例谈分类讨论的类型及解题策略

例谈分类讨论的类型与解题策略

湖南中方县第一中学（418005）杨自西

在解答某些数学问题时，有时会有多种情况，对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合求解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。本文就分类讨论的若干类型及解法作一总结，供参考.

1．数学中的某些概念、定理、性质、法则、公式是分类定义或分类给出的，在运用它们时要进行分类讨论.

例1. 设00且a≠1，比较|log a (1－x)|与|log a (1＋x)|的大小.

分析： 对数函数的性质与底数a 有关，可分两类讨论.

解： ∵ 01

当00;

当a>1时，|log a (1－x)|－|log a (1＋x)|＝- log a (1－x)- log a (1＋x)=- log a (1－x 2)>0 由①、②可知，|log a (1－x)|>|log a (1＋x)|.

例2. 已知集合A 和集合B 各含有12个元素，A∩B 含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C 的个数： ①. C ?A ∪B 且C 中含有3个元素； ②. C∩A≠φ .

分析： 由已知并结合集合的概念，C 中的元素分两类：①属于A 元素；②不属于A 而属于B 的元素。并由含A 中元素的个数1、2、3,而将取法分三种.

解：C 121·C 82＋C 122·C 81＋C 123·C 80＝1084.

另解：（排除法）： C 320- C 012·C 3

8=1084.

评注：本题是“包含与排除”的基本问题，正确地解题的前提是正确分类，达到分类完整及每类互斥的要求.并且要确定C 中元素如何取法.

2．研究含参数的函数、方程、不等式等问题，由参数值的“量变”而导致结果发生“质变”，因而也要进行分类讨论.

例3．(2003年北京西城模拟试题)解关于x 的不等式ax 2-2≥2x-ax(a ∈R).

分析： 含参的一元不等式的解集问题，先讨论二次项系数，再对开口方向讨论，再对其两根大小进行分类讨论.

解:原不等式可化为? ax 2+(a-2)x-2≥0,

(1)a=0时，x ≤-1，即x ∈(-∞,-1].

(2)a ≠0时，不等式即为(ax-2)(x+1)≥0.

① a>0时， 不等式化为0)1)(2(≥+-x a

x ， 当?????->>120a a ，即a>0时，不等式解为),2[]1,(+∞--∞a . 当?????-≤>120a

a ，此时a 不存在. ② a<0时，不等式化为0)1)(2(≤+-x a

x ， 当?????-<<120a

a ，即-2<120a

a ，即a<-2时，不等式解为]2,1[a -. 当?????-=<120a

a ，即a=-2时，不等式解为x=-1.

综上: a=0时，x ∈(-∞,-1)； a>0时，x ∈),2[]1,(+∞--∞a

； -2

-； a=-2时，x ∈{x|x=-1}. 评述:本题分类讨论后采用分列式归纳结论，即针对变量分类讨论的，且在不同条件下问题有不同的结论，归纳结论时应采用分列式.

例4．（2002年全国高考试题）设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈

（1）讨论)(x f 的奇偶性；（2）求)(x f 的最小值.

解：（1）略;（2）（i ）当a x ≤时，43)21(1)(22+

+-=++-=a x a x x x f . 当2

1≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=a a f ． 若21>a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=43)21(，且)()2

1(a f f ≤． （ii ）当a x ≥时，函数4

3)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f 若21-≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f -=-4

3)21(，且)()2

1(a f f ≤-

若2

1-

>a ，则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2+=a a f ． 综上，当21-≤a 时，函数)(x f 的最小值为a -4

3; 当2

121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a ; 当21>a 时，函数)(x f 的最小值为a +43． 评述: 分类讨论的的原则:①不重复;②不遗漏;③分层次，不越级讨论.含参问题，结合参数的意义及对结果的影响而分类讨论.

3．在研究几何问题时，由于图形的变化（图形位置不确定或形状不确定），引起问题结果有多种可能，就需要对各种情况分别进行讨论.

例5．设一双曲线的两条渐近线方程为2x-y+1=0, 2x+y-5=0，求此双曲线的离心率. 分析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解.

解:（1）当双曲线的焦点在直线y=3时，双曲线的方程可改为1)3()1(22

2=---b

y a x ，一条渐近线的斜率为2=a

b ， ∴ b=2.∴ 555222==+==a a a b a

c e . （2）当双曲线的焦点在直线x=1时，仿（1）知双曲线的一条渐近线的斜率为

2=b a ，此时2

5=e . 综上（1）（2）可知，双曲线的离心率等于255或

. 例6.已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值，分别指出方程

所代表图形的类型，并画出曲线简图.

分析：由圆、椭圆、双曲线等方程的具体形式，结合方程kx 2＋y 2＝4的特点，对参数k 分k>1、k ＝1、0

解：由方程kx 2＋y 2＝4，分k>1、k ＝1、01时，表示椭圆，其中心在原点，焦点在y 轴上，a ＝2，b ＝

2k

; ② 当k ＝1时，表示圆，圆心在原点，r ＝2； ③ 当0

，b ＝2； ④ 当k ＝0时，表示两条平行直线 y ＝±2；

⑤ 当k<0时，表示双曲线，中心在原点，焦点在y 轴上.

所有五种情况的简图依次如下所示：

y y y y y

后，找出满足条件的条件或结论.

4．含有特殊元素或特殊位置的排列组合问题，其解题的基本策略，就是按照特殊元素或特殊位置的特征进行恰当的划分，转化为最基本、最简单的排列组合问题，然后结合加法原理或乘法原理完成解答.

例7．（1999年全国高考题）在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B 两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有种.

解：分类讨论：（1）先考虑作物A种植在第一垄时，作物B有3种种植方法；（2）再考虑作物A种植在第二垄时，作物B有2种种植方法；（3）又当作物A种植在第三垄时，作物B有1种种植方法。而作物B种植的情况与作物A相同，故满足条件的不同选垄方法共有（3+2+1）×2＝12种.

评注：由以上可以得知：分类讨论的方法步骤：明确讨论对象，确定对象的全体→确定分类标准，正确进行分类→逐步进行讨论，获取阶段性结果→归纳小结，综合得出结论.