3×0.5/1.5=θ3×1/3=0.4763
首先画出过极点斜率为7的直线其次画出以极点为中心的 3个同心圆 半径为0.5、1、1.5 即同心圆的半径比为1:2:3 在同一帧图里 再画出与3 个同心圆相交的 阿基米德螺线 a=r3/atan(c)=1.0498
P3 P 2 P 1 P3的数据 X3=0.211 Y3=1.486 θ3=1.429（弧度） =1.429×180/π=81.9° r3=sqrt(X32 +y32) =sqrt(0.2112 +1.4862) =1.5 O
差额等分教案
差额等分 教学目标： 1、学习“移多补少”数学方法，解决“差额等分”类型的实际问题。 2、通过动手操作及动脑思考理解、掌握移多补少使两部分物体个数同样多的实际问题的数量关系和解题方法，并能正确地进行解答。鼓励学生算法多样化，能够选择合适的算法。 3、进一步培养学生的动手操作能力，以及分析与解决实际问题的能力。 教学重点： 掌握“移多补少”使两部分物体个数同样多的应用题的解题方法，并能正确地进行解答。 教学难点： 理解“移多补少”是解决“差额等分”实际问题的主要方法。 一、导入： 班长在美术课上分彩笔的时候出现了一个问题，他给了思琪30支，给谢京70支，你觉得这么分公平吗？那谢京给思琪多少支彩笔他们两人就同样多了？ 二、小组合作探究： 1、提示方法：解决这个问题的方法很多，我们可以用手中的小棒 摆一摆，也可以画一画图，还可以直接列算式解答……下面就请同学们小组合作,共同来解决这个问题,我们比一比,看哪个小组找到的方法最多。 2、学生汇报： 方法1：摆小棒：谁能用摆小棒的方法给大家讲一讲？（实投展示） 方法2:：画图：哪位同学是用画图的方法解决的？你是怎么想的？ 方法3：算式：（70－30）÷2 = 40（根） 提问：给大家讲讲你为什么这么做？为什么用两人相差的数除以2？ 还有其他的方法吗？ 方法4：算式：70+30 =100（根）100÷2 = 50（根）50－30 = 20(根) 引导学生思考：求出的50根是什么？（两人的平均数） （求出的20根是什么？是小刚比平均数少的，也是小红比平均数多的，
小红给小刚20根两人就同样多了。） 3、小结：刚才我们用了多种方法来解决遇到的实际问题，有的用小棒摆，有的画图，有的列算式。 三、动手操作、探究规律，感悟“移多补少” 小组活动：10根小棒摆成根数不相等的两行，可以怎样摆? 分别移动几根才能使两行同样多? 要求：1、同桌合作，边摆边填写表格。 2、填表后，观察相差数与移动数的关系， 说一说你发现了什么？ 第一行第二行相差数移动数我们的发现 总结差额等分解决实际问题的解题方法： 方法一：移动数是相差数的一半，即相差数÷2=移动数 方法二：先求总数，再求每份数，少的一方或者是多的一方与每份数的相差数就是移动数。 四、拓展练习： 1、练习1：解决了美术课上的问题，我们来看体育课上大家遇到了什么问题。老师刚说完我们今天来进行拔河比赛，同学们呼啦一下就上来了，看（出示课件），这样比赛行吗？（不行，两边人数不一样，不公平。） 问题：怎样使两边的人数同样多？请你选择喜欢的方法解决。 2、练习2：现在，我们来到科学课上，老师准备了两倍液体，准备让同学们做实验，怎样才能让两杯水同样多呢？ 请你试着用多种方法解决。 四、课堂小结：代数学之父韦达曾说：没有不能解决的问题。今天，我们的同学不但证明了这句话，而且还证明了：解决问题，方法不只一个！
任意锐角的三等分
任意锐角的三等分 【摘要】：任意角的三等分问题是几何学的三大难题之一，数学家们认为用尺规三等分任意角是不可能的.本文试图用初等几何知识证明任意角是可以三等分的.角有锐角和 钝角之分，而钝角都可以等分成锐角，所以锐角的等分问题如果得到解决，则钝角和圆（360°）的等分问题也就会得到解决.所以，本文先从锐角的等分开始进行了研究. 【关键词】三等分；圆周角；圆心角；弦切角任意角的三等分问题是几何学的三大难题之一，两千八百年来，数学家们都认为用尺规三等分任意角是不可能的（特殊角除外），认为这是一个“作图不能”的问题.近百年来，数学界的老前辈们还是认为只要是任意角，仅用尺规三等分是不可能的.这些前辈们是用解析几何作解的（即用公式做题）. 为什么用解析几何作解呢？是因为“惊讶之处是初等几何没能对此问题提供解答” ，所以“我们必须求助于代数和高等分析”（引自：高等教育出版社出版，丘成桐主编《初等几何的著名问题》2005 年版第2 页）. 实际上，如果用上述数学方法解几何问题，有些问题只 能以近似的方式来解决?比如，以a为直径作一个圆，会容易
做出来；但如果是计算一下周长S,这时候问题就来了，因为我们要使用n值来计算，所以计算出来的周长S计只能是S~ S计且 S z S计，或表示为S=S计土8 , 3可以很小，但是毕竟是个“差”呀.再比如，1 m=3 市尺，那么1尺等于多少厘米呢？计算不出来，只能表示为：1市尺=33 cm，而这是一个近似值.计算不出来，如何分开呢？但用几何的方法就分开了.所以用几何的方法解决几何问题，才是真正的可行之道. 本文试图用初等几何知识证明任意角是可以三等分的. 在作图之前，首先要明确一下任意角的概念：任意角是 指0° < a < 360 °,不包含负角和超过360 °的角.另外，角 有锐角和钝角之分，而钝角都可以等分成锐角，所以锐角的等分问题如果得到解决，则钝角和圆（360°）的等分问题也就会得到解决.所以我先从锐角的等分开始进行了研究. 下面即将以初等几何知识以及纯几何的手工操作，通过尺规作图来三等分任意锐角. 题给条件：0< a = / xOy<90 °（参照图1）. 求解：三等分a . 一、作图（参照图2） （1 ）在Ox 边上任取一点A ，然后在Ox 边上取 OA=AA2=A2A3. （2）以O 为圆心，以OA 为半径，作AB ，此时OA=OB
古希腊三个著名问题之一的三等分角
古希腊三个著名问题之一的三等分角，现在美国就连许多没学过数学的人也都知道．美国的数学杂志社和以教书为职业的数学会员，每年总要收到许多“角的三等分者”的来信；并且，在报纸上常见到：某人已经最终地“解决了”这个不可捉摸的问题．这个问题确实是三个著名的问题中最容易理解的一个，因为二等分角是那么容易，这就自然会使人们想到三等分角为什么不同样的容易呢？ 用欧几里得工具，将一线段任意等分是件简单的事；也许古希腊人在求解类似的任意等分角的问题时，提出了三等分角问题；也许(更有可能)这问题是在作正九边形时产生的，在那里，要三等分一个60°角． 在研究三等分角问题时，看来希腊人首先把它们归结成所谓斜向(verging problem)问题．任何锐角ABC(参看图31)可被取作矩形BCAD的对角线BA和边BC的夹角．考虑过B点的一条线，它交CA于E，交DA之延长线于F，且使得EF=2(BA)．令G为EF之中点，则 EG=GF=GA=BA， 从中得到：
∠ABG=∠AGB=∠GAF+∠GFA=2∠GFA=2∠GBC， 并且BEF三等分∠ABC．因此，这个问题被归结为在DA的延长线和AC之间，作一给定长度2(BA)的线段EF，使得EF斜向B点． 如果与欧几里得的假定相反，允许在我们的直尺上标出一线段 E’F’=2(BA)，然后调整直尺的位置，使得它过B点，并且，E’在AC 上，F’在DA的延长线上；则∠ABC被三等分．对直尺的这种不按规定的使用，也可以看作是：插入原则(the insertion principle)的一种应用．这一原则的其它应用，参看问题研究4．6． 为了解三等分角归结成的斜向问题，有许多高次平面曲线已被发现．这些高次平面曲线中最古老的一个是尼科梅德斯(约公元前240年)发现的蚌线．设c为一条直线，而O为c外任何一点，P为c上任何一点，在PO的延长线上截PQ等于给定的固定长度k．于是，当P沿着c移动时，Q的轨迹是c对于极点O和常数k的蚌线(conchoid)(实际上，只是该蚌线的一支)．设计个画蚌线的工具并不难①，用这样一个工具，就可以很容易地三等分角．这样，令∠AOB 为任何给定的锐角，作直线MN垂直于OA，截OA于D，截OB于L(如图32所示)．然后，对极点O和常数2(OL)，作MN的蚌线．在L点作OA的平行线，交蚌线于C．则OC三等分∠AOB．
三年级数学思维训练与开发
三年级数学思维训练与开发（应用题部分） 一份耕耘一份收获 相信在我们共同的努力下 一定会使孩子更加的聪明可爱！
第一讲：差倍问题 1、哥哥和弟弟都喜爱集邮，已知哥哥集的邮票比弟弟多100枚，哥哥集邮的票数是弟弟的3倍，问哥哥和弟弟各集邮多少枚？ 2、两个仓库所存的粮食重量相等，如果第一个仓库里取出1800千克粮食，而第二个仓库里在存入600千克粮食，则第二个仓库的存粮重量是第一个仓库的3倍，问两个仓库原来各存粮多少千克？ 3、某学校建立奖学金制度，分为一等奖学金，二等奖学金，三等奖学金。现在已知二等奖学金比三等奖学金多300元，一等奖学金比二等奖学金多700元，并且一等奖学金是三等奖学金的3倍，各等奖学金的数目各是多少元？ 4、甲有存款200元，乙有存款120元，现在两人同时从银行取出相同数目的存款去参加一个生日聚会，这时甲剩下的存款正好是乙剩余存款的5倍，问甲乙两人现在各有存款多少元？ 5、果园里种了一批苹果树和梨树，已知梨树比苹果树多78棵，梨树比苹果树多3倍，问苹果树和梨树各多少棵？ 6、小强家养的鸡比鸭多12只，并且鸡的只数是鸭的只数的4倍，问小强养的鸡和鸭各是多少只？
7、希望小学开展冬季长跑比赛，参加比赛的男生人数比女生人数的2倍少4人，已知男生人数比女生人数多46人，问参加长跑比赛的男生、女生各多少人？ 8、两袋盐重量不等，甲袋盐的重量是乙袋盐重量的3倍，如果从甲袋中取出15千克倒入乙袋中，那么两袋盐的重量相等了，问两袋盐原来有重量多少千克？ 9、两堆煤的重量相等，现从甲堆煤中运走24吨，而从乙堆煤中又运入8吨，这时乙堆煤的重量正好是甲堆煤的重量的3倍，问两堆煤原来各有多少吨？ 10、一块长方形水果试验田，长是宽的6倍，已知宽比长短50米，求这块试验田的周长是多少米？ 11、某商场有彩电450台，冰箱有250台，经过一季度后，该商场卖出了相同数目的彩电和冰箱，这时剩下的彩电台数正好是剩下的冰箱台数的5倍，问该商场还剩下彩电、冰箱各多少台？卖出了多少台彩电？ 12、有三匹布，甲匹布比乙匹布长12米，丙匹布比甲匹布又长28米，而丙匹布的长又是乙匹布的长的3倍，问三匹布各长多少米？ 13、某禽养场饲养肉鸡175只，肉鸭115只，如果每天卖肉鸡、肉鸭各20只，那么几天后剩下的肉鸡只数是剩下的肉鸭只数的5倍？
尺规法三等分任意角到底可行吗
尺规法三等分任意角到底可行吗？ 1965年以前，数学家华罗庚曾写文章告诫青少年——用直尺和圆规三等分任意角是不可能的，不要为这道难题花费精力。近日在2013年出版的文集中见到《尺规作图破解世界千古三大几何难题》一文，该文是作者（简称黄先生）历时七年的研究成果。该文所说难题之一就是用尺规三等分任意角（另两道难题是倍立方和画圆为方）。为了证明他的方法是近似的，我用他的方法三等分100°角，看看误差有多大。 如图，DG长度为AD的二分之一，G点到E点的直线距离为AG的二分之一，穿过A、E两点的直线与圆弧相交于F点，黄先生认为D、F两点连线所对圆心角θ一定等于图中100°角的六分之一。我们来计算一下θ角的度数（计算过程保留8个有效数）。 设圆半径为1，借助三角函数和勾股定理可算出A、G、E三点坐标。 A点坐标（?0.76604444，?0.64278761） G点坐标（0.38302222，1.8213938） E点坐标（0 ，0.51700505）
设连接A、E两点的直线方程为 y = ax + b，根据A、E两点坐标可求出该直线方程为 y = 1.5140018x + 0.51700505 根据该直线方程与圆方程x2 + y2 =1，可求出F点横坐标x = 0.29052884 所以sinθ= 0.29052884，θ角不小于16.8896°，误差大于 0.2229° 用该方法三等分100°角，误差大于0.4458° 令CE = AE可算出C点坐标。黄先生认为C、B两点连线与圆弧的交点就是F点，其实不然。根据C、B两点坐标可算出C、B两点连线与圆弧的交点坐标。该交点横坐标x = 0.2849388，将该交点视为F点，可算出θ角为16.5552°，少了0.1115°，用该方法三等分100°角，误差大于0.2229°
三等分角器
“三等分角器”是利用阿基米德原理做出的。如图，∠AOB为要三等分的任意角，图中AC，OB两滑块可在角的两边内滑动，始终保持有OA=OC=PC. 求证：∠APB=13∠AOB. 考点： 等腰三角形的性质 已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO⊥BC. 考点： 等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质 如图所示，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO⊥BC.证明：延长AO交BC于D 在△ABO和△ACO中?????AB=AC()OB=OC()AO=AO() ∴△ABO≌△ACO(___) ∴∠BAO=∠CAO 即∠BAD=∠CAD(___) ∴AD⊥BC,即AO⊥BC(___)
考点： 全等三角形的判定 如图,已知△ABC的面积为12,AD平分∠BAC,且AD⊥BD于点D,则△ADC的面积是() A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 考点： [角平分线的性质] 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE=AC. (1)求证：AD⊥BC.
(2)若∠BAC=75°，求∠B的度数。 考点： 等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质 如图,在△ABC中,∠BAC=120°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC 的延长线上，且CE=CA. (1)试求∠DAE的度数。 (2)如果把题中“AB=AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗? (3)若∠BAC=α°,其它条件与(2)相同，则∠DAE的度数是多少? 考点： [等腰三角形的性质, 三角形内角和定理, 三角形的外角性质]
九年级数学三等分角问题
“三等分角”是数学史上一个著名问题，但仅用尺规不可能“三等分角” .下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角“的方法（如图），将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，边OB 在x 轴上、边OA 与函数1y x = 的图象交于点P ，以P 为圆心，以2OP 为半径作弧交图象于点R .分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM 得到得到∠MOB ，则13MOB AOB ∠=∠. 要明白帕普斯的方法，请你研究以下问题： （1）设1(,)P a a 、1(,)R b b ，求直线OM 相对应 的函数解析式（用含a,b 的代数式表示）. （2）分别过P 和R 作y 轴和x 轴的平行线，两直 线相交于点Q ，请说明Q 点在直线OM 上，据此证明13 MOB AOB ∠=∠. （3）应用上述方法得到结论，你如何三等分一个 钝角（用文字简要说明）. 解：（1）设直线OM 的函数关系式为 )1,(),1,(,b b R a a P kx y =． 则),1,(a b M ∴ab b a k 11=÷=． ∴直线OM 的函数关系式为x ab y 1=． （2）∵Q 的坐标)1,(b a 满足x ab y 1=，∴点Q 在直线OM 上． （或用几何证法，见《九年级上册》教师用书191页） ∵四边形PQRM 是矩形，∴SP=SQ=SR=SM=2 1PR ． ∴∠SQR=∠SRQ ． ∵PR=2OP ，∴PS=OP=2 1PR ．∴∠POS=∠PSO ． ∵∠PSQ 是△SQR 的一个外角， ∴∠PSQ=2∠SQR ．∴∠POS=2∠SQR ． ∵QR ∥OB ，∴∠SOB=∠SQR ． ∴∠SOB=3 1∠AOB ． （3）以下方法只要回答一种即可． 方法一：利用钝角的一半是锐角，然后利用上述结论把锐角三等分的方法即可． 方法二：也可把钝角减去一个直角得一个锐角，然后利用上述结论把锐角三等分后，再将直角 利用等边三角形（或其它方法）将其三等分即可． 方法三：先将此钝角的补角（锐角）三等分，再作它的余角
三年级上册数学教案-4.1 解决问题｜北京版 (1)
《用估算解决问题》教学设计
教学阶段教师活动学生活动 媒体 使用 设计意图 时间 安排 一、主题导入今天我们继续解 决生活中的实际 问题。 倾听明确本节 课主题， 感受数学 与生活的 关系 1分 二、探索 理解 活动一： 小红给小刚多少根小棒，两个人就同样多了？ 学习方式：独立探究——小组交流——全班分享 看！同学们在做分小棒的游戏呢。仔细读一读，有不懂的的地方吗？ 出示学习要求 巡视学生出现的作品有哪些？询问分享作品的顺序，做到心中有数。读题理解 （一）独立解决 读学习要求： 1. 用你喜欢的方式表示题意。 2. 思考信息间的关系，确定如何解 决？（先干什么？再干什么？） 3. 列式计算，验证是否正确，再写 “答”。 4. 还有其他的方法吗？ （二）小组交流: 1.悄悄地认真品读组内其他成员的 作品, 你认为错的画“\”，看不懂的在旁 边画“？”。 2.交流作品。 3.修改完善。 4.确定分享作品的顺序。 ppt 在“独学 ——对学 ——群 学”中掌 握解决问 题的步 骤，培养 解决问题 能力 22 分
适时调整分享顺 序，便于学生观察 对比。 展示方法一、二： 这两种方法是怎 么分的？你知道 它们的主人是怎 么想的吗？ 观察对比：这两种 方法有什么联 系？ 引导验证：这样可 以吗？证明给大 家看。 观察的角度不同， 解决方法也就不 同。 （三）全班分享： 方法一： 小红直接给小刚20根， 小红：70-20=50（根） 小刚：30+20=50（根） 方法二： 10根10根地给， 小红：70-10=60 60-10=50 小刚：30+10=40 40+10=50 借助小棒图进行分，都是多的同学 给少的同学，直到一样多为止。 不同在于：方法一直接分20根小 棒，方法二是10根10根地分的。 方法三： 70－30＝40（根） 先求出小红比小刚多40根 40÷2＝20（根） 再把多出的40根平均分成2份，每 人一份就同样多了。 方法四： 30＋70=100（根） 100÷2=50（根） 50-30=20（根） 两个人一共100根，要想使两人一 样多，那么每人就应该是50根小 棒。小刚原来有 30根，不够。要 达到50根，还需要20根。 方法五： 多种方法 的分享， 鼓励多维 思考。通 过生生之 间的对 话，促进 思维的提 升。
书法的折纸方法自制作图解
书法的折纸方法自制作图 解 Prepared on 21 November 2021
书法的折纸方法（自制作图解）五言绝句折纸法： 四尺宣先裁掉一尺 剩下三尺对裁 对折 再对折 再对折 留一方格位折 再折留边框 再折中线和对角线成米字格 七言诗折纸法: 四尺整纸对裁 留出一字格 对折为所留一格的一倍 按所留一格的尺寸折 再折 留出一方格折 再折 再折留出边框 折后为3乘11格 一．四尺开四(66㎝×33㎝) 1．以10字诗句为例 先竖折三等分，但左右留出边线(即：留适当的空白)；再横折五等分(上、下也要留出边线，即：“天地”留适当的空白)。第一、二行各5个字，第三行落款。 2．以14字诗句为例 先竖折三等分，但左右留出边线(即：留适当的空白)；再横折六等分(先対折，再三等分折，上、下也要留出边线，即：“天地”留适当的空白)。第一、二行各6个字，第三行2个字，接下的空格落款。 3．以20字的“五绝”为例
先竖折四行，但第四行为半行，左右留出边线(即：留适当的空白)；再横折七等分(上、下也要留出边线，即：“天地”留适当的空白)。第一、二行各7个字，第三行6个字，第四行落款。 二．四尺开三(66㎝×45㎝) 1．以20字的“五绝”为例 先竖折五行，但第五行为半行，左右留出边线(即：留适当的空白)；再横折六等分(上、下也要留出边线，即：“天地”留适当的空白)。第一至三行各6个字，第四行2个字，第五行落款。 2．以28字的“七绝”为例 先竖折五行，但第五行为半行，左右留出边线(即：留适当的空白)；再横折七等分(上、下也要留出边线，即：“天地”留适当的空白)。第一至四行各7个字，第五行落款。 3．以33字的“长短句”为例 先竖折五等分，但左右留出边线(即：留适当的空白)；再横折八等分(上、下也要留出边线，即：“天地”留适当的空白)。第一至四行各8个字，第五行1个字，接下的空格落款。
关于三等分任意角的方法探究
三等分任意角的方法探究 西工大附中 孙开锋 三等分任意角的方法探究 摘要：三等分角是古希腊几何三大作图问题之一，本文 关键词： 只准用直角和圆规，你能将一个任意的角进行两等分吗？这可太简单了，几千前的数学家们就会做。 纸上任意画一个角，以其顶点O为圆心，任意选一个长度为半径画弧，找出弧与角的两边的交点，分别命名为A和B。然后分别以A点和B点为圆心，以同一个半径画弧，这个半径要大于A、B之间距离的一半。找出两段弧的相交点C，用直尺把O和C连接起来，那么直线OC就将角AOB 平分成了两部分。 用同样的方法，我们可以把一个角任意分成4等分、8等分、16等分……，也就是说，只要你有耐心，可以把任意一个角等分为2的任意次方。 但是，如果只用直尺和圆规，并且，这直尺还不能有刻度，你能将任意一个角三等分吗？ 早在公元前5世纪，古希腊的巧辩学派就提出了在只用直尺画直线、圆规画弧的限定下，将任意给定的角三等分的命题。很多伟大的数学家如阿基米德、笛卡儿、牛顿等都试图拿起直尺和圆规挑战自己的智力，但终于都以失败告终。直至公元1837年，法国数学家闻脱兹尔宣布：“只准使用直尺与圆规，想三等分一个任意角是不可能的！”, 才暂时了结了这宗长达几千年的数学悬案。 但是，如果没有几何作图法的限制，任意角三等分问题当然可以解决，不妨举几个例子以共享。 一、利用工具三等分任意角
如图1所示，叫做“三等分仪” 吧 ， CE=EG=DG,ME ⊥CD,弧ED 是以G 为圆心的半圆，故ME 与半圆G 相切于点E. 具体操作：将该仪器置于 ∠AOB 的内部，使得点C 落在OA 上，ME 经过点O,半圆G 与OB 相切于点F,则OE,OG 为∠AOB 的三等分线。 数理证明：分别连接OG,GF,故GF ⊥OB,而EG ⊥OE,所以易证：△GOE ≌△GOF;同理可证△GOE ≌△COE;故可得到：∠COE=∠GOE=∠FOG.所以，OE 、OG 为∠AOB 的三等分线。 二、中考中的三等分角 题目：（广东佛山市）三等分一任意角是数学史上一个著名的问题，用尺规不可能“三等分一任意角”。下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法：将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，边OB 在x 轴上，边OA 与函数y x =1的图象交于点P ，以P 为圆心，以2OP 为半径作弧交函数y x =1的图象于点R ，分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两直线交于点M ，连结OM 得到∠MOB ，则∠=∠MOB AOB 13 。要明白帕普斯的方法，请研究以下问题。 （1）设P （a a ,1），R （b b ,1）求直线OM 对应的函数表达式（用含a b 、的代表式表示）； （2）分别过点P 和R 作y 轴与x 轴的平行线，两直线相交于点Q ，请证明点Q 在直线OM 上，并据此证明∠=∠MOB AOB 1 3 ；