2
＝30(2)，联立(1)(2)解得c ＝60，A ＝16.
答案：D
6．（2012江苏，5分）设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝
????
?
ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2
x ＋1
，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f (12)＝f (3
2
)，则a ＋3b 的值为________．
解析：因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f (32)＝f (－1
2)，且f (－1)＝f (1)，
故f (12)＝f (－12)，从而1
2b ＋212
＋1＝－1
2
a ＋1,3a ＋2
b ＝－2. ①
由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝
b ＋2
2
，故b ＝－2a . ②
由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10. 答案：－10
7．（2011江苏，5分）已知实数a ≠0，函数f (x )＝?
??
??
2x ＋a ，x ＜1，
－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋
a )，则a 的值为________．
解析：①当1－a ＜1，即a ＞0时，此时a ＋1＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，计算得a ＝－3
2
(舍去)；②当1－a ＞1，即a ＜0时，此时a ＋1＜1，由
f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1＋a )＋a ＝－(1－a )－2a ，计算得a ＝－34
，符合题意，所以综上
所述，a ＝－3
4
.
答案：－3
4
分段函数的几种常见题型及解法好
分段函数的几种常见题型及解法 1．求分段函数的定义域和值域 例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈??∈+∞? 的定义域、值域. 【解析】 作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为 [1,)-+∞, 值域为(1,3]-. 2．求分段函数的函数值 例2．（05年浙江理）已知函数2 |1|2,(||1) ()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12[()] f f . 【解析】 因为311222()|1|2f =--=-, 所以31 222 3214 [()]()1()13 f f f =-= =+-. 3．求分段函数的最值 例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值. 【解析】当0x ≤时, max ()(0)3f x f ==, 当01x <≤时, max ()(1)4f x f ==, 当1x >时, 5154x -+<-+=, 综上有max ()4f x =. 4．求分段函数的解析式 例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对
称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ） 222(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 2 26(12) .()3(24)x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? 【解析】 当[2,0]x ∈-时, 121y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移 1 个单位, 得解析式为11 22(2)111 y x x =-+-=-, 所以()22([f x x x =+∈-, 当[0,1]x ∈时, 21y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2 个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式2(2)1124y x x =-+-=-, 所以 1 ()2([0,2]) f x x x =+∈, 综上可得2 22(10) ()2(02)x x x f x x +-≤≤?=?+<≤?, 故选A . 5．作分段函数的图像 例5．函数|ln ||1|x y e x =--的图像大致是（ ） A y x
分段函数的几种常见题型和解法
函数的概念和性质 考点 分段函数 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下： 1．求分段函数的定义域和值域 例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈??∈+∞? 的定义域、值域. 2．求分段函数的函数值 例2．已知函数2 |1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12[()]f f .
例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值. 4．求分段函数的解析式 例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ） 222(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 2 26(12) .()3(24)x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? y x
1.2.2(2)分段函数知识点及例题解析
分段函数常见题型例析 所谓“分段函数”是指在定义域的不同部分，有不同对应关系的函数，因此分段函数不是几个函数而是一个函数，它在解题中有着广泛的应用，不少同学对此认识不深，解题时常出现错误．现就分段函数的常见题型例析如下： １．求分段函数的定义域、值域 例１．求函数)(x f ＝?????->-≤+)2(,2 )2(,42x x x x x 的值域． 解：当x ≤－２时，4)2(422-+=+=x x x y ， ∴ y ≥－４． 当x ＞－２时，y ＝2x ， ∴y ＞2 2-＝－１． ∴ 函数)(x f 的值域是｛y ∣y ≥－４，或y ＞－１｝＝｛y ∣y ≥－４｝． 评注：分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集． ２．作分段函数的图象 例２ 已知函数2(2)()3[22)3[2)x f x x x x -∈-∞-??=+∈-??∈+∞? ，，，， ，，，画函数( f 解：函数图象如图１所示． 评注：分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成， 作图的关键是根据定义域的不同，分别由表达式做出 其图象．作图时，一要注意每段自变量的取值范围； 二要注意间断函数的图象中每段的端点的虚实． ３．求分段函数的函数值 例３．已知)(x f ＝?? ???<=>+)0.(0)0(,)0(,1x x x x π 求(((3)))f f f -的值． 解：∵ －３＜０ ∴ f （－３）＝０， ∴ f （f （－３））＝f （０）＝π 又π＞０ ∴(((3)))f f f -＝f （π）＝π＋１． 评注：求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应关系求值． x 图1
高中常见分段函数题型归纳
分段函数常见题型及解法 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的围，有不同的对应法则的函数，它是一个函数，非几个函数；它的定义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集. 与分段函数有关的类型题的求解，在教材中只出现了由分段函数作出其图象的题型，并未作深入说明，因此，对于分段函数类型的求解不少同学感到困难较多，现举例说明其求解方法． 1．求分段函数的定义域和值域 例1.求函数 1 2 22[1,0]; ()(0,2); 3[2,); x x f x x x x +∈- ? ? =-∈ ? ?∈+∞ ?的定义域、值域. 解析：作图, 利用“数形结合”易知 () f x 的定义域为 [1,) -+∞ , 值 域为（-1，2]U｛3｝. 例2.求函数的值域. 解析：因为当x≥0时，x2+1≥1；当x<0时，-x2<0.所以，原函数的值域是[1,+∞)∪(-∞,0). 2．求分段函数的函数值 例1.已知函数 2 |1|2,(||1) ()1 ,(||1) 1 x x f x x x --≤ ? ? =? > ?+ ?求12 [()] f f . 解析：因为 3 11 222 ()|1|2 f=--=- , 所以 3 1 222 3 2 14 [()]() 1()13 f f f =-== +- . 例2.已知函数，求f{f[f(a)]} (a<0)的值. 分析: 求此函数值关键是由到外逐一求值，即由 a<0, f(a)=2a，又0<2a<1, , ，所以，. 注：求分段函数值的关键是根据自变量的取值代入相应的函数段． 练1.设 ,0. () ,0. x e x g x lnx x ?≤ =? > ?则 1 (()) 2 g g= __________ 练2.设 1 2 3 2(2), () (1)(2). log x x f x x e x - ?< ? =? -≥ ?? 则 [(2)] f f= __________ 1 1 o 3 2 2 -1 y x -1
高中数学-分段函数的几种常见题型及解法
分段函数常见题型及解法 【解析】 3 ?求分段函数的最值 4x 3 (x 0) 例3?求函数f(x) x 3 (0 x 1)的最大值 x 5 (x 1) 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内 有不同的对应法则的函数 它是一个函数，却又常常被学生误认为是几个函数 ；它的定义域是各段函数定义域的并 集，其值域也是各段函数值域的并集 ?由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知 识的程度的考察上有较好的作用 ，时常在高考试题中“闪亮”登场，笔者就几种具体的题 型做了一些思考，解析如下： 1 ?求分段函数的定义域和值域 例1.求函数f(x) 值域? 【解析】 2x 2 x [ 1,0]; 1 x x (0,2);的定义域、 3 x [2，)； 作图， 利用“数形结合”易知f (x)的定义域为 [1，)，值域为(1,3]. 2 ?求分段函数的函数值 |x 1| 2，(|x| 例2 . ( 05年浙江理)已知函数 f(x) 1 1 x 2 (|x| 1) 1) 求f[? 因为 f(i) 11 1| 2 所以 f[f(b] f( 1 4 1 ( i) 2 13
【解析】当 X 0 时,f max (X ) f(0) 3,当 0 X 1 时，f max (X ) f(1) 4, 当 X 1 时, X 5 15 4,综上有 f max (x) 4. 4 ?求分段函数的解析式 例4 .在同一平面直角坐标系中，函数y f (X )和y g(X )的图象关于直线 y X 对 称，现将y g(x)的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，所得 的图象是由两条线段组成的折线(如图所示) ，则函数f (x)的表达式为() 5 ?作分段函数的图像 例5?函数y e IM |X 1|的图像大致是() 2x 2 (1 X 0) A. f(x) 2 X 2 (0 X 2) 2x 2 (1 X 0) B. f(x) 2 X 2 (0 X 2) 2x 2 (1 X 2) C. f(x) X 2 1 ( 2 X 4) 2x 6 (1 X 2) D. f(x) X 2 3 (2 X 4) 【解析】 将其图象沿X 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下 平移 1 个单位 得解析式为y 今(x 2) 1 1 4 1 f(x) 2x 2 (x [ 1,0]),当 x [0,1]时, y 2x 1,将其图象沿x 轴向右平移2 个单位，再沿y 轴向下平移 1个单位, 得解析式y 2(x 2) 1 1 2x 4, 所以 f(x) 2x 2 (x [0,2]) 综上可得f(x) 2x 2 ( 1 x 0) ■2 2 (0 x 2) 故选A 当 X [ 2,0]时，y 1 x 1
分段函数的常见题型及解法(广东用)
分段函数的常见题型及解法 分段函数; 定义域; 值域或最值; 函数值; 解析式; 图像; 奇偶性; 方程; 不等式. 1．求分段函数的定义域和值域 2．求分段函数的函数值 3．求分段函数的最值 4．求分段函数的解析式 5．作分段函数的图像 7．判断分段函数的奇偶性 8．判断分段函数的单调性 9．解分段函数的方程 10．解分段函数的不等式 1．求分段函数的定义域和值域 例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈??∈+∞? 的定义域、值域. 【解析】 作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为[1,)-+∞, 值域为(1,3]-.
练习．已知f （x ） 是定义在[)2,0-∪(]0,2上的奇函数，当0>x 时， f （x ） 的图象如右图所示，那么f （x ） 的值域是 ． 2．求分段函数的函数值 1、设()1 2 32,2()log 1,2 x e x f x x x -?? 的最大值 方法1 先求每个分段区间上的最值，后比较求值。 当x ≤0时,y =()f x =2x +3,此时显然有y maX = (0)f =3; 当01时，y =()f x =－x +5，此时y 无最大值.比较可得当x =1时,y max =4. 方法2 利用函数的单调性 由函数解析式可知，()f x 在x ∈(∞,0)上是单调递增的，在x ∈(0,1)上也是递增的，而在x ∈(1,+∞)上是递减的，
【新教材】新人教A版必修一 分段函数常见题型解法 教案
【知识要点】 分段函数问题是高中数学中常见的题型之一,也是高考经常考查的问题.主要考查分段函数的解析式、求值、解不等式、奇偶性、值域（最值)、单调性和零点等问题. 1、 求分段函数的解析式，一般一段一段地求，最后综合。即先分后总。注意分段函数的书写格式为： 11 2 2()()()() n n n f x x D f x x D f x x D f x x D ∈??∈?=? ∈??∈?，不要写成11 22 ()()()()n n n y f x x D y f x x D f x x D y f x x D =∈??=∈?=?∈? ?=∈?.注意分段函数的每一段的自变量的取值范 围的交集为空集，并集为函数的定义域D 。一般左边的区域写在上面，右边的区域写在下面. 2、分段函数求值,先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算。如果不能确定在哪一段,就要分类讨论.注意小分类要求交,大综合要求并. 3、分段函数解不等式和分段函数求值的方法类似，注意小分类要求交,大综合要求并. 4、分段函数的奇偶性的判断，方法一：定义法。方法二:数形结合。 5、分段函数的值域（最值），方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小)值比较，即得到函数的最大(小）值. 方法二:数形结合。 6、分段函数的单调性的判断，方法一:数形结合，方法二：先求每一段的单调性，再写出整个函数的单调性。 7、分段函数的零点问题，方法一：解方程,方法二：图像法，方法三：方程+图像法. 和一般函数的零点问题的处理方法是一样的。 虽然分段函数是一种特殊的函数，在处理这些问题时，方法其实和一般的函数大体是一致的. 【方法讲评】 题型一 分段函数的解析式问题 解题方法 一般一段一段地求，最后综合.即先分后总。
分段函数的几种常见题型及解法--学生版
分段函数的几种常见题型及解法 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 笔者就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下： 1．求分段函数的定义域和值域 例1．求函数1222[1,0]; ()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈??∈+∞? 的定义域、值域. 2．求分段函数的函数值 3．例2．（05年浙江理）已知函数2 |1|2,(||1) ()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12[()] f f . 3．求分段函数的最值 例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值. 4．求分段函数的解析式 例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ） 22(10).()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤?2 22(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12).()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤?2 26(12) .()3(24)x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? 5．作分段函数的图像 例5．函数|ln | |1|x y e x =--的图像大致是（ ） y x
八年级一次函数分段函数经典讲解
认清分段函数,解决收费问题 定义：一般地，如果有实数a1，a2，a3……k1,k,2k3……b1,b2,b3……且a1≤a2≤a3……函数Y与自变量X之间存在 k1x+b1 x≤a1 y = k2x+b2 a1≤x≤a2 ①的函数解析式，则称该函数解析式为X的分段函数。 K3x+b3 a2≤x≤a3 ………… 应该指出:(一), 函数解析式①这个整体只是一个函数,并非是Y=K1X+b1 Y=K2X+b2……等几个不同函数的简单组合,而k1x+b1,k2x+b2……是函数Y的几种不同的表达式.。所以上例中Y=｛这个整体只是一个函数，不能认为 它是两个不同的函数，只能说110X和110×80%X是同一函数中的自变量X在两种不同取值范围内的不同表达式。 (二),由于k1,k2,k3……b1,b2,b3是实数,所以函数Y在X的某个范围内的特殊函数,如正比例 函数和常数函数。 (三),由于问题的不同，当然分段函数也可能在自变量某范围内不是一次函数而 是其他形式的函数，在这里我们不予讨论。 (四), 一次函数的分段函数是简单的分段函数。 分段函数应用题 分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数， 分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论。在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种 重要题型。 收费问题与我们的生活息息相关,如水费问题、电费问题、话费问题等，这些收费 问题往往根据不同的用量，采用不同的收费方式.以收费为题材的数学问题多以分段 函数的形式出现在中考试题中，下面请看几例. 一、话费中的分段函数 例1 （四川广元）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间（分钟）
分段函数常见题型汇总
分段函数常见题型汇总 分段函数是高中阶段的一个非常重要的内容，在近几年各省的高考中频繁出现。必修一（人教版）第21页例5、例6都是关于分段函数的，课后习题第23页第3题、24页A组第7题、25页B组第3题以及45页第4、7题都是针对分段函数设置的，可见，教材对分段函数非常重视。 对于分段函数，我们必须首先认识到它是一个函数，不是几个函数，是自变量在不同范围对应不同的解析式。下面分类对一些题目进行分析。 1.画分段函数的图像并求值域 例1.已知y=x-1+x-2，作出这个函数的图像，并求值域. 分析：对于这种类型的题目，必须首先根据绝对值的概念把绝对值符号去掉，转化为分段函数处理，对于端点要特别注意，应分清是空心还是实心。 解：由绝对值的概念，得：y=3-2x（x≤1），1（12） 所以，函数y=x-1+x-2的图像如图所示，根据图像，我们可以得出函数的值域为［1，∞）. 2.求分段函数的函数值 例2.设函数f（x）=1-x2（x≤1），x2+x-2（x>1）求f（）的值.
分析：求分段函数的函数值，首先应确定自变量的范围，然后按相应的对应关系求值，对于多层的求函数值的问题，要“由内及外”求，即先求最里面一层，然后依次往外求。 解：因为2>1，所以f（2）=22+2-2=4，所以=，因为<1，所以 f（）=f（）=. 例3.f（x）=x-4（x≥11），f［f（x+7）］（x<11）求f（6）的值. 分析：此类问题需注意的是多次“循环求值”，才能求出最后的结果。 解：f（6）=f［f（13）］=f（9）=f［f（16）］=f（12）=8. 3.解方程问题 例4.已知函数f（x）=2x2+1（x≤3），4x（x>3）如果f （x0）=33，求x0的值. 分析：这种问题考虑要全面，要分类处理，并且还要检验求出来的根是否在相应的自变量范围内。 解：当x0≤3时，2x02+1=33，解得x0=±4.又因为x0≤3，所以x0只能为 -4.当x0>3时，4x0=33，解得x0=>3，所以x0的值为-4或. 4.分段函数的奇偶性问题 例5.判断函数f（x）=x2+1（x>0），-x2-1（x<0）的奇偶
高中数学-分段函数的几种常见题型及解法
分段函数常见题型及解法 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 笔者就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下： 1．求分段函数的定义域和值域 例1．求函数1222[1,0]; ()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈??∈+∞? 的定义域、值域. 【解析】 作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为 [1,)-+∞, 值域为(1,3]-. 2．求分段函数的函数值 例2．（05年浙江理）已知函数2 |1|2,(||1) ()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12[()]f f . 【解析】 因为311222()|1|2f =--=-, 所以31 222 32 14 [()]()1()13f f f =-= =+-. 3．求分段函数的最值 例3．求函数43(0) ()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值.
【解析】当0x ≤时, max ()(0)3f x f ==, 当01x <≤时, max ()(1)4f x f ==, 当1x >时, 5154x -+<-+=, 综上有max ()4f x =. 4．求分段函数的解析式 例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ） 222(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 226(12) .()3(24) x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? 【解析】 当[2,0]x ∈-时, 12 1y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下 平移 1 个单位, 得解析式为1122 (2)111y x x =-+-= -, 所以 ()22([1,0])f x x x =+∈-, 当[0,1]x ∈时, 21y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2 个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式2(2)1124y x x =-+-=-, 所以 12 ()2([0,2])f x x x =+∈, 综上可得222(10) ()2(02) x x x f x x +-≤≤?=?+<≤?, 故选A . 5．作分段函数的图像 例5．函数|ln | |1|x y e x =--的图像大致是（ ） y x
高三数学-高考知识点-分段函数复习题教师版
高三数学分段函数复习题 一、单选题 1．设函数，则满足的x的取值范围是 A. B. C. D. 2．已知函数，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 3．已知函数，函数有四个不同的零点，且满足：，则的取值范围是（） A. B. C. D. 4．已知函数，那么函数的值域为（） A. B. C. D. 5．设函数，若，则实数a的值为（） A. B. C. 或 D. 6．已知函数，若函数恰好有两个零点，则实数等于（为自然对数的底数）（） A. B. C. D. 7．已知函数（是自然对数底数），方程有四个实数根，则的取值范围为（）
A. B. C. D. 8．已知上的奇函数满足：当时，，则（） A. B. C. D. 9．定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（） A. B. C. D. 10．设函数，，若对任意实数， 恒成立，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 二、填空题 11．函数满足，且在区间上，则 的值为 ________． 12．已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 13．已知a∈R，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________． 14．（2017新课标全国Ⅲ理科）设函数则满足的x的取值范围是____________.
19．已知函数 （1）若的值域为R，求实数a的取值范围；（2）若，解关于x的不等式.
参考答案 1．D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有成立，一定会有，从而求得结果. 详解：将函数的图像画出来， 观察图像可知会有，解得， 所以满足的x的取值范围是，故选D. 点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果. 2．A 【解析】分析：判断分段函数两段的单调性，当时， 为指数函数，可判断函数在上为减函数；第二段函数的图像开口向下，对称轴为，可得函数在区间上为减函数。时，两段函数值相等。进而得函数在上为减函数。根据单调性不等式可变为。解得。
分段函数的几种常见题型及解法
分段函数的几种常见题型及解法 关键词：分段函数、定义域、值域或最值、函数值、解析式、图象、奇偶性、单调性、方程、不等式、应用。 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内，有不同对应法则的函数，它是一个函数，它的定义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集，由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用，时常在高考试题中“闪亮”登场，笔者就几种具体的题型做了一些思考，解析如下： 1、求分段函数的定义域和值域 例1、求函数x)= 22 [1,0] 1 (0.2) 2 [2.) 3 x x x x x + ? ∈- ?? -∈ ? ?∈+∞ ?? 的定义域，值域。 解析：的定义域为[-1,0](0,2)[2,+)=[-1, +） X∈[-1,0] 2X+2 ∈[0,2] X∈(0,2) —∈(-1,0) 的值域为（-1，0）[0,2]{3}=(-1,2]{3} 2、求分段函数的函数值.
例2、（2012福建），设f(x)= 10 0010 x x x >?? =??-0) ,试写出y=g(x) 的表达式。 解析：当 02021年分段函数的几种常见题型及解法
分段函数的几种常见题型及解 法 欧阳光明（2021.03.07） 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 笔者就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下： 1．求分段函数的定义域和值域 例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈-??=-∈??∈+∞? 的定 义域、值域. 【解析】 作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为[1,)-+∞, 值域为 (1,3]-. 2．求分段函数的函数值 例2．（05年浙江理）已知函数2|1|2,(||1) ()1 ,(||1)1x x f x x x --≤??=?>?+?求 12[()]f f . 【解析】
因为 311 222 ()|1|2f =--=-, 所以 3 1222 3214 [()]()1() 13f f f =-= =+-. 3．求分段函数的最值 例3．求函数43(0) ()3(01) 5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值. 【解析】当0x ≤时, max ()(0)3f x f ==, 当01x <≤时, max ()(1)4 f x f ==, 当1x >时, 5154x -+<-+=, 综上有max ()4f x =. 4．求分段函数的解析式 例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ） 【解析】 当[2,0]x ∈-时, 121y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再 沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式为 1122(2)111y x x =-+-=-, 所以()22([1,0])f x x x =+∈-, 当[0,1]x ∈时, 21y x =+, 将其图象沿x 轴向右平 移2个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式 2(2)1124 y x x =-+-=-, 所以 12()2([0,2]) f x x x =+∈, 综上可得 222(10) ()2(02)x x x f x x +-≤≤?=?+<≤?, 故选A . 5．作分段函数的图像 例 5．函数 |ln | |1|x y e x =--的图像大致是（ ） 6．求分段函数得反函数 例6已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时,
2018年高考数学常见题型解法归纳反馈训练第10讲函数(指数函数、对数函数和分段函数)模型及其应用
第10讲函数（指数函数、对数函数和分段函数）模型及其应用【知识要点】 一、在现实生活中有许多问题，往往隐含着量与量之间的关系，可通过建立变量之间的函数关系和对所得函数的研究，使问题得到解决． 数学模型方法是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法；数学模型则是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时所得出的关于实际问题的数学描述． 数学模型来源于实际，它是对实际问题抽象概括加以数学描述后的产物，它又要回到实际中去检验，因此对实际问题有深刻的理解是运用数学模型方法的前提． 二、函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化现象需要用不同的函数模型来描述，数学应用题的建模过程就是信息的获取、存储、处理、综合、输出的过程，熟悉一些基本的数学模型，有助于提高我们解决实际问题的能力． 三、三种增长型函数的增长速度的比较 1、指数函数与幂函数在区间，无论比大多少，尽管在的一定范围内会小于，但由于的增长速度快于的增长速度,因而总存在一个,当时有. 2、对数函数与幂函数对数函数的增长速度，不论与值的大小如何总会慢于的增长速度, 因而在定义域内总存在一个实数,当时有 . 3、由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上,因此在上，总会存在一个实数,当时有 . 四、分段函数 在函数的定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，则称这个函数为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数.分段函数书写时，注意格式规范，一
般在左边的区间写在上面，每一段自变量的取值范围的交集为空集. 五．解决实际问题的解题过程 （1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用、分别表示问题中的变量； （2）建立函数模型：将变量表示为的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式； （3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解. 这些步骤用框图表示： 六．解应用题的一般程序 （1）读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础； （2）建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关； （3）解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程； （4）答：将数学结论还原给实际问题的结果． 七、常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型、分段函数模型、三角函数模型、数列函数、线性目标函数模型和综合函数模型等. 【方法讲评】 函数的模型一指数函数模型 解题步骤先建立指数函数模型，再解答. 【例1】某城市现有人口总数为万人，如果年自然增长率为，试解答下面的 问题： （1）写出该城市人口总数（万人）与年份（年）的函数关系式；
高中数学常见题型解法归纳 分段函数常见题型解法
高中数学常见题型解法归纳 分段函数常见题型解法 【知识要点】 分段函数问题是高中数学中常见的题型之一，也是高考经常考查的问题.主要考查分段函数的解析式、求值、解不等式、奇偶性、值域（最值）、单调性和零点等问题. 1、 求分段函数的解析式，一般一段一段地求，最后综合.即先分后总.注意分段函数的书写格式为： 1122()()()()n n n f x x D f x x D f x x D f x x D ∈??∈?=?∈??∈? ，不要写成11 22 ()()()()n n n y f x x D y f x x D f x x D y f x x D =∈??=∈?=?∈??=∈? .注意分段函数的每一段的自变量的取值范 围的交集为空集，并集为函数的定义域D .一般左边的区域写在上面,右边的区域写在下面. 2、分段函数求值，先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段，就要分类讨论.注意小分类要求交，大综合要求并. 3、分段函数解不等式和分段函数求值的方法类似，注意小分类要求交，大综合要求并. 4、分段函数的奇偶性的判断，方法一：定义法.方法二：数形结合. 5、分段函数的值域（最值）,方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值. 方法二：数形结合. 6、分段函数的单调性的判断，方法一：数形结合，方法二：先求每一段的单调性，再写出整个函数的单调性. 7、分段函数的零点问题，方法一：解方程，方法二：图像法，方法三：方程+图像法. 和一般函数的零点问题的处理方法是一样的. 虽然分段函数是一种特殊的函数，在处理这些问题时，方法其实和一般的函数大体是一致的. 【方法讲评】 【例1】已知函数)(x f 对实数R x ∈满足)1()1(,0)()(+=-=-+x f x f x f x f ，若当[)1,0∈x 时， 21)2 3 (),1,0()(-=≠>+=f a a b a x f x . （1）求[]1,1-∈x 时，)(x f 的解析式；（2）求方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数.
分段函数的几种常见题型和解法
函数的概念和性质 考点分段函数 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内，有不同的对应法则的函数 它是一个函数，却又常常被学生误认为是几个函数；它的定义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集?由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用，时常在高考试题中“闪亮”登场，本文就几种具体的题型做了一些思考，解析如下： 1 ?求分段函数的定义域和值域 3 ?求分段函数的最值2x 2 x[1，0]; 4x x（0，2）;的定义域、值 域 3x[2，）； 例1 ?求函数f （X） 例2 .已知函数f（x）|X 1| 1 1 X2 2，(|x| 1) (|x| 1)
4x 3 (x 0) x 3 (0 x 1)的最大值? x 5 (x 1) 4 ?求分段函数的解析式 例4.在同一平面直角坐标系中，函数y f (x)和y g(x)的图象关于直线y x对称，现将y g(x)的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线(如图所示) ，则函数f (x)的表达式为() 2x2(1x0) A.f(x) 2 x ~2 (0x2) 2x2(1x0) B.f(x) 2 x ~2 (0x2) 2x2(1x2) C.f(x) _x ~2 1(2x4) f(x)2x6(1x2) D. x 2 3(2x4) 5 ?作分段函数的图像 例3?求函数f (x)
例5．函数y e|ln x| | x 1|的图像大致是( ) 6．求分段函数得反函数 例 6 已知y f(x) 是f(x) 的反函数为y g(x) , 义在R上的奇函数，且当x 0时，f(x) 3x 求g(x) 的表达式. 1，设 7．判断分段函数的奇偶性 例7．判断函数f(x) 2 x2(x 1) (x 0) x2(x 1)(x 0) 的奇偶性. 8．判断分段函数的单调性 例8．判断函数f(x) 3 x x(x 2 x (x 0) 的单调性. 0)
