上海交大版大学物理参考答案

上海交大版大学物理参

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公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-

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习题9

9-1．在容积3V L =的容器中盛有理想气体，气体密度为ρ=L 。容器与大气相通排出一部分气体后，气压下降了。若温度不变，求排出气体的质量。

解：根据题意，可知： 1.78P atm =，01P atm =，3V L =。 由于温度不变，∴00PV PV =，有：00

1.783PV

V L P =

=?， 那么，逃出的气体在1atm 下体积为：' 1.78330.78V L L L =?-=，

这部分气体在1.78atm 下体积为：''V =

0'0.7831.78PV L P ?= 则排除的气体的质量为：0.783'' 1.3 1.71.78

g L

m V g L ρ??==?= 。

根据题意pV RT ν=，可得：m

pV RT M

=，1V p RT p M m ρ==

9-2．有一截面均匀的封闭圆筒，中间被一光滑的活塞分割成两边。如果其中的一边装有某一温度的氢气，为了使活塞停留在圆筒的正中央，则另一边装入的同一温度的氧气质量为多少 解：平衡时，两边氢、氧气体的压强、体积、温度相同，利用

pV RT ν=，知两气体摩尔数相同，即：H O νν=，∴O H H

O

m m

M M =，代

入数据有： 1.6O m kg = 。

9-3．如图所示，两容器的体积相同，装有相同质量的氮气和氧气。用一内壁光滑的水平细玻璃管相通，管的正中间有一小滴水银。要保持水银滴在管的正中间，并维持氧气温度比氮气温度高30o C ，则氮气的温度应是多少

则体积和压强相同，如图。

由：mol m

pV RT M =，有：

2222

(30)O N O N m m R T RT M M +=， 而：2

0.032O M kg =，2

0.028N M kg =，可得：3028

2103028

T K ?=

=+ 。

9-4．高压氧瓶：71.310p Pa =?，30V L =，每天用

51 1.010p Pa =?，1400V L =，为保证瓶内6' 1.010p Pa ≥?，能用几天

解：由''pV p V =，可得：761.31030'390' 1.010pV Pa L

V L p Pa

??===?， ∴'360V V V L ?=-=；

而：11'p V p V ?=?，有：615' 1.010********.010p V Pa L

V L p Pa

????===?， 那么：能用的天数为36009400/L

n L =

=天

天 。

9-5．如图，长金属管下端封闭，上端开口，置于压强为0p 的大

气中。在封闭端加热达11000T K =，另一端保持

2200T K =，设温度沿管长均匀变化。现封闭开口端，并使管子冷却到100K ，求管内压强。

解：根据题意，管子一端11000T K =，另一端保持2200T K =， 所以，温度沿管长线性分布，设管长为l ，函数关系为：

()200T x kx =+，其中：l

k 800

=

。 由公式：mol

m

pV RT M =

，考虑到金属管上端开口，有：0()mol

dm

p Sd x RT x M =

， ∴0000001ln 200200l l l mol p S p S m R d l p S d x k x M T k x k

===++??（）

00200800ln ln 5200800

p S l p V

k l ?+=

=? 当封闭开口端，并使管子冷却到100K 时，有''mol

m

p V RT M =

，而'100T K =，

再考虑到管子封闭前后的m 不变，有：0

'ln 58

p p =

。 9-6．氢分子的质量为243.310g -?，如果每秒有2310个氢分子沿着

与容器器壁的法线成 45角的方向以510/cm s 的速率撞击在22.0cm 面积上(碰撞是完全弹性的)，则器壁所承受的压强为多少 解：由：02cos 45F t n mv ??=?，再根据气体压强公式：F p S

=，

有：

F p S

=

27330

4

32102 3.310102cos 45212310 2.310Pa n mv t S --?????==

=????? 。

9-7．一容器内储有氧气，其压强 1.0p atm =，温度300T K =，求容器内氧气的

（1）分子数密度；

（2）分子间的平均距离； （3）分子的平均平动动能； （4）分子的方均根速度。 解：（1）由气体状态方程nkT p =得：

5253

23

1.01310

2.4510/1.3810300

p n m kT -?===???； （2）分子间的平均距离可近似计算

：

9

3.4410e m -=

==?；

（

3）

分子的平均平动动能：

2321331.3810300 6.21102

2

k T J ε--==???=?；

（4）分子的方均根速度：m/s 44.48332==

mol

M RT

v 。 9-8．在标准状态下，若氧气（视为刚性双原子分子的理想气体）和氦气的体积比2/1/21=V V ，则其内能之比21/E E 为多少

解：根据pV RT ν=，有：11112222

p V T

p V T νν=，因题设条件为12p p =，

2/1/21=V V ，可得：2/1/2211=T T νν，又∵氦气是单原子分子，知：

3

521=i i ， 那么内能之比为：1

1112

22251523262

i RT E i E RT νν==?= 。

9-9．水蒸气分解为同温度的氢气和氧气，即H 2O→H 2+，内能增加了多少

解：水蒸气分解后，一份的水分子的内能变成了份的双原子的内能，而水分子的自由度为6，氢气和氧气作为刚性双原子分子，其自由度均为5，利用气体内能公式：2

i

E RT ν

=，所以内能的变化为：05560.5 1.522225%662

RT RT RT

E E RT +?-?=== 。

9-10．体积为20L 的钢瓶中盛有氧气（视为刚性双原子气体），使用一段时间后，测得瓶中气体的压强为2atm ，此时氧气的内能为多少

解：由理想气体状态方程：pV RT ν=，以及双原子气体内能公

式：5

2

E RT ν

=， 可得到：5345552 1.01310201010222

E RT pV J ν-===?????= 。

9-11．已知某种理想气体，其分子方均根率为400/m s ，当其压强为1atm 时，求气体的密度。

解： ∵m V ρ=，由气体方程：m pV RT μ=p RT

μ

ρ?=，

又∵=

=

，∴53

2

3 1.01310 1.9/400kg m ρ??===。

9-12．容器的体积为2V 0，绝热板C 将其隔为体积相等的A 、B 两个部分，A 内储有1mol 单原子理想气体，B 内储有2mol 双原子理想气体，A 、B 两部分的压强均为p 0。

（1）求A 、B 两部分气体各自的内能；

（2）现抽出绝热板C ，求两种气体混合后达到平衡时的压强和温度。

解：（1）由理想气体内能公式：RT i

E 2ν=

A 中气体为1mol 单原子理想气体：00333

222A A A E RT RT p V ===，

B 中气体为2mol 双原子理想气体：0055

2522

B B B E RT RT p V =?==；

（2）混合前总内能：，000000042

5

23V P V P V P E =+=

混合后内能不变，设温度为T ，有：003

542

E RT RT p V =+=

∴ 00

813p V T R

=

；00000003833122221313N p V p nkT kT RT R p V V V R ====?=

9-13．金属导体中的电子，在金属内部作无规则运动（与容器中

的气体分子类似），设金属中共有N 个自由电子，其中电子的最大速率为 m v ，电子速率在~v v d v +之间的概率为：

20 00 m Av d v v v d N N v v ?≤?

=?

>??，式中A 为常数．则电子的平均速率为多少

解：由平均速率的定义：0()v v f v d v ∞

=?，考虑到：

()d N

f v d v N

=

， 有：24

1

4

m v m v v A v d v Av =?=? 。

9-14．大量粒子（100102.7?=N 个）的速率分布函数图象如图所示，试求：（1）速率小于m/s 30的分子数约为多少（2）速率处在m/s 99到m/s 101之间的分子数约为多少（3）所有0N 个粒子的平均速率为多少（4）速率大于m/s 60的那些分子的平均速率为多少 解：根据图像信息，注意到()d N

f v Nd v

=

。 图形所围的面积为分子的全部数目，有：

()1N f v d v N =

=?，所以，利用 13012012a +?=（），有：24103

a -=?，809.610N a =?。 （1）速率小于m/s 30的分子数：100130 1.44102

N

N a =??=?个；

（2）速率处在m/s 99到m/s 101之间的分子数：

10110120099899()(26 6.410)0v

N N f v d v N a a d v ==-=????个；

【或：100

2010190

89 6.415

(2)()2(2)60

3

0v N N a a v v

N a ?=-

-?=-=】 （3）所有0N 个粒子的平均速率：先写出这个分段函数的表达式：

(030)30(3060)()2(60120)600(120)a

v

v a

v f v v a a v v ?≤≤??

≤≤?=??-≤≤??>?

由平均速率定义：0()v v f v d v ∞

=?，有：

30

6012003060(2)54/3060

a v

v v v d v v a d v v a a d v m s =?

+?+?-=???； （4）速率大于60/m s 的那些分子的平均速率：

12060

6012060(2)]6080/(2)]

60v v a a d v v m s v

a a d v >-==-??。 9-15．理想气体分子沿x 方向的速度分布函数：

2122

()(

)2x m v kT

x m

f v e kT

π-

=，试据此推导压强公式nkT P =

（已知：

2

20

x x e d x β∞

-=

?

解：由于压强为2x v nm p =，关键在求出N 个分子在x 方向上速度分量平方的平均值：，

而：2

122

222

00

()()2x

mv kT i x x x x x x m k T v v f v d v v e d v kT m

π-∞

∞===

??

故：2

1

N

i x

i v

p n m

n k T N

===∑ 。

9-16．在麦克斯韦分布下，（1）计算温度1300T K =和=2T 600K 时氧气分子最可几速率1

p v 和2

p v ；（2）计算在这两温度下的最可

几速率附近单位速率区间内的分子数占总分子数的比率；（3）计算300K 时氧分子在p 2v 处单位速率区间内分子数占总分子的比率。

解：根据最可几速率的定义：p v =

== （1）温度1300T K =

：1

394/p v m s =

==， 2600T K =：

2558/p v m s =

=

=；

（2）在最可几速率附近单位速率区间内的分子数占总分子数的

比率就是麦克斯韦分布函数：23222

()(

)2mv kT

m f v e v kT

-

=

300T K =，394/v m s =代入：()0.21%f v = 600T K =，558/v m s =代入：()0.15%f v =；

（3）计算300K 时氧分子在p 2v 处单位速率区间内分子数占总分

子的比率。

将1300T K =，788/v m s =代入：

得：2

3

222()()0.042%2mv kT m f v e v k T

-== 。

9-17．试将质量为m 的单原子理想气体速率分布函数

222

32)2(

4)(v e kT

m

v f kT

mv -

=ππ改写成按动能21

2

m v ε=

分布的函数形式()f d εε，然后求出其最可几动能及平均动能。

解：由于ε=22

1mv ，而分子速率在v 和v v d +之间的概率；

dv v e

kT

m

v v f W kT

mv 2

22

32)2(4d )(d -==ππ=εεεεπ

ε

d )(d )

(2

2/12

/3f e

kT kT

==

-

-

2/12

/3)

(2

)(επ

εε

kT

e

kT f -

-=

最可几动能必须满足：

0d )(d =p

f εεε，得kT p 21

=ε

平均动能0

3

()2

f d kT εεεε∞

==? 。

9-18．一容器体积为V 2，一导热隔板把它分成相等的两半，开始时左边盛有压强为0P 的理想气体，右边为真空。在隔板上有一面积为S 的小孔，求打开小孔后左右两边压强1P 和2P 与时间t 的关系（已知单位时间与器壁单位面积相撞

的分子数为v n 4

1）。

解：由nkT p =可知，当温度保持不变时，压强变化是由n 的改变

而引起的.

设小孔未打开时，左边容器内的总分子数为0N ，打开小孔t 秒后，右边分子数为N ，则此时左边容器内的分子数为N N -0. 由已知条件在t t t d +-时间内从左边运动到右边的分子数：

t S v V

N

N dN d 4101-=

，

同理：在t t t d +-时间内从右边运动到左边的分子数：

t S v V

N dN d 412=.

这样，在t t t d +-时间内左边分子数净减少：

t V N V N S v dN d )2(410-=

-t p p kT S v t kT p kT p S v d )42(d )2(4100-=-=. 而V dN kT dp =，所以得：t p p V

S

v p d )2(4d 0-=，当0=t 时，0p p =.

积分得：)1(220+=-t V S v e p p 。故：左边的压强)1(2

201+=-t

V S

v e p p . 由210210p p p N N N +=?+=，右边的压强：)1(2

20

2t V S v e p p --= 9-19．试求升高到什么高度时大气压强将减至地面的75%。设空气的温度为0℃，空气的摩尔质量为0.0289/kg mol 。 解：由0mgh kT

p p e

-=，可得压强随高度变化的规律：

00ln ln mol p p kT RT h mg p M g p

=

=， 将273T K =，

03

4

p p =，mol M =0.0289/kg mol 代入，有：32.310h m =?。

9-20．气缸内盛有一定量的氢气(可视作理想气体)，当温度不变而压强增大一倍时，氢气分子的平均碰撞频率Z 和平均自由程λ的变化情况怎样

解：根据平均碰撞频率的定义：2Z d nv =以及p nkT =

，

v =

可得到2

2

Z d d ==

所以当温度不变而压强增大一倍时，氢气分子的平均碰撞频率Z 也将增大一倍；

而平均自由程的概念为：p

d kT n

d 2

2

221ππλ=

=

所以当温度不变而压强增大一倍时，氢气分子的平均自由程λ将减小一倍。

9-21．（1）分子的有效直径的数量级是多少（2）在常温下，气体分子的平均速率的数量级是多少（3）在标准状态下气体分子的碰撞频率的数量级是多少

解：（1）由pV RT ν=，假设标准状态下一摩尔的气体，其体积为/V RT P =

，有效直径为：d =1010m -； （2）μ

RT

v 60

.1=，大约为100~1000m/s ；

（3

）2Z d nv =，大约为108~109/s 。

思考题

9-1．气体在平衡状态时有何特征平衡态与稳定态有什么不同气体的平衡态与力学中所指的平衡有什么不同 答：平衡态的特征：

（1）系统与外界在宏观上无能量和物质的交换 （2）系统的宏观性质不随时间改变。

热平衡态是指：在无外界的影响下，不论系统初始状态如何，经过足够长的时间后，系统的宏观性质不随时间改变的稳定状态。

它与稳定态或力学中的平衡不是一个概念。

1．平衡态是一种热动平衡状态。处在平衡态的大量分子并不是静止的，它们仍在作热运动，而且因为碰撞，每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间改变。例如：粒子数问

题：箱子假想分成两相同体积的部分，达到平衡时，两侧粒子有的穿越界线，但两侧粒子数相同。 2．平衡态是一种理想状态。

9-2．对一定量的气体来说，当温度不变时，气体的压强随体积的减小面增大；当体积不变时，压强随温度的升高而增大。从宏观来看，这两种变化同样使压强增大；从微观来看，它们是否有区别

答：有区别。从微观上看：w n p 3

2

当温度不变时，气体的压强随体积的减小而增大是因为：当w 一定时，体积减小，n 越大，即单位时间内碰撞到器壁的分子越多，则P 就越大；

当体积不变时，压强随温度的升高而增大是因为：当n 一定时，w 越大，即单位时间内分子对器壁的碰撞越厉害，则P 就越大。

9-3．在推导理想气体压强公式的过程中，什么地方用到了理想气体的分子模型什么地方用到了平衡态的概念什么地方用到了统计平均的概念压强的微观统计意义是什么

答：压强的求解公式中用到了理想气体的分子模型，把分子作为质点来研究；

对每个分子状态的假定用到了平衡态的概念；

从一个分子对器壁的作用力推广到所有分子对器壁的作用力，计算分子的平均速度都用到了统计平均的概念；

压强的微观统计意义是压强是大量分子碰撞器壁的平均效果，是对大量分子对时间对面积的一个统计平均值。对一个分子而言，它对器壁的碰撞是偶然的，但就大量分子而言，其碰撞的统计平均效果就表现为持续的均匀压强。

9-4．容器内有质量为m ，摩尔质量为M 的理想气体，设容器以速度v 作定向运动，今使容器突然停止，问：（1）气体的定向运动机械能转化什么形式的能量（2）下面两种气体分子速度平方的平均值增加多少○1单原子分子；②双原子分子；（3）如果容器再从静止加速到原来速度v ，那么容器内理想气体的温度是否还会改变为什么

答：（1）一般来说，气体的宏观运动不会影响其微观的内动能，但是当容器忽然停止运动时，大量分子的定向运动的动能将通过与器壁的以及分子间的碰撞而转换为热运动的能量，会使容器内气体的问题有所升高。

（2）2312

2

w kT mv ==，所以：23kT

v m

=

，温度增加多少，其速度平方的平均值也做相应的增加。

（3）宏观量温度是一个统计概念，是大量分子无规则热运动的集体表现，是分子平均平动动能的量度，分子热运动是相对质心参照系的，平动动能是系统的内动能．温度与系统的整体运动无关．所以当容器再从静止加速到原来速度v ，那么容器内理想气体的温度不会改变。

．叙述下列式的物理意义：

（1）kT 2

1；（2）kT 23；（3）kT i 2

；（4）RT i 2

；（5）

RT i M m 2；（6）)(2

12T T R i

M m -. 答：（1）在平衡态下，分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由度上的能量均为kT 2

1

；

（2）在平衡态下，分子平均平动动能kT 2

3；

（3）在平衡态下，自由度为i 的分子平均总能量kT i 2

；

（4）1摩尔自由度为i 的分子组成的系统内能为RT i 2

；

（5）由质量为M ，摩尔质量为M mol ，自由度为i 的分子组成的系统的内能为

RT i

M m 2

。 （6）由质量为m ，摩尔质量为M ，自由度为i 的分子组成的系统的内能的变化为

)(2

12T T R i

M m -。

9-6．氦气、氧气分子数均为N ，

e

2

H O 2T T =，速率分布曲线如图，且阴影面

积为S ，求：（1）哪条是氦气的速率分布曲线 （2）

e

H

2

O P P v v ；

（3）0v 的意义

（4）0

[()()]B A v N f v f v dv ∞

-?为多少对应的物理意义是什么

答：（1）由2p RT

v μ

=可知，对于氧气和氦气，即使e

2

H O 2T T =，氦气的p v 还是大于氧气，所以图形中，p v 大的曲线是氦气，即B

图是氦气的； （2）

4

2

321222

2e

H 2O P P =??=

=

O He He O T T v v μμ； （3）0v 的意义：在这速率附近、速率区间d v 内的氦气和氧气的

分子数相同；

（4）0[()()]B A v N f v f v dv ∞

-?为在v 0右边的两曲线的面积差乘以N ，

对应的物理意义是v 0→∞的速率区间内氦气分子比氧气分子多多少个。

9-7．两种理想气体分子数分别为A N 和B N ，某一温度下，速率分布函数分别为 )(A v f 和)(B v f ，问此温度下A 和B 组成系统的速率分布函数如何

答：B

A B B A A N N v f N v f N v f ++=

)

()()(。