高中数学常见题型解法归纳含详解第15招 分段函数常见题型解法

【知识要点】

分段函数问题是高中数学中常见的题型之一，也是高考经常考查的问题.主要考查分段函数的解析式、求值、解不等式、奇偶性、值域（最值）、单调性和零点等问题.

1、 求分段函数的解析式，一般一段一段地求，最后综合.即先分后总.注意分段函数的书写格式为：

11

2

2()

()()()

n n n f x x D f x x D f x x D f x x D ∈??∈?=?

∈??∈?K K ，不要写成11

22

()()()()n n n

y f x x D y f x x D f x x D y f x x D =∈??=∈?=?∈?

?=∈?K K .注意分段函数的每一段的自变量的取值范

围的交集为空集，并集为函数的定义域D .一般左边的区域写在上面,右边的区域写在下面.

2、分段函数求值，先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段，就要分类讨论.注意小分类要求交，大综合要求并.

3、分段函数解不等式和分段函数求值的方法类似，注意小分类要求交，大综合要求并.

4、分段函数的奇偶性的判断，方法一：定义法.方法二：数形结合.

5、分段函数的值域（最值）,方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值. 方法二：数形结合.

6、分段函数的单调性的判断，方法一：数形结合，方法二：先求每一段的单调性，再写出整个函数的单调性.

7、分段函数的零点问题，方法一：解方程，方法二：图像法，方法三：方程+图像法. 和一般函数的零点问题的处理方法是一样的.

虽然分段函数是一种特殊的函数，在处理这些问题时，方法其实和一般的函数大体是一致的. 【方法讲评】

题型一 分段函数的解析式问题

解题方法 一般一段一段地求，最后综合.即先分后总.

【例1】已知函数)(x f 对实数R x ∈满足)1()1(,0)()(+=-=-+x f x f x f x f ，若当[)1,0∈x 时，

21)2

3

(),1,0()(-=≠>+=f a a b a x f x .

（1）求[]1,1-∈x 时，)(x f 的解析式；（2）求方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数.

（2） )()2()1()1(,0)()(x f x f x f x f x f x f =+∴+=-=-+Θ)(x f ∴是奇函数，且以2为周期.方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数也就是函数x y x f y 4log )(==和的交点的个数.在同一直角坐标系中作出这俩个函数的图像，由图像得交点个数为2，所以方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数为2.

【点评】（1）本题的第一问，根据题意要把[1,1]-分成三个部分，即(1,0),1,(0,1)x x x ∈-=±∈,再一段一段地求. 在求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性、对称性等. (2)本题第2问解的个数，一般利用数形结合解答.

【检测1】已知定义在R 上的函数()()2

2f x x =-.

（Ⅰ）若不等式()()223f x t f x +-<+对一切[]0,2x ∈恒成立，求实数t 的取值范围； （Ⅱ）设()()g x x f x =，求函数()g x 在[]0,(0)m m >上的最大值()m ?的表达式．

题型二分段函数的求值

解题方法

先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段，就要分

类讨论.注意小分类要求交，大综合要求并. 学.科.网

【例2】已知函数()

()

2

2

log3,2

{

21,2

x

x x

f x

x

-

--<

=

-≥

，若()

21

f a

-=，则()

f a=（）

A. 2-

B. 0

C. 2

D. 9

【解析】当22

a

-<即0

a>时，()

()

2

11

log3211,

22

a a a

---=?+==-（舍）；

当22

a

-≥即0

a≤时，()

22

2

2111log42

a a f a

---=?=-?=-=-，故选A.

【点评】（1）要计算(2)

f a

-的值，就要看自变量2a

-在分段函数的哪一段，但是由于无法确定，所以要就2222

a a

-<-≥

和分类讨论. （2）分类讨论时，注意数学逻辑，小分类要求交，大综合要求并.当0

a>时，解得

1

2

a=-，要舍去.

【例3】【2017山东，文9】设()()

,01

21,1

x x

f x

x x

?<<

?

=?

-≥

??

,若()()1

f a f a

=+,则

1

f

a

??

=

?

??

（）

A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

【点评】（1）要化简()()1

f a f a

=+，必须要讨论a的范围，要分1

a≥和01

a

<<讨论.当1

a≥时，可以解方程2(1)2(11)

a a

-=+-，得方程没有解.也可以直接由2(1)

y x

=-单调性得到()()1

f a f a

≠+.

【检测2】已知函数

210

()

x x

f x

x x

-

?-≤

?

=

>

,若0

[()]1

f f x=，则

x=．

题型三 分段函数解不等式

解题方法

先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段，就要

分类讨论.注意小分类要求交，大综合要求并.

【例3】已知函数则的解集为（ ）

A.

B.

C.

D.

【点评】（1）本题中()f x 的自变量x 不确定它在函数的哪一段，所以要分类讨论. (2)当20x -<<时，计算()f x -要注意确定x -的范围，02x <-<，所以求()f x -要代入第一段的解析式.数学思维一定要注意逻辑和严谨. (3)分类讨论时，一定要注意数学逻辑，小分类要求交，大综合要求并.

【检测3】已知函数()()()22log 2,02,{2,20,

x x f x f x x --+≤<=---<<则()2f x ≤的解集为__________．

【检测4】【2017课标3，理15】设函数10()20x x x f x x +≤?=?>?，，，，

则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围

是_________.

【例4】判断函数???>+-<+=)

0()

0()(2

2x x x x x x x f 的奇偶性 【解析】由题得函数的定义域关于原点对称.

设0,x <2

()f x x x =+,则0x ->，2

2

2

()()()()f x x x x x x x f x -=---=--=-+=- 设0,x >2

()f x x x =-+则0x -<，2

2

2

()()()()f x x x x x x x f x -=--=-=--+=- 所以函数()f x 是奇函数.

【点评】（1）对于分段函数奇偶性的判断，也是要先看函数的定义域，再考虑定义，由于它是分段函数，所以要分类讨论. （2）注意，当0x <时，求()f x -要代入下面的解析式，因为0x ->,不是还代入上面一段的解析式.

【检测5】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时2

2)(+=x x

x f . （1）求()f x 的解析式；（2）判断()f x 的单调性（不必证明）；

（3） 若对任意的t R ∈，不等式0)2()3(2

2

≤++-t t f t k f 恒成立，求k 的取值范围.

【例5】若函数62

()3log 2a x x f x x x -+≤?=?

+>?

(01)a a >≠且的值域是[4,)+∞，则实数a 的取值范围是 .

【点评】（1）分段函数求最值（值域），方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值. 方法二：数形结合.（2）本题既可以用方法一，也可以利用数形结合分析解答. （3）对于对数函数log a y x =，如果没有说明a 与1的大小关系，一般要分类讨论.

【检测6】设()()2,0

1

4,0

x a x f x x a x x ?-≤?

=?+++??

，＞若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为( ) A. []2,3- B. []2,0- C. []1,3 D. []

0,3

【检测7】已知函数()()

222

log 23,1

{1,1

x ax a x f x x x -+≥=-<的值域为R ，则常数a 的取值范围是（ )

A. ][()1123-U ，，

B. ][()12-∞+∞U ，，

C. ()[)1123-U ，，

D. (,0]-∞U {}[

)123U ，

题型六

分段函数单调性

解题方法 方法一：数形结合，方法二：先求每一段的单调性，再写出整个函数的单调性.

【例6】若()()3,1{

log ,1

a a x a x f x x x --<=> 是

(),-∞+∞上的增函数，那么a 的取值范围是（ ）.

A. ()1,+∞

B. 3

,32??????

C. (),3-∞

D. ()1,3

【点评】（1）函数是一个分段函数是增函数必须满足两个条件，条件一：分段函数的每一段必须是增函数；条件二：左边一段的最大值必须小于等于右边一段的最小值. 函数是一个分段函数是减函数必须满足两个条件，条件一：分段函数的每一段必须是减函数；条件二：左边一段的最小值必须大于等于右边一段的最大值. （3）一个分段函数是增函数，不能理解为只需每一段是增函数. 这是一个必要不充分条件.

【检测8】已知函数()[)()

2

32,0,32,,0x x f x x a a x ?∈+∞?=?+-+∈-∞??在区间(),-∞+∞上是增函数,则常数a 的取值范围是 （ ）

A ．()1,2

B ．(][),12,-∞+∞U

C ．[]1,2

D ．()(),12,-∞+∞U

题型七

分段函数零点问题

解题方法

方法一：解方程，方法二：图像法，方法三：方程+图像法. 和一般函数的零点问题

的处理方法是一样的.

【例7】已知函数()21,0,

{

log ,0,

x x f x x x +≤=>则函数()()1y f

f x =+的所有零点构成的集合为__________．

【点评】（1）分段函数的零点问题，一般有三种方法，方法一：解方程，方法二：图像法，方法三：方程+图像法. 和一般函数的零点问题的处理方法是一样的. （2）本题由于函数()()1y f f x =+的图像不

方便作出，所以选择解方程的方法解答. （3）在函数()()1y f f x =+中，由于没有确定x 的取值范围，

所以要分类讨论.

【例8】已知函数()()22

,1

91,1x x f x x x x ?>?=??-≤?

，若函数()()g x f x k =-仅有一个零点，则k 的取值范

围是________.

【解析】

函数()()2

2

,1{

91,1

x x

f x x x x >=-≤ ，若函数()()

g x f x k =- 仅有一个零点，即()f x k = ，只有一个解，

在平面直角坐标系中画出， ()y f x =的图象，结合函数图象可知，方程只有一个解时，

()4,0,23k ??∈-∞ ???U ，故答案为()4,0,23??

-∞ ???

U .

【点评】（1）直接画()()g x f x k =-的图像比较困难，所以可以利用方程+图像的方法. 分离参数得到()f x k =，再画图数形结合分析. 学.科.网

【例9】已知函数关于的方程，有不同的实数解，

则的取值范围是（ ）

A. B.

C. D.

【解析】

【点评】本题考查了类二次方程实数根的相关问题，以及数形结合思想方法的体现，这种嵌入式的方程形式也是高考考查的热点，这种嵌入式的方程首先从二次方程的实数根入手，一般因式分解后都能求实

根，得到和，然后再根据导数判断函数的单调性和极值等性质，画出函数的图象，若

直线和函数的交点个数得到参数的取值范围.

【检测9】已知函数()()

1

114{(1)

x x f x lnx x +≤=>，则方程()f x ax =恰有两个不同的实根时，实数a 的

取值范围是（ ）（注： e 为自然对数的底数）

A. 10,e ?? ???

B. 10,4?? ???

C. 11,4e ??????

D. 1,e 4??

????

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第15讲：

分段函数中常见题型解法参考答案

【反馈检测1答案】（Ⅰ）11t -<<（Ⅱ）()222,011,112

2,12

m m m m m m m m ??-+<≤??

=<≤+??->+??

方法二：不等式恒成立等价于恒成立 .

即等价于

对一切

恒成立，

即恒成立，得恒成立， 当

时，

，

，

因此，实数t 的取值范围是11t -<<．

【反馈检测2答案】或1

【反馈检测2详细解析】当

时，，则

，即 ；当

时，

，则

，即

。综上

或

，

应填答案

或1.

【反馈检测3答案】{|21}x x -<≤

【反馈检测3详细解析】()102x ≤<时， ()2f x ≤可得()

22

0log x -+≤,解得01x ≤≤;

()220x -<<时， 02x <-< ()()()222222log log 2x x f x ++??=--=≤??

,解得2x ≤;所以20x -<< 综上可得()2f x ≤的解集为{|21}x x -<≤ 【反馈检测4答案】1,4??

-

+∞ ???

【反馈检测4详细解析】由题意：()())

1

32,021112,02221222,2x x x x g x f x f x x x x -?

+≤????

?=+-=++<≤? ??

???>??

，函数()g x 在区

间(]11,0,0,,,22????-∞+∞ ?????? 三段区间内均单调递增，)

0111

1,201,

222142g -??-=++>?> ???

，

可知x的取值范围是：

1

,

4?

?

-+∞

?

??

.

【反馈检测5答案】（1）

2

(0)

2

()

2

(0)

2

x

x

x

f x

x

x

x

?

>

??+

=?

?≤

?-

?

；（2）增函数；（3）

1

2

k≤-.学.科.网

【反馈检测6答案】D

【反馈检测6详细解析】()2

f a

=.若0

a<，则当0

x≤时，函数的最小值为0，20

a>，不符合题意.排除A,B两个选项.若0

a=，则当0

x≤时，函数()2

f x x

=，最小值为0，当0

x>时，根据对勾函数的性质可知，当1

x=时，函数取得最小值为6，故符合题意，排除C，故选D.

【反馈检测6答案】A

【反馈检测6详细解析】函数()

()

2

2

2

log23,1

{

1,1

x ax a x

f x

x x

-+≥

=

-<

，当1

x<时，()2

11,1

f x x x

=-≤∴≥时，()

f x=()

2

2

log23,1

x ax a x

-+≥的最小值小于1，因为223

y x ax a

=-+的开口向上，对称轴为x a

=，若1

a≤，当1

x≥时，函数是增函数，最小值为()()

2

1log1

f a

=+，可得()

2

log11

a

+≤，解得(]

1,1

a∈-；若1

a>，最小值为()()2

2

log3

f a a a

=-，可得()2

2

log31

a a

-≤，解得[)

2,3

a∈，

常数a 的取值范围是][()

1123-?，，

，故选

A.

【反馈检测9详细解析】

作出函数()f x 的图象如图，当y ax =对应的直线和直线()1

14

f x x =

+平行时，满足两个和尚图象有两个不同的交点，当直线和函数()f x 相切时，当x>1时，函数()1

'f x x

=,设切点为(,)m n ，则切线斜率

()1'k f m m ==，则对应的切线方程为()1ln y m x m m -=-,即1

ln 1y x m m

=+-，

∵直线切线方程为y ax =，1{10a

m lnm =∴-=,解得{1m e

a e

==

，

即此时1

a e

=

,此时直线y ax =与()f x 只有一个交点，不满足条件， 若方程()f x ax =恰有两个不同的实根时，则满足11

4x e

≤<.

实数a 的取值范围是 11,4e ??

???? . 故本题选择C 选项.