线性规划问题的数学模型的三个要素
。
线性规划是指在给定目标函数的限制条件下，寻求最优解的算法。它
是一种数学规划技术，可以解决计算机分配资源、生产计划、优化交
通等等问题。这主要得益于线性规划问题的数学模型，该模型主要包
括以下三要素：
首先是决策变量。线性规划问题中，决策变量包括每个变量实际的值，它可以是实数，也可以是整数或二进制数。通常，决策变量与自变量
一起，构成模型参数的一部分。
其次是目标函数，它是求解线性规划问题时必须解决的关键因素。在
实践中，目标函数用来表示问题的优化目标。常见的优化目标如最大
化利润、最小化成本和最小化时间等。
最后是约束条件。约束条件是模型参数的限定，它可以在线性规划上
添加不变和变量之间的关系，如“最大化”或“最小化”之类的要求。约束条件可以是等式约束条件或不等式约束条件，它们在确保模型正确运
行的同时，具有重要的理论意义。
因此，线性规划问题的数学模型的三个主要要素是决策变量、目标函
数和约束条件，它们构成了求解线性规划问题的基本结构。线性规划
可以用比特位的例子来表示：可以用决策变量的计算结果来表示比特
位的值，而目标函数则会计算出整个比特位的价值，而约束条件则可
以让解出来的比特位符合一定条件，比如总容量最大化。只要把决策
变量、目标函数和约束条件组合起来，就可以求得线性规划问题的最
优解，因此，它们是线性规划的基本要素，不可或缺。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型及其标准形式 线性规划问题是工作和生活中最常见的问题，也是运筹学中最简单和最基础的问题。因此，研究现线性规划在经济中的应用问题必须对线性规划的概念和数学模型的掌握和了解是十分必要的。下面让我们对线性规划的数学模型加以介绍。 线性规划的数学模型 在许多实际问题中总是存在着已知量和未知量，若将这些量之间的依赖关系用数学式子表示出来，那么就称这些式子为实际问题的数学模型，或者说数学模型就是描述实际问题共性的抽象的数学形式，线性规划的数学模型包含两个组成部分，一是目标函数，二是约束条件，目标函数是一个由欲达到最优目的的有关量所构成的关系式，根据研究的目标是最大还是最小，在目标函数前面冠以“max ”或“min ”；约束条件是欲达到预期目的所受到的现实客观环境的制约，将这种制约用不等式或不等式表示，即为约束条件，以后减记..s t ；是“subject to “的缩写。 研究数学模型有助于认识这类问题的性质和寻求它的一般解法，但线性规划问题涉及到的实际问题是非常广泛的，我们只能先从其中某些典型的实际问题开始，不能面面俱到，但这些问题的做法都是类似的，下面我们通过例题研究线性规划的数学模型。 例 1 某工厂有生产甲，乙两种产品的能力，且生产一吨甲产品需要3个工日和0.35吨小麦，生产一吨乙产品需要4个工日和0.25吨小麦，该厂仅有工人12人一个月只能出300个工日，小麦一个月只能进12吨，并且还知道生产一吨甲产品可盈利80（百元），生产一吨乙产品可盈利90（百元）。那么，这个工厂在一个月中应如何根据现有条件安排这两种产品的生产，使之获得最大盈利？建立数学模型。 解：设1x ，2x 分别表示一个月生产甲，乙两种产品的数量，则最大盈利为： 1280S x x =+ 工日的约束为1234300x x +≤，原料小麦的约束为120.350.2521x x +≤，那么该问题的数学模型即为：
线性规划问题及其数学模型
第一章线性规划问题及其数学模型 一、问题旳提出 在生产管理和经营活动中常常提出一类问题，即怎样合理地运用有限旳人力、物力、财力等资源，以便得到最佳旳经济效果。 例1 某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已知生产单位产品所需旳设备台时及A、B两种原材料旳消耗，如表1-1所示。 表1-1 该工厂每生产一件产 品I可获利2元，每生 产一件产品II可获利3 元，问应怎样安排计划使该工厂获利最多？这问题可以用如下旳数学模型来描述，设x1、x2分别表达在计划期内产品I、II旳产量。由于设备旳有效台时是8，这是一种限制产量旳条件，因此在确定产品I、II旳产量时，要考虑不超过设备旳有效台时数，即可用不等式表达为： x1+2x2≤8 同理，因原材料A、B旳限量，可以得到如下不等式 4x1≤16 4x2≤12 该工厂旳目旳是在不超过所有资源限量旳条件下，怎样确定产量x1、x2以得到最大旳利润。若用z表达利润，这时z=2x1+3x2。综合上述，该计划问题可用数学模型表达为：
目旳函数 max z =2x 1+3x 2 满足约束条件 x 1+2x 2≤8 4x 1≤16 4x 2≤12 x 1、x 2≥0 例2 某铁路制冰厂每年1至4季度必须给冷藏车提供冰各为15，20，25，10kt 。已知该厂各季度冰旳生产能力及冰旳单位成本如表6-26所示。假如生产出来旳冰不在当季度使用，每千吨冰存贮一种季度需存贮费4千元。又设该制冰厂每年第3季度末对贮冰库进行清库维修。问应怎样安排冰旳生产，可使该厂整年生产费用至少？ 解：由于每个季度生产出来旳冰不一定当季度使用，设x ij 为第i 季度生产旳用于第j 季度旳冰旳数量。按照各季度冷藏车对冰旳需要量，必须满足： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧++++++33 23134322124211 4144 x x x x x x x x x x 。 ，， ，25201510==== 又每个季度生产旳用于当季度和后来各季度旳冰旳数量不也许超过该季度旳生产能力，故又有
运筹学考试重点(精简后的)_
运筹学的工作步骤（1）提出和形成问题（2）建立模型（3）求解（4）解的检验（5）解的控制（6）解的实施 运筹学模型的三种基本形式(1)形象模型；(2)模拟模型；(3)符号或数学模型,目前用得最多的是符号或数学模型。 线性规划的三个特征（1）每一个问题都用一组决策变量（x1，x2，x3，……x n）表示某一方案，这组决策变量的值就代表一个具体方案。一般这些变量取值是非负且连续的。 （2）存在有关的数据，同决策变量构成互不矛盾的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等式或线性不等式来表示。 （3）都有一个要求达到的目标，它可用决策变量及其有关的价值系数构成的线性函数（称为目标函数）来表示。按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化。 线性规划的数学模型（一般式形式），，c j为价值系数；a ij技术系数，b i限额系数 勃兰特规则：1）选取Cj-Zj＞0中下标最小的非基变量X k为换入变量。 ()0 min＞ j j z c j k- = 2）当按θ 规则计算存在两个和两个以上最小比值时，选择下标最小的基变量为换出变量。 线性规划问题的所有可行解构成的集合为凸集集合，也可能为无界域集合，它有有限个顶点，每个顶点对应于线性规划问题的基可行解，若它有最优解，则必在集合的某个顶点上达到。 如果把约束方程x 1＋3x 2≤4 标准化为x 1＋3x 2＋x 3 = 4 2x1 ＋5x 2≥5 2x1 ＋5x 2－x4＋x5 =5 则：x1为决策变量，x2为决策变量，x3为非负松弛变量，x4为非负剩余变量，x5为人工变量。 线性规划问题的基可行解与基解的区别：基解是基可行解的分量≥0。 已知原线性规划数学模型m ax Z=CX，AX= b，X≥0m inω=Yb，YA≥C，Y为无约束。 在单纯形法中，初始基可能由决策变量、松弛变量、人工变量三种类型组成。 P78 运输问题的数学模型，它包含m×n个变量，（m＋n）个约束方程，（m＋n－1）个基变量。对产销平衡的运输问题，其数学模型，最多只有（m＋n－1）个独立约束方程，即系数矩阵的秩≤（m＋n－1）。 5个产地，5个销地的平衡运输问题，基变量有9个。 设运输问题，求最大值，当所有的检验数≤0 时，求得最优解。 非基变量的系数 CN1－C B B-1N1就是第一章中用符合c j-z j表示的检验数。 判断题： 1、线性规划的基可行解,与可行域D的顶点一一对应(√) 2、若X_是原问题的可行解，Y_是对偶问题的可行解，则存在CX_≤Y_b (√) 3、对偶的两个数学模型，其中一个有最优解，那么另一个问题也有最优解。√ 4、凡是基解一定是可行解。× 5、基解对应的基是可行基。× 6、线性规划的最优解一定是基最优解。× 7、互为对偶问题或者同时有最优解或无最优解。√ 8、对偶问题有可行解，原问题也有可行解。× 9、（m＋n－1）个变量构成基本变量组的充要条件是它们不包闭回路。√ 10、原问题有无界解，对偶问题有不可行解或不可行。√ 例：用图解法和单纯形法求解下题。 m ax Z=2x1＋5x2 x1≤4 2x2 ≤12 3x1＋2x2≤18 x1，x2≥0 解：图解法 建立坐标系，横轴为x1，纵轴为x2,。分别画出x1=4，x2=6，3x1＋2x2=18的图形。其交点为A1(0,6)、A2(2,6)、A3(4,3)、A4(4,0)。 x 2 =3 ＋5×0=8。最大值为Z﹡=34为最优解。
线性规划理论及其应用[文献综述]
毕业论文文献综述 信息与计算科学 线性规划理论及其应用 一、前言部分[1] [2] 线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大化或最小化的问题，最大化问题是要在一个集合上使一个函数达到最大，最小化问题是要在一个集合上使一个函数达到最小。统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素。随着计算机技术的发展和普及，线性规划的应用越来越广泛。它已成为人们为合理利用有限资源制定最佳决策的有力工具。 二、主题部分 2.1线性规划理论发展过程及方向 2.1.1线性规划发展过程[3][4] 法国数学家 J.- B.- J.傅里叶和 C.瓦莱－普森分别于1832和1911年独立地提出线性规划的想法，但未引起注意。 1939年苏联数学家Л.В.康托罗维奇在《生产组织与计划中的数学方法》一书中提出线性规划问题，也未引起重视。 1947年美国数学家G.B.丹奇克提出线性规划的一般数学模型和求解线性规划问题的通用方法──单纯形法，为这门学科奠定了基础。 1947年美国数学家J.von诺伊曼提出对偶理论,开创了线性规划的许多新的研究领域，扩大了它的应用范围和解题能力。
运筹学知识点
运筹学知识点： 绪论 1.运筹学的起源 2.运筹学的特点 第一章线性规划及单纯形法 1.规划问题指生产和经营管理中如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大效益。 2.规划问题解决两类问题：一是给定一定数量的人力、物力等资源，研究如何充分利用，以发挥其最大效果；二是已给定计划任务，研究如何统筹安排，用最少的人力和物力去完成。 3.规划问题的数学模型包含三个组成要素：决策变量、目标函数（单一）、约束条件（多个）。 线性规划问题的数学模型要求：决策变量为可控的连续变量，目标函数和约束条件都是线性的。 4.线性规划问题的标准形式：目标函数为极大、约束条件为等式、决策变量为非负、变量为非负 5.划标准型时添加的松驰变量、剩余变量和人工变量 6.理解可行解、最优解、基、基解、基可行解等概念，且掌握各类解间的关系 7.用图解法理解线性规划问题的四种解的情况：无穷多最优解、无界解、无可行解、唯一最优解 8.用图解法只有解决两个变量的决策问题 9.线性规划问题存在可行解，则可行域是凸集。 10.线性规划问题的基可行解对应线性规划问题可行域的顶点。 11.线性规划问题的解进行最优性检验：当所有的检验数小于等于零时为最优解；尤其当检验数小于零时（即不等于零）有唯一最优解；当某个非基变量检验数为时，有无穷多最优解；当存在某个检验数大于零且对应的系数又小于等于零时，有无界解。 12.单纯形法的计算过程，可能出计算题 13.入单纯形表前首先要化成标准形式。 14.确定换出变量时根据θ值最小原则，且要求公式中对应的系数大于零。 15.当线性规划中约束条件为等式或大于等于时，划为标准型后，系数矩阵中又不包含单位矩阵时，需要添加人工变量构造一个单位矩阵作为基。 16.人工变量的系数为足够大的一个负值，用—M代表 17.一般线性规划问题的数学建模题（生产计划问题、人才资源分配问题、混合
数学建模 第一篇第一章
第一篇 线性规划模型及应用 第一章 线性规划问题的数学模型及其解的性质 §1-1-1线性规划问题的数学模型 引例：某工厂生产某种型号的机床，每台机床上需要2.9米、2.1米和1.5米长的三种轴各一根，这些轴需要用同一种圆钢制作，圆钢的长度为7.4米。如果要生产100台机床，应如何下料，才能使得用料最省？ 分析：对于每一根长为7.4米的圆钢，截成2.9米、2.1米和1.5米长的毛坯，可以有若干种下料方式，把它截成我们需要的长度，有以下8种下料方式(表1-1-1)： 表1-1-1 下料方式及每种方式毛坯的数目 下料方式是从大到小、从长到短的顺序考虑的。 1.假若考虑只用3B 方式下料，需要用料100根； 2.若采用木工师傅的下料方法：先下最长的、再下次长的、最后下短的(见表1-1-2)： 表1-1-2 木工师傅的下料情况的用料表 动一下脑筋，就可以节约用料4根，降低成本。但这仍然不是最好的下料方法。 3.如果要我们安排下料，暂不排除8种下料方式中的任何一种，通过建立数学模型（线性规划数学模型）进行求解，寻找最好的下料方案。 设用1B ,2B ,3B ,4B ,5B ,6B ,7B ,8B 方式下料的根数分别为87654321,,,,,,,x x x x x x x x ，则可以建立线性规划数学模型: ?????? ?≥≥+++++≥++++≥++++++++++=0 ,,,,,,,10043231002321002..m in 87654321876431 765324 3218 7654321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x x S 用LINGO 10.0软件求解，程序如下： Min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8;
最优化之基本概念
最优化之基本概念 第一章 1.最优化问题的数学模型包含有三个要素：即变量（又称设计变量）、目标函数、约束条 件。（变量、目标函数、约束条件 (4) 2.（最优化问题的三种表达形式……P5中） 3.称为集约束，通常不作考虑，可认为目标函数的定义域。一般有。 可行点（容许点）：满足所有约束的点称为可行点或容许点。 可行域（容许集）：全体可行点构成的集合称为可行域，也叫容许集，记为D。（P5） 4.最优点：在可行域内找到的点，使得目标函数值取得最优值。 最优值：目标函数值 最优解：，但习惯上把本身称为最优解。（P5底） 5.处理最优化问题的3种方法：解析法、图解法、迭代法 6.迭代算法：选取一个初始可行点，然后根据现有的信息确定本次迭代的一个搜索方向和 适当的步长，从而得到一个新点。搜索方向迭代步长 下降算法：求有
上升算法：求有(P9) 7.收敛速度：衡量算好好坏的一个标准。（P9底） 具有超线性收敛或者二阶收敛的算法是较快速的算法。（P10） 8.计算终止的计算终止准则： 无约束优化问题的三种计算终止准则：点距准则、函数下降量准则、梯度准则。（P11）约束优化问题有各自的终止准则。 优化算法的基本迭代过程：（P11底） 9.图解法：（P6）运用求解二位优化问题 可行域：即约束集合（P6） 等高线：在三维空间中，不同的c值得到不同的投影曲线。没一条投影曲线对应一个c 值，称投影曲线为目标函数的等值线或者等高线。（P7） 10.组合优化问题举例： 背包问题即0-1问题：P13 例1.9 需要设为二进制变量，表示装第i个物 品。 旅行商问题（TSP）：（P14）组合爆炸P15 聚类问题：（P14）组合爆炸P15 11.算法复杂性：算法对时间的复杂性T(n)和对空间的复杂性S(n)。 算法的时间复杂性：算法执行基本操作的次数 算法的空间复杂性：算法执行期间占用的存储单位（P15） 12.组合优化问题分类：根据算法的复杂性，可分为P类、 NP类、NP完全类。 P类问题：具有多项式实践求解算法 NP类问题：未找到球最优解的多项式实践算法 NP完全类问题：任何一个问题至今未发现有多项式算法；只要其中一个问题找到了多项式算法，那么其他所有问题均有多项式算法。（P15） 第二章 1．例题2.1 如何判定矩阵是否正定（P19）充要条件：矩阵的行列式的顺序主子式全部大于零线代P164 2．方向导数（P19） （1）方向导数的定义：（P19底）
运筹学习题
一、判断 1、在线性规划的模型中全部变量要求是整数。 ( × ) 2、如果在单纯形表中，所有的检验数都为正，则对应的基本可行解就是最优解。 ( × ) 3、一个图中的最短边一定包含在最短路内。 ( × ) 4、如线性规划问题存在最优解，则最优解一定对应可行域边界上的一个点。 ( √ ) 5、在二元线性规划问题中，如问题有可行解，则一定有最优解。 ( × ) 1、在线性规划的模型中全部变量要求是整数。 ( × ) 2、产地数与销地数相等的运输问题是产销平衡运输问题。 ( × ) 3、如果在单纯形表中，所有的检验数都为正，则对应的基本可行解就是最优解。 ( × ) 4、如线性规划问题存在最优解，则最优解一定对应可行域边界上的一个点。 ( √ ) 5、无圈且连通简单图G 是树图。 ( √ ) 1、运筹学主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及生产经营活动。（ √ ） 2、运筹学的目的在于针对所研究的系统求得一个合理应用人才，物力和财力的最佳方案。（ √ ） 3、如果在单纯形表中，所有的检验数都为正，则对应的基本可行解就是最优解。（ × ） 5、运筹学最早是应用在生产管理方面。（ × ） 6、在线性规划的模型中全部变量要求是整数。（ × ） 7、在二元线性规划问题中，如问题有可行解，则一定有最优解。（ × ） 二、单项选择题 1、线性规划问题的数学模型由目标函数、约束条件和（ D ）三个部分组成。 A. 非负条件 B. 顶点集合 C. 最优解 D. 决策变量 2、对于线性规划 1212312 41 234max 24.. 34 51,,,0 z x x s t x x x x x x x x x x =-+-+=?? ++=??≥? 如果取基1110B ?? = ? ??，则对于基B 的基解为（ B ）。 A.(0,0,4,1)T X = B.(1,0,3,0)T X =
运筹学填空题
填空题（共83道） 1、在统筹图中，（工作）、（节点）和（线路）是它的三大要素。 2、动态规划大体上可以分为（离散确定型）、（离散随机型）、（连续确定型）、（连续随机型）四大类。 3、√策行为的基本要素包括（局中人）、（策略）、（局势）、得失函数和（信息）。 4、按照顾客来到排队系统后，面√服务机构前的顾客队列时，所采取的决策（或行为）可将排队规则分为（等待制)、（消失制）和（混合制）三种。 5、统筹图的基本结构有（顺序结构）、（平行结构）、（交叉结构） 6、统筹图的绘制包括准备工作、（绘制草图并调整）、计算参数、（可行性分析） 7、在线性规划问题中，称满足所有约束条件方程和非负限制的解为（可行解） 8、在线性规划问题中，图解法适合用于处理（变量）为两个线性规划的问题 9、请举例说明√策论的应用：（）、（）、（）、（）和（）。 备注：无固定答案 10、一局√策通常包括（局中人）、（策略）、（局势）、得失函数、信息。 11、求解线性规划问题可能的结果有（无解）、（有唯一最优解）、（有无穷多个最优解）、（无界解）。 12、两点之间有两条或多条边相连则称这些边为（多重边）或（平行边） 13、没有环和多重边的图成为（简单图），否则成为（多重图） 14、√于任意给定的简单无向图G=
数学建模 线性规划模型
数学建模教案－线性规划模型 一、问题的提出 在生产管理和经营活动中经常提出一类问题，即如何合理地利用有限的人力、物力、财 力等资源，以便得到最好的经济效果。 例1 若需在长为4000mm的圆钢上，截出长为698mm和518mm两种毛坯，问怎样 截取才能使残料最少？ 初步分析可以先考虑两种“极端”的情况： （1）全部截出长为698mm的甲件，一共可截出EQ F(4000,698) »5件，残料长为510mm。 （2）全部截出长为518mm的乙件，一共可截出 E Q F(4000,518) »7件，残料长为374mm。 由此可以想到，若将 x个甲件和y 个乙件搭配起来下料，是否可能使残料减少？把截 取条件数学化地表示出来就是： 698 x + 518y £ 4000 x ，y都是非负整数 目标是使：z = EQ F(698x + 518y,4000) （材料利用率）尽可能地接近或等于1。（尽可能地大） 该问题可用数学模型表示为： 目标函数： max z = EQ F(698x + 518y,4000) 满足约束条件：698 x + 518y £ 4000 ， (1) x ，y都是非负整数 . (2) 例2 某工厂在计划期内要安排生产I 、II两种产品，已知生产单位产品所需的设备台 数及A、B两种原料的消耗，如下表所示。
该工厂每生产一件产品I可获利 2 元，每生产一件产品II可获利 3 元，问应如何安排生产计划使工厂获利最多？ 这问题可以用以下的数学模型来描述：设 x 1, x 2分别表示在计划期内产品I、II的产量。因为设备的有效台数为8 ，这是一个限制产量的条件，所以在确定I 、II的产量时，要考虑不超过设备的有效台数，即可用不等式表示为： x 1 + 2x 2£ 8 . 同理，因原材料A 、B的限量，可以得到以下不等式： 4 x 1£ 16 4 x 2£ 12. 该工厂的目标是在不超过所有资源限量的条件下，如何确定产量x1、x2以得到最大的利润。若用z表示利润，这时z = 2x 1 + 3 x 2 。综上所述，该计划问题可用数学模型表示为： 目标函数： max z = 2x 1 + 3 x 2 满足约束条件： x 1 + 2x 2£ 8 4 x 1£ 16 4 x 2£ 12. x 1，x 2³ 0 该模型的特征是： （1）有一组决策变量（x 1 ,x 2,…,x n)表示某一方案；这组决策变量的值就代表一个具体方案。一般这些变量取值是非负的。
运筹学
《运筹学》 第一章线性规划 规划问题的数学模型由三个要素组成：（1）变量（决策变量）（2）目标函数（3）约束条件 如果规划问题模型中，决策变量的取值是连续的，目标函数是决策变量的线性函数，约束条件是含决策变量的线性等式或不等式，则称该类规划问题的数学模型为 线性规划的数学模型。 例：将下述线性规划化为标准形式32132min x x x z +-=⎪⎪⎩ ⎪ ⎪ ⎨⎧≥≤-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x 解：令33 311 ,,x x x x x z z ''-'=-='-=' 54332100332m a x x x x x x x z ++''+'-+'=' ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧≥''''=''+'--'-=-''-'+-'-=+''-'++'-0,,,,,522327543321332153321 43321 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 注：4x ——松弛变量 5x ——松弛变量（剩余变量） 可行域的性质 线性规划的可行域是凸集 凸集：如果C 中任意两个点连线上的所有点也都在C 中，称C 为凸集。 线性规划的最优解在顶点上 定理1：若线性规划问题存在可行解，则问题的可行域是凸集 定理2：线性规划问题的基可行解，对应线性规划问题的可行域（凸集）的顶点 定理3：若线性规划问题有最优解，一定存在一个基可行解是最优解 例：用单纯形法求解线性规划问题 P 3，P 4，P 5是单位矩阵，对应的基变量是 x 3，x 4，x 5 。令非基变量 x 1，x 2 等于零，即找到一个基可 ⎪⎪⎩⎪⎪ ⎨⎧≥=++=++=+-0 5 24 2615 5 5152142132x x x x x x x x x 5 43210002max x x x x x z ++++=
运筹学选择判断题答案
一、选择题（每小题3分） 1. （线性规划问题的数学模型形式）线性规划问题的数学模型由目标函数、约束条件和（ D ）三个部分组成。 A. 非负条件 B. 顶点集合 C. 最优解 D. 决策变量 2.（线性规划问题的标准形式）在线性规划问题的标准形式中，不可能存在的变量是（D ）。A．决策变量B．松驰变量 C．剩余变量 D．人工变量 3.（同上）将线性规划问题转化为标准形式时，下列说法不正确的是（ D ）。 Ａ.如为求z的最小值，需转化为求-z的最大值 Ｂ.如约束条件为≤，则要增加一个松驰变量 Ｃ.如约束条件为≥，则要减去一个剩余变量 Ｄ.如约束条件为＝，则要增加一个人工变量 4.（同上）下列选项中不符合线性规划模型标准形式要求的有（B ）。 A．目标函数求最大值 B．右端常数无约束 C．变量非负 D．约束条件为等式 5.（线性规划问题解的情况）线性规划问题若有最优解，则最优解（ C ）。 A.只有一个 B.会有无穷多个 C. 唯一或无穷多个 D.其值为0 6.（图解法）用图解法求解一个关于最小成本的线性规划问题时，若其等值线与可行解区域的某一条边重合，则该线性规划问题( A )。 A．有无穷多个最优解 B.有有限个最优解C．有唯一的最优解D．无最优解 7.（图解法）图解法通常用于求解有（B）个变量的线性规划问题 A.1 B.2 C.4 D.5 8.（单纯形法求解线性规划问题的几种特殊情况）若线性规划问题的最优解不唯一，则在最优单纯形表上（ B ）。 A. 非基变量的检验数都为零 B. 非基变量检验数必有为零 C. 非基变量检验数不必有为零者 D. 非基变量的检验数都小于零 9.（同上）线性规划具有多重最优解是指（ B ）。 A.目标函数系数与某约束系数对应成比例 B.最优表中存在非基变量的检验数为零 C.可行解集合无界 D.基变量全部大于零 10.（同上）线性规划具有唯一最优解是指（ A ） A.最优表中非基变量检验数全部非零 B.不加入人工变量就可进行单纯形法计算 C.最优表中存在非基变量的检验数为零 D.可行解集合有界 11.（单纯形法）单纯形法当中，入基变量的确定应选择检验数（C ） A.绝对值最大 B.绝对值最小 C. 正值最大 D. 负值最小 12.（单纯形法）出基变量的含义是（ D ） A . 该变量取值不变 B.该变量取值增大 C. 由0值上升为某值 D.由某值下降为0 13.(单纯形法之人工变量)在约束方程中引入人工变量的目的是（ D ） A.体现变量的多样性 B. 变不等式为等式 C.使目标函数为最优 D. 形成一个单位阵 14. (单纯形法之大M法)求目标函数为最大的线性规划问题时，若全部非基变量的检验数小于等于零，且基变量中有人工变量时该问题有（B ） A.无界解 B.无可行解 C. 唯一最优解 D.无穷多最优解 15（灵敏度分析）若线性规划问题最优基中某个基变量的目标系数发生变化，则（C ）A．该基变量的检验数发生变化 B．其他基变量的检验数发生变化 C．所有非基变量的检验数发生变化D．所有变量的检验数都发生变化 16（灵敏度分析）线性规划灵敏度分析的主要功能是分析线性规划参数变化对（D ）的影响。 A．正则性B．可行性C．可行解D．最优解
线性规划问题的建模与求解
线性规划问题的建模与求解 线性规划是一种常见的数学优化方法，用于解决一系列约束条件下的最优化问题。它在工业、经济、管理等领域具有广泛的应用。本文将介绍线性规划问题的建模过程以及求解方法，并通过实例来说明其应用。 一、线性规划问题的定义 线性规划问题可以定义为在一定的约束条件下，寻找一组决策变量的最优解， 使得目标函数达到最大或最小值。其中，目标函数和约束条件均为线性的。 在建模过程中，首先需要明确决策变量、目标函数和约束条件。决策变量是我 们需要确定的决策因素，可以是某个产品的生产数量、某个投资项目的投入金额等。目标函数是我们希望最大化或最小化的量，可以是利润、收益、成本等。约束条件是对决策变量的限制条件，可以是资源约束、技术约束等。 二、线性规划问题的建模过程 线性规划问题的建模过程一般包括以下几个步骤： 1. 确定决策变量：根据实际问题确定需要确定的决策因素，例如某个产品的生 产数量、某个投资项目的投入金额等。 2. 建立目标函数：根据问题的要求，确定目标函数的形式和系数。如果是最大 化问题，目标函数一般为各决策变量的系数之和；如果是最小化问题，目标函数一般为各决策变量的系数之差。 3. 确定约束条件：根据问题中的限制条件，建立约束条件的数学表达式。约束 条件一般包括资源约束、技术约束等。每个约束条件都可以表示为决策变量的线性组合与某个常数之间的关系。
4. 确定决策变量的取值范围：根据实际问题的限制条件，确定决策变量的取值 范围。例如，某个产品的生产数量不能为负数，某个投资项目的投入金额有上限等。 5. 建立数学模型：将上述步骤中确定的决策变量、目标函数和约束条件组合起来，建立线性规划问题的数学模型。 三、线性规划问题的求解方法 线性规划问题的求解方法主要有两种：图形法和单纯形法。 1. 图形法：对于二维或三维空间中的线性规划问题，可以使用图形法进行求解。首先将目标函数和约束条件转化为几何形式，然后在坐标系中画出目标函数的等高线和约束条件的边界线，最后确定最优解所在的交点。 2. 单纯形法：对于高维空间中的线性规划问题，图形法不适用，可以使用单纯 形法进行求解。单纯形法是一种迭代算法，通过不断调整决策变量的取值，逐步接近最优解。该方法的核心是通过计算目标函数的增量来确定下一步的决策变量取值，直到找到最优解为止。 四、线性规划问题的应用实例 下面通过一个实例来说明线性规划问题的应用。 假设某公司生产两种产品A和B，产品A每单位利润为10元，产品B每单位 利润为15元。公司的生产能力为每天生产A产品1000个，B产品800个。同时，公司的销售部门对产品A和B的销售量有以下要求：每天至少销售A产品500个，B产品400个。问如何安排生产计划，使得利润最大化？ 首先，我们可以将该问题建模为线性规划问题。设产品A的生产数量为x，产 品B的生产数量为y，则目标函数为10x+15y，约束条件为x≤1000、y≤800、 x≥500、y≥400。
运筹学知识点要求
运筹学知识点要求 运筹学知识点要求 第一部分结论 1、运筹学的特点 （1）以最优性或合理性为核心。 （2）以数量化、模型化为基本方法。 （3）具有强烈的系统性、交叉性特征。 （4）以计算机为重要的技术支持。 2、运筹学模型求解方法： 知道迭代算法的原理步骤。 3、运筹学模型 （1）运筹学模型：使用较多的是符号或数学模型，大多数为优化模型。 （2）模型的一般结构 （3）模型的三大要素 决策变量、目标函数及优化方向、约束条件。 （4）了解模型的分类 4、建立优化模型解决实际问题 （1）要求能对较简单的实际问题建立优化模型。主要涉及：一般线性规划模型，整数（特别是0－1规划）规划模型。 5、了解运筹学运用领域。 第二部分线性规划 1、线性规划模型的几种表示形式及特点 2、线性规划模型的标准形式及如何标准化 3、线性规划问题各种解的概念及关系（关系图示） （可行解、非可行解、基本解、基本可行解、最优解，基本可行解的个数小于等于） 4、线性问题有关解的基本定理（主要是概念理解） （1）不一定都有最优解
（2）若有，一定会在基本可行解上达到 （3）基本可行解的个数有限小于等于（4）并非所有最优解都是基本可行解 （5）了解凸集与凸组合的概念，理解两个最优解的凸组合都是最优解。 （6）可行解为基本可行解的充要条件 5、线性规划单纯形法 （1）制作初始单纯表（注意非基变量检验系数的求法，特别注意求有待定系数时的检验系数） （2）各种解的判别条件，对于最大化目标函数问题，包括： 唯一最优解：有最优解无穷多最优解存在一个k 有：（或称之为线性规划问题存在可择最优解） 无界解，存在k 有：（3）线性规划问题求解结果中解的情况 有最优解（唯一最优解、无穷多最优解），无界解，无可行解 （4）基变换中入基变量的确定 A 、入基变量的必要条件（） B 、最速上升准则的理解，不是使目标函数改进最大，而是使目标函数改进速度最大。 m n C m n C 0< j σ0≤j σ0≤j σ0=j σ0 ,0'≤>k k p 且σ0≥j σ （5）最小比值确定出基变量的目的：保证基变换后新的基本解是可行的。 （6）会单纯形迭代计算求解线性规划问题 6、什么是线性规划问题退化情况？会引起什么样后果？ 7、大M法（罚函数法）：（1）辅助问题目标函数的构造，（2）辅助问题解与问题解的关系（3）能用大M法（罚函数法）求解线性规划问题。 8、两阶段法：（1）第一阶段的目的
运筹学概念整理
运筹学概念整理 名解5、简答4、建模与模型转换2、计算5~6 第1章线性规划与单纯形法(计算、建模:图解法) 线性规划涉及的两个方面：使利润最大化或成本最小化 线性规划问题的数学模型包含的三要素： 一组决策变量：是模型中需要首确定的未知量。 一个目标函数：是关于决策变量的最优函数，max或min。 一组约束条件：是模型中决策变量受到的约束限制，包括两个部分：不等式或等式；非负取值（实际问题）。 线性规划问题(数学模型)的特点：目标函数和约束条件都是线性的。 1.解决的问题是规划问题； 2解决问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或最小值； 3解决问题的约束条件是多个决策变量的线性不等式或等式。 图解法利用几何图形求解两个变量线性规划问题的方法。 求解步骤：第一步：建立平面直角坐标系； 第二步：根据约束条件画出可行域； 第三步：在可行域内平移目标函数等值线，确定最优解及最优目标函数值。 LP问题的解：（原因） 唯一最优解、无穷多最优解（有2个最优解，则一定是有无穷多最优解） 无界解（缺少必要的约束条件）、无可行解（约束条件互相矛盾，可行域为空集） 标准形式的LP模型特点：目标函数为求最大值、约束条件全部为等式、约束条件右端常数项bi全部为非负值，决策变量xj的取值为非负 ●线性规划模型标准化（模型转化） (1) “决策变量非负”。若某决策变量x k为“取值无约束”(无符号限制)，令：x k= x’k–x”k，(x’k≥0, x”k≥0) 。 (2) “目标函数求最大值”。如果极小化原问题minZ = CX，则令Z’ = – Z，转为求maxZ’ = –CX 。注意：求解后还原。 (3) “约束条件为等式”。对于“≤”型约束，则在“≤”左端加上一个非负松弛变量，使其为等式。对于“≥”型约束，则在“≥”左端减去一个非负剩余变量，使其为等式。(4) “资源限量非负”。若某个bi < 0，则将该约束两端同乘“–1” ，以满足非负性的要求。基假设线性规划问题模型系数矩阵为m行、n列，则系数矩阵中秩为m的m行m列子矩阵，称为基矩阵，简称为基 可行解：满足约束条件AX=b和X≥0的解。 基(本)解：在某一确定的基中，令所有非基变量等于零，解得的唯一解。 基(本)可行解：满足X≥0的基解。 可行基：基可行解对应的基矩阵。 最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。 最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。 最优解判别定理：在单纯形表中，若所有非基变量的检验数小于零，且B-1b均为非负，则线性规划问题具有唯一最优解。 无穷多最优解判别定理：在单纯形表中，若所有非基变量的检验数小于等于零，且B-1b均为非负，其中某个检验数等于零，则线性规划问题具有无穷多最优解(多重最优解)。 无界解判定定理：在单纯形表中，若某个检验数σk 大于零，且xk对应列向量的元素均为非正，导致出基变量无法确定，则线性规划问题具有无界解
2020年运筹学考试复习题及答案
2020年运筹学考试复习题及答案 5、线性规划数学模型具备哪几个要素？答：（1）.求一组决策变量x i或x ij的值（i =1，2，…m j=1，2…n）使目标函数达到极大或极小；（2）.表示约束条件的数学式都是线性等式或不等式；（3）.表示问题最优化指标的目标函数都是决策变量的线性函数 第二章线性规划的基本概念 一、填空题 1．线性规划问题是求一个线性目标函数_在一组线性约束条件下的极值问题。 2．图解法适用于含有两个变量的线性规划问题。 3．线性规划问题的可行解是指满足所有约束条件的解。4．在线性规划问题的基本解中，所有的非基变量等于零。5．在线性规划问题中，基可行解的非零分量所对应的列向量线性无关 6．若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的顶点（极点）达到。 7．线性规划问题有可行解，则必有基可行解。 8．如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其基可行解_的集合中进行搜索即可得到最优解。9．满足非负条件的基本解称为基本可行解。 10．在将线性规划问题的一般形式转化为标准形式时，引入的
松驰数量在目标函数中的系数为零。 11．将线性规划模型化成标准形式时，“≤”的约束条件要在不等式左_端加入松弛变量。12．线性规划模型包括决策（可控）变量，约束条件，目标函数三个要素。 13．线性规划问题可分为目标函数求极大值和极小_值两类。14．线性规划问题的标准形式中，约束条件取等式，目标函数求极大值，而所有变量必须非负。 15．线性规划问题的基可行解与可行域顶点的关系是顶点多于基可行解 16．在用图解法求解线性规划问题时，如果取得极值的等值线与可行域的一段边界重合，则这段边界上的一切点都是最优解。17．求解线性规划问题可能的结果有无解，有唯一最优解，有无穷多个最优解。 18.如果某个约束条件是“≤”情形，若化为标准形式，需要引入一松弛变量。 19.如果某个变量X j为自由变量，则应引进两个非负变量X j′,X j〞,同时令X j＝X j′－X j。 20.表达线性规划的简式中目标函数为max(min)Z=∑c ij x ij。 21..(2.1 P5))线性规划一般表达式中，a ij表示该元素位置在i 行j列。 二、单选题 1．如果一个线性规划问题有n个变量，m个约束方程(m 一、判断题正确的打“√”,错误的打“×”： 1．图解法只能解决包含两个决策变量的线性规划问题． 是 2．线性规划具有无界解,则可行域无界． 是 3．若线性规划问题的可行域存在,则可行域是一个凸集． 是 4．单纯形法求解线性规划问题时每换基迭代一次必使目标函数值下降一次． 错 每迭代一次,目标函数的值都会增加,即增量大于0 5．用单纯形法求解线性规划问题时,如果表中所有的检验数0≤j σ,则表中的基可行解为最优解． 是 0≤j σ,则非基变量都<=0 6．对偶问题的对偶就是原问题． 恩 8．互为对偶问题,原问题有最优解,对偶问题也有最优解． 恩 且目标函数的值也一样 9．任意一个运输问题一定存在最优解． 是的运输问题一定存在最优解 10．线性规划问题的最优解只能在极点上达到．错 11．对偶单纯形法是直接解对偶问题的一种方法． 错 有区别的;通过判断b 列的正负来进行迭代的; 12．原问题具有无界解,对偶问题无可行解． 恩 13．可行解是基解． 错 14．标准型中的变量要求非正． 恩 大于0 15．线性规划的基本最优解是最优解． 恩 16．对产销平衡运输问题,各产地产量之和等于各销地销量之和． 恩 18．用单纯形法求解线性规划问题时,一定要将问题化为标准型． 恩 19．匈亚利解法是求解运输问题的一种方法．错 匈牙利康尼格法是求解及小型优化方向为极小指派问题的一种方法 20．运输问题必存在有限最优解． 错 当非基变量为0时有无穷多最优解关于其退化问题 二、填空题： 1．规划问题的数学模型由 目标函数 、 约束条件 、 决策变量 三个要素组成; 2．满足变量非负约束条件的 基解 称为基可行解; 3．线性规划的约束条件个数与其对偶问题的 决策变量个数 相等； 4．如原问题有可行解且目标函数值无界,则其对偶问题 无可行解 ；反之,对偶问题有可行解且目标函数值无界,则其原问题 无可行解 ; 5．线性规划的右端常数项是其对偶问题的 目标函数的变量系数 ； 6．用单纯形法求解线性规划问题时,判断是否为最优解的标准是：对极大化问题,检验数应为 小于0 ；对极小化问题,检验数应为 大于 0 ; 7．线性规划问题如果没有可行解,则单纯形计算表的终点表中必然有 基变量中有非零的人工变量 ; 9．对于有)(n m +个结构约束条件的产销平衡运输问题,由于 销量等于产量 ,故只有)1(-+n m 个结构约束条件是线性独立 的; 10．某些运输问题会出现数字格的数目<行数+列数-1的现象,这种现象称为 退化 现象; 11．运输问题中求初始基可行解的方法有 西北角法 、 最小元素法 、 伏尔格法 三种常用方法; 12．在运输问题中,每次迭代时,如果有某非基变量的检验数等于零,则该运输问题 有无限多最优解 ; 13．对产销平衡运输问题,所有结构约束条件都是 产量等于销量 ; 14．解极小化不平衡运输问题时,如果销售量大于生产量,则需要增加一个虚拟产地,将问题化为平衡运输问题,虚拟产地的产量等于 销量减产量的差额; 15．要求 线性规则中 决策变量必须取整数值的规划问题称为整数规划;不考虑整数条件,由余下的目标函数和约束条件构成的规 划问题称为该整数规划问题的 相应的线性规划问题 ; 16．求解0-1型整数规划时,为了减少运算量,常按目标函数中各变量系数的大小顺序重新排列各变量;对于最大化问题,可按 变量系数递增 的顺序排列,对于最小化问题,则相反;运筹学试题与答题