力学量和算符
第三章力学量和算符
内容简介：在上一章中，我们系统地介绍了波动力学，它的着眼点是波函数。用波函数描述粒子的运动状态。本章将介绍量子力学的另一种表述，它的着眼点是力学量和力学量的测量，并证实了量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现。
§3.1 力学量算符的引入
§3.2 算符的运算规则
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
§3.4 连续谱本征函数
§3.5 量子力学中力学量的测量
§3.6 不确定关系
§3.7 守恒与对称
在量子力学中。微观粒子的运动状态用波函数描述。一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态。在本章中我们将看到：所谓“确定”，是在能给出概率以及能求得平均值意义下说的。一般说来。当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值、均以一定的概率出现。当给定描述这一运动状态的波函数后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。既然一切力学量的平均值原则上可由给出，而且这些平均值就是在所描述的状态下相应的力学量的观测结果，在这种意义下认为，波函数描写了粒子的运动状态。
力学量的平均值
对以波函数(,)r t ψ描述的状态，按照波函数的统计解释，2
(,)r t ψ表示在t 时刻在 r r d r →+中找到粒子的几率，因此坐标的平均值显然是:
()2
*
(,)(,)(,) 3.1.1r r t rdr r t r r t dr ψψψ∞
∞
-∞
-∞
=
=??
坐标r 的函数()f r 的平均值是：
()()()
*(,)(,) 3.1.2f r r t f r r t dr ψψ∞
-∞
=?
现在讨论动量的平均值。显然，P 的平均值P 不能简单的写成
2(,)P r t Pdr ψ∞
-∞
=
?，因为2
(,)r t dr ψ只表示在 r r dr →+中的概率而不代表在
P P dP →+中找到粒子的概率。要计算P ，应该先找到在t 时刻，在P P dP →+中找
到粒子的概率2
(,)C P t dP ，这相当于对(,)r t ψ作傅里叶变化，而(,)C r t 有公式 给出。动量p 的平均值可表示为
但前述做法比较麻烦，下面我们将介绍一种直接从(,)r t ψ 计算动量平均值的方法。由（3.1.4）式得 利用公式 可以得到
记动量算符为 ?p
i =-?
则 ()*
?(,)(,) 3.1.9p r t p
r t dr ψ
ψ∞
-∞
=
? 从而有 ()()()*
?(,)(,) 3.1.10f p r t f p
r t dr ψψ∞
-∞
=
? 例如：动能的平均值是 角动量L 的平均值是
()()*
3.1.12L r p r i dr ψψ∞
-∞
??=?=
?-????
综上所述，我们得出，在求平均值的意义下，力学量可以用算符来代替。 下面我们来介绍动量算符的物理意义。为简单考虑一维运动，设量子体系沿x 方向做一空间平移a ，这是状态由原ψ变为ψ'，如图所示。
显然 ()x a ψψ'=- （3.1.13） 若1a <<，可做泰勒展开
()()()()2
22
2
2
2
()()()()2! 1()2! ()
d
a dx
a d
d x x a x x dx dx a d d a x dx dx e
x ψψψψψψ--'=+-+???
??-=+-++?????????= （3.1.14）
即当a 在无穷小的情况下，取准确到一级项有 ()()?1x i
x p a x ψψ??
'=-
??
?
（3.1.15） 因此，状态()x ψ经空间平移后变成另一态()x ψ'，它等于某个变量算作用于原来态上的结果，而该变换算符可由动量算符来表达?x i p
a e
-，特别在无穷小移动的情况下，动量算符纯粹
反映着空间平移的特性，所以动量算符又称为空间平移无穷小算符，动量反映着坐标变化（平移）的趋势或能力。推广到三维运动，状态()r ψ在空间平移a 下，变为 ()()()??1i
r r a p
a r ψψψ??'=-=-? ??
?
（3.1.16） § 3.2 算符的运算规则 3.2.1 算符的定义
所谓算符，是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号。若某种运算把函数μ
变为v ，记作则表示这种运算的符号?F
就称为算符。
如果算符?F
作用于一个函数ψ，结果等于乘上一个常数λ，记为 ?F
ψλψ= （3.2.1） 则λ为?F
的本征值，为?F 的本征函数，上述方程称为?F 的本征方程。 若算符满足： []1212???F c c c F c F ψψψψ+=+ （3.2.2）
其中1ψ、2ψ为任意函数，1c 、2c 为常数，则?F
称为线性算符若算符满足 ?I
ψψ= （3.2.3） ψ为任意函数，则称?I 为单位算符。
3.2.2 算符的运算规则
算符之和
()????A
B A B ψψψ+=+ （3.2.4）
ψ 为任意波函数。显然，算符之和满足交换率和结合律
????A
B B A +=+ ()()
??????A
B C A B C ++=++ 显然，线性算符之和仍为线性算符。
算符之积
()()????AB
A B ψψ= （3.2.5）
注：一般情形
????AB BA ≠ （3.2.6） 比方，取?A
x =，??x B p i x
?
==-?则 但 ()?x xp
i x i i x x x
ψ
ψψψ??=-=--?? 因此 ()??x x xp
p x i ψψ-= （3.2.7）
由于ψ是任意函数，从(3.2.7)式得
??x x xp
p x i -= （3.2.8）
从（3.2.8）可见， ??x x xp
p x ≠ 记??AB
和??BA 之差为 ??????,A B AB BA ??=-?
?
（3.2.9） 称为算符?A
，?B 的对易关系或对易子。 式（3.2.8）可记为[]?,x x p
i =
若算符?A
和?B 的对易子为零，则称算符?A 和?B 对易。 利用对易子的定义（3.2.9）式，易证下列恒等式
????,,A
B B A ????=-???? ??,0A
A ??=??
()??,0A
C C ??=??为常数
???????,,,A B C A B A C ??????+=+?????? （3.2.10） ?????????,,,A
BC A B C B A C ??????=+?????? ?????????,,,BC
A B A C B C A ??????=+??????
?????????,,,,,,0A
B C B C A C A B ????????????=+=?
??????????? 最后一式称为雅可比恒等式。
作为例子，我们讨论角动量算符?
?L r p
=? ???x x y L yp zp i y z z y ????=-=-- ?????
???y y z L zp yp i z x x
z ????=-=-- ????? （3.2.11）
???z y x L xp yp i x y y x ????=-=-- ?????
它们和坐标算符的对易子是
???,0,,,,???,,,0,,???,,,,,0,
x x x y y y z z z L x L y i z L z i y L x i z L y L z i x L x i y L y i x L z ??????
===-????????????
=-==????????????==-=?????? （3.2.12） （3.2.12）式可表示为?,L x i x αβαβγγ
ε??=?
?
（3.2.13） 上式中α，β，γ=1,2,3表示相应的分量，αβγε成为列维-斯维塔记号，满足
1231
αβγβαγαγβ
εεεε==-=- （3.2.14）
任意两个下脚标相同，则αβγε为零。 同理可得
???,L p i p
αβαβγγε??=?
?
（3.2.15） ???,L
L i L αβαβγγε??=?? （3.2.16）
式中不为零的等式也可写成
???
L L i L ?= （3.2.17） 坐标和动量的对易子可写为
?,x p i
αβαβδ??=?? （3.2.18）
其中
1 0 αβαβ
δαβ
=?=?
≠? （3.2.19）
角动量算符的平方是：2
2
2
2
????x y z
L L L L =++ （3.2.20） 则 222222??????,,,0x y z
L L L L L L ??????===?
??
??
?
（3.2.21） 在球坐标系下sin cos sin cos cos x r y r z r θ?
θ?θ=??
=??=?
（3.2.22）
则
cos r z r y tg x θ??
=??
?
=??
?=??
（3.2.23）
将r 两边对x 求偏导，得： s i n c o s x
x r
θ??==? （3.2.24） 将cos z r θ=两边对x 求偏导，得：2
11
cos cos sin z r x r x r
θθ?θ??=-=??（3.2.25） 再将y
tg x
?=
两边对x 求偏导，得：221sin sec sin y x x r ???θ?=-=-? （3.2.26） 利用这些关系式可求得：
11sin sin cos cos cos sin r x x r x x r r r θ?θ?
?θ?θ?θθ?
???????
=++
??????????
=+-
??? （3.2.27）
同理可得：
11cos sin sin cos sin sin r y y r y y r r r θ?θ?
?θ?θ?θθ?
???????
=++
??????????
=++
??? （3.2.28）
1 cos sin r z z r z z r r θ?θ?
θθ
θ
???????
=++
?????????
=-?? （3.2.29）
则角动量算符可表示为：
?sin cos x L i ctg ?θ?θ
?????=+ ?
???
?
（3.2.30） ?cos sin y L i ctg ?θ?θ
?????=-+ ?
???
?
（3.2.31） ?z
L i ?
?
=-? （3.2.32）
由此可得：
()2222222222222?[sin 2sin cos cos +ctg cos csc sin cos ]
x L ctg ctg ctg ?θ??θ?θθ??
θ?θθ??θ????=-++??????
-+?? （3.2.33）
()2222222222222?[cos 2sin cos sin +ctg sin csc sin cos ]
y L ctg ctg ctg ?θ??θ?θθ??
θ?θθ??θ????=--+??????
++?? （3.2.34）
2
22
2
?z
L ??=-? （3.2.35） 所以 2222????x y z
L L L L =++ 22
2211sin sin sin θθθθθ???
?????=-
+ ??????????
（3.2.36）
则2
?L
的本征方程可写为： ()()22211sin ,,sin sin Y Y θθ?λθ?θθθθ???
?????+=- ??????????
（3.2.37）
在数理方法中已讨论过，必须有：()1l l λ=+ （3.2.38） 可解得：
()()(),1cos m
m im lm lm l
Y N P e ?
θ?θ=- ,1,,m l l l =-???- （3.2.39） lm N 为归一化系数，()cos m
l P θ为连带勒让得多项式。
所以 ()()22?,(1),lm lm
L Y l l Y θ?θ?=+ （3.2.40） 因为l 表示角动量太小，所以称为角动量量子数，m 称为磁量子数。
对应于一个l 的值，可以取()21l +个值，因而对于2
?L
的一个本征值()2
1l l +，有
()21l +个不同的本征函数lm Y 。
我们把对应于一个本征只有一个以上的本征函数的情况叫简并，把对应于同一本征值的本征函数的数目称为简并度。2
?L 的本征值是()21l +度简并的。
同理： ()()?,,z lm lm
L Y m Y θ?θ?= （3.2.41） 即在lm Y 态中，体系的角动量在z 轴方向投影为 z L m = 一般称0l =的态为S 态，1,2,3l =的态依次为,,p d f 态。
现在考虑角动量算符的物理意义。设体系绕z 轴滚动α角并以 ()z R α算符变换表示：()()R z r R r αψ-=，
当1α<<，即在无穷小转动下，对()R r ψ做泰勒展开，准确到一级项有
()()?1R z i
r L r ψεψ?
?=+ ?
?
?
（3.2.42） 因此，状态()r ψ在空间转动后变为另一状态()R
r ψ，它等于某个变换算符作用于原来态
上的结果，而该变换算符()?z
iaL z R e
α=，特别在无穷小转动下，()?1z z
i R L αα=+
， 角动量算符纯粹反映空间转动的特征，又称角动量算符为空间转动无穷小算符，从而角动量反映着空间转动变化的特性。 算符的乘幂
算符?A 的n 次乘幂定义为 ????n A A A A =??????? （3.2.20）
算符的函数
()
()
()0
0??!n n n F F A A n ∞
==∑ （3.2.21） 算符的逆
若算符?A
满足 ?A μυ= 且能从上式唯一的解出μ来，则定义算符?A
的逆算符1
?A -为 1?A
υμ-= （3.2.22） 并非所有的算符都有逆算符存在。但若1
?A
-存在，则必有
111??????,0A
A AA I A A ---==??=??
（3.2.23）
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
为说明量子力学中能表示力学量的算符的性质，本节将介绍一种具有非常重要性质的算符-厄米算符。为此，先引进一些定义： 1.希尔伯特空间中矢量的内积
希尔伯特空间中的两个态矢量，在选定及时后的两 个波函数ψ和?的内积为
()*,dr ψ?ψ?=? （3.3.1）
它具有下述性质： ()2
,0i dr ψψψ<>=
≥? （3.3.2）
()()*
,,ii ψ??ψ<>=
iii <>若1C 、2C 为常数()()()11221122,,,C C C C ψ??ψ?ψ?+=+
()()()**11221122,,,C C C C ψψ?ψ?ψ?+=+
2. 转置算符?ο
若算符?ο
满足()()*
*
??,,ψο??οψ
= （3.3.3） 即
**??dr dr ψο??οψ=??
（3.3.4） 则称?ο
为转置算符。ψ、?为任意函数。 3. 复共轭算符*?ο
将算符?ο
中的所有复量均换成它的共轭复量，称为?ο的复共轭算符*
?ο。例如算符?x p
i x ?=-?的复共轭算符*??x x p
i p x
?==-?。 4. 厄米算符??ο
算符?ο
的厄米共轭算符??ο，定义为?
???οοο== （3.3.5） 则 (
)()(
)*
?
*
*???,,,ψο
?ψο?ψο?== （3.3.6）
()()*
??,,?οψ
οψ?== 厄米算符具有下列性质： a.两厄米算符之和仍为厄米算符。
b.当且仅当两厄米算符 ?A
和 ?B 对易时，它们之积才为厄米算符。因为 ()
?
????????AB
B
A BA == （3.3.7） 只有在 ??,0A
B ??=??
时， ????B A A B = ，才有 ()
?
????AB AB
= ，即 ??AB
仍为厄米算符。 c.无论厄米算符?A
、?B 是否对易，算符 ()
1??
??2
AB BA + 及 ()
1??
??2AB BA i
- 必为厄米算符，因为 ()
()()
*
????????11111????????????????22222AB BA B A A B A B B A AB BA i i i i i ??
-=-+=-=-????
（3.3.8） d.任何算符总可分解为
???i ο
οο+-=+ （3.3.9） 令 ()?
1???2ο
οο+=+ 、 ()?1???2i
οοο-=- ，则 ?ο
+ 和 ?ο- 均为厄米算符。 厄米算符的平均值、本征值、本征函数具有下列性质： ①厄米算符的平均值是实数，因为
()()*
*
*
*
*???dr dr dr οψοψ
οψ
ψψοψο<>====<>?
?? （3.3.10）
②在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米算符。
③厄米算符的本征值为实数。厄米算符在本征态中的平均值就是本征值。 ④厄米算符属于不同本征值的本征函数正交。
⑤厄米算符的简并的本征函数可以经过重新组合后使它正交归一化。 ⑥厄米算符的本征函数系具有完备性。
⑦厄米算符的本征函数系具有封闭型。 性质②的证明：由*
οο<>=<>得
()()()*
???,,,ψοψ
ψοψοψ
ψ== （1） 上式并不足以说明算符 ?ο
厄米，因为 ψ 是同一个态。要证明?ο 厄米，必须按厄米算符的定义，证明
()()1212??,,ψοψ
οψψ= 成立，而且 1ψ 、2ψ 为任意波函数。为此令 12ψψψ=+ ，利用（1）式得
()()()()()()1
2121212??,,ψ
ψο
ψψοψψψψ++=++ （2） 因为 ?ο
在 1ψ 、 2ψ 中的平均值也是实数，所以上式又写为
()()()()12211221
????,,,,ψοψψοψοψψοψψ+=+ （3） 对 1ψ 和 2ψ 作变换，令
11ia e ψψ→ ，22ib
e ψψ→ （,a b 为任意实数）
代入（3）式后得 ()
()()()()()12122121????,,,,i b a i b a
e
e
ψοψοψψοψψψοψ----=-???????? （4）
因为 ,a b 任意，上式成立的充要条件为 ()()1212??,,ψοψ
οψψ=
()()2121??,,ψοψ
οψψ= 因此， ?ο
必为厄米算符。得证。 性质④的证明：
?n n n οψ
οψ= ?m m m οψ
οψ= 且 ()n m m n οο≠≠ ，因为 ?ο
是厄米算符，它的本征函数是实数， *
m m οο= 。本征方程的共轭方程为
***?m m m οψοψ=
由 ()()?,,m n m m n οψ
ψοψψ= 及 ?ο
的厄米性质， ()()??,,m n m n οψψψοψ= ，及 ()()?,,m n n m n ψοψ
οψψ= 得()(),0m n m n οοψψ-= 又因得n m οο≠
得证。若本征函数是正交归一化的，则有 ()()()
1 ,0 m n mn
m n m n ψψδ=??==?≠??
厄米算符属于不同本征值的本征函数正交归一。 3.4 连续谱本征函数
鉴于厄米算符的本征函数系具有正交、归一、完备、封闭等重要性质，可以用它作为希尔伯特空间的基矢；而且在量子力学中，可观测量对应线性厄米算符，因此在本节中我们将先罗列一些线性厄米算符的本征函数系，然后再讨论若本征函数位连续谱本征函数时，如何进行归一化。
1.线性厄米算符的本征函数示例
①坐标算符?x
由本征方程 ()()?x
x x x x x δδ'''-=- （3.4.1） 可知算符 ?x
在自身表象中的本征函数是()x x δ'- 。而 x ' 连续取值，是连续谱本征函数。
②动量算符?x p
i x
?
=-? 由本征方程 x x ip x
ip x x i e p e x ?-=? （3.4.2）
可知在以 ?x
的本征函数为基矢的 ?x 表象中，算符 ?x p 的本征函数是平面波 x i p x
e
，本征值
x p 也是连续取值。
2.连续谱本征函数的归一化 ①无穷空间的归一化
以平面波为例。 ?
x p 的本征函数 ()x x ip x p x ψ= 不能用普通
的方法归一化，因为它的模不是平方可积的，
()()()
2
*x
x
x
p p p x x dx x dx ψ
ψψ∞
∞-∞
-∞=→∞?
? （3.4.3）
不能使它归一化为1。在数学上只能归一化为 δ 函数。利用公式 ()()1
2ik x x x x e dk δπ∞
'
--∞
'-=?
（3.4.4）
得
()
(
)()1,2x
x x
x i p p x p p x x e dx p p ψ
ψδπ
∞
'''-'''-∞
'''==-?
（3.4.5）
事实上，凡连续谱本征函数都可用δ 函数的方式归一化。②箱归一化
如果仍然要求按照通常的方式对动量的本征函数归一化，即仍然要归一化为1而不是
δ 函数，就必须放弃无穷空间的积分，采用箱归一化的方法。先以一维为例。设一维平
面波只能在 ,22L L ??
-
???
的区间中运动，且满足周期性条件： 波函数 22L L ψψ????
-
= ? ?????
（3.4.6） 注：为保持动量算符 ?x p
在 ,22L L ??
- ???
范围内为厄米算符，要求波函数满足周期性边界条件。
由 2
2x x ip L p L e ψ??-= ??? 则 2
2x x ip L p L e ψ-??= ???
即 1x i p L
e
=
则
2 n=0,1,2,x p L
n π=±±?????? 即 2x n nh
p L L
π=
=
（3.4.7） 从而有 ()2n i nx
L
p x e πψ= （3.4.8）
它的归一化条件
2
*2
n
m
L
p p nm L dx ψδ-=?
（3.4.9）
显然，若 L →∞ ，即箱的体积为无穷大时，由（3.4.7）式可知 ()10x
n h nh h p L
L
L
+?=-=→ ，本征谱变成连续谱，回
到无穷空间的归一化的情况。从分立谱过渡到连续谱时，存在如下对应关系：
x h
dp L
→ （3.4.10） 11x dp L h ∞∞
-∞
-∞→∑? （3.4.11）
易将上述结果推广到三维情况。取体积 3
V L = ，则箱归一化后的波函数为
(
)ip
r
p x ψ?= （3.4.12） (),,,,0,1,2,x x y y z z x y z h h h
p n p n p n n n n L L L
=
===±±?????? （3.4.13） 3
3h dp L
→ （3.4.14）
()333,,,,1111
2x y z x y z n n n n n n dp dp L V h π
∞∞
∞∞
-∞-∞
→∞→∞=→=∑∑??
（3.4.15）
三维情况下，箱归一化的正交归一化条件是
2
22*2
2
2
x x y y z z L
L
L
p p p p p p p p L L L dx dy dz ψψδδδ''''---=?
?
?
（3.4.16）
其中 p 及 p ' 按（3.4.13）式的分立方式取值。在连续谱情况下，正交归一条件是
()
()3
1
ip r r e
dp r r h
δ'-'=-??? （3.4.17）
3.5 量子力学中力学量的测量 1.力学量有确定值的条件
记与某一力学量F 相应的算符为 ?F
， ?F 必为线性厄米算符。现在问：在什么状态下，测量力学量 F 有确定值？
为此，先给“确定值”以严格的定义。在量子力学中，在某一状态 ψ 中测量力学量 F 具有确定值的充要条件是在该状态中力学量 F 的平方平均偏差为零。即 ()2
0F = （3.5.1）
()
()
(
)
2
2
2
*
??F F
F F
F dr ψ
ψ=<-<>>=-<>? 由于?F
厄米，?F 的平均值 F <> 是个实数，因此 ?F F -<> 也为厄米，利用 ?F
F -<> 厄米的条件可将上式写为
()
()()
()*
2
2
??? 0
F F F F
F d r
F
F d r ψψψ??=-<>-<>??
=-<>≥?? （3.5.2）
于是得出：()2
0F = 的充要条件是()
?0F
F ψ-<>= 即 ?F
F ψψ=<> （3.5.3） 由此得出结论：当且仅当 ψ 是力学量 ?F
的本征态时，在 的本征态 ψ 中测量?F 才有确定值。而且这个确定值就是在这个态的平均值。 （3.5.3）式实际上就是 ?F 的本征方程， ?F
在态 ψ 的平均值F <> 等于它的本征值。正因为 ?F 相应于态 ψ 的本征值就是它的平均值，也是它的实验测到的准确值，因此本征值和平均值都必须是
实数。
2.在非 ?F
的本征态中测量?F 设?F 所满足的本征方程为 ?n n n
F F ψψ= （3.5.4）
现在在一个非 ?F 的本征态φ 中测量 ?F 。因为 ?F 的本征函数系 {}n
ψ 正交归一完备，因此总可将 φ 按 {}n ψ 展开
n n
n
C φψ=∑
（3.5.5）
?F
的平均值是 ()()()()***,*
*
*,,2
?? m n m n
m n
m
n n m n m n n mn
m n m n
n n
n
F F dr C C r F r dr C
C F r r dr C C F C F ψψψψψψδ<>===
==∑??∑∑?∑
（3.5.6）
因此，在非 ?F
的本征态φ 中测量力学量 F ，无确定值，但有平均值，而且平均值是由 ?F 的本征值n F 通过统计平均求来的。在 F <> 中出现 n
F 的几率是 2
n C ， 是将态 φ 按 {}n ψ 展开时出现 n ψ 态的几率幅。因此得出
结论：在非 ?F
的本征态 φ 中测量 F ，虽然无确定值，但有各种可能值。这些可能值就是 ?F 的本征值，而且可能值 n F 出现的几率为 2n
C 。这个结论无论对 ?F
的本征谱是分离谱、连续谱，还是既有连续谱又有分离谱都成立。 3.不同力学量同时有确定值的条件
若 ?F
在态ψ 有确定值，则 ψ 必须是 ?F 的本征态，有 ?F
f ψψ= （3.5.7） 同理，另一力学量 G 在态 ψ中有确定值的，则 ψ 不然也是?G 的本征态，有 ?G
g ψψ= （3.5.8） ψ必须是 ?F
和 ?G 的共同本征函数。由 ?????FG
gF gf GF ψψψψ=== 即 ()
????0FG
GF ψ-= （3.5.9）
但（3.5.9）式并不能说明 ?F
和 ?G 对易，因为 ψ 只是一个特定的波函数而非任意波函数。例如：
00Y =
，是个与角度无关的常数，虽然?x
L 和?y L 不对易，但 00Y 使它们的共同本征函数。
关于算符的对易性和测量的关系，存在下述定理和逆定理：
定理 若线性厄米算符 ?F
和 ?G 有不止一个共同本征函数，且这些本征函数构成完备系，则 ?F
和 ?G 必定可对易。 证：假定这些共同本征函数构成分离谱本征函数系 {}n ψ 。任何一个波函数φ 均可展开为
n n
n
C φψ
=
∑
()()????????0n n
n
FG
GF C FG
GF φψ-=-=∑
由于 φ是任意波函数，因此必有[]????,0FG GF F G -== ，?F 和 ?G 对易。 证毕。 逆定理 若线性厄米算符 ?F
和 ?G 对易，则它们必有共同的本征函数系，而且着共同本征函数系必为完备系。
现在对上述定理作些总结和讨论：
a.虽然两相互对易的算符?F 和 ?G 有完备的共同本征函数系，但 ?F 的本征函数不一定总是 ?G
的本征函数。只有当 ?F 的本征值无简并时， ?F 的本征函数才一定是 ?G
的本征函数。在由简并时，一般来说，需要将属于同一个本征值的本征函数重新作线性组合，才能得出 ?G
的本征函数; b.力学量完全集的数目与体系自由度的数目相一致; c.简并来自于不完全测量。
综上所述, 量子力学中的力学量以线性厄米算符来表示, 力学量取确定值的态就是力学量算符的本征态, 力学量的数值就是算符的本征值. 力学量算符的本征函数系是正交归
一完备系, 它们是力学量所有可能值及其相应态. 任意状态下, 力学量一般不取确定值, 而是一系列可能值. 而测的可能值的几率就是任意态在该力学量本征函数完备系中展开系数模的平方.
3.6 不确定性原理
设 ?A 和?B 为两个不对易的线性厄米算符。在 ?A
的本征态中测量力学量A ，有确定值，在数值上等于 ?A
在该态的平均值。现在问，在 ?A 的本征态中测量另一力学量 ?B
，会出现什么结果？进一步，如果在任一个既非?A 又非 ?B 的态中测量?A
和 ?B ，又会出现什么结果？ 不确定性原理回答了这个问题。我们先来对这个原理做一般证明：构造积分 ()2
??0I A
iB dr ξξψψ=
-≥?
式中， ξ是实参量，ψ 是任意波函数， ()I ξ 之所以大于或等于零是因为被积函数不小于零。将（3.6.1）式的平方项展开，得
()()()
()()()()()()()()****2
*
*
*
*
*
*
*
*
?????????? ?? I A
iB A iB dr A A dr i A B B A dr B
B dr ξξψψξψψξψψξψψψψψψ=++=--+???? 由于 ?A
，?B 厄米，上式可写为
()()
2*2**2
2
2
2
????????? 0
I A d r i A B B A d r B d r
A C
B ξξψψξψψψψξξ=--+=<>+<>+<>≥
???
式中算符 ?C 满足???,A B iC ??=??
，（3.6.2） 是关于 的二次式，不等与
（3.6.2） ，成立的条件是
222???4
C A B <><>≥
即 1
2
22?1????,4
2C A
B A B <>????
<><>≥
=
<>?
?
?
?
（3.6.4）式对任意两线性厄米算符 ?A
，?B 均成立。令 ??????,A
A A
B B B ?=-<>?=-<> 显然， ?A
? ，?B ? 也是线性厄米算符，它们的对易子满足 ????,,A
B A B ??????=?
??
?
由上两式可得
()
()
1
2
2
2
1????,2A
B A B ??
??
≥
<>?
????
?
取算符 ?A
x = ， ??x B p = ，由 []?,x x p i = 及（3.6.6）式得
()()2
2
2
?4
x x p
≥
（3.6.7）式表明， ()2
x 和 ()2
?x p
不能同时为零，而且坐标 x 的方均偏差越小，动量?x p
的方均偏差越大，反之亦然。 同理可得 ()
()
2
2
2
?4
t E
≥
（3.6.7）和（3.6.8）式称为不确定性原理。
利用不确定性原理说明量子力学中的零点能。一维谐振子为例。它的平均能量是
()2
22122
p E m x m ω<><>=+<>
利用厄米多项式的性质可得
()()22
222
2
2
0x x n n
n d x N
e
H x e H x dx dx
αααα∞
---∞
??<>==???
由()()2
2
2
2
2
2
x x x p p p =<>-<>=<>-<>
及（3.6.9） 式得 ()()2
2
2122
p E m x m ω<>=+
按不确定性原理， ()2
p 和 ()2
x 不同时为零，因而 的最小值必不为零，这就是零点能。为求最小值，在式中取等号，得
第五章 力学量的算符表示
137 第5章 力学量的算符表示 §5.1 算符及其运算规则 在第二章中，已经引入了算符的概念，动量算符和哈密顿量算符分别为 ?-= i ?p (5.1.1) )(2?22 r V m H +?-= (5.1.2) 在量子力学中，算符表示对它后面的波函数的一种运算或者操作，上述的动量算符与哈密顿算符皆表示对其后面的波函数的微商运算，本 章的后面将引入的宇称算符π ?则表示对其后面的波函数的一种操作，即把波函数中的坐标变量改变一个符号。由算符化规则可知，物理上可观测的力学量（例如，坐标、动量、角动量和能量等）与相应的算符相对应，并要求相应的算符为线性厄米特算符，力学量的取值情况由相应算符满足的本征方程的解来决定。 §5.1.1 算符及其运算规则 1、线性算符
138 满足下列运算规则 22112211??)(?ψψψψA c A c c c A +=+ (5.1.3) 的算符A ?，称之为线性算符，其中，21,c c 是两个任意复常数，21,ψψ是两个任意的波函数。在量子力学中，可观测量对应的算符都是线性算符，这是状态叠加原理所要求的。如无特殊声明，下面所涉及到的算符皆为线性算符。 2 、单位算符 若对任意的波函数ψ，算符I ?满足 ψψ=I ? (5.1.4) 则称I ?为单位算符。 3、 算符之和 若对任意的波函数ψ，下式 ψψψB A B A ??)??(+=+ (5.1.5) 总是成立，则称算符B A ??+为算符A ?与算符B ?之和。算符的加法运算满足交换律和结合律，即 A B B A ????+=+ (5.1.6) C B A C B A ?)??()??(?++=++ (5.1.7) 4、 算符之积 两个算符A ?和B ?之积记为)??(B A ，对任意的波函数ψ，算符)??(B A 的作用定义为下列运算 )?(?)??(ψψB A B A = (5.1.8)
第三章-表示力学量算符-习题答案
第三章 量子力学中的力学量 1. 证明 厄米算符的平均值都是实数（在任意态） [证] 由厄米算符的定义 **??()F d F d ψψτψψτ=?? 厄米算符?F 的平均值 *?F F d ψψτ=? **?[()]F d ψψτ=? * * *?[ ]F d ψψτ=? **?[()]F d ψψτ=? ** ?[ ]F d ψψτ=? * F = 即厄米算符的平均值都是实数 2. 判断下列等式是否正确 （1）???H T U =+ （2）H T U =+ （3）H E T U ==+ [解]：（1）（2）正确 （3）错误 因为动能，势能不同时确定，而它们的平均值却是同时确定 。 3. 设()x ψ归一化，{}k ?是?F 的本征函数，且 ()()k k k x c x ψ? =∑ （1）试推导k C 表示式 （2）求征力学量F 的()x ψ态平均值2 k k k F c F =∑ （3）说明2 k c 的物理意义。 [解]：（1）给()x ψ左乘* ()m x ?再对x 积分 * *()()()()m m k k k x x dx x c x dx ? ??τ?=??* ()()k m k k c x x dx ??=∑? 因()x ψ是?F 的本函，所以()x ψ具有正交归一性
**()()()()m k m k k k k k x x dx c x x dx c mk c ?ψ??δ===∑∑?? ()m k = *()()k m c x x dx ?ψ∴=? （2）k ?是?F 的本征函数，设其本征值为k F 则 ?k k k F F ??= **??m k m k k k F F dx F c dx ψψψ?==∑?? * *()m m k k k k c x F c dx ? ?=∑∑? **m k k m k x mk c c F d ??=∑? *m k k mk mk c c F δ=∑ 2 k k k c F = ∑ 即 2 k k k F c F = ∑ （3）2 k c 的物理意义；表示体系处在ψ态，在该态中测量力学量F ，得到本征值k F 的 几率为2 k c 。 4. 一维谐振子处于基态ψ0（x ）态，求该态中 （1） 势能的平均值221 2 U x μω= （2） 动能的平均值2 2p T μ = （3） 动量的几率分布。 解：(1) ? ∞ ∞ --==dx e x x U x 2 22 2222121απ αμωμω μωμωαμωαπαπ αμω ?==?= 2 2 222241212121221 ω 4 1 = （ 2 210 2n ax n n x e dx a ∞ -+= ?
第3章 力学量用算符表达：习题解答
第3章 力学量用算符表达 习题3.1 下列函数哪些是算符22 dx d 的本征函数，其本征值是什么？ ①2x ， ② x e ， ③x sin ， ④x cos 3， ⑤x x cos sin + 解：①2)(222 =x dx d ∴ 2 x 不是22 dx d 的本征函数。 ② x x e e dx d =22 ∴ x e 是22 dx d 的本征函数，其对应的本征值为1。 ③x x dx d x dx d sin )(cos )(sin 22-== ∴ 可见，x sin 是22 dx d 的本征函数，其对应的本征值为－1。 ④x x dx d x dx d cos 3)sin 3()cos 3(22-=-= ∴ x cos 3 是22 dx d 的本征函数，其对应的本征值为－1。 ⑤) cos (sin cos sin sin (cos )cos (sin 22x x x x x x dx d x x dx d +-=--=-=+） ∴ x x cos sin +是22 dx d 的本征函数，其对应的本征值为－1。 3.2 一维谐振子处在基态t i x e t x ωαπ αψ2 2 022),(-- =，求： (1)势能的平均值222 1 x V μω= ； (2)动能的平均值μ 22 p T =.
解：(1) ? ∞ ∞ --== dx e x x V x 2 222222121α π αμωμω μωμωαμωα παπαμω ?==?= 2 2 222241212121221 ω 41= (2) ?∞∞ -==dx x p x p T )(?)(2122 *2ψψμμ ?∞∞ ----=dx e dx d e x x 2 22 221 2 22 21 )(21αα μ πα ?∞ ∞ ---= dx e x x 2 2)1(22222αααμ πα ][22 22 22222??∞∞ --∞∞---= dx e x dx e x x ααααμ πα ]2[23222απ ααπαμ πα?-= μω μαμαπαμπ α? ===442222222 ω 4 1 = 或 ωωω 4 1 4121=-= -=V E T 习题3.3 指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。 ① 2 22 4dx d x ； ② []2 ； ③ ∑=N k 1 解：①2 2 2 4dx d x 是线性算符 φ ???φ?22 22222122 2 2122221222 44 )(4)(4)(4 dx d x c dx d x c c dx d x c dx d x c c dx d x ?+?=+=+ ②[]2 不是线性算符
力学量和算符
第三章力学量和算符 内容简介：在上一章中，我们系统地介绍了波动力学，它的着眼点是波函数。用波函数描述粒子的运动状态。本章将介绍量子力学的另一种表述，它的着眼点是力学量和力学量的测量，并证实了量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现。 §3.1 力学量算符的引入 §3.2 算符的运算规则 §3.3 厄米算符的本征值和本征函数 §3.4 连续谱本征函数 §3.5 量子力学中力学量的测量 §3.6 不确定关系 §3.7 守恒与对称 在量子力学中。微观粒子的运动状态用波函数描述。一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态。在本章中我们将看到：所谓“确定”，是在能给出概率以及能求得平均值意义下说的。一般说来。当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值、均以一定的概率出现。当给定描述这一运动状态的波函数后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。既然一切力学量的平均值原则上可由给出，而且这些平均值就是在所描述的状态下相应的力学量的观测结果，在这种意义下认为，波函数描写了粒子的运动状态。 力学量的平均值
对以波函数(,)r t ψ描述的状态，按照波函数的统计解释，2 (,)r t ψ表示在t 时刻在 r r d r →+中找到粒子的几率，因此坐标的平均值显然是: ()2 * (,)(,)(,) 3.1.1r r t rdr r t r r t dr ψψψ∞ ∞ -∞ -∞ = =?? 坐标r 的函数()f r 的平均值是： ()()() *(,)(,) 3.1.2f r r t f r r t dr ψψ∞ -∞ =? 现在讨论动量的平均值。显然，P 的平均值P 不能简单的写成 2(,)P r t Pdr ψ∞ -∞ = ?，因为2 (,)r t dr ψ只表示在 r r dr →+中的概率而不代表在 P P dP →+中找到粒子的概率。要计算P ，应该先找到在t 时刻，在P P dP →+中找 到粒子的概率2 (,)C P t dP ，这相当于对(,)r t ψ作傅里叶变化，而(,)C r t 有公式 给出。动量p 的平均值可表示为 但前述做法比较麻烦，下面我们将介绍一种直接从(,)r t ψ 计算动量平均值的方法。由（3.1.4）式得 利用公式 可以得到 记动量算符为 ?p i =-? 则 ()* ?(,)(,) 3.1.9p r t p r t dr ψ ψ∞ -∞ = ? 从而有 ()()()* ?(,)(,) 3.1.10f p r t f p r t dr ψψ∞ -∞ = ? 例如：动能的平均值是 角动量L 的平均值是
第三章 力学量和算符
第三章 力学量和算符 内容简介：在上一章中，我们系统地介绍了波动力学，它的着眼点是波函数 。用波函数描述粒子的运动状态。本章将介绍量子力学的另一种表述，它的着眼点是力学量和力学量的测量，并证实了量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现 。 § 3.1 力学量算符的引入 § 3.2 算符的运算规则 § 3.3 厄米算符的本征值和本征函数 § 3.4 连续谱本征函数 § 3.5 量子力学中力学量的测量 § 3.6 不确定关系 § 3.7 守恒与对称 在量子力学中。微观粒子的运动状态用波函数描述。一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态。在本章中我们将看到：所谓“确定”，是在能给出概率以及能求得平均值意义下说的。一般说来。当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值、均以一定的概率出现。当给定描述这一运动状态的波函数 后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。既然一切力学量的平均值原则上可由 给出，而且这些平均值就是在 所描述的状态下相应的力学量的观测结果，在这种意义下认为，波函数描写了粒子的运动状态。 力学量的平均值 对以波函数(,)r t ψ描述的状态，按照波函数的统计解释，2 (,)r t ψ表示在t 时刻在 r r d r →+中找到粒子的几率，因此坐标的平均值显然是: ()2 *(,) (,)(,) 3.1.1r r t rdr r t r r t dr ψψψ∞ ∞ -∞ -∞ = =?? 坐标r 的函数()f r 的平均值是： ()()()* (,)(,) 3.1.2f r r t f r r t dr ψψ∞ -∞ =? 现在讨论动量的平均值。显然，P 的平均值P 不能简单的写成 2(,)P r t Pdr ψ∞ -∞ = ?，因为2 (,)r t dr ψ只表示在 r r dr →+中的概率而不代表在 P P dP →+中找到粒子的概率。要计算P ，应该先找到在t 时刻，在P P dP →+中找 到粒子的概率2 (,)C P t dP ，这相当于对(,)r t ψ作傅里叶变化，而(,)C r t 有公式 给出。动量p 的平均值可表示为 但前述做法比较麻烦，下面我们将介绍一种直接从(,)r t ψ
量子力学第三章算符
第三章 算符和力学量算符 算符概述 设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为： ?Fu v = （） ? F 称为算符。u 与v 中的变量可能相同，也可能不同。例如，11du v dx =，22xu v =3 v =， (,) x t ?∞ -∞ ，(,)x i p x h x e dx C p t -=，则d dx ，x dx ∞ -∞ ，x i p x h e -?都是算符。 1．算符的一般运算 （1）算符的相等：对于任意函数u ，若??Fu Gu =，则??G F =。 （2）算符的相加：对于任意函数u ，若???Fu Gu Mu +=，则???M F G =+。算符的相加满足交换律。 （3）算符的相乘：对于任意函数u ，若???FFu Mu =，则???M GF =。算符的相乘一般不满足交换律。如果????FG GF =，则称?F 与?G 对易。 2．几种特殊算符 （1）单位算符 对于任意涵数u ，若?I u=u ，则称?I 为单位算符。?I 与1是等价的。 （2）线性算符 对于任意函数u 与v ，若**1212 ???()F C u C v C Fu C Fv +=+，则称?F 为反线性算符。 （3）逆算符 对于任意函数u ，若????FGu GFu u ==则称?F 与?G 互为逆算符。即1??G F -=，111??????,1F G FF F F ---===。 并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。 对于非齐次线性微分方程：?()()Fu x af x =，其中?F 为d dx 与函数构成的线性算符，a 为常数。
第三章-表示力学量的算符-习题范文
第三章 表示力学量的算符 第一部分；基本思想与基本概念题目 1. 举例说明算符与它表示力学量之间的关系。 2. 如何理解力学量完全集？ 3. 守恒量有哪些特征？ 4. 量子力学中的守恒量与经典力学守恒量有何区别？ 5. 如何构造力学量算符？ 6. 若ψ1与ψ2是力学量F 属于同一本征值λ的两个不同本征函数，则ψ＝C 1ψ1＋C 2ψ2（C 1，C 2是任意常数）是否仍是F 的本征函数。 7. 设[?，?]＝0，则力学量?和?是否一定可同时确定？ 8. 设[?，?]≠0，则力学量?和?是否一定不可同时确定？ 9. 试述│C n │2的物理意义。 10. 对于氢原子哪些力学量组成力学量完全集？ 11. 对氢原子n ，l ，m 这三个量子数分别决定哪些力学量？ 12. 线性谐振子的能量是守恒量，那它能否处于能量没有确定值的状态？举例说明。 13. t ＝0时，粒子处于力学量F 的 本征态，则在t 时刻它是否处于该本征态？ 14. 2?L 的本征态是否一定是 ?z L 的本征态？举例说明。 15. ?z L 的本征态是否一定是2?L 的本征态？ 16. 当氢原子处于ψnlm （r ，θ，φ）＝R nl （r ）Y lm （θ，φ）态时，哪
些力学量可同时确定，其值分别是多少？ 17. 若[?，?]＝0，则粒子是否一定处于A 和B 两力学量的共同本征态？ 第二部分：基本技能训练题 1. 证明厄密算符的平均值都是实数（在任意态） 2. 判断下列等式是否正确 12???() () E H T U (3) H E T U H T U =+==+==+ 3. 设ψ（x ）归一化，｛?k ｝是 ?F 的本征函数，且 ()()k k k x C x ψ?=∑ （1） 试推导C k 的表达式。 （2） 求证力学量在ψ（x ）态的平均值 2 k k k F C F =∑。 （3） 说明|C k |2的物理意义。 4. 一维谐振子处于基态ψ0（x ）态，求该态中 （1） 势能的平均值221 2 U x μω= （2） 动能的平均值2 2p T μ = （3） 动量的几率分布。 5. 氢原子处于 (,,)r a r ψθ?- = 态，求 （1） r 的平均值。 （2） －e 2/r 的平均值
力学量算符之间的对易关系 - 屏幕长和宽
力学量算符之间的对易关系 讨论微观态ψ中某一力学量F 时，总是以∧ F 的本征质谱作为力学量F 的可能值。若我们同时观测状态ψ中的一组不同力学量 ,, G F ，将会得到什么结果呢？这一讲我们主要讨论这个问题。主要内容有： 一个关系：力学量算符之间的对易关系 三个定理?? ? ??力学量守恒定理不确定关系逆定理）共同本征态定理（包括 1 算符之间的对易关系 1.1 算符的基本运算关系 （1）算符之和：算符∧ F 与∧ G 之和∧ ∧+G F 定义为 ψψψ∧ ∧∧∧+=+G F G F )( （1） ψ为任意函数。一般∧ ∧ ∧ ∧ +=+F G G F ，例如粒子的哈密顿算符)()(22 r U T r U p H +=+=∧∧∧ μ 是 动能算符∧ T 与势能算符)(r U 之和。 （2）算符之积：算符∧ F 与∧ G 之积定义为 )()(ψψ∧ ∧∧∧=G F G F （2） 显然，算符之积对函数的作用有先后作用次序问题，一般不能颠倒，即∧ ∧∧ ∧≠F G G F 常记为 ∧ ∧ ∧ ∧≠-0F G G F （3） n 个相同算符∧F 的积定义为算符∧ F 的n 次幂 例如 dx d F =∧ ，则 222dx d F =∧，n n n dx d F =∧ 。 为了运算上的方便，引入量子括号 ∧ ∧∧∧∧∧-=??????F G G F G F , （5） 若 0,≠?? ? ???∧∧G F （6） 称算符∧F 与∧G 是不对易的（不能交换位臵），即∧ ∧∧∧≠F G G F 。
若 0,=?? ? ???∧∧G F （7） 称算符∧F 与∧G 是对易的，即∧ ∧∧∧=F G G F 。 下面几个经常使用的对易关系，请自行证明。 ?????????+=+=+=+-=∧∧∧∧∧∧∧ ∧∧∧ ∧∧∧∧∧∧ ∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧ ∧) 11(],[],[],[)10(],[],[],[)9(] ,[],[],[)8(],[],[G M F M G F M G F M G F M F G M G F M F G F M G F F G G F 1.2 坐标算符与动量算符的对易关系 坐标算符是乘数因子，相互对易 []0],[0],[0 ,===x z z y y x （12） 动量算符是微分算符，因为 x y y x ???= ???2 2 ，则 0,0,0 ,=?? ? ???=?? ? ???=?? ? ???∧∧∧∧∧∧x z z y y x p p p p p p （13） 坐标算符与动量算符：设ψ为任意函数 ?? ??? ?? --=??-=??-=∧∧ψ ψψψψψx x i i x x i x p x x i p x x x )( 比较后可得 ψψψ i x p p x x x =-∧ ∧，即 i p x x =??? ???∧, （14a ） 但是 0,0 ,=?? ? ???=?? ? ???∧∧z y p x p x （14b ） 同理可得坐标算符与动量算符的其它对易关系式，可概括为 ij j i i p x δ =?? ? ???∧ , (14c) 其中 ),,()3,2,1(z y x i x i ≡== ),,()3,2,1(∧ ∧∧∧≡=z y x j p p p j p ※坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系，其它力学量的对易关系均可由 此导出。 1.3 角动量算符的对易关系
1.7-量子力学中的算符和力学量
算符即运算规则算符即运算规则。。它作用在一个函数ψ(x)(x)上即是对上即是对ψ(x)(x)进行某进行某 种运算种运算，，得到另一个函数?(x) §1.7 1.7 量子力学中的力学量和算符量子力学中的力学量和算符 例： )()(?x x F ?ψ=)()(?x xf x f x =)()(?x f x f I =dx d D = ?1、定义
2、乘法与对易 算符的乘法一般不服从交换律: )?(??ψψB A B A ≡A B B A ????≠例如:
则算符的对易式可记为则算符的对易式可记为：：若对任意若对任意ΨΨ，都有： 则称 和 对易: 引入记号: ψψA B B A ????=A ?B ?]?,?[????B A A B B A ≡?0]?,?[=B A I x D ?]?,?[=h i p x x =]?,?[易证:
可定义算符的可定义算符的n n 次方为： A A A A n ???????=可定义算符的多项式和算符的函数可定义算符的多项式和算符的函数。。例如：
3、线性算符 设C 1, C 2为常数为常数，，若算符满足： 则称其为线性算符则称其为线性算符。。 量子力学态叠加原理要求力学量算符必须是线性算符 例如例如，，下列算符为线性算符下列算符为线性算符：： 2 2112211??)(?Ψ+Ψ=Ψ+ΨF C F C C C F x p H y x x ?,?,,2 ??? ??
算符的本征值方程:4、本征函数本征函数、、本征值 λ为算符 的本征值的本征值，，为算符 的本征值为λ的本征函数的本征函数。。 例如，e 2x 是微商算符的本征函数： )()(?x x F λψψ=)(x ψF ?F ?F ?
波函数和薛定谔方程-力学量算符
波函数和薛定谔方程-力学量算符1．一维运动的粒子处在 的状态，其中，求： （1）粒子动量的几率分布函数； （2）粒子动量的平均值。 [解]首先将归一化，求归一化系数A。 （1）动量的几率分布函数是 注意到中的时间只起参数作用，对几率分布无影响，因此可有 令 代入上式得
（2） 动量p的平均值的结果从物理上看是显然的，因为对本题说来，粒子动量是和是的几率是相同的。讨论： ①一维的傅里叶变换的系数是而不是。 ②傅里叶变换式中的t可看成参变量。因此，当原来坐标空间的波函数不含时间变量时， 即相当于的情况，变换式的形式保持不变。 ③不难证明，若是归一化的，则经傅里叶变换得到也是归一化的。 2．设在时，粒子的状态为 求粒子动量的平均值和粒子动能的平均值。 [解]方法一：根据态迭加原理和波函数的统计解释。任意状态总可以分解为单 色平面波的线性和，即，展开式的系数表示粒子的动量为p时的几率。知道了几率分布函数后，就可按照 求平均值。
在时，动量有一定值的函数，即单色德布罗意平面波为，与的展开式比较可知，处在状态的粒子动量可以取 ，而， 粒子动量的平均值为 A可由归一化条件确定 故 粒子动能的平均值为 。 方法二：直接积分法
根据函数的性质，只有当函数的宗量等于零时，函数方不为零，故的可能值有 而 则有及。 讨论：①由于单色德布罗意平面波当时不趋于零，因此的归一化积分是发散的，故采用动量几率分布的概念来求归一化系数。 ②本题的不是平方可积的函数，因此不能作傅氏积分展开，只能作傅氏级数展 开，即这时对应于波函数的是分立谱而不是连续谱，因此计算积分， 得到函数。 ③在连续谱函数还未熟练以前，建议教学时只引导学生按方法一做，在第三章函 数讲授后再用函数做一遍，对比一下，熟悉一下函数的运算。 3．一维谐振子处在 的状态，求： （1）势能的平均值； （2）动量的几率分布函数； （3）动能的平均值 [解]先检验是否归一化。 是归一化的。 （1）
自主学习01 教材内容 第三章 力学量与算符
自主学习01 教材内容 第三章力学量与算符 知识框架重点难点第一节第二节第三节第四节 第五节第六节第七节第八节本章习题本章自测
重点难点
通过本章的学习，应使学生掌握量子力学中的力学量用算符表示的基本原理， 表示力学量的算符，动量算符和角动量算符，厄米算符本征函数的正交性，算符与力学量的关系，算符的关系，两力学量同时有确定值的条件，不确定性关系，力学量平均值随时间的变化，守恒定律，掌握力学量随时间的演化规律。 §3.1 力学量的平均值，力学量用算符表示 [本节要求] 理解力学量的平均值的概念，掌握力学量的算符表示 [重点难点] 力学量的算符表示 [本节内容] 粒子处于波函数 )(r ψ所描述的状态下,虽然不是所有的力学量都有确定的观测值,但它们都有确定 的几率分布,因而有确定的平均值. 粒子处于归一化状态 )(r ψ,其位置坐标的几率密度为ψψ*.这样,位置坐标的平均值为 ()()()()x d r r r x d r r r r 33 ψψ ψψ ??* * == (1) 波长是用以刻画波动在空间变化快慢的,是属于整个波动的量.因此,“空间某一点的波长”的提法是没有意义的.再根据德布罗意关系式p=h/λ,“微观粒子在空间某点的动量”的提法也是没有意义的.因此, 不能像求位置的平均值那样求动量的平均值.按前面所述,给定波函数)(r ψ后,测得粒子的动量在p 到p d p +之间的几率为 p d p 3 2 )( ?,其中 x d e r p r p i 32 3)() 2(1)( ?-?∞ -∞ += ψπ? (2) 其逆变换为 ()()()p d r p i e p r 32 321 ?∞+∞ -?= ?πψ (3)
力学量用算符表示
第四章：力学量用算符表示 [1]设[])(,,q f ih p q =是q 的可微函数，证明下述各式：[一维算符] （1）[ ] .2)(,2 hipf q f p q = （证明）根据题给的对易式及[];0)(,=q f q []qf p f qp fq p f qp f p q 2222 2 ,-=-= f ih qp p qppf f pq p qppf )()(--=-= hipf pf hi pq qp 2)(=+-= （2）)(])(,[pf fq ih p q pf q += （证明）同前一论题 )(],[hi qp pf qpfp pfpq qpfp pfp q --=-= hipf pqfp qpfp hipf pfpq qpfp +-=+-= )()(pf fp hi hipf fp pq qp +=+-= （3）ihfp p q f q 2])(,[2 = [证明]同前一题论据： fppq fqpp fppq qfpp fp q -=-=],[2 hifp fpqp fqpp hi qp fp fqpp +-=--=)( hifp hifp p pq qp f 2)(=+-= （4）i f p i h q f p p 22 )](,[= [证明]根据题给对易式外，另外应用对易式 i f i h q f p = )](,[ dq df f i ≡)( )(],[2222fp pf p fp p f p f p p -=-= 物83-309蒋 ~80~
i f p i h f p p 22],[= = （5）p pf i h p q pf p i = ])(,[ （证明）论据同（4）： p fp pf p pfp fp p pfp p )(],[22-=-= p pf i h i = （6）2 2 ])(,[p f i h p q f p i = （证明）论据同（4）： 2 2222)(],[p f i h p fp pf fp pfp fp p i = -=-= (2)证明以下诸式成立： (1) (证明)根据坐标分角动量对易式 为了求证 该矢量关系式，计算等号左方的矢量算符的x 分量。 以及 看到 由于轮换对称性，得到特征的公式。 ~81~
浅谈力学量算符
姓 名:__刘 珺__ 学 号:_06 专业班级:_2009级物理学二班 摘 要：由于微观粒子具有波粒二象性，所以在计算中必须采用新的方式来表示微观粒子的力学量——算符。本文简单叙述关于力学量算符的基本理论并详细说明了两种基本的力学量算符。 关键字：力学量算符；对易；本征值；动量算符；角动量算符 1. 引言 1923年，法国物理学家德布罗意于提出微观粒子具有波粒二象性的假说。 德布罗意认为：正如光具有波粒二象性一样，实体的微粒(如电子、原子等)也具有这种性质，即既具有粒子性也具有波动性。这一假说不久就为实验所证实。 由于观粒子具有波粒二象性，微观粒子所遵循的运动规律就不同于宏观物体的运动规律，描述微观粒子运动规律的量子力学也就不同于描述宏观物体运动规律的经典力学。 量子力学与经典力学的差别首先表现在对粒子的状态和力学量的描述及其变化规律上。在量子力学中，粒子的状态用波函数描述，它是坐标和时间的复函数。当微观粒子处于某一状态时，它的力学量(如坐标、动量、角动量、能量等)一般不具有确定的数值，而具有一系列可能值，每个可能值以一定的几率出现。当粒子所处的状态确定时，力学量具有某一可能值的几率也就完全确定。在描述力学量时，便引入了力学量算符。2. 力学量算符基本概念 算符及其运算规则 （一）算符的定义： 算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号。 我们通常用上方加“∧”的字母来表示算符，例如： i x dx d P F ,3,,,, ,∧ ∧ 。算符作 用在一个函数u 上，使之变成另一个新的函数v ，例如：v dx du v u F ==∧ , ，dx d 是 微商算符。 （二）算符的运算规则： 1.算符相等：如果u u Q P ∧ ∧ =，则Q P ∧ ∧ =。
力学量的算符表示
第三章 力学量的算符表示 1．如果算符α?、β?满足条件1????=-αββα ， 求证：βαββα?2????22=-， 233?3????βαββα=-， 1?????-=-n n n n βαββα [证] 利用条件1????=-αββα，以β?左乘之得 βαββαβ??????2=- 则有 βαβββα????)1??(2=-- 最后得 βαββα?2????22=-。 再以β? 左乘上式得 222?2)????(?βαββαβ=-， 即232?2?????βαββαβ=- 则有 233?3????βαββα=- 最后得 233?3??βαββα=- 应用数学归纳法可以证明 1?????-=-n n n n βαββα： 先设 211?)1(???----=-n n n n βαββα 成立， 以β? 左乘上式得 11?)1(?????---=-n n n n βαββαβ 则有 11?)1(???)1??(---=--n n n n βαβββα 最后得 1?????-=-n n n n βαββα 2．证明 {}+ ++ )???()???(2 1 2 1n n M M M L L L {} ++=++-+++-+)???()???(11 11 M M M L L L m m n n [证] 应用+ + + ++A B B A ?? )??( 及 ++++=+B A B A ??)??(， 则 ====+-+-++-++ )???(??)???(?)???(21112121n n n n n n L L L L L L L L L L L L +++-+=1 21 ????L L L L n n 同理可证 ++-++=1121???)???(M M M M M M m m m 则 { }{} ++=+++++)???()???()???()???(21212121m n m n M M M L L L M M M L L L { } ++=++-+++-+)???()???(1 111M M M L L L m m n n 3．若算符L e ?满足
波函数和薛定谔方程-力学量算符
波函数和薛定谔方程-力学量算符 1．一维运动的粒子处在 的状态，其中，求： （1）粒子动量的几率分布函数； （2）粒子动量的平均值。 [解]首先将归一化，求归一化系数A。 （1）动量的几率分布函数是 注意到中的时间只起参数作用，对几率分布无影响，因此可有 令 代入上式得 （2） 动量p的平均值的结果从物理上看是显然的，因为对本题说来，粒子动量是和是的几率是相同的。讨论： ①一维的傅里叶变换的系数是而不是。 ②傅里叶变换式中的t可看成参变量。因此，当原来坐标空间的波函数不含时间变量时， 即相当于的情况，变换式的形式保持不变。
③不难证明，若是归一化的，则经傅里叶变换得到也是归一化的。 2．设在时，粒子的状态为 求粒子动量的平均值和粒子动能的平均值。 [解]方法一：根据态迭加原理和波函数的统计解释。任意状态总可以分解为单色平面波的线性和，即，展开式的系数表示粒子的动量为p时的几率。知道了几率分布函数后，就可按照 求平均值。 在时，动量有一定值的函数，即单色德布罗意平面波为，与的展开式比较可知，处在状态的粒子动量可以取 ，而，粒子动量的平均值为 A可由归一化条件确定 故 粒子动能的平均值为 。 方法二：直接积分法
根据函数的性质，只有当函数的宗量等于零时，函数方不为零，故的可能值有 而 则有及。 讨论：①由于单色德布罗意平面波当时不趋于零，因此的归一化积分是发散的，故采用动量几率分布的概念来求归一化系数。 ②本题的不是平方可积的函数，因此不能作傅氏积分展开，只能作傅氏级数展开，即 这时对应于波函数的是分立谱而不是连续谱，因此计算积分，得到函数。 ③在连续谱函数还未熟练以前，建议教学时只引导学生按方法一做，在第三章函数讲 授后再用函数做一遍，对比一下，熟悉一下函数的运算。 3．一维谐振子处在 的状态，求： （1）势能的平均值； （2）动量的几率分布函数； （3）动能的平均值 [解]先检验是否归一化。 是归一化的。 （1） . 其中应用及 （2）由于是平方可积的，因此可作傅氏变换求动量几率分布函数
372-关于力学量算符本征函数的正交归一性
关于力学量算符本征函数的正交归一性 一、余雷，力学量算符本征函数的正交归一性，贵州师范大学学报(自然科学版)，1998年第16卷第1期 量子力学中关于力学量的基本假设要求： 设某力学量用算符A ?表示，则 n n n a A ??=?（分立谱） （1） a a a A ??=?（连续谱） （2） 1 力学量用线性厄米算符表示； 2 表示力学量算符的本征函数构成完全集，即任一波函数ψ可用力学量算符A ?的本征函数n ?或a ?展开： n n n c ?ψ∑= （3） da a c a ?=?ψ)( （4） 3 几率描述： 在（3）或（4）的ψ态中测力学量A 所得的值必在（1）的n a 或（2）的a 之内。若ψ、n ?、a ?均是归一化的，则在（1）中测得A 的值为n a 的几率为2 n c ；在（4）中测A 得的值在da a a +→内的几率为da a c 2)( 同一力学量算符的线性无关的本征函数的归一化系数一般不同。 例如，一维线性谐振子的能量算符的本征函数的归一化系数n N 与量子数n 有关；轨道角动量平方算符、轨道角动量第三个分量算符的共同本征函数的归一化系数与量子数 和m 有关；当然，也有例外，如一维无限深势阱能量算符的本征函数 ?????<+>=a x a x a n A a x x n n )(2sin 0)(πψ
其归一化系数a A n 1=，所有线性无关的本征函数的归一化系数相同。 又如，轨道角动量第三个分量算符的本征函数??ψim m m e A =)(的归一化系数为π 21=m A ，也是所有线性无关的本征函数的归一化系数相同；再有，动量分量算符的所有线性无关的本征函数的归一化系数相同。 ● 力学量算符线性无关的本征函数并不全部正交 力学量算符是厄米算符，厄米算符具有属于不同本征值的本征函数正交的重要性质，而对于同一本征值的多个线性无关的本征函数（有简并情况）并不一定正交。此时，对属于同一本征值的多个线性无关的本征函数，可以把它们线性叠加为个数相同的线性无关且相互正交的本征函数。正交化方法很多，常用的方法是选择一组力学量，这组力学量算符间两两对易，它们的本征值能对简并的本征函数分类，此时，正交性问题自动得到解决。 ● 力学量算符本征函数的正交归一性是力学量几率描述假设的要求 几率描述假设要求力学量算符的本征函数正交 几率描述假设要求力学量算符的本征函数是归一化的