二阶线性微分方程解的结构
附录A 线性常微分方程
本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系，因此在本附录里，我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。
把包含未知函数和它的j 阶导数()j y
(的方程称为常微分方程。线性常微分方程的标准形式
()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++=L （A.1） 其中n 称为方程的阶数，()j p x 和()f x 是给定的函数。可微函数()y y x =在区间 I 上满足方程（A.1），则称其为常微分方程（A.1）在 I 上的一个解。，()f x 称为方程（A.1）的自由项，当自由项()0f x ≡时方程（A.1）称为是齐次方程，否则称为非齐次方程。一般来说常微分方程的解是不唯一的，我们将方程的全部解构成的集合称为解集合，解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解，而某个给定的解称为方程的特解。
在本附录里，我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。
A.1 一阶线性常微分方程
一阶线性常微分方程表示为
'()()y p x y f x x I +=∈，. （A.2） 当()0f x ≡，方程退化为
'()0y p x y +=, （A.3） 假设()y x 不恒等于零，则上式等价于 而()'ln 'y y y
=，从而（A.3）的通解为 ()d ()p x x y x Ce -?= （ A.4）
对于非齐次一阶线性常微分方程（A.2），在其两端同乘以函数()d p x x e ?
注意到上面等式的左端
因此有
两端积分
其中C 是任意常数。进一步有
综上有如下结论
定理A.1 假设()()p x f x I 和在上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的通解具有如下形式
()d ()d ()d ()()d p x x p x x p x x y x Ce e e f x x --?
??=+?‘ （A.5）
其中C 是任意常数。
观察（A.4）式和（A.5）式，我们发现一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的解等于
一阶线性齐次常微分方程（ A.2）的通解()d p x x Ce -?加上函数()d ()d *()()d p x x p x x y x e e f x x -??=?。容易验证，*()y x 是方程（A.1）的一个特解。这符合线性方程解的结构规律。
例1 求解一阶常微分方程
解 此时()2()1p x f x =-=，,由（A.5）式，解为
其中C 是任意常数。
A.2 二阶线性常微分方程
将具有以下形式的方程
"()'()()y p x y q x y f x x I ++=∈，， （A.6） 称为二阶线性常微分方程，其中(),(),()p x q x f x 都是变量x 的已知连续函数。称
"()'()0y p x y q x y x I ++=∈，， （A.7） 为与（A.6）相伴的齐次方程.
A ．2．1 二阶线性微分方程解的结构
首先讨论齐次方程（A.7）解的结构。
定理 A.2 如果函数12()()y x y x 与是线性齐次方程（A.7）的两个解，则函数1122()()y c y x c y x =+仍为该方程的解，其中12,c c 是任意的常数。
定理1 说明齐次线性常微分方程（A.7）的解如果存在的话，一定有无穷多个。为了说明齐次线性常微分方程（A.7）通解的结构，首先给出函数线性无关的定义。
定义A.1设函数12(),(),,()n y x y x y x L 是定义在区间I 上的n 个函数，如果存在n
个不全为零的常数12,,n k k k L ，
，使得1122()()()0n n k y x k y x k y x ++=L 在区间I 上恒成立，则称函数12(),(),,()n y x y x y x L 在区间上线性相关，否则称为线性无关。
例如函数221cos ,sin x x ，在整个数轴上是线性相关的，而函数x x e e -和在任何区间(,)a b 内是线性无关的。
特别的，对于两个函数的情形，它们线性相关与否，只需要看它们的比值是否为常数即可，比值为常数，那么它们线性相关，否则线性无关。
有了函数线性无关的概念，就有如下二阶线性齐次微分方程（A.7）通解结构的定理。 定理A.3假设线性齐次方程（A.7）中，函数()()p x q x 与在区间I 上连续，则方程（A.7）一定存在两个线性无关的解。
类似于代数学中齐次线性方程组，二阶线性齐次常微分方程的解集合也存在基础解系。
定理 A.4 若12()()y x y x 与是二阶线性齐次常微分方程（A.7）的两个线性无关的特解，则1122()()y c y x c y x =+是该方程的通解，其中12,c c 是任意的常数。
从定理A.4可以看出二阶线性齐次常微分方程（A.7）的任何两个线性无关的特解构成其基础解系。
关于二阶线性非齐次常微分方程（A.6）的通解，有如下结论
定理 A.5 若函*()y x 是方程（A.6）的一个特解，()Y x 是方程（A.6）相伴的齐次方程的通解，则()()*()y x y x Y x =+是二阶线性非齐次常微分方程（A.6）的通解。
从定理A.4,A.5可以得到求解二阶线性非齐次常微分方程（A.6）的通解的一般步骤：
（１）求解与（A.6）相伴的齐次方程（A.7）的线性无关的两个特解12()()y x y x 与，得该
齐次方程的通解1122()()()Y x c y x c y x =+；
（２）求二阶线性非齐次常微分方程（A.6）的一个特解*()y x ，那么方程（A.6）的通解
为()()*()y x y x Y x =+
对于一些相对复杂的问题，如下的线性微分方程的叠加原理是非常有用的。
定理A.6 设二阶线性非齐次常微分方程为
12"()'()()()y p x y q x y f x f x ++=+, （A.8） 且12*()*()y x y x 与分别是
和
的特解，则12*()*()y x y x +是方程（A.8）的特解。
A ．2．1 二阶常系数线性常微分方程的解法
如果二阶线性常微分方程为
"'()y py qy f x ++=, （A.9） 其中,p q 均为常数，则称为二阶常系数线性常微分方程。以下分两种情形讨论方程（A.9）的解法。
一、二阶常系数线性齐次方程的解法
此时问题为
"'0y py qy ++=, （A.10） 考虑到方程中的系数,p q 均为常数，可以猜想该方程具有形如rx
y e =的解，其中r 为待定常数，将'rx y re =和2"rx y r e =‘及rx y e =代入方程"'0y py qy ++=得， 2()0rx e r pr q ++=,
由于0rx e ≠，因此，只要r 满足方程
20r pr q ++=, (A.11)
即只要r 是上述一元二次方程的根时，rx
y e =就是（A.10）的解，方程(A.11)称为方程(A.10)的特征方程，它的根称为特征根。关于特征方程(A.11)的根与微分方程(A.10)的解的关系有如下结论。
１． 特征方程具有两个不相等的实根12r r 与，即12r r ≠。 此时函数1212()()r x r x
y x e y x e ==和都是微分方程(A.10)的解，且因1212r r x y e y -=≠（）常数，所以12()()y x y x ，线性无关，因而常微分方程的通解为
1212()r x r x y x c e c e =+.
２． 特征方程具有两个相等的实根，即122p r r ==-
。 这时函数11()r x y x e =是微分方程(A.11)的一个特解，还需另找一个与之线性无关的特
解2()y x 。为此设21()()()y x u x y x =，其中()u x 为待定的函数，将2()y x 及其一、二阶导数代入方程(A.10)得，
12111["(2)'()]0r x e u r p u r pr q u +++++=， 注意到12
p r =-是特征方程的根，且10r x e ≠，因此只要()u x 满足"()0u x =“，则12()()r x y x u x e =就是微分方程(A.10)的解。特别地取12()r x y x xe =，此时微分方程(A.11)的通解为
1111212()()r x r x r x y x c e c xe c c x e =+=+.
３． 特征方程具有一对共轭复根，12r i r i αβαβ=+=-与。
这时两个线性无关的特解()()12i x i x y e y e αβαβ+-==与是两个复数解。为了便于在实数
范围内讨论问题，我们再构造两个线性无关的实数解。由欧拉公式cos sin ix
e x i x =+，可得 1(cos sin )x y e x x αββ=+，2(cos sin )x y e x x αββ=-,
于是由定理１知，函数
121cos 2x e x y y αβ=+（），121sin 2
x e x y y αβ=-（） 是微分方程(A.10)的解，容易验证它们线性无关，所以这时方程的通解可以表示为
12()(cos sin )x y x e c x c x αββ=+ .
上述求解二阶常系数线性齐次方程的方法称为特征根法，其具体步骤可总结如下 （１）写出所给微分方程的特征方程；
（２）求出特征根；
（３）根据特征根的三种不同情况求得对应的特解，并写出其通解。
例2 求解二阶齐次常微分方程
（1）"0y y -=； （2）"0y y +=.
解
(1) 特征方程为210r -=，其根为121r =±，所以微分方程的两个线性无关的解为12(),()x x y x e y x e -==，所以通解可以表示为12()x x y x c e c e -=+。又
cosh ,sinh 22
x x x x
e e e e x x --+-==，因而cosh sinh x x 和也是微分方程的解，并且它们也是线性无关的，因此也可以构成微分方程的基础解系，即方程的通解也可以表示为
12()cosh sinh y x c x c x =+，这种表示方法在讨论某些问题时更加方便。
(2) 特征方程为2
10r +=，其根为12r i =±，所以微分方程的两个线性无关的解为12()cos ,()sin y x x y x x ==，所以通解可以表示为12()cos sin y x c x c x =+。
在实际应用中，我们经常遇到带有一些条件的微分方程，如
"4,(0)0,'(0)1x y y e y y +===或"23sin 2,(0)0,(1)0y y y x y y +-===‘
等，这些问题称为初值问题或边值问题。
例3 求方程"4'40y y y -+=的满足初始条件(0)1,'(0)4y y ==的特解
解 "4'40y y y -+=的特征方程为2
440r r -+=，有重根2r =，其对应的两个线性无关的特解为 2212()()x x y x e y x xe ==，,
所以通解为
212()()x y x c c x e =+,
求导得
22212'()2()x x y x c xe c c x e =++‘,
将(0)1,'(0)4y y ==代入以上两式得
121124
c c c =??+=?, 解之得1212c c ==，，即得初值问题为
2()(12)x y x x e =+.
例4 求含参数方程"0y y λ+=（λ为实数）满足边界条件(0)0,'()0y y l ==的特解。 解 微分方程的特征方程为2
0r λ+=，λ为实数，分以下三种情形进行讨论：
① 当0<λ时，
特征方程有两个互不相等的实根12r =此时微分方程的两个线性无关
的特解为12(),()y x y x e ==，因此其通解为
12()y x c c e =+,
其中12,c c 是任意常数。由条件(0)0,'()0y y l ==, 得
12120
c c c c e +=???-=??, 解之得, 120c c ==, 从而()0y x ≡，也即方程没有非零解。
② 当0=λ时，方程退化为''0X =，其特征方程有两个相等的实根120r =，此时微分方程
的两个线性无关的特解为12()1,()y x y x x ==，因此其通解为
00()X x c d x =+.
其中00,c d 是任意常数（当然这个通解也可以直接由''0X =积分两次得到）。
由条件(0)0,'()0y y l ==, 得0000c d ==，，此时，方程没有非零解。
③ 当0>λ
时，特征方程有两个互为共轭的复根12r =，于是微分方程的两个线性无
关的特解为12(),()y x y x ==，因此其通解为
12()y x c c =+,
其中12,c c 是任意常数。代入边界条件，得
120)0c c c ?=?-+=,
0≠，所以10c =
，故10c =，要使()y x 不恒等于零，须20c ≠，因此
必有0=
1π,0,1,2,2n n ??=+= ??
?L ，也即 2
221π2,0,1,2,n n l λ??+ ???==L ， 相应的解为
21π2()sin n x y x c l
??+ ??
?=, 其中2c 为任意的数。
例5 求解如下带有周期条件的常微分方程问题
()()
''02y y y x y x λπ?+=??+=??.
解 首先与上例同理可得常微分方程''0y y λ+=在参数λ取不同值时的通解为
(
)120012(0)(0)(0)c c y x c d x c c e λλλ?+>?=+=??+
结合周期条件()()2y x y x π+=，可求得参数2n λ=，0,1,2,n =L ，而相应的解为
()120
cos sin (0)(0)c n c n n y x c n ??+≠?=?=?. 二、二阶常系数线性非齐次常微分方程的解法
由定理A.5, 线性非齐次常微分方程
"'()y py qy f x ++=,
的解可由其相伴齐次方程的通解()Y x 和非齐次方程的一个特解*()y x 之和构成。因此，求解二阶常系数线性非齐次常微分方程的关键就在于确定它的一个特解*()y x 。确定特解的方法很多，下面介绍常用的待定系数法，该方法的基本思想是：利用右端项()f x 的具体形式确定特解*()y x 的结构，然后代入到非齐次方程中确定其中系数。下面分几种情形来讨论特解的求法。
1．自由项为多项式，即()()n f x P x =
设二阶常系数线性非齐次常微分方程
"'()n y py qy P x ++=, （A.12）
其中()n P x 为x 的n 次多项式。由于方程中系数p q ，都是常数，且多项式的导数仍为多项式，所以可设（A.12）的特解为
=*y ()k n x Q x ,
其中()n Q x 是与()n P x 同阶的多项式，k 是一个常数，当系数0q ≠时，k 取０，当00q p =≠，时，k 取１，当00q p ==，时，k 取２。
例6 求非齐次方程2
"2'y y y x -+=的一个特解。
解 使用待定系数法。由于该方程中自由项2()f x x =是二次多项式，且1q =，故取0k =，所以设特解为=*y 2ax bx c ++，代入方程，合并同类项后有
22(4)(22)ax a b x a b c x +-++-+=,
比较两端系数可得1,4,6a b c ===。于是求得特解为=*y 246x x ++。
2. 自由项()f x 为x Ae α型
设二阶常系数线性非齐次常微分方程
"'x
y py qy Ae α++=, （A.13）
其中,A α均为常数。考虑到p q ，都是常数，且指数函数的导数仍为指数函数，所以可设
（A.13）的特解为
=*y k x bx e α, 其中b 为待定的系数，当α不是（A.13）的相伴齐次方程的特征根时，k 取０；当α是（A.13）的相伴齐次方程的单特征根时，k 取１；当α是（A.13）的相伴齐次方程的重特征根时，k 取２。
例7 求方程2"'2x
y y y e ++=的通解。
解 非齐次方程的相伴齐次方程的特征方程为210r r ++=，其特征根为
1211,22
r r -+--==，所以齐次方程的通解为
1212()(cos sin )22x Y x e
c x c x -=+, 又2α=不是特征方程210r r ++=的特征根，取0k =，所以设特解为=*y 2x be ，代入
方程得
2222422x x x x be be be e ++=, 比较系数得27
b =，故原方程的一个特解为*()y x =227x e 。因此2"'2x y y y e ++=的通解为
122122()(cos sin )722
x x y x e e c x c x -=++. 3．自由项()f x 为(cos sin )x e A x B x αββ+型
设二阶常系数线性非齐次常微分方程
"'(cos sin )x y py qy e A x B x αββ++=+, （A.14）
其中,,A B α均为常数。考虑到指数函数的导数仍为指数函数，三角函数的导数仍为三角函数，所以可设（A.14）的特解为
=*y (cos sin )k x x e a x b x αββ+.
其中,a b 为待定的系数，当i αβ+不是方程（A.14）的相伴齐次方程的特征根时，k 取０；否则，k 取１。将*y 代入非齐次方程确定系数,a b 。
例8 求方程"3'cos2x
y y y e x +-=的一个特解。
解 非齐次方程的自由项为cos2x e x ，且12i +不是相伴的齐次方程的特征根，故特解可设为
=*y (cos2sin 2)x e a x b x +.
代入方程，合并同类项得
[(10)cos2(10)sin 2]cos2x x e b a x b a x e x --+=,
即
(10)cos2(10)sin2cos2b a x b a x x --+=,
比较两端系数得
101100b a b a -=??+=?
, 解之得110101101
a b =-=，，故所求特解为 =*y 110cos2sin 2101101x e x x ??-+ ???
. 例9 求方程"sin y y x +=的通解。
解 非齐次方程的自由项为sin x ，且i 是相伴的齐次方程的特征根，故特解可设为
*()y x =(cos sin )x a x b x +,
代入方程，合并同类项得
2sin 2cos sin a x b x x -+=, 比较两端系数得102
a b =-=，，故所求特解为 *()y x =1cos22
x x -, 而对应的齐次方程"0y y +=的通解为
12()cos sin Y x c x c x =+,
故所求的通解为
121()cos2cos sin 2
y x x x c x c x =-++. A ．2．2 二阶变系数线性常微分方程的解法
定理A.4，定理A.5给出了二阶线性微分方程（A.6）
的通解
()()*()y x y x Y x =+,
其中()Y x 是微分方程（A.6）相伴的齐次方程的通解，*()y x 是它的一个特解。
在上一小节中，我们给出了自由项为一些特殊结构的函数的常系数微分方程的求解方法。对于变系数微分方程，一般情况下处理起来比较困难，这里我们给出两种方法分别用以求齐次方程的通解()Y x 和非齐次方程的特解*()y x 。
一、求二阶齐次线性微分方程的特解
对于二阶齐次线性微分方程（A.7）
"()'()0y p x y q x y ++=,
其通解为1122()()()y x c y x c y x =+，这里的12,c c 是任意常数，12()()y x y x ，是齐次方程的两个线性无关的解。现假设我们已知二阶齐次线性微分方程的一个非零特解1()y x ，利用A.1 小节中的定理A.1，可以证明如下结论［ ］。
定理A.7 假设在方程（A.7）中，函数(),()p x q x 连续，1()y x 是（A.7）的一个非零特解，则
是（A.7）的与1()y x 线性无关的特解。
例１０ 已知x
e 是二阶齐次常微分方程"(1)'0xy x y y -++=“
的一个特解，求该方程的通解。
解 由定理A.7，可以得到 ()1d 222()d d d ()1x x x x x x
x x x x x x x e xe y x e
x e x e xe x e xe e x e e +---?====--=--???所以方程的通解为 12()(1)x y x c e c x =++.
二、参数变异法
参数变异法可以从相伴齐次方程的通解出发求得非齐次方程的一个特解*()y x 。设齐次方程的通解为
1122()()()y x c y x c y x =+.
所谓参数变异法就是设想非齐次方程（A.6）有一个形如
1122()()()()()y x c x y x c x y x =+, （A.15） 的解，这里12()()c x c x ，是两个待定的函数，即参数12c c ，变异为函数了。下面我们来选择12()()c x c x ，，使()y x 成为非齐次方程的一个解。由（A.15）有
11221122'()'()()'()()()'()()'()y x c x y x c x y x c x y x c x y x =+++.
由于要确定两个函数12()()c x c x ，，但它们只需满足一个方程，所以可以对12()()c x c x ，添加一个约束条件，事实上如下的条件可以同时起到简化计算的作用，我们规定
1122'()()'()()0c x y x c x y x +=. （A.16） 利用（A.15）和（A.16），有
1122'()()'()()'()y x c x y x c x y x =+，
11221122"()()"()()"()'()'()'()'()y x c x y x c x y x c x y x c x y x =+++““，
将以上两式代入方程（A.6）可得
112211221122112211110
222"()'()(()"()()"()'()'()'()'())
()(()'()()'())()(()()()())
()("()()'()()())()("()()y p x y q x y c x y x c x y x c x y x c x y x p x c x y x c x y x q x c x y x c x y x c x y x p x y x q x y x c x y x p x y =++=+++++++=++++144444424444443
“““211220
1122'()()())'()'()'()'()'()'()'()'()
().
x q x y x c x y x c x y x c x y x c x y x f x =+++=+=144444424444443
由上式和式（A.15），待定函数12()()c x c x ，满足
11221122'()'()'()'()()'()()'()()0.
c x y x c x y x f x c x y x c x y x +=??+=?，, 这是一个关于12'()'()c x c x ，的方程组，由克莱默法则 记121212()()((),())'()
'()
y x y x W y x y x y x y x =，则有 积分求得
从而得到（A.6）的一个特解 21121212()()()()*()d ()d .((),())((),())
f x y x f x y x y y x x y x x W y x y x W y x y x -=+?? （A.17） 例11 求方程"tan y y x +=“
的通解。 解 齐次方程"0y y +=“
的通解为 12()cos sin Y x c x c x =+.
用参数变异法，求解方程组
由此得
积分可得
故所求通解为
所求通解为
其中12,c c 为任意的常数。
A.2.3 欧拉方程
在数理方程课程中还经常要用到一类特殊的二阶变系数线性常微分方程
"'()xy pxy q f x ++=, （A.18） 其中,p q 为常数。这样的方程被称为欧拉方程,它虽然不是常系数方程，但其系数很特殊，可以通过简单的自变量变换后化为常系数方程。令t
x e =，则
d d d 1d d dt d dt
y y t y x x x ==, 222222222'd 1d 1d 1d d 1d 1d d dt dt dt d dt dt y y y y t y y x x x x x x x ??==-+=-+ ???
, 代入方程（A.18），有
22d d (1)()d dt
t y y p qy f e t +-+=. 这是一个二阶线性常系数常微分方程，用A.2.1中的方法求得其通解，最后再进行自变量代换还原为x 的函数即可。
例 12 求解如下方程
22"'0x y xy n y +-=,
其中n 非负整数。
解 这是一个欧拉型常微分方程。作代换t x e =，方程化为
2220d y n y dt
-=, 其解为
00(0)()(0)nt nt n n C e D e n y t C D t
n -?+≠=?+=? ,
将变量还原为x ，得到解 001(0)()ln (0)n n n n C x D n y x x
C D x n ?+≠?=??+=?.
二阶线性常微分方程的幂级数解法
二阶线性常微分方程的幂级数解法 从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢？ 例1、求方程 ''0y xy -=的通解 解：设2012n n y a a x a x a x =+++++…… 为方程的解，这里(0,1,2,,,)i a i n =……是待定常系数，将它对x 微分两次，有 ''212312132(1)(1)n n n n y a a x n n a x n na x --+=?+?++-+++ 将y ，'y 的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到 x -∞<<∞2210a ?=，30320,a a ?-= 41430,a a ?-= 52540,a a ?-= 或一般的可推得 32356(31)3k a a k k = ?????-? ， 1 3134673(31) k a a k k += ??????+ ， 320k a += 其中1a ，2a 是任意的，因而代入设的解中可得： 36347 01[1][] 2323562356(31)33434673(31) n x x x x x y a a x n n n n =+++++++++?????????-????????+ 这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和（其中包括两个任意常数0a 及1a ）便是所要求的通解。
例6 求方程'''240y xy y --=的满足初值条件(0)0y =及'(0)1y =的解。 解 设级 2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解。首先，利用初值 条件，可以得到 00a =， 11a =， 因而 2323'2123''223123232(1)n n n n n n y x a x a x a x y a x a x na x y a a x n n a x --=+++++=+++++=+?++-+ 将y ，'y ，''y 的表达式带入原方程，合并x 的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到 21422 0,1,0,,,1 n n a a a a a n -==== - 因而 567891111 ,0,,0,,2!63!4! a a a a a = ===== 最后得 21111 (1)!! k a k k k += ?=- , 20k a =, 对一切正整数k 成立。 将i a (0,1,2,)i = 的值代回2012n n y a a x a x a x =+++++……就得到 521 3 2!! k x x y x x k +=+++++ 2 422 (1),2!! k x x x x x xe k =++++ += 这就是方程的满足所给初值条件的解。 是否所有方程都能按以上方式求出其幂级数解？或者说究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示呢？级数的
一阶线性微分方程组
第4章 一阶线性微分方程组 一 内容提要 1． 基本概念 一阶微分方程组：形如 ??? ????? ???===) ,,,,( ),,,,(),,,,(2121222111 n n n n n y y y x f dx dy y y y x f dx dy y y y x f dx dy （3.1） 的方程组，（其中n y y y ,,,21 是关于x 的未知函数）叫做一阶微分方程组。 若存在一组函数)(,),(),(21x y x y x y n 使得在[a,b]上有恒等式 ),,2,1))((,),(),(,() (21n i x y x y x y x f dx x dy n i i ==成立，则 )(,),(),(21x y x y x y n 称为一阶微分方程组(3.1)的一个解 含有n 任意常数n C C C ,,,21 的解 ?????? ?===) ,,,,( ),,,,(),,,,(21321222111n n n n C C C x y C C C x y C C C x y ??? 称为(3.1)通解。如果通解满方程组 ???????=Φ=Φ=Φ0 ),,,,,,,,( 0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211n n n n n n n C C C y y y x C C C y y y x C C C y y y x 则称这个方程组为（3.1）的通积分。 满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y === 的解，叫做初值问题的解。 令n 维向量函数 Y )(x =? ??? ?? ??????)( )()(21x y x y x y n ，F （x ，Y ）=????????????),,,,( ),,,,(),,,,(21212 211n n n n y y y x f y y y x f y y y x f
二阶线性微分方程解的结构
二阶线性微分方程解的结构
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附录A 线性常微分方程 本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系,因此在本附录里,我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。 把包含未知函数和它的j 阶导数()j y (的方程称为常微分方程。线性常微分方程的标准形式 ()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++= (A.1) 其中n 称为方程的阶数,()j p x 和()f x 是给定的函数。可微函数()y y x =在区间 I 上满足方程（Ａ．１），则称其为常微分方程(Ａ．1）在 I 上的一个解。，()f x 称为方程（Ａ.1)的自由项,当自由项()0f x ≡时方程（A.1）称为是齐次方程,否则称为非齐次方程。一般来说常微分方程的解是不唯一的，我们将方程的全部解构成的集合称为解集合,解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解，而某个给定的解称为方程的特解。 在本附录里,我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。 A.１ 一阶线性常微分方程 一阶线性常微分方程表示为 '()()y p x y f x x I +=∈，. (A.2) 当()0f x ≡,方程退化为 '()0y p x y +=, （A.3) 假设()y x 不恒等于零,则上式等价于
'()y p x y =- 而()'ln 'y y y =，从而（A.3)的通解为 ()d ()p x x y x Ce -?= ( A.4） 对于非齐次一阶线性常微分方程(A ．２）,在其两端同乘以函数()d p x x e ? ()d ()d ()d '()()p x x p x x p x x e y p x e y e f x ???+= 注意到上面等式的左端 ()d ()d ()d ''()p x x p x x p x x e y p x e y e y ?????+= ??? ‘ 因此有 ()d ()d '()p x x p x x e y e f x ????= ??? ‘ 两端积分 ()d ()d ()d p x x p x x e y C e f x x ??=+?‘ 其中C 是任意常数。进一步有 ()d ()d ()d p x x p x x y e C e f x x -????=+ ??? ?‘ 综上有如下结论 定理A.１ 假设()()p x f x I 和在上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（A.1)的通解具有如下形式 ()d ()d ()d ()()d p x x p x x p x x y x Ce e e f x x --???=+?‘ （A.5)
高阶线性微分方程常用解法介绍
高阶线性微分方程常用解法简介 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值 解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根
二阶线性微分方程解的结构
附录A 线性常微分方程 本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系，因此在本附录里，我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。 把包含未知函数和它的j 阶导数()j y (的方程称为常微分方程。线性常微分方程的标准形式 ()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++=L （A.1） 其中n 称为方程的阶数，()j p x 和()f x 是给定的函数。可微函数()y y x =在区间 I 上满足方程（A.1），则称其为常微分方程（A.1）在 I 上的一个解。，()f x 称为方程（A.1）的自由项，当自由项()0f x ≡时方程（A.1）称为是齐次方程，否则称为非齐次方程。一般来说常微分方程的解是不唯一的，我们将方程的全部解构成的集合称为解集合，解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解，而某个给定的解称为方程的特解。 在本附录里，我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。 A.1 一阶线性常微分方程 一阶线性常微分方程表示为 '()()y p x y f x x I +=∈，. （A.2） 当()0f x ≡，方程退化为 '()0y p x y +=, （A.3） 假设()y x 不恒等于零，则上式等价于 而()'ln 'y y y =，从而（A.3）的通解为 ()d ()p x x y x Ce -?= （ A.4） 对于非齐次一阶线性常微分方程（A.2），在其两端同乘以函数()d p x x e ?
注意到上面等式的左端 因此有 两端积分 其中C 是任意常数。进一步有 综上有如下结论 定理A.1 假设()()p x f x I 和在上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的通解具有如下形式 ()d ()d ()d ()()d p x x p x x p x x y x Ce e e f x x --? ??=+?‘ （A.5） 其中C 是任意常数。 观察（A.4）式和（A.5）式，我们发现一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的解等于 一阶线性齐次常微分方程（ A.2）的通解()d p x x Ce -?加上函数()d ()d *()()d p x x p x x y x e e f x x -??=?。容易验证，*()y x 是方程（A.1）的一个特解。这符合线性方程解的结构规律。 例1 求解一阶常微分方程 解 此时()2()1p x f x =-=，,由（A.5）式，解为 其中C 是任意常数。 A.2 二阶线性常微分方程 将具有以下形式的方程 "()'()()y p x y q x y f x x I ++=∈，， （A.6） 称为二阶线性常微分方程，其中(),(),()p x q x f x 都是变量x 的已知连续函数。称 "()'()0y p x y q x y x I ++=∈，， （A.7） 为与（A.6）相伴的齐次方程. A ．2．1 二阶线性微分方程解的结构 首先讨论齐次方程（A.7）解的结构。
二阶线性微分方程的解法
二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常 系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是 式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解. 2.线性相关、线性无关的概念
设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的 两个解,且≠=x y y tan 2 1常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子, 根据指数函数的这个特点,我们用rx e y =来试着看能否选取适当的常数r , 使rx e y =满足方程(2).
二阶线性微分方程解的结构
附录A 线性常微分方程 本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系，因此在本附录里，我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。 把包含未知函数和它的j 阶导数()j y (的方程称为常微分方程。线性常微分方程的标准形式 ()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++= （A.1） 其中n 称为方程的阶数，()j p x 和()f x 是给定的函数。可微函数()y y x =在区间 I 上满足方程（A.1），则称其为常微分方程（A.1）在 I 上的一个解。，()f x 称为方程（A.1）的自由项，当自由项()0f x ≡时方程（A.1）称为是齐次方程，否则称为非齐次方程。一般来说常微分方程的解是不唯一的，我们将方程的全部解构成的集合称为解集合，解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解，而某个给定的解称为方程的特解。 在本附录里，我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。 A.1 一阶线性常微分方程 一阶线性常微分方程表示为 '()()y p x y f x x I +=∈，. （A.2） 当()0f x ≡，方程退化为 '()0y p x y +=, （A.3） 假设()y x 不恒等于零，则上式等价于 '()y p x y =-
而()'ln 'y y y =，从而（A.3）的通解为 ()d ()p x x y x Ce -?= （ A.4） 对于非齐次一阶线性常微分方程（A.2），在其两端同乘以函数()d p x x e ? ()d ()d ()d '()()p x x p x x p x x e y p x e y e f x ???+= 注意到上面等式的左端 ()d ()d ()d ''()p x x p x x p x x e y p x e y e y ?????+= ??? ‘ 因此有 ()d ()d '()p x x p x x e y e f x ????= ??? ‘ 两端积分 ()d ()d ()d p x x p x x e y C e f x x ??=+?‘ 其中C 是任意常数。进一步有 ()d ()d ()d p x x p x x y e C e f x x -??? ?=+ ??? ?‘ 综上有如下结论 定理A.1 假设()()p x f x I 和在上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的通解具有如下形式 ()d ()d ()d ()()d p x x p x x p x x y x Ce e e f x x --???=+?‘ （A.5） 其中C 是任意常数。 观察（A.4）式和（A.5）式，我们发现一阶线性非齐次常微分方程（A.1） 的解等于一阶线性齐次常微分方程（A.2）的通解()d p x x Ce -?加上函数
第三章一阶线性微分方程组第二讲一阶线性微分方程组的一般概念及理论
第二讲 一阶线性微分方程组的一般概念与 一阶线性齐次方程组的一般理论（4课时） 一、 目的与要求: 了解一阶线性微分方程组的一般概念与一阶线性齐次方程组的一般理论, 掌握一阶线性齐次方程组的通解结构, 理解基本解矩阵, Wronsky 行列式等概念. 二、重点：一阶线性齐次方程组的通解结构, 基本解矩阵, Wronsky 行列式. 三、难点：基本解矩阵, Wronsky 行列式. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程： 1. 一阶线性微分方程组的一般概念 如果在一阶微分方程组(3.1)中, 函数12(,,,,)(1,2,,)i n f x y y y i n =, 关于12,,,n y y y 是线性的, 即(3.1)可以写成 1111122112211222221122()()()()()()()()()()()() n n n n n n n nn n n dy a x y a x y a x y f x dx dy a x y a x y a x y f x dx dy a x y a x y a x y f x dx ?=++ ++???=++++?????=++++? ?
(3.6) 则称(3.6)为一阶线性微分方程组. 我们总假设(3.6)的系数()(,1,2,,)ij a x i j n = 及()(1,2,,)i f x i n = 在某个区间I R ? 上连续. 为了方便, 可以把(3.6)写成向量形式. 为此, 记 1112121 22212()()()()()()()()()()n n n n nn a x a x a x a x a x a x A x a x a x a x ??????=?????? 及 12()()()()n f x f x F x f x ???? ??=?????? 根据第13讲的记号, (3.6)就可以写成向量形式 ()()dY A x Y F x dx =+ (3.7) 如果在I 上, ()0F x ≡,方程组(3.7)变成 ()dY A x Y dx = (3.8)
第八节二阶常系数齐次线性微分方程
第八节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及对应于特征根的三种 情况，通解的三种不同形式。 教学重点：特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情况，通解的三种不同形式。 教学难点：根据特征根的三种不同情况，得到三种不同形式的通解。 教学内容： 若 22()()0d y dy P x Q x y dx dx ++= （1） 中(),()P x Q x 为常数，称之为二阶常系数齐次微分方程，而(1)称之为二阶变系数齐次微分方程。 记： '''0y py qy ++= （2） 将rx y e =代入（2）中有2()0rx r pr q e ++=，称20r pr q ++=为（2）的特征方程。 20r pr q ++= （3） 设12,r r 为（3）的解。 （1）当12r r ≠即240p q ->时，1 212r x r x y C e C e =+为其通解。 （2）当12r r r ==即240p q -=时， （3）只有一个解rx y Ce =。 （3）当r i αβ=±即240p q -<时，有()i x y e αβ±=是解。 利用欧拉公式可得实解，故通解为 12(cos sin )x y e C x C x αββ=+。 求二阶常系数齐次线性微分方程 '''0y py qy ++= （2） 的通解的步骤如下： 1． 写出微分方程（2）的特征方程 2 0r pr q ++= （3） 2． 求出特征方程（3）的两个根1r 、2r 。
3． 根据特征方程（3）的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程（2）的通解： 例1 求微分方程230y y y ''--=的通解。 解 所给微分方程的特征方程为 2230r r --= 其根121 ,3r r =-=是两个不相等的实根，因此所求通解为 312x x y C e C e -=+ 例2 求方程222 0d s ds s dt dt ++=满足初始条件0|4t s ==，0|2t s ='=-的特解。 解 所给方程的特征方程为 2210r r ++= 其根121r r ==-是两个相等的实根，因此所求微分方程的通解为 ()12t s C C t e -=+ 将条件0|4t s ==代入通解，得14C =，从而 ()24t s C t e -=+ 将上式对t 求导，得 ()224t s C C t e -'=-- 再把条件0|2t s ='=-代入上式，得22C =。于是所求特解为 ()42t s t e -=+ 例3 求微分方程250y y y '''-+=的通解。 解 所给微分方程的特征方程为
线性方程组解的判定与解的结构
***学院数学分析课程论文 线性方程组解的判定与解的结构 院系数学与统计学院 专业数学与应用数学（师范） 姓名******* 年级 2009级 学号200906034*** 指导教师 ** 2011年6月
线性方程组解的判定与解的结构 姓名****** （重庆三峡学院数学与计算机科学学院09级数本？班） 摘 要：线性方程组是否有解，用系数矩阵和增广矩阵的秩来刻画．在方程组有解且有 多个解的情况下，解的结构就是了解解与解之间的关系． 关键词：矩阵； 秩； 线性方程组； 解 引言 通过系数矩阵和增广矩阵的秩是否相同来给出判定线性方程组的解的判别条件．在了解了线性方程组的判别条件之后，我们进一步讨论解的结构．对于齐次线性方程组，解的线性组合还是方程组的解．在线性方程组有无穷个解时可用有限多个解表示出来．另外以下还涉及到线性方程组通解的表达方式． 1 基本性质 下面我们分析一个线性方程组的问题，导出线性方程组有解的判别条件． 对于线性方程组 1111221121122222 1122n n n n s s sn n s a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ++???+=??++???+=???????++???+=? (1) 引入向量 112111s αααα??????=?????????，122222s αααα??????=?????????，…12n n n sn αααα??????=????????? ，12s b b b β?? ?? ??=??????? ?? 方程（1）可以表示为 1122n n x x x αααβ++???+= 性质 线性方程组⑴有解的充分必要条件为向量β可以表成向量组α1,α2,…，αn 的线性组合. 定理1 线性方程组⑴有解的充分必要条件为它的系数矩阵
一阶线性偏微分方程
第七章 一阶线性偏微分方程 研究对象 一阶线性齐次偏微分方程 0),,,(),,,() ,,,(2122121211=??++??+??n n n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X 1基本概念 1） 一阶线性齐次偏微分方程 形如 0),,,(),,,(),,,(2122121211=??++??+??n n n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X （7.1） 的方程，称为一阶线性齐次偏微分方程，其中n x x x ,,,21 是自变量，u 是n x x x ,,,21 的未知函数，n X X X ,,,21 是域n R D ?内的已知函数，并设n X X X ,,,21 在域D 内不同时为零。 2） 一阶拟线性偏微分方程 形如 );,,,();,,,();,,,(21211211z x x x Z x z z x x x Y x z z x x x Y n n n n n =??++?? （7.2） 的方程，称为一阶拟线性偏微分方程，其中Z Y Y Y n ;,,,21 是1+n 个变元z x x x n ;,,,21 的已知函数。n Y Y Y ,,,21 在其定义域1+?'n R D 内不同时为零。 所谓“拟线性”是指方程仅对未知函数的各个一阶偏导数是线性的，以下总设n Y Y Y ,,,21 和Z 在域D '内连续可微。 3） 特征方程组 常微分方程组 n n X dx X dx X dx === 2211 （7.3） 称为一阶线性齐次偏微分方程（7.1）的特征方程组。 常微分方程组
二阶常系数齐次线性微分方程求解方法
第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数 非齐次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 y py qy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使y e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将y e rx 代入方程 y py qy 0 得 (r 2pr q )e rx 0 由此可见 只要r 满足代数方程r 2pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解 这是因为
函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111 =++++=q pr r xe p r e x r x r 所以x r xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e ( i )x 、y e (i )x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数y e x cos x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解 函数y 1e (i )x 和y 2e (i )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得 y 1e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 2e (i )x e x (cos x i sin x ) y 1y 22e x cos x )(21cos 21y y x e x +=βα y 1y 2 2ie x sin x )(21sin 21y y i x e x -=βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解 可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解 因此方程的通解为 y e x (C 1cos x C 2sin x )
阶线性微分方程解的结构
阶线性微分方程解的结 构 公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-
附录A 线性常微分方程 本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系，因此在本附录里，我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。 把包含未知函数和它的j 阶导数()j y (的方程称为常微分方程。线性常微分方 程的标准形式 ()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++= （） 其中n 称为方程的阶数，()j p x 和()f x 是给定的函数。可微函数()y y x =在区间 I 上满足方程（），则称其为常微分方程（）在 I 上的一个解。，()f x 称为方程（）的自由项，当自由项()0f x ≡时方程（）称为是齐次方程，否则称为非齐次方程。一般来说常微分方程的解是不唯一的，我们将方程的全部解构成的集合称为解集合，解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解，而某个给定的解称为方程的特解。 在本附录里，我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。 一阶线性常微分方程 一阶线性常微分方程表示为 '()()y p x y f x x I +=∈，. （） 当()0f x ≡，方程退化为 '()0y p x y +=, （）
假设()y x 不恒等于零，则上式等价于 而()'ln 'y y y =，从而（）的通解为 ()d ()p x x y x Ce -?= （ ） 对于非齐次一阶线性常微分方程（），在其两端同乘以函数()d p x x e ? 注意到上面等式的左端 因此有 两端积分 其中C 是任意常数。进一步有 综上有如下结论 定理 假设()()p x f x I 和在上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（）的通解具有如下形式 ()d ()d ()d ()()d p x x p x x p x x y x Ce e e f x x --???=+?‘ （） 其中C 是任意常数。 观察（）式和（）式，我们发现一阶线性非齐次常微分方程（）的解等于一阶线性齐次常微分方程（）的通解()d p x x Ce -?加上函数 ()d ()d *()()d p x x p x x y x e e f x x -??=? 。容易验证，*()y x 是方程（）的一个特解。这符合线性方程解的结构规律。 例1 求解一阶常微分方程
第三章 一阶线性微分方程组 第四讲 常系数线性微分方程组的解法(1)
第四讲 常系数线性微分方程组的解法（4课时） 一、目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念, 掌 握常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程： 1 新课引入 由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组 dY AY dx = (3.20) 其中A 是n n ?实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法，因为它比较直观. 由线性代数知识可知，对于任一n n ?矩阵A ，恒存在非奇异的n n ?矩阵T ，使矩阵 1T AT -成为约当标准型. 为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换 Y TZ = (3.21) 其中()(,1,2,,),ij T t i j n == det 0T ≠,将方程组(3.20)化为 1dZ T ATZ dx -= (3.22) 我们知道，约当标准型1 T AT -的形式与矩阵A 的特征方程 11121212221 2 det()0n n n n nn a a a a a a A E a a a λ λλλ ---= =-
的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵 A 的特征根. 下面分两种情况讨论. (一) 矩阵A 的特征根均是单根的情形. 设特征根为12,,,,n λλλ 这时 12 1 00 n T AT λλλ-????? ?=?????? 方程组(3.20)变为 11122 200n n n dz dx z dz z dx z dz dx λλλ?????????????? ????????= ???????????????? ?????? (3.23) 易见方程组(3.23)有n 个解 1110(),00x Z x e λ????????=???????? 220010(),,()0001n x x n Z x e Z x e λλ???????????? ????==???????????????? 把这n 个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的n 个解 12()i i i i x x i i ni t t Y x e e T t λλ?? ????==?????? (1,2,,)i n =
二阶线性偏微分方程的分类与小结
第六章 二阶线性偏微分方程的分类与小结 一 两个自变量的二阶线性方程 1 方程变换与特征方程 两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成 f cu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112 ① 它关于未知函数u 及其一、二阶偏导数都是线性的，其中f u c b b a a a ，，，，，，，21221211都是自变量y x ,的已知函数，假设它们的一阶偏 导数在某平面区域D 内都连续，而且221211a a a ，，不全为0 。 设),(000y x M 是D 内给定的一点，考虑在0M 的领域内对方程进行简化。取自变量变换 ),(y x ξξ=,),(y x ηη= 其中它们具有二连续偏导数，而且在0M 处的雅可比行列式。 = ??),(),(y x ηξy x y x ηηξξ =x y y x ηξηξ- 根据隐函数存在定理，在0M 领域内存在逆变换, ),(ηξx x =,),(ηξy y = 因为 x x x u u u ηξξξ+=，y y y u u u ηξξξ+=
xx xx x x x x xx u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 yy yy y y y y yy u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 xy xy y x x y y x x x xy u u u u u u ηξηηηξηξξξηξηηξηξξ+++++=)( 将代入①使其变为 F Cu u B u B u A u A u A =+++++ηξηηξηξξ212212112 经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以221211,,A A A 不全为0。并可验证 222112122211212))((x y y x a a a A A A ηξηξ--=- 这表明，在可逆变换下2 22112 12A A A -与22112 12 a a a -保持相同的正负号。 定理 在0M 的领域内，不为常数的函数),(y x ?是偏微分方程022*******=++y y x x a a a ????之解的充分必要条件是： C y x ≡),(?是常微分方程的 0)(2)(22212211=++dx a dxdy a dy a 通解。 2 方程的类型及其标准形式 根据以上结论简化方程的问题归结为寻求其特征曲线。为此将特征方程分解成两个方程： 11 22 11 2 12 12 a a a a a dx dy -+=，11 22 11 2 12 12 a a a a a dz dy --= (1) 若在0M 的邻域内022112 12>-a a a 时，方程可以化为
二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明教学提纲
二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明
二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明 来源：文都教育 在考研数学中，微分方程是一个重要的章节，每年必考，其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分，它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的基础，但很多同学对其求解公式不是十分理解，做题时也感到有些困惑，为了帮助大家对其通解公式有更深的理解和更牢固的掌握，文都网校的蔡老师下面对它们进行一些分析和简捷的证明，供考研的朋友们学习参考。 一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解分析 通解公式：设0y py qy '''++=，,p q 为常数，特征方程02=++q p λλ的特征根为 12,λλ，则 1）当12λλ≠且为实数时，通解为1212x x y C e C e λλ=+； 2）当12λλ=且为实数时，通解为1112x x y C e C xe λλ=+； 3）当12,i λλαβ=±时，通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+； 证：若02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1212(),p q λλλλ=-+ =，将其代入方程0y py qy '''++=中得1212()y py qy y y y λλλλ''''''++=-++= 212212()()()0y y y y y y y y λλλλλλ'''''''=---=---=， 令2z y y λ'=-，则11110x dz z z z z c e dx λλλ'-=? =?=，于是121x y y c e λλ'-=，由一阶微分方程的通解公式得 221212()()()1212[][]dx dx x x x y e c e e dx C e c e dx C λλλλλλ----??=+=+?? (1)
线性方程组解的结构
线性方程组解的结构 11111221n n b a x a x a x =++???+ 22112222n n b a x a x a x =++???+ 33113223n n b a x a x a x =++???+ ………………………………… 1122n n n nn n b a x a x a x =++???+ 表示从变量12 ,n x x x ???到变量12,n b b b ???的线性变换，其中ij a 是常数。确 定了线性变换，它的系数所构成的矩阵（系数矩阵）也就确定，线性变换根矩阵是一一对应的关系。 上式可以表示为以向量x 为未知元的向量方程： Ax=b 线性方程组如果是有解的，称它是相容的，否则称为不相容。 一、 定理4：N 元线性方程组Ax=b （1) 无解的充要条件是R(A) （2) 若R(A)=R(B)，则进一步把B 化成最简型，而对于齐次线性 方程组，则把系数矩阵A 化成最简型。 （3) 设R(A)=R(B)=r ，把行最简型中r 个非0行的非0首个元素所对应的未知数取做非自由未知数，其他的元素取做自由未知数。带入原方程，就可以得到一个关于自由为未知量的表达式。 三、 齐次线性方程组求解步骤：Ax=0 （1) 根据R(A)与n (变量个数)来判断解的结构： A. R(A)