圆规和直尺三等分任意角

圆规和直尺三等分任意角

许世传

共大公司，香港（518026）

E-mail：hsc1937@https://www.360docs.net/doc/e49793497.html,

摘要:尺规三等分任意角有3800多年历史，是个令无数数学家望而却步的千古难题. 本文不走历史直接等分任意角的死胡同; 运用角度与弧度等价原理, 利用内接等边弦(或外切线)等分弧度, 这样达到三等分任意角，才能变“不可能”为可能.首创用无刻度直尺和圆规等分任意角的作图原理和几何数理.

关键词: 圆心轨迹线，切线平行线，内接等边弦

1. 引言:

早在公元前5世纪，古希腊的巧辩学派就提出了在只用直尺画直线、圆规画弧的限定下，将任意给定的角三等分的命题。很多伟大的数学家如阿基米德、笛卡儿、牛顿等都试图拿起直尺和圆规挑战自己的智力，但终于都以失败告终。直至公元1837年，法国数学家闻脱兹尔宣布：“只准使用直尺与圆规，想三等分一个任意角是不可能的！”, 才暂时了结了这宗长达几千年的数学悬案。但仍然有很多痴心不改的人想攻破数学史上的“不可能”，他们欲变“不可能为可能”。“在大学课堂教学中, 有没有伪科学的出现? 我们应该怎么避免它? 如数学上已证明用圆规和直尺三等分任意角是不可能的"。是吗! 请看下面不同的作图和数理分析:

2. 数理系统分析

2.1 不能三等分角代数数理

历史上认为任意角不能三等分的代数数理证明, 引用台北大学数学系教授曹亮吉(数学家)的见解其要点有二，一为:不是任何实数都是可做数，一为：假定一角可以三等分，则某个线段长x为可做，但由代数的分析又知x不为任何N阶数，故得矛盾(证略)1.

2.2 “3”元素的客观存在性

先看数论内容：整数分解、素数分布、解析数论、…筛法[]1

等等。最基本的数是自然数，

自然数除“1”之外共分素数和合数；换言之有了1才有数，有了素数就能产生自然数：1，

2，3，……的无限完美整数列来. 证实3在自然数列中的存在性, 不是水中捞月, 取时,

1,2 n=

()22

n

f=?4

中必有一“素数元素3”存在; 在[2-4]]区间就能用2筛出3素数元来,所以素数3是数字中最基本不可替代的原始元素2之一.我们能从自然数列中找出3元素来: 第一步: 用直尺和圆规作两次等分角∠AOB,就产生2至4单元量,见图1.1中的O-O1和O-a两条角平分线;这种尺规作图不含3元素.

第二步: 在2至4单元量间隔中添上3素数元素. 为作图方便,灵活地采用: 6(分角)÷2 = 3. 得3个单元等圆, 存在奇素数元素3.

1参见:https://www.360docs.net/doc/e49793497.html,/TrackBack.aspx?PostId=693973

2参考[香港]许世传著《循环论》p35数学是描述物质世界的最贴切语言，而素数仅有1和自身为其素因子，是不可替代的数学元素；故可把素数看作不变的不可替代的最基本原始粒子的物质元素，这是数学描述物质世界，量变到质变规律抽象语言的基本概念，也是最基本原始假设。例如：有2，3，5元素就有可能找出: 7，11，13，17，19，23新元素；因为2，3，5素数及4，6，8，9，……，25合数都被筛去. 同样在[2-4]]区间就能用2筛出3素数元来. 证实3在自然数序列中的存在性, 不是水中捞月.

[]1

3. 三等分任意角作图:

3.1 用无刻度直尺作任意角∠A0B ; 参见图1.2

3.2 用圆规作角∠A0B的平分线OO1 ;

3.3取任意长半径d 作角∠A0B的内接圆. d ;

3.4由d圆周上作b‖OO1; 作c‖OB相交于K点 ;

3.5过K点作等圆O1 ;

3.6过O点再作圆O1的切线OP.. 就是任意角∠A0B的三等分线.

图1.2 三等分任意角作图

4. 数理证明

4.1作距切线P为d的平行线pˊ与R弧交于O2, 见图1.3.

4.2 则P⊥O1-M-O2, 且O1-M= M -O2=d, M是圆O1和圆O2的唯一切点.

4.3 由作图知K-O1=d, K到OB的距离是2d;

过K点作O2ˊ圆与O1圆交于K且与OB和c相切, 圆心O2ˊ在d-O2轨迹线上;

过M点作O2圆与O1圆相切于M且与OB和c相切; 圆心O2在d-O2轨迹线上;

4.4 所以O1-M=M-O2=02-D=d; 故:⊿O-O1-M ≌⊿O-O2-M ≌⊿O-O2-D,

4.5 同理作左边O3圆,则O1-O2、O1-O3(及O3-O5、O2-O4)是角∠AOB的R圆弧内接弦等边多边形; 故O-P.切线是任意角∠A0B的三等分线( 证完 ).

5. 任意整数倍等分任意角

当取n 时, 函数x =()22n x f αα

±=±中,

必有一个

()(){}

220,1,2,3,x x p f a αα=±=±=???“新(素)数”存在;即可像前面一

样, 将一任意角作任一整数倍等分.

参考文献:

［1］[香港]许世传著循环论-正反一次筛[M] 香港（世界书局出版） 2005.12 36-37 Trisecting Unconditional Angle by Using Compasses and

Ruler

Xu Shichuan

KUNG TAI CO. , HONGKANG（518026）

Abstract

By the introduction of “Sieve the Forward and Opposite Once” as a kind of new sieve method, the paper gets the formula of the process of the substance transmutation number theory of which number theory comes from the philosophy of Unity of Opposites. Moreover, the paper mathematizes the Active, Masculine Cosmic and Eight Trigrams that is the five thousand Chinese nation’s wisdom crystal, which inosculate with the mathematic, physical and biology in the truth life, from which all the things in the world seems to have a unite dream. If the theory can be get approval, it would must have a great influence on the cognition of the world.

Keywords: Sieve the Forward and Opposite Once; initial value; three entities of Yin and Yang

作者简介:许世传, 男, 1937年5月生于中国广东省饶平县平溪乡,1964年毕业于厦门城建学院, 分配在厦门建筑设计院, 从事建筑设计和建筑结构材料研究工作; 同时研制成《日照计算仪》, 推证了《力矩平衡法》解超静定结构等. 都经中国科学研究院监定成立.于1981年移居香港, 在《成业打樁公司》从事承台计算设计工作.……1984年创办《共大公司》从事装饰工程事业. 1993年后休闲在家. 居香港-深圳两地, 喜欢养鱼种花﹑好奇﹑好学﹑爱研究﹑热爱科学,.1997年写了《循环论》一书, 剖析哥德巴赫猜想,2002年参加《国际数学家大会代数卫星会议》发表了“哥德巴赫猜想的探索”一文, 2005年在长沙参加《首届全国民间科技发展研讨会》, 2006.4.22在深圳大学参加《全国民间科技发展深圳论坛》,发表了三大几何千古难题,2006.5.13应邀到北京中科院自然科学史研究所参加《天地生人学术会议》发表了数学化的阴阳八卦与量子力学相关一文.