信号与系统课程作业

一、题目

1.已知信号f(t)=sin(20πt)+sin(80πt)，用如图所示的采样频率为fs=100Hz，大小为1的信号对其

进行采样，使用MATLAB编程，

（1）绘制采样后的信号时域上的波形图；

（2）对采样后的信号进行频谱分析，画出其幅度谱；

（3）要从采样信号中恢复出原始信号f(t)，在MATLAB中设计滤波器，画出滤波后的幅度谱；

（4）将信号f(t)加载到载波信号s(t)=cos(500πt)上，画出调制后信号的波形图和幅度谱。

二、原理

1、信号的采样

“取样”就是利用从连续时间信号f(t)中“抽取”一系列离散样本值的过程。这样得到的离散信号称为取样信号。采样信号f(t)可以看成连续信号f(t)和取样脉冲序列s(t)的乘积。其中取样脉冲序列s(t)也称为开关函数。如果其各脉冲间隔时间相同，均为Ts，就称为均匀取样。Ts称为取样周期，fs=1/Ts 称为取样频率或取样率，ωs=2πfs=2π/Ts称为取样角频率。

如果f(t)?F(jω)，s(t)?S(jω)，则由频域卷积定理，得取样信号fs(t)的频谱函数为

本题的取样脉冲序列s(t)是周期为Ts=0.01s的冲激函数序列δTs，也就是冲激取样。而冲激序列δTs（这里T=Ts，Ω=2π/Ts=ωs）的频谱函数也是周期冲激序列，即

2、采样定理

所谓模拟信号的数字处理方法就是将待处理模拟信号经过采样、量化和编码形成数字信号，再利用数字信号处理技术对采样得到的数字信号进行处理。

一个频带限制在(0,fc)Hz内的模拟信号m(t)，若以采样频率fs≥2fc对模拟信号m(t)进行采样，得到最终的采样值，则可无混叠失真地恢复原始模拟信号m(t)。

其中，无混叠失真地恢复原始模拟信号m(t)是指被恢复信号与原始模拟信号在频谱上无混叠失真，并不是说被恢复信号与原始信号在时域上完全一样。由于采样和恢复器件的精度限制以及量化误差等存在，两者实际是存在一定误差或失真的。奈奎斯特频率：通常把最低允许的采样频率fs=2fc称为奈奎斯特频率。

3、信号的重构

设信号f(t)被采样后形成的采样信号为fs(t)，信号的重构是指由fs(t)经过内插处理后，恢复出原来的信号f(t)的过程。因此又称为信号恢复。

在采样频率ωs≥2ωm的条件下，采样信号的频谱Fs(jω)是以ωs为周期的谱线。选择一个理想

低通滤波器，使其频率特性H(jω)满足：

?

?

?

>

<

=

c

c j

H

ω

ω

ω

ω

ω

，

，

Ts

)

(

式中的ωc称为滤波器的截止频率，满足ωm≤ωc≤ωs/2。将采样信号通过该理想低通滤波器，输出信号的频谱将与原信号的频谱相同。因此，经过理想滤波器还原得到的信号即为原信号本身。

通过以上分析，得到如下的时域采样定理：一个带宽为ωm的带限信号f(t)，可唯一地由它的均匀取样信号fs(nTs)确定，其中，取样间隔Ts<π/ωm,该取样间隔又称为奈奎斯特（Nyquist）间隔，最低允许取样频率fs=2fm就是奈奎斯特频率。

使用matlab的sinc(x)的函数，sinc(x) 代表的是 sin(pix)/(pix) 。

4、调制信号

调制信号是原始信息变换而来的低频信号。调制本身是一个电信号变换的过程。调制信号去改变载波信号的某些特征值（如振幅、频率、相位等），导致载波信号的这个特征值发生有规律的变化，这个规律是调制信号本身的规律所决定的。

载波是被调制以传输信号的波形，一般为正弦波。一般要求正弦载波的频率远高于调制信号的带宽，否则会发生混叠，使传输信号失真。我们一般需要发送的数据的频率是低频的，如果按照本身的数据的频率来传输，不利于接收和同步。使用载波传输，我们可以将数据的信号加载到载波的信号上，接收方按照载波的频率来接收数据信号，有意义的信号波的波幅与无意义的信号的波幅是不同的，将这些信号提取出来就是我们需要的数据信号。

二.源程序（附源程序说明）

fy='sin(20*pi*t)+sin(80*pi*t)'; %原信号

%第一问：对信号采样

fs=100;%采样频率

Ts = 1/fs;%采样周期

tp=0.1;

t1 = -tp:Ts:tp;%采样时间序列

f1 = [fs*k2/m2,fs*k1/m1];%设置采样信号的频率数组

t = t1;

fz = eval(fy);%获取采样序列

%画采样序列波形

figure

subplot(111),stem(t,fz,'.');

title('采样信号时域图')

xlabel('t(s)'),ylabel('y(t)')

line([min(t),max(t)],[0,0]);

grid on

%第二问：画采样信号频谱

FZ = fz*exp(-1j*(1:length(fz))'*w);%采样信号的离散时间傅里叶变换subplot(111),plot(f1,abs(FZ),'m');

title('采样信号幅度谱谱')

xlabel('f(Hz)'),ylabel('FZ')

grid on

%第三问：信号的恢复及频谱函数

T = 1/fs;%采样周期

dt = T/10; %时间间隔,在每个抽样点前面插入9个值

tp = 0.1;%时间范围赋值

t = -tp:dt:tp; %时间范围

n = -tp/T:tp/T;%计算在重构的时间区间之内有多少个采样周期

TMN = ones(length(n),1)*t-n'*T*ones(1,length(t));%生成TMN矩阵

fh = fz*sinc(fs*TMN);%由采样信号恢复原信号

k1 = 0:999; k2 = -999:-1;

m1 = length(k1);m2 = length(k2);

w = [-2*pi*k2/m2,2*pi*k1/m1];%频率变量

FH = fh*exp(-1j*(1:length(fh))'*w);%恢复后的信号的离散时间傅里叶变换figure

%画滤波后的频谱

f = [10*fs*k2/m2,10*fs*k1/m1];%频率范围

subplot(111),plot(f,abs(FH),'g')

title('滤波后信号的幅度谱');

xlabel('f(Hz)'),ylabel('FH');

axis([-100 100 0 max(abs(FH))+2]);

grid on

%第四问：调制

T = 1/fs;

dt = T/10; tp = 0.1;

t = -tp:dt:tp; n = -tp/T:tp/T;

k1 = 0:999; k2 = -999:-1;

m1 = length(k1);m2 = length(k2);

ft = [10*fs*k2/m2,10*fs*k1/m1];%频率范围

yc=cos(500*pi*t);%载波信号

fc= eval(fy);

y=fc.*yc;%调制后的信号

FY = y*exp(-1j*(1:length(y))'*w);%已调信号的离散时间傅里叶变换%画调制后信号波形

figure

subplot(211),stem(t,y,'.');

title('已调信号')

xlabel('t(s)'),ylabel('y(t)')

line([min(t),max(t)],[0,0]);

grid on

%画调制后信号频谱

subplot(212),plot(ft,abs(FY),'m');

title('已调信号幅度谱')

xlabel('f(y)'),ylabel('FY')

grid on

四、运行结果与分析

1、第一问

分析：采样信号在时域的表示为无穷多冲激函数的线性组合，其权值为原始信号在对应采样时刻的定义值。

2、第二问

分析：采样信号fs(t)的频

谱就是将原始信号f(t)的频谱

在频率轴上以采样角频率ωs为

周期进行周期延拓后的结果（幅

度为原频谱的1/Ts）。由取样信

号fs(t)的频谱可以看出，如果

ωs>2ωm（即fs>2fm或

Ts<1/2fm），那么各相邻频移后

的频谱不会发生重叠。

3、第三问

分析：采样信号在一定

条件下可以恢复为原来的

信号，只需用带宽为Ws/2

的理想低通滤波器将各次

谐波调制频谱滤去，保留不

失真的基带频谱，从而不失

真地还原出原来的信号。

4、第四问

分析：按照载波的频率来

接收数据信号，有意义的信号

波的波幅与无意义的信号的波

幅是不同的，提取出来的这些

信号就是我们需要的数据信

号。

一、题目

2．离散的时间系统差分方程为：

0.863y(k)-0.49y(k-1)+0.124 y(k-2)=1.328f(k)+0.572 f(k-1)+0.98 f(k-2)

初始状态为y(-1)=-3.02，y(-2)=1.35，激励信号f(k)=cos(0.25πk+0.46π)U(k)

(1)利用MATLAB画出系统单位序列响应h(k)的波形图；

(2)分别画出系统的零状态响应和全响应的波形图。

二、原理

1、求系统单位序列响应h(k)，可调用函数：impz

功能：求解数字系统的冲激响应。

调用格式：

[h,t]=impz(b,a); %求解数字系统的冲激响应 h，取样点数为缺省值。