数学模型姜启源答案

【篇一：姜启源课后习题】

xt>第1章建立数学模型

1.1 在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？（稳定的椅子问题见姜启源《数学模型》第6页）

1.2 在商人们安全过河问题中，若商人和随从各四人，怎样才能安全过河呢？一般地，有n名商人带n名随从过河，船每次能渡k人过河，试讨论商人们能安全过河时，n与k应满足什么关系。（商人们安全过河问题见姜启源《数学模型》第7页）

1.3 人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。问人、狗、鸡、米怎样过河？

1.4 有3对夫妻过河，船至多载两人，条件是任一女子不能在其丈

夫不在的情况下与其他的男子在一起。问怎样过河？

1.5 如果银行存款年利率为5.5%，问如果要求到2010年本利积累

为100000元，那么在1990年应在银行存入多少元？而到2000年

的本利积累为多少元？

1.6 某城市的logistic模型为

dn11

dt?25n?25?10

6n2，如果不考虑该市的流动人口的影响以及非正常死亡。设该市1990

年人口总数为8000000人，试求该市在未来的人口总数。当t??时

发生什么情况。

1.7 假设人口增长服从这样规律：时刻t的人口为x(t)，最大允许人

口为xm，t到t??t时间内人口数量与xm?x(t)成正比。试建立模型

并求解，作出解的图形并与指数增长模型和阻滞

增长模型的结果进行比较。

1.8 一昼夜有多少时刻互换长短针后仍表示一个时间？如何求出这些时间？

1.9 你在十层楼上欲乘电梯下楼，如果你想知道需要等待的时间，请问你需要有哪些信息？如果你不愿久等，则需要爬上或爬下几个楼层？

1.10 居民的用水来自一个由远处水库供水的水塔，水库的水来自降

雨和流入的河流。水库的水可以通过河床的渗透和水面的蒸发流失。

如果要你建立一个数学模型来预测任何时刻水塔的水位，你需要哪

些信息？

第2章初等模型

2.1 学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办

法分配各宿舍的委员数：

（1）按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分

较大者.

（2）2.1节中的q值方法.

（3）d’hondt方法：将各宿舍的人数用正整数n?1,2,

3,?相除，其商数如下表：

将所得商数从大到小取前10个(10为席位数),在数字下标以横线，

表中a，b，c行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配

席位.你能解释这种方法的道理吗。

如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额.将3种方法两次分配的结果列表比较.

（4）你能提出其他的方法吗.用你的方法分配上面的名额. 2.2 在超

市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种想象了吗.比如

洁银牙膏50克装的每支1.50元,120克装的每支3.00元,二者单位的重量的价格比是1.2:1,试用比例方法构造模型解释这个现象.

（1）分析商品的价格c与商品重量w的关系.价格由生产成本、包

装成本和其它成本等决定，这些成本中有的与重量w成正

比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。

(2)给出单位重量价格c与w的关系。画出它的简图，说明w越大c 越小，但是随着w的增加c减小的程度变小。解释实际意义是什么。

2.3 一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用与测量，请你设计按照

测量的长度估计鱼的重量的方法。假设鱼池中只有一种鲈鱼，并且

得到了8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：

先用机理分析建立模型，再用数据确定参数。 2.4用已知尺寸的矩形板材加工一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法使加工出尽

可能多的圆盘。

2.5雨滴匀速下降，空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，试确定雨速与雨滴质量的关系。

2.6生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身

体表面散失，建立一个动物体重与心率之间关系的模型，并用下面

的数据加以检验。

2.7 举重比赛按照运动员的体重分组,你能在一些合理、简化的假设

下建立比赛成绩与体重之间的关系吗。下面是一界奥运会竞赛的成绩，可供检验你的模型。

2.8 速度为v的风吹在迎风面积s为的风车上，空气密度是

?。用量纲分析方法确定风车获得的功率p与v，s，?的关系。

2.9 雨速的速度v与空气密度?、粘滞系数?和重力加速度g有关，

其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩力与速度梯度和

接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数。用量

纲分析方法给出速度v的表达式。

2.10 原子弹爆炸时巨大的能量从爆炸点以冲击波形式向四周传播。

据分析在时刻t冲击波达到的半径r与释放能量e，大气密度?，大

气压强p有关（设t?0时r?0）。用量纲分析方法

证明，r?????et2

????

?????p5t6??e2?3???

，?是未定函数。 2.11 用量纲分析方法研究人体浸在匀速流动的水

里时损失

的热量。记水的流速v，密度?，比热c，粘性系数?，热传导系数k，人体尺寸d。证明人体与水的热交换系数h与上述各物理量的关系可表为h?

k?v?d?c?

d?????,k???

，?是未定函数，h定义为单位时间内人体的单位面积在人体与水的

温差为1?

c时的热量交换。

2.12 在小说《格里佛游记》中,小说国中的人们决定给格里佛相当与

一个小人食量1728倍的食物.他们是这样推理的,因格里佛身高是小

人的12倍.他的体格是小人的123?1728倍.所以他需要的食物是一

个小人的食量的1728倍.为什么他们的推理是错误的?正确的答案是

什么?

2.13 战后olympic运动会女子铅球记录如下:

你是否可以从这些数据中预测2000年的奥运会女子铅球的最佳成绩.

第3章简单的优化模型

3.1 在存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用。重新确定最

优订货周期和订货批量。证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样。而在允许缺货模型中最优订货周期和定货批量都比原来结果减少。

3.2 建立不允许缺货的生产销售存贮模型。设生产速率为常数k，销

售速率为常数r，k?r在每个生产周期t内，开始的一段时间(0?t?t0)一边生产一边销售，后来的一段时间(t0?t?t)只销售不生产，画出贮

存量q(t)的图形。设每次生产准备费为c1，单位时间每件产品贮存

费为c2，以总费用最小为目标确定最优生产周期。讨论k??r和k?r

的情况。

3.3 在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度?与开

始救火时的火势b有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型。

3.4 在雨中从一处沿直线跑道另一处，若雨速为常数且方向不变。试建立数学模型讨论是否跑的越快，淋雨量越少。将人体简化成一个

长方体，高a?1.5m（颈部以下），宽b?0.5m，厚

c?0.2m，设跑步距离d?1000m，跑步最大速度vm?5m/s，

雨速u?4m/s，降雨量w?2cm/h，记跑步速度为v。按以下

步骤进行讨论：

（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑

完全程的总淋雨量。

（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，

且与人体的夹角为?，如图1，建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，w，?之间的关系，问速度v多大，总淋雨量

最少。计算??0?，??30?

时的总淋雨量。

（3）雨从背后吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且

与人体的夹角为?，如图2。建立总淋雨量与速度v及参数a，

b，c，d，u，w，?之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。

计算??30?

时总淋雨量。

（4）以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对(3)作图（考虑?的影响），并解释结果的实际意义。

（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化。图1

图2

3.5 甲乙两公司通过广告来竞争销售商品的数量，广告费分别是x

和y。设甲乙公司商品的售量在两公司总售量中占的份额，是它们的

广告费在总广告中所占份的函数f(

xx?y)和f(yx?y

)。又设公司的收入与售量成正比，从收入中扣除广告费即为公司的

利润。试构造模型的图形，并讨论甲公司怎样确定广告费才能使利

润最大。

（1）令t?x

x?y

，则f(t)?f(1?t)?1。画出f(t)的示

意图。

（2）写出甲公司利润的表达式p(x)。对于一定的y，使p(x)最大的

x的最优值应满足什么关系。用图解法确定这个最优值。 3.6 人行走

时作的功是抬高人体重心所需势能与两腿运动所需动能之和。试建

立模型讨论在作功最小的准则下每秒走几步最合适（匀速行走）。（1）设腿长l，步长s，证明人体重心在行走时升高

??s2l(s?l)

（2）将腿看作均匀直杆，行走看作腿绕腰部的转动。设腿的质量m，行走速度v，证明单位时间所需动能为mv2s。

（3）设人体质量m，证明在速度v一定时每秒行走 n?

3mg

m4ml

步作功最小。m?4,l?1m分析这个结果合理吗。

（4）将（2）的假设修改为：腿的质量集中在脚部，行走看作脚的

直线运动。证明结果应为n?

4ml

步。分析这个结果合理。

3.7 驶于河中的渡轮，它的行驶方向要受水流的影响。船在河的位置不同，所受到水流的影响也不同。试设计一条使渡轮到达对岸时间

最短的航线。

3.8 发电站的设计者们在堰坝上安装水轮机，当潮水通过堰坝时，推动水轮机运转，从而带动发电机发电。潮水通过水轮机

3.9 别为p，q室（如图所示）少应宽多少？

3.10 程中鱼类选择的消耗能量最小的运动方式。

（1）设鱼总是以常速v运动，鱼在水中净重w，向下滑行时的阻力是w在运动方向的分力；向上游动时所需的力是w在运动方向分力与游动所受阻力之和，而游动的阻力是滑行阻力的k倍，水平方向游动时阻力也是滑行阻力的k倍，写出这些力。

（2）证明当鱼要从a点到达处于同一水平线上的b点时（见下图），沿折线acb运动消耗的能量与沿水平线ab运动消耗的能量之比为（向下滑行不消耗能量）ksin??sin?

ksin(???)

。

（3）根据实际观察 c tan??0.2，试对不同的

k值（1.5，2，3），根据消耗能量最小的准则估计最佳的?值。

【篇二：2011数学建模a题参考答案】

ss=txt>摘要

随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。通过对城市土壤重金属的调查，应用数学方法对数据进行处理。得到城市环境质量的演变，已是人们日益关注的焦点。

对于问题一，用附件一中给出的数据，用matlab插值法建立三维模型，总共有9个图，一个是取样地点的地形图，另外八个是八种重金属元素的浓度分布图，通过模型图我们可以清楚的看到各种元素不同的空间分布。然后通过均值法，算出不同区域内各种重金属元素的污染程度。

对于问题二，通过对问题一结论的分析得出，生活区和工业区是污染比较厉害的地区。目前我国由于在重金属的开采、冶炼、加工过程中，造成不少重金属如铅、汞、镉、钴等进入大气、水、土壤引起严重的环境污染。人类生活中各种用品都含有不同量的重金属元素，比如说废旧电池，含有较多的汞、铬、锰、铅、镍、锌等重金属。它们通过自然和生物降解，随着雨水进入到土壤和河流当中。

对于问题三，根据前两问的结论分析重金属的传播特征，主要有从

高海拔到低海拔，从高浓度区向低浓度区扩散。我们建立扩散模型，求出函数的极值，从而确定污染源的位置。

对于问题四，我们仔细分析了模型的优缺点。为更好地研究城市地

质环境的演变模式，还应收集该地区的每年生活、工业等重要污染

源的垃圾排放量，以及每年的生物降解量，降雨量对重金属元素扩

散的影响，空气污染也应该考虑进去。有了这些数据以后建立因子

分析法，回归分析，曲线拟合等模型解决问题。

关键词：插值法、均值法、扩散模型、因子分析、回归分析。

一、问题重述与分析

随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市

环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及

如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人

类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路

区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同

的区域环境受人类活动影响的程度不同。

附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附

件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。

现在通过数学建模来完成以下任务：

(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内

不同区域重金属的污染程度。

(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。

(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。

(4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变

模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？

二、模型假设

（1）污染源的重金属浓度不在增加。

(2)取样点的数据较好的反映了该地区的污染物浓度。

（3）测量的个别数据对整体没有影响。

（4）元素的扩散只与元素的含量的高低有关。

三、符号约定

i=1,2,3,……8,分别对应8种金属元素，

x表示距离参照点的横坐标

y表示距离参照点的纵坐标

i表示i种金属的x,y处的含量（j=1,2,3,4,5,）表示种元素在j区的

平均含量 ij

bi该地区i种元素的背景值

k为考虑各差异可能会引起背景值的变动而取的系数（这里取1.5）。ci为土壤中污染中污染元素i的实测值；

si为土壤中污染元素i的背景值。

四、模型的建立与求解

问题一：

该地区的空间模拟图

该地区as的含量图

该地区cd含量图

该地区cr含量图

【篇三：ch1 数学模型作业解答】

>第一章（2009年2月24日）

4．在“椅子摆放问题”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为

呈长方形，其余条件不变.试构造模型并求解.

解：设椅子四脚连线呈长方形abcd. ab与cd的对称轴为x轴，用

中心点的转角?表示椅子的位置.将相邻两脚a、b与地面距离之和记

为f(?);c、d与地面距离之和记为g(?).并旋转1800.于是，设

f(0)?0,g(0)?0,就得到g????0,f????0.

数学模型：设f???、g???是?0,2??上?的非负连续函数.

若????0,2??,有f???g????0,且g?0??0,f?0??0,g????0,f????0,则??0??0,2??,使f??0??g??0??0.

模型求解:令h(?)?f(?)?g(?) .就有h(0)?0,

h(?)?f(?)?g(?)?0?g(?)?0.再由f???,g???的连续性,得到h???是一

个连续函数. 从而h???是?0,??上的连续函数.由连续函数的介值定理：??0??0,??,使h??0??0.即??0??0,??,使f??0??g??0??0.

又因为????0,2??,有f???g????0.故f??0??g??0??0.

8. 假定人口的增长服从这样的规律：时刻t的人口为x(t),单位时间

内人口的增量与xm?x(t)成正比（其中xm为最大容量）.试建立模

型并求解.作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果比较.

解：现考察某地区的人口数，记时刻t的人口数为x?t?（一般x?t?

是很大的整数）,且设x?t?为连续可微函数.又设x?t?|t?0?x0.任给

时刻t及时间增量?t,因为单位时间内人口增长量与xm?x(t)成正比,

假设其比例系数为常数r.则t到t??t内人口的增量为：

x?t??t??x?t??r(xm?x?t?)?t.

两边除以?t,并令?t?0,得到

?dx??r(xm?x) 解为x(t)?xm?(xm?x0)e?rt ?dt??x(0)?x0

如图实线所示，

当t充分大时xm

它与logistic模型相近.

9．为了培养想象力、洞察力和判断力，考察对象时除了从正面分

析外，还常常需要从侧面或反面思考.试尽可能迅速回答下面问题：（1）某甲早8：00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5：

00到达山顶并留宿.

次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅店.某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点.为什么？

（2） 37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中

的胜者及轮空者

进入下一轮，直至比赛结束.问共需进行多少场比赛，共需进行多少

轮比赛.如果是n支球队比赛呢？

（3）甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻

不一定相同.甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到

达甲站，仅约10天到达乙站.问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的？

（4）某人家住t市在他乡工作，每天下班后乘火车于6：00抵达t

市车站，他的

妻子驾车准时到车站接他回家，一日他提前下班搭早一班火车于5：30抵t市车站，随即步行回家，他的妻子象往常一样驾车前来，在

半路上遇到他，即接他回家，此时发现比往常提前了10分钟.问他

步行了多长时间？

（5）一男孩和一女孩分别在离家2 km和1 km且方向相反的两所

学校上学，每天

同时放学后分别以4 km/h和2 km/h的速度步行回家.一小狗以6

km/h的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直

至回到家中，问小狗奔波了多少路程？

如果男孩和女孩上学时小狗也往返奔波在他们之间，问当他们到达

学校时小狗在何

处？

解：（1）方法一：以时间t为横坐标，以沿上山路径从山下旅店到

山顶的行程x为纵坐标，第一天的行程x(t)可用曲线（?）表示，第

二天的行程x(t)可用曲线（??）表示，（?）（??）是连续曲线必有

交点p0(t0,d0),

两天都在t0时刻经过d0地点.

方法二：设想有两个人，一人上山，一人下山，同一天同时出发，沿同一路径,必定相遇.d0

早8 t0晚5

方法三：我们以山下旅店为始点记路程,设从山下旅店到山顶的路程

函数为f(t)(即t时刻走的路程为f(t)),同样设从山顶到山下旅店的路函数为g(t),并设山下旅店到山顶的距离为a(a0).由题意知：

f(8)?0,f(17)?a,g(8)?a,g(17)?0.令h(t)?f(t)?g(t),则有

h(8)?f(8)?g(8)??a?0，h(17)?f(17)?g(17)?a?0，由于f(t),g(t)都是

时间t的连续函数,因此h(t)也是时间t的连续函数,由连续函数的介

值定理,?t0?[8,17],使h(t0)?0,即f(t0)?g(t0).

（2）36场比赛，因为除冠军队外，每队都负一场；6轮比赛，因

为2队赛1轮，4队赛2轮，32队赛5轮. n队需赛n?1场，若

2k?1?n?2k，则需赛k轮.

（3）不妨设从甲到乙经过丙站的时刻表是8：00，8：10，8：20，……

那么从乙到甲经过丙站的时刻表应该是8：09，8：19，8：29……（4）步行了25分钟.设想他的妻子驾车遇到他后，先带他前往车站，再回家，汽车多行驶了10分钟，于是带他去车站这段路程汽车多跑

了5分钟，而到车站的时间是6：00，所以妻子驾车遇到他的时刻应该是5：55.

（5）放学时小狗奔跑了3 km.孩子上学到学校时小狗的位置不定

（可在任何位置），因为设想放学时小狗在任何位置开始跑，都会

与孩子同时到家.之所以出现位置不定的结果，是

由于上学时小狗初始跑动的那一瞬间，方向无法确定.

10. 某人第一天上午9：00从甲地出发，于下午6：00到达乙地.第二天上午9：00他又从乙地出发按原路返回，下午6：00回到甲地.试说明途中存在一点，此人在两天中同一时间到达该处.若第二天此人是下午4：00回到甲地，结论将如何？

答：（方法一）我们以甲地为始点记路程,设从甲地到乙地的路程函数为f(t)(即t时刻走的路程为f(t)),同样设从乙地到甲地的路函数为g(t),并设甲地到乙地的距离为a(a0).由题意知：

f(9)?0,f(18)?a,g(9)?a,g(18)?0. 令 *

h(t)?f(t)?g(t),则有h(9)?f(9)?g(9)??a?0，

h(18)?f(18)?g(18)?a?0由于f(t),g(t)都是时间t的连续函数,因此

h(t)也是时间t的连续函数,由连续函数的介值定理,?t0?[9,18],使

h(t0)?0,即f(t0)?g(t0). 若第二天此人是下午4：00回到甲地,则结论仍然正确,这是因为h(9)?f(9)?g(9)??a?0，

h(16)?f(16)?g(16)?f(16)?0.

（方法二）此题可以不用建模的方法,而变换角度考虑：设想有两个人，一人从甲地到乙地,另一人从乙地到甲地,同一天同时出发,沿同一路径,必定相遇.若第二天此人是下午4：00回到甲地,则结论仍然正确.