【精品讲义】2016年竞赛与自主招生专题第一讲：集合与命题(教师版)(数理化网)
2016年竞赛与自主招生专题
第一部分 近年来自主招生数学试卷解读
从2015年开始自主招生考试时间推后到咼考后，政策刚出时，很多人认为, 是不是要在咼考出分后再考自主招生，是否咼考考完了，自主招生并不是失去其 意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目 只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距 .
所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛 真题等，具有参考价值。
函数、方程、数列、不等式、排列组合等内容是高频考点。
1、注重基础：一般说来，自主招生中，中等难度题目分数比例大约 60% 左右。
、联系教材，适度拓宽知识面：注意课本上的自主.探究和阅读材料， 对和大学数学联系
紧密的内容进行深度挖掘。自主招生中，有不少 试题都来源于这些材料。
、掌握竞赛数学的基本知识和解题技巧，着重培养数学思维能力。
、考前进行模拟训练，熟悉每个高校的命题特点，掌握答题技巧。
高频考点一览：
试题特点分析:
1. 突出对思维能力的考查。
n n n
【2014年北约】已知x ^^i =1,2, ...n ）叮X =1.求证：□（ 72+人）二（血+1）.
i zt i zt
【解析】不等式；柯西不等式或 AM -GM 平均不等式.
法一：AM -GM 不等式.调和平均值 H n = —— g =也 （J 2+X i ），
送〔止J
总的来说, 应试策略:
n
血+X i )，=■厂
斗［y^+X i丿X i
'令右（0 + X i ）彳耳（Q+X i
可得血一n 二
料（渥+X i
（7^+1 n n 上述两式相加得? -匹
料（后X i ） 1 红4〕
i W+X i 丿
即（近 +1 ）＜和（72 +X i ），即（72十1 i 兰叮（72+X i）
n
法二：由n X i =1.及要证的结论分析，由柯西不等式得
i 土（72+x）仿+ 丄'（血+1）2，
＜X i丿
1 n n 1
从而可设y =—，且n y i =n 一—1.从而本题也即证
X 土X n (d + yi )工(72+1)".
i 二
从而n（72+x）（刁+丄*（72+1），即n（72+x W2 + yi）工（/2+1），i V X i 丿
i
n n
假设原式不成立，即n （72+x ）＜（血+1、，则n （迈+ y）＜（v2+o.
i ±i ±
n_ L —2n
从而n （V2十X帖+ yi ）＜W2 +1），矛盾得证.
i
2.注重和解题技巧，考查学生应用知识解决问题的能力。
【2014年北约】10、已知实系数二次函数f（x ）与g（x） f （x）=g（x ）和3f（x）+g（x）=0有两
重根，f（X ）有两相异实根，求证：g（X ）没有实根.
【解析】设f(X )=ax2+bx +c, g(X )=dx2+ex+ f,
则由f（X ）=g（X ），可得
(a -d J x2+(b -e )x +(c - f )=0, A = (b -e S -4(a -d 辽-f )= 0.
由3f(X )+g(x )=0 可得
2 2
(3a +d ]x +(3b +e 卜 +(3c + f ) = 0,i =(3b +e ) -4(3a +d x 3c + f )= 0.
2 2 O Q 2
化简得 3b +e =12ac+4df,即 e -4df =3(4ac-b )又 b —4ac>0.
2
/.e -4df v O ,". g (x 没有实根.
二、 应试和准备策略
1.注意知识点的全面
数学题目被猜中的可能性很小，一般知识点都是靠平时积累，因此，要求学 生平时要把基础知识打扎实。剩下的就是个人的现场发挥。
2. 注意适当补充一点超纲内容
如上面提及的一些平时不太注意的小章节或高考不一定考的问题，如矩阵, 行列式等也不可忽视。
3. 适当做近几年的自主招生的真题
俗话说，知己知彼，百战百胜。同学们可适当地训练近几年自己所考的高校 自主招生的试题，熟悉一下题型和套路还是有益的。
总之，同学们若是注意一些知识点的延伸和加深，考试时必定会有一种居高 临下的感觉。
2016年竞赛与自主招生专题第一讲
一、 知识补充：容斥原理 基本公式：(1)card(A U B) = card(A) + card(B) — card(A n B) ； (2)card(A U BU
C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A n B)-card(A n C)-card(B n C)+card(A n B n C)
■lk3-2
问题：开运动会时，高一某班共有 28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛, 有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有 3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有 3人，没有人同时参加三项比赛，问同时 参加田径比赛和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？
:集合与命题（教师版）
解：设A=｛参加游泳比赛的同学｝，B= ｛参加田径比赛的同学｝，C=｛参加球类比赛的同学｝,贝U card（A）=15 ,card（B）=8 , card（C）=14 ,card（A U BU C）=28,且 card（A n B）=3，card（A n C）=3，card（A n BA C）=0,由公式②得 28= 15+8 + 14-3 — 3- card （B n C）+0,即card（B n C）=3,所以同时参加田径和球类比赛的共有 3人，而只参加游泳比赛的人有15- 3- 3= 9（人）
二.抽屉原理
抽屉原理的基本形式
定理1、如果把n+1个元素分成n个集合，那么不管怎么分，都存在一个集合，其中至少有两个元素。
证明：（用反证法）若不存在至少有两个元素的集合，则每个集合至多1个元素,
从而n个集合至多有n个元素，此与共有n+1个元素矛盾，故命题成立。
例1.已知在边长为1的等边三角形内（包括边界）有任意五个点（图1）。证明: 至少有两个点之间的距离不大于2.
分析：5个点的分布是任意的。如果要证明“在边长为 1的等边三角形内（包括边界）有5个点，那么这5个点中一定有距离不大于2的两点”，则顺次连接三角形三边中点，即三角形的三条中位线，可以分原等边三角形为4个全等的边长为小等边三角形，则5个点中必有2点位于同一个小等边三角形中（包括边界）距离便不大于2。
以上结论要由定理“三角形内（包括边界）任意两点间的距离不大于其最大边长”来保证，下面我们就来证明这个定理。
A
■ \
如图2,设BC是△ ABC的最大边，P，M是^ABC内（包括边界）任意两点，接PM过P分别作AB BC边的平行线，过M作AC边的平行线，设各平行线交点为 P、Q N,那么/ PQNh C,/ QNPh A 因为 BO AB 所以/ A>/ C,则/ QNP >/ PQN而/ QMR/ QNP^/ PQN（三角形的外角大于不相邻的内角），所以PQ > PM显然BO PQ故BO PM由此我们可以推知，边长为2的等边三角形内（包括边界）两点间的距离不大于2。
三、针对性训练 1.对集合｛1 , 2,…，n ｝及其每一个非空了集，定义一个唯一确定的“交替和” 如下：按照递减的次序重新排列该子集，
果，例如，集合｛124歸｝]的“交替和”
解：集合｛1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7｝的子集中，除去｛7｝外还有尹-〔2个非空子集 合，把这个非空子集两两结组后分别计算每一组中“交替和”之和，结组
原则是设4| 卫丿丄M 吶+⑺这是把4电结合为-组,
中，“交替和”之和应为7,共有（2什 7*(27彳
2”2+|7-448。
2. n 元集合具有多少个不同的不交子集对？
分析：我们一般想法是对于一个子集，求出与它不交的子集个数，然后就可以求 出总的子集对来了。
解：如果子集对是有序的，即在子集对中可以区分第一个子集与第二个子集，则 第一个子集若是k 个元素，第二个子集就由其余n-k 个元素组成，可能的情况是 B
种，而这时第一个集合的选取的可能情况应为 种，那么k 从0变到n,总的情
。如果子集对是无序的，即两个子集相同但
次序不同的子集对不认为不同，则 歹对有序子集对中有一对是由两个空集组成, 而对其它3"+】个有序对，每一对中交换两个子集的次序，得到的是同一个无序子
（3汨1）农 个无序子集对，其中至少有一个子集非空，于是无序子集 对的总数为咄训2*]1-（3卄酗2
分析二：我们可以从元素的角度来思考问题。对一个元素来说，它有三种不同的 选择，在第一个集合中，在第二个集合中，或者不在两个集合中。
解法二：在计算有序对的数目时，对每一个元素来说有三种可能：它或在第一个 子集，或在第二个子集，或不在其中任意一个子集，因此不同的不交有序子集对 的总数歹，以下同解法一。
3. 以某些整数为元素的集合P 具有下列性质：①P 中的元素有正数，有负数；②P 然后交替地减或加后继的数所得的结 是9-6+4-2+1=6. fe 研的“交替和”是
6-5=1，⑵的交替和是2。那么，对于 n=7。求所有子集的“交替和”的总和。
组.所以,所有“交替和”之和应该为 集对，因此有
中的元素有奇数,有偶数；③一K P ；④若x, y € P,则x + y € P。试判断实数 0和2与集合P的关系。
解：由④若x，y € P ,则x + y € P可知，若x € P，则kx壬P (心N)
(1)由①可设x，y € P，且x > 0， y < 0，则一y x = | y | x (| y | € N ) 故x y , — y x € P ,由④，0 = ( — y x)+ x y € P。
(2) 2芒P。若2€ P，则P中的负数全为偶数，不然的话，当一(2k+1)€ P
(k忘N )时，一1=(—2k-1) + 2k € P，与③矛盾。于是，由②知 P中必有
正奇数。设_2m,2 n—1亡P (m, n^N)，我们取适当正整数q,使
q q -2m >2n -1，则负奇数-2qm + (2n -1)迂P。前后矛盾。
4.若S I,S2,S3为非空集合，对于1, 2, 3的任意一个排列i ,j,k，若x忘S i,y忘S j ,
(1)证明：三个集合中至少有两个相等。
(2)三个集合中是否可能有两个集无公共元素？
证明：(1 )若X亡g,y忘S j，则y-x€S k,(y-x)-y = -x€ S i所以每个集合中均有非负元素。当三个集合中的元素都为零时，命题显然成立。
否则，设S1, S2,S3中的最小正元素为a，不妨设a亡S1，设b为S2, S3中最小的
非负元素，不妨设b壬S2,则b — a € S3。
若b >0,则0W b —a < b，与b的取法矛盾。所以b =0。
任取X壬S,因0€ S2,故x — 0= x € S3。所以S匸S3，同理S3匸S1。所以
S i = S3。
(3)可能。例如S1 = S2=｛奇数｝，S3=｛偶数｝显然满足条件，S1和S2与S3都无
公共元素。
5.设S=《2,3,…，200｝,A = ￡1,a2,a3,…，aw0｝uG，且A具有下列性质：(1)对任意
100
1
2 a：
iT
= 10080。
试证A中的元素为奇数的个数是4的倍数，且100
乞a：为定值.
i #
证明：考虑G 1 ={1,200);G 2 =②99},…，600=^00,101}，每个集合中取一个元素,
但注意到2+4+…+200=1010010080,不妨设不属于A 的偶数为a i ,a 2,…，a k ,则相 应的奇数201-a 1,201-a 2,…,201-a k 应在A 中，且对应差的和为 20.
6. (2010年江苏五校)已知集合A= {a i , a 2, a 3,…，a n }，其中a € R (K i < n, n>2), l
(A)表示a i + a j (1
已知集合 P= {2 , 4, 6, 8} , {2 , 4, 8, 16}，分别求 l ( P) , l(C)；
若集合 A= {2 , 4, 8,…，2n }，求证：1(A) =
n(n — 1) 求I (A)的最小值. 解：(1)由 2 + 4 = 6, 2+ 6= 8, 2+ 8= 10, 4 + 6= 10, 4+ 8= 12, 6+ 8= 14,得 1 (P ) = 5,
由 2 + 4 = 6, 2 + 8= 10, 2+ 16= 18, 4+ 8= 12, 4+ 16 = 20, 8+ 16= 24,得 1(C) = 6 .
(2)证明：因为a i + a j (1
n(n —1) 又集合 A= {2 , 4 , 8,…，2)，不妨设 a n = 2, m= 1 , 2 ,…，n.
a + a j , a k + a i (1 < i vj < n, K kv I < n),
当 j 工 I 时，不妨设 j VI ，贝U a i + a j V 2 a j = 2 w a I v a k + a I ，即 a + a j 工 a k + a , 当 j = I , i 工k 时，a i + a j 工 a k + a l ，因此，当且仅当 i = k , j = I 时，a + a j = a k + 即所有a i + a j (1 < i Vj < n)的值两两不同，因此1(A) =
n(n —1) (3)
不妨设 a 1V a 2Va 3v (v)
a n ,可得 a 1 +
a 2V a 1 + a 3v^v a 1 + a n Va 2+ a n Va 3+ a n
V …V a n —1 + a n , 故a i + a j (1 < i Vj < n)中至少有2n — 3个不同的数，即l (A) >2n — 3.
事实上，设a 1, a 2, a 3,…，a n 成等差数列，考虑a i + a (1 < i vj < n)，根据等差 数列的性质, 当 i + j Ⅰ、自主招生综述 前言： 从2008年开始，高校自主招生考试录取人数首次超过高考，并在08年后的几年内继续拉大与自主招生考试录取人数的差距，到了2010年自主招生已经成为了名校招生的主要途径，高考将慢慢退居二线。然而对于广大同学们来说，很多人并不了解高校自主招生，或者认为自己水平比较低，没有参加自主招生的必要，然而请你相信，随着自主招生规模的扩大，其门槛必定会降低，或许你不能拿到预录取资格，但是你很有可能比较容易的拿到高考加分的资格，因此，建议同学们慎重考虑，积极参与，高考的独木桥越来越窄，您应该扩大您的视野。 这一份资料来自OK学习网姜建锋老师的自主招生课程讲义，是我在自主招生结束后，闲得无聊，为学弟学妹们整理的，其中多数是直接截取了姜老师的板书(网上上课也能用笔写板书，神奇！)。由于讲义比较全，所以基本上涵盖了自主招生的所有内容，但是也不是完全覆盖，侧重于超纲的知识，这次考试有些就没有涉及到，但是比没有听讲好多了，可以说是目前最全的自主招生资料了，想想我去年拼命找，只找到一些没答案的题目，那叫一个郁闷啊！ 这一套资料的模式就是先补充一些超过高考范围但是自主招生常考的知识点（这个老师是口述或者板书写的比较多，我没办法做进来，同学们只能自己查找资料或咨询自己老师了），然后以历年自主招生真题为例进行讲解，最后老师自己出了一些仿真试题进行锻炼，其实如果你参加过竞赛，进行过竞赛辅导，那么感觉还是挺容易的。 适用对象：准备参加五校或者复旦自主招生的同学，学习能力强不想付钱去听课的同学。如果看文中板书困难，建议还是去亲自听讲解。 讲义来自OK学习网，因为未经官方授权，因此，请小心使用，版权没有^_^！ 希望我的这次努力能给广大参与自主招生的学弟学妹提供帮助，谢谢，如果后期闲的无聊，我会继续做一下其它科目，同学们如果感兴趣可以联系我。 Ps：题目图片的水印很烦，但是又没办法，大家要是看不清楚就去看板书的图吧！ 自主招生应试策略与物理试卷解读 在姜老师讲义开始之前，我也来解读下自主招生： 先说说我的经历：我老早就想去交大了，因为讨厌生物历史等等死记硬背的东西，加之自己理科也挺好，所以参加了五校联考，并且被预录取了，嘎嘎！现在对大家报考自主招生进行一点个人的指导： 如果你理科非常好，甚至参加过数学或者物理等竞赛，同时文科很烂，那么，我觉得你参加五校的自主招生最合适不过了，五校的风格就是变态题目，因为他们想招变态学生，考的东西很深，很多超过高考范围，难度跟竞赛一试难度有一拼，但是大家都在一条起跑线上，如果你参加过竞赛或者接受过专门辅导，那么你绝对会比别人跑的远！这一点我深有体会。至于准备的话，就是恶补自主招生常考的但是我们又没有学的东西，这里同学们也不要被吓着，其实也就是几个几个公式几个定理，没什么神奇的。 如果你是一个十项全能的同学，有种上知天文下知地理，文理兼修，两手抓两手都不误的感觉，但是理科又不太比得上那些诸如华师大二附中、复旦附中、上大附中等学校重点班的学生，那么我建议你去考复旦的自主招生，复旦题量特别大，题目比较简单，有200道题，包含了十个科目：语文、数学、外语、物理、化学、生物、政治、历史、地理、信息，覆盖面比较广，由此可见，复旦喜欢综合性人才，或者说讨厌我这种理科白痴。考试时间两个小时，也就是说一道题不能超过一分钟，更郁闷的是，做错题要倒扣分，假如你做对100分的题目，那么你的试卷为100-100=0分！因此复习的时 保送生数学辅导（1）函数部分 主要方法：数形结合，构造法，迭代，换元法，判别式法. 例1.已知函数()(1)1f x x x =+-，关于x 的方程()f x x m =+有三个不同实根.求实数m 的取值范围. 例 2. 设定义域为R 的函数?????=≠-=) 1(,0)1(,1lg )(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是（ ） A ．0c B ．0>b 且0 例5.已知函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠，且方程()f x x =无实根，问(())f f x x =是否有实根并证明你的结论. 例6.设9k ≥，解关于x 的方程：32229270x kx k x k ++++= 例7. 关于x 的方程ax ex x x +-=232ln 有两个不等实根，则实数a 的取值范围是（ ）． ??? ? ?+∞-21,.e e A ??? ??+∞-221,.e e B ()e C ,.∞- ??? ? ?+∞-e e D 1,.2 例8. 已知二次函数)(x f 满足,2)2(,1)2(==-f f 且)4(4 1)(2+≤≤x x f x 对一切实数x 恒成立，则)4(f 的值是.__________ 例9. 设二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠满足条件：（1）当x R ∈时，都有(1)(1)f x f x -+=--且()f x x ≥成立;(2)当(0,2)x ∈时，21()()2 x f x +≤；（3）()f x 在R 上的最小值为0. (Ⅰ)()f x 的解析式；（Ⅱ）求最大的实数m ，使得存在t R ∈，只要[1,]x m ∈，就有()f x t x +≤成立. 自主招生物理奥赛辅导讲义 朱亚文 目录 一、运动学 1 运动学基本内容 2 相对运动 3 物系相关速度 二、静力学 1常见几种力系统质心计算 2 摩擦角 3 两类平衡问题的处理方法 三、动力学 1 动力学基本原理牛顿第二定律与动量定理 2 连接体问题 3 非惯性系问题惯性力 四、能量动量 五、简单刚体力学问题 六、电磁学 七、自主招生物理奥赛的基本数学知识 初等数学全部知识 导数、简单微积分 八、物理常用方法（具体解题中应用） 整体法、隔离法、假设法、等效法、对称法（镜像法）、图像法、类比法（相似法）、递推法、微元法、极限法 一、运动学 （一）基本概念 1．质点2．参照物 3．参照系——固连于参照物上的坐标系（解题时要记住所选的是参照系，而不仅是一个点） 4.参考系的转换：动参考系，静参考系 （1）相对运动：动点相对于动参考系的运动 （2）绝对运动：动点相对于静参考系统（通常指固定于地面的参考系）的运动 （3）牵连运动：动参考系相对于静参考系的运动 （二）运动的描述 1．位置2．位移3．速度4．加速度5、时间（时刻） （三）匀变速直线运动规律 1、基本规律及理解（5个） 2、比例关系 3、中点公式 4、推论（注意矢量性和条件） （四）运动的合成与分解、相对运动 1.力的独立性原理：各分力作用互不影响，单独起作用。 2.运动的独立性原理：分运动之间互不影响，彼此之间满足自己的运动规律 3.力的合成分解：遵循平行四边形定则，方法有正交分解，解直角三角形等 （1）运动的合成分解：矢量合成分解的规律方法适用：一切矢量。 （2）位移合成定理：S A对地=S A对B+S B对地 速度合成定理：V绝对=V相对+V牵连.加速度合成定理：a绝对=a相对+a牵连 （五）物系相关速度特征： 杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆、绳方向的分速度. 接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同. 线状相交物系交叉点的速度是：相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和. 第一节 函数与方程 函数求值域 求函数最值方法：直接法·换元法·配方法·均值不等式法·判别式法·单调性法·导数法·数形结合 目标1：换元法（二次函数换元，三角换元，分式型等） 例1：求函数22()421f x x x x =-+-的最大值与最小值． 例2：已知19 4)4(2 2=+-y x ，则9422y x +的最大值为____________． 例3：设0a ≥，且函数()(cos )(sin )f x a x a x =++的最大值为 25 2 ，则a = ． 例4：己知4350x y --=，那么()()2 2 13x y -+-的最小值为_______________ 例5：已知对任意x 均有acosx+bcos2x>=-1恒成立，求a+b 的最大值 例6：函数的最值为_________。 目标2：数型结合型 例8：求x x y cos 2sin 1++= 的最大值是__________________． 例9：求函数f (x )=11363242 4 +--+--x x x x x 的最大值。 例10：设(0,)2 x π ∈，则函数(22 2211sin )(cos )sin cos x x x x + +的最小值是__________． : 例11：求函数y =4 34 322+++-x x x x 的值域。 例12：求函数y =(x +1+x -1+2)(21x -+1),x ∈[0,1]的值域。 例13：A 、B 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最 小值． 例14. y =1 11 ++-+ x x x x ;已知1y ≤且21x y +=，则222163x x y ++的最小值为 A. 192 B. 3 C. 27 7 D.13 例15：函数y =x +232+-x x 的值域为________. ---------------------------------------------------------------范文最新推荐------------------------------------------------------ 自主招生面试技巧分享 大学的自主招生是大势所趋，能够让大学招到想要的学生。在我看来，XX所青睐的学生要基础好，善于举一反三、融会贯通，还要有自己的想法。 现在很多学生是怎么样呢?紧紧跟在老师屁股后面，老师让我做什么我就做什么。老师教三道题，作业做两道，最后考试考一道这样的题海战术和被动接受式学习在大学里是不管用的。21世纪技术发展很快，知识多得让人接受不过来，这过程中重要的不是知识的传递，而是能力的培养。我们更喜欢那些能够教一、做二、考三的学生，平时对错题进行归纳整理，做到举一反三。 另一个很重要的方面是学生要有自己的想法。思维是不是活跃，脑子里是不是只装着官话、空话，这在面试中都能看出来。据报道，未来几年我国将投入巨资发展嫦娥计划，而目前我国还存在很多贫困人口。你如何看待这种现象?五位同学参加讨论，发言很踊跃，不过大都是正面的观点。有位来自重点中学的同学夸夸其谈，一二三四列举了登月工程的几种好处。讲了那么多，归纳起来实际只有一点，很罗嗦。面试的目的就在于敞开来谈，重要的是讲出自己内心的东西，而不是那些不犯错误的、不留任何印象的客套话。 自主招生的面试是对学生能力的全面检测，想要临时抱佛脚、突击应付，那是没用的。面试老师来自不同的专业领域，而且临时搭配， 1 / 12 学生根本没办法临时准备。作为学生，主要还是要在基础方面下足功夫，把知识盘活，让它变成自己的东西，表达自己内心的想法。 主要看学生平时的积累 面试主要还是看学生平时的积累。不过，总体来说，还是有几个指导原则可以把握： 首先，学生平时要注意自己的个人谈吐、举止，别人讲话的时候不要轻易打断，回答问题时，要用简洁而富有逻辑的语言把握事物的本质，把问题回答清楚。所以，在此也提醒各位考生，回答问题一定要简明扼要。同时，考生面试时，也不要太在意自己回答问题的先后次序，因为先回答发挥的空间更大，后回答也有好处，有充裕的时间准备，语言的逻辑性更强，思考的空间也更大。 第二，我们的自主选拔录取都是尽量出开放性题目，不出以标准答案为结果的题目。如果某一个题目第一位学生回答完毕后，剩下的同学都发现很难再回答了，那这就不是一个好问题。我们今年还会在试题方面有更多的改进，所以，肯定会给学生比较大的发挥空间。 第三，我们的试题很多都涉及社会热点问题，还有一些学校里经常碰到的问题，这些问题往往都发生在学生的身边。因此，在高考前夕，学生不能完全两耳不闻窗外事，读报，看新闻还是很有必要的。但如果专门去猜交大的面试题，或临时抱佛脚，没有任何意义。因此，建议考生不要花太多的精力去猜题，还是要脚踏实地，按照自己的复习计划学习，可以多花一些时间看报纸，听新闻。 不喜欢张狂的学生 自主招生的录取流程介绍 通过自主招生的大致分两类，一类是过了一本线就可以被提档，另一类是只在该校在当地招录的分数线上降若干分。我分别来做个介绍： 第一类是过了一本线就可以被提档。这中间还要分两类，在其自主招生政策中都有清清楚楚的表述，大家可以对照下你属于那一类： 一是可以保证学生的志愿。拿到这种资格的学生，基本上没有大问题了，你只要从该大学中找你有兴趣的专业挑就是了。但是，提醒一点，人家说满足你的志愿，可没说一定要满足你的第一志愿啊！所以如果是五个志愿栏，请你一定要填够五个志愿。尽管我们知道，他可能就从你前一、两个志愿中给你录取书，但是如果你没有填够五个志愿，而前几个志愿该校正好今年不能满足你的志愿要求，那你还是要掉档的。而且，你没有任何理由找学校的麻烦。这种事情还从来没出现过，但是理论上还是有这种风险的。所以五个志愿一定要认真填写，不要过于自以为是。 二是要求学生服从专业调剂。拿到这类资格的学生会很纠结，服从调剂会不会被调到一个自己感到非常不理想的专业；不服从，会不会不被录取。如果你很纠结这个问题，那我猜你的分本来是不够该校的基本调档线的，因为如果高于这条线，本来你就可以自信的报专业嘛。这时，大家有必要知道自主招生的流程了。 自主招生工作是在一本之前就先进行，但是这不是有些人认为的那种提前批。具体来说，分三步走：第一步、各高校要提前把自己确定要自主招录的学生名单和考号报当地高招办（这就是各高校要求获自主招生资格考生必须要提前确认的理由）。 第二步、当地高招办负责落实这些考生是不是已经达到了被录取的资格，是不是最后确认要报已确认录取自己的那所高校了（每年大概会有三分之一的考生因为高考成绩优于自主招生的高校，他放弃了这个资格；还会有大约三分之一的学生分数达不到自主招生资格的高校而被高校放弃了）。 第三步，高校从这些最后确认的学生中确定如何录取。由于之前我们分析的原因，一本高校最后能在自主范围内录取的考生大概也就一百来人。 那么你想想，这些大学每年要在全国招多的达到七、八千，少的也有三、五千的学生，而你只是先占了他一百来个名额（少的学生过自主的还不到一百人），除了有些你自己身体条件限制的专业你不能报，除了该校最王牌的专业他可能要限制你一下，你还有什么不敢报的呢？你服从专业调剂，他还能把你给调到什么地方去呢？所以服从专业调剂无非是个态度嘛。 第二类表述有很多，但是实质上就是等于给你在你现有的高考线上加上他承诺给你的分数。 这里就会出现两种情况，一种是分数加上后，也到不了该高校的提档线，那你今年的自主招生资格就失去效应了，只好从其他的高校中重新选学校了；另一种是加分后，上了该高校在当地提档线的，这也要分二种情况：一是你本身分在一本分下，那加分无效，取消加分；二是你上了提档线后，在定专业时，对方高校一般来说是优惠你加分后再定专业的。 这时你和前一种的自主招生不同的在于，有些高校是把你和所有进档的考生一起来排队定专业，所以在专业问题上一切要看分数的。当然，也有高校再把你们独立出来，单独排队定专业了。不过这时再按后种方式录取有自主招生资格的考生时工作量加大了，所以采用这种方法的高校不算多。具体的还是要看各校的简章，以他们说的为准。 这里还要给部分朋友解释下各高校当年的提档线是如何计算出来的问题。有朋友很奇怪，当年提档线只能是所有志愿报完后，各高校要根据这一情况，才能定下自己的提档线。那么，没确定之前，如何理解招生章程上说的在提档线下加多少分的承诺呢？ 其实我们还是换个说法更直接一些：不管他如何描述，我们就直接加上他承诺的优惠分数就是了。如果道理你想不明白，就不要硬想了，反正知道这么做就行了。 这里面其实有个认识上的误区：如前文所描述的流程:各高校在一开始就已经把获取自主招生资格考生的名字报到了当地高招办，高招办审核后，又把这类学生的名单单列出来，返还给了各高校，这项工作是在一本招生前已经提前做好的。等正式招录开始后，参加这类高校录取方式的学生要加上各校承诺的加 专题一：举轻若重，小题大做 ——兼谈考前三个月冲刺复习的有效性策略 例1．（2017课标1题16）如图，空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上（与纸面平行），磁场方向垂直于纸面向里，三个带正电的微粒a 、b 、c 电荷量相等，质量分别为m a 、m b 、m c 。已知在该区域内，a 在纸面内做匀速圆周运动，b 在纸面内向右做匀速直线运动，c 在纸面内向左做匀速直线运动。下列选项正确的是 A ．a b c m m m >> B ． b a c m m m >> C ．c b a m m m >> D ． a c b m m m >> 例2．（2017课标1题15）发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球（忽略空气的影响）。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网，其原因是 A ．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多 B ．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大 C ．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少 D ．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大 例3．（2017课标2题17）如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物快以速度v 从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物快落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时，对应的轨道半径为（重力加速度为g ） A.216v g B.28v g C.24v g D.2 2v g 例4．（2017课标2题19）如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q 为远日点，M，N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M，Q到N的运动过程中 A.从P到M所用的时间等于T0/4 B.从Q到N阶段，机械能逐渐变大 C. 从P到Q阶段，速率逐渐变小 D.从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功 例5．（2017课标3题21）一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c 三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是A．电场强度的大小为2.5 V/cm B．坐标原点处的电势为1 V C．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV 例6.（2016·课标1题20）如图，一带负电荷的油滴在匀强电场中运动，其轨迹在竖直平面（纸面）内，且相对于过轨迹最低点P的竖直线对称。忽略空气阻力。由此可知 A.Q点的电势比P点高 B.油滴在Q点的动能比它在P点的大 C.油滴在Q点的电势能比它在P点的大 D.油滴在Q点的加速度大小比它在P点的小 第2题 自主招生考试 数学试题卷 亲爱的同学： 欢迎你参加考试！考试中请注意以下几点： 1．全卷共三大题，满分120分，考试时间为100分钟。 2．全卷由试题卷和答题卷两部分组成。试题的答案必须做在答题卷的相应位置上。做在试题卷上无效。 3．请用钢笔或圆珠笔在答题卷密封区上填写学校、姓名、试场号和准考证号，请勿遗漏。 4．答题过程不准使用计算器。 【 祝你成功! 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一个 符合题目要求） 1．如果一直角三角形的三边为a 、b 、c ，∠B=90°，那么关于x 的方程a(x 2-1)－2cx+b(x 2+1)=0的根的情况为 A 有两个相等的实数根 B 有两个不相等的实数根 C 没有实数根 D 无法确定根的情况 2．如图，P P P 123、、是双曲线上的三点，过这三点分别作y 轴的垂线，得三个三角形 P A O P A O P A O 112233、、，设它们的面积分别是S S S 123、、，则 A S S S 123<< B S S S 213<< $ C S S S 132<< D S S S 123== 3．如图，以BC 为直径，在半径为2圆心角为900的扇形内作半圆，交弦AB 于点D ，连接CD ，则阴影部分的面积是 A π－1 B π－2 C 121-π D 22 1 -π … 4．由325x y a x y a x y a m -=+??+=??>??>?得a>－3,则m 的取值范围是 A m>－3 B m ≥－3 C m ≤－3 D m<－3 5．如图，矩形ABCG （AB 高中数学竞赛与自主招生专题全套精品讲义 第十五讲 解析几何一（教师版） 从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距. 所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。 在近年自主招生试题中，解析几何是高中数学内容的一个重要组成部分，也是高考与自主招生常见新颖题的板块，各种解题方法在解析几何这里得到了充分的展示，尤其是平面向量与解析几何的融合，提高了综合性，形成了题目多变、解法灵活的特色。 一、知识精讲 1.点到直线的距离 ： d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 2.圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0). （3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θ θ =+??=+?. （4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--= (圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ). 3.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若 d = d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 自主招生简介 简介 自主招生是是对选拔优秀创新人才的新探索。入选考生均须参加全国统考，成绩达到生源所在省（自治区、直辖市）确定的与试点学校同批次录取控制分数线的，省级招办应向考生选报的试点学校投档；试点学校进行综合评价、自主选拔录取。试点高校确定的入选考生名单，要报生源所在省级招办备案，并向社会公布；入选考生均须参加全国统考，成绩达到生源所在省（自治区、直辖市）确定的与试点学校同批次录取控制分数线的，省级招办应向考生选报的试点学校投档；试点学校对先期考核通过并且符合统考成绩要求的考生进行综合评价、自主选拔录取；生源所在省级招办和试点学校，须及时将自主选拔录取的已录考生名单向社会公布。 招生程序 一．试点学校根据该校的实际情况，制订自主选拔录取方案，并纳入本校招生章程，向社会公布。 二．符合试点学校自主选拔录取条件的应届高中毕业生，经所在中学推荐或其他形式提出申请，由中学向试点学校提供考生在校德智体美发展情况以及获奖、特长等证明及写实性材料。 三．试点学校组织专家组，按照自主确定并经公示的标准和考核办法，对考生材料进行审查，并在进行面试等相关测评、考核后，提出候选人，试点学校招生领导小组审核后确定入选考生名单。 四．考核通过的入选考生名单须及时报生源所在省级招办备案，并在考生所在中学、试点学校网站以及生源所在省级招办指定的信息发布平台或新闻媒体上公布。 五．入选考生均须参加全国统考，成绩达到生源所在省（自治区、直辖市）确定的与试点学校同批次录取控制分数线的，省级招办应向考生选报的试点学校投档。试点学校对先期考核通过并且符合统考成绩要求的考生，进行综合评价、自主选拔录取。 六．试点学校录取工作结束后，生源所在省级招办应将试点学校自主选拔录取的考生通过本省级招办信息平台和有关新闻媒体向社会公布；试点学校须及时将自主选拔录取的已录考生名单在本校网站上公布。招生院校2010年进行自主选拔录取改革试点的76所高校名单： B类资格获得者 考号姓名省份中学 b10030001 王唯州重庆四川外语学院附属外国语学校b10030002 周燊吉林东北师范大学附属中学 b10030006 孙见坤陕西唐南中学 A类资格获得者 1002050009 陈林熙广东潮阳第一中学 1001050084 陈伟坤广东潮阳第一中学 1001190016 梁梓琪广东东莞市东莞中学1002190018 罗浚伟广东东莞市东莞中学1002190029 吴慧轩广东东莞市东莞中学1002190036 张秋兰广东东莞市翰林实验学校1001190005 傅皓广东东莞中学松山湖学校1001060001 蔡曙航广东佛山市第一中学1001060030 李鑫海广东佛山市第一中学1001060032 李韵婷广东佛山市第一中学1001060035 林俊达广东佛山市第一中学1001060043 潘心怡广东佛山市第一中学1001060074 朱婉珊广东佛山市第一中学1001120008 梁富文广东高要市第二中学1001020006 黄婷广东广东北江中学 1001010072 陈侨安广东广东广雅中学 1002010072 杜婧媛广东广东广雅中学 1002010076 方卓琪广东广东广雅中学 1002010079 冯瀚广东广东广雅中学 1001010180 关茜广东广东广雅中学 1002010116 何梓莹广东广东广雅中学 1001010256 黄嘉昕广东广东广雅中学 1002010131 黄洁莹广东广东广雅中学 b10030005 黄晓巍广东广东广雅中学 1002010592 蒋皓广东广东广雅中学 1002010209 李昭静广东广东广雅中学 1002010257 林敏妮广东广东广雅中学 精彩片段一：“华约”真题欣赏 一．选择题（每小题2分，共6分） 1.医生常用“冷冻法”治疗咽喉炎。冷冻剂应选用下列物质中的（） A．液氧B．液态空气C．液化石油气D．液氮 2.某温度下，碳酸钠饱和溶液质量分数为a %，向其中加入m mol Na2CO3·5H2O或n mol Na2CO3，可析出相同质量的Na2CO3·10H2O晶体，下列叙述正确的是 A．a可能为40，m＞n B．a可能为40，m＝n C．a可能为30，m＞n D．a可能为30，m＜n 3.研究发现，气体分子中的极性键在红外线照射下易像弹簧一样作伸缩和弯曲运动，从而产生热量。又知碳氧键的红外伸缩振动频率与键的强度成正比。已知Ni（CO）4中碳氧键的伸缩振动频率为2060cm-1，而自由CO分子中碳氧键的伸缩振动频率为2143cm-1，则： Ni（CO）4中碳氧键的强度比CO分子中碳氧键的强度 A．强B．弱C．相等D．无法判断 二．填空题 4．（6分）⑴已知Fe3+的氧化性与Ag+不相上下。在含有Cu(NO3)2，Fe(NO3)3和AgNO3的酸性溶液中加入少量铁粉，首先被置换的金属是。 ⑵硫酸铵在一定温度下分解：4(NH4)2SO4→6NH3+N2+3SO2+SO3+7H2O，当有1 mol电子转移时，有mol 氮被氧化，同时有mol硫被还原。 5．（12分）黄酮醋酸类化合物具有黄酮类化合物抗菌、消炎、降血压、保肝等多种生理活性和药理作用，尤其是近年来报道此类化合物具有独特抗癌活性。下面的方法采用对甲酚作为起始原料，通过一系列反应合成化合物黄酮F（化学式为C18H12O2NBr），为黄酮醋酸的前体化合物）。其进一步水解即得黄酮醋酸。合成路线如下： 对于F，分子中存在3个六元环，E和F在化学式上相差2个H原子。 ⑴ 请画出A、D、F的结构简式 A 、D 、F ； ⑵B有多种同分异构体，请写出一种含苯环、羰基和一个手性碳原子的同分异构体：。 ⑶A可能发生的化学反应的类型有。（写出二种） 辅导书、自主招生辅导书、自主招生参考资料 虽然自主招生一直都受到社会的质疑，但随着复旦大学想尝试“去高考化”、实现全部自主招生，深圳大学在申请完全自主招生，毫无疑问，自主招生还是迎来了自己的春天。 2011年河南省普通高校招生全国统考理科前十名学生中，只有一名裸考考生，裸考成绩原本排名第一的卞方兴，被自主招生加分的同学挤到了第四名。可见，自主招生已经成为优秀生通往名校的必经之路。 由于自主招生考试在高考之前，所以进入高三伊始很多学生就开始搜集自主招生资料，密切关注高校的自主招生信息，并且有意识地准备自主招生考试。显然，高校自主招生战已经提前打响。 自主招生之友（https://www.360docs.net/doc/449335826.html,）信息平台提醒广大2012考生：大家都在准备自主招生，你还在等什么？参加自主招生，最不能缺少的就是自主招生辅导书。 由北京流碧教育科技有限公司与自主招生之友（https://www.360docs.net/doc/449335826.html,）信息平台联合组编的《2012自主招生考试全程指导》（https://www.360docs.net/doc/449335826.html,/html/SanQianJiHua/20110902/1452.html）系列丛书，是有意向参加自主招生考生的必备资料。 《2012自主招生考试全程指导》系列丛书共有5本：《报名政策全程解析》、《历年面试真题》、《历年笔试真题》、《笔试全真解》、《面试全真解析》 1、报名政策全程解析 2、历年面试真题：2011自主招生面试真题、2010及以前自主招生面试真题，并附有部分优秀生自主招生面试题解答，绝对是通过自主招生面试的良师益友。 3、历年笔试真题：2011自主招生笔试真题、2010及以前部分高校自主招生笔试真题 4、笔试全真解析:针对自主招生笔试题进行解析，教你如何应对自主招生笔试。 5、面试全真解析： 本书包含六章：自主招生面试基础知识、自主招生单独面试题型分类及答题套路、自主招生面试小组讨论解析、自主招生面试准备、自主招生面试实战技巧、自主招生面试答题解析。 自主招生面试基础知识：相对于采用笔试方式的高考，自主招生面试更倾向于测试考生地综合素质。因此，考生首先必须对自主招生面试的概念、特点、种类、作用等有一个基本的认识和了解，才能够有的放矢和高效率地准备应试。本章内容就为考生和家长讲述自主招生面试概述、自主招生面试的构成要素、自主招生面试的测评要素，帮助考试深入了解自主招生面试。 自主招生单独面试题型分类及答题套路：在目前自主招生面试中的单独面试环节中出现的问题大体可分为报考动机与专业的匹配性、计划组织协调能力、人技关系意识与技巧、应变能力与自我情绪控制、综合分析能力五大类型，考生要想在面试中表现得足够出类拔萃，就必须有针对性地仔细了解，认真分析这五大类型的测试题目。 自主招生面试小组讨论解析：本章内容让你在小组讨论中脱颖而出 自主招生面试准备：对于考生来说，高考取得好成绩获得面试资格只是走向成功的第一步。进入自主招生面试必须做好从零开始的心理准备，能否顺利录取，面试成绩非常关键。要想在面试中取得好成绩，做好准备是必不可少的。本章教会你如何准备自主招生面试。 自主招生面试答题解析：面对自主招生面试题，你会如何解答？本章让你提前接触自主招生面试题及解析 自主招生面试实战技巧：如何打造自主招生面试亮点？ 目前，《2012自主招生考试全程指导》系列丛书正在热销中，欲购从速！ 自主招生申请材料个人自 述范文 篇一：自主招生个人自述材料 同济大学自主招生个人自述材料 尊敬的同济大学自主招生领导： 您好！我是山东省济宁市泗水一中高三学生张吉昂。 我希望通过贵校的自主招生来实现我在同济大学学习的梦想，感谢您在百忙中抽出时间审阅我的申请材料。 从小我就有一个“同济梦”，“同舟共济、自强不息”的同济精神，“严谨、求实、团结、创新”的教学传统，以及同济大学悠久的历史，深厚的文化底蕴，丰富的教学资源，良好的学术氛围，强烈的时代气息，无不深深吸引着我。近年来我校许多优秀学生都不约而同的选择贵校为第一志愿，我也非常渴望能在明年7月拿到贵校的录取通知书，成为贵校的一名学生，勤奋学习，不懈努力，早日成为一名对对祖国、对社会有用的人才。 学习是我最喜欢的事情，从小学起，我 便严格要求自己，自加压力，毫不放松，从小学到初中，我的成绩一直是年级的一、二名。特别是2011年中考，我以全县第三名的成绩考入泗水一中。进入高中以来，学习更加繁重，竞争更加激烈，但我始终稳居年级前六名，从高一到现在，连续4次获得“三好学生”的称号，还在2012年12月荣获“济宁市三好学生”荣誉称号。今年下半年，我曾代表泗水一中参加物理和数学竞赛，其中物理荣获“全国三等奖”，数学荣获“省级一等奖”。 上初中时，就听人说，“高中难学”，到真正接受高中课程，我发现课程不仅进度快，而且更注重抽象思维，题型多，难度大，学习中会碰到许多问题和挑战，尤其是物理和数学，但也并不是不能学好。这两科是我的拿手学科。除了我刻苦研究，不懈探索以外，兴趣和热爱也是重要因素，我尤其热爱数学，它是一切自然科学的基础，它是一切问题的源头，它就是整个世界！那严密的论证，简明的算理，和谐的定理，透露出一种浑然天成的美，一种如同艺术品般的精巧的 第二讲：不等式 ———————————————————————————————————————————— 第一部分 概述 不等式部分包括：解不等式；不等式的证明 在复旦大学近三年自主招生试题中，不等式题目占12%，其中绝大多数涉及到不等式的证明； 交大试题中，不等式部分通常占10%-15%，其中涉及到一些考纲之外的特殊不等式 常用不等式及其推广： 需要适当补充一点超纲知识 柯西不等式 均值不等式及其推广 第二部分 知识补充： 1、 柯西不等式的证明 1212,,2 ((112111n n a b R a b a b n a a a n n a a a +?∈+≥≥≥++++≥≥≥ ++L L 有平方平均）算术平均）调和平均） 推广到个正实数，有123123,,,,,,,,,,0(1,2,,),(1,2,,),n n i i i a a a a b b b b b i n k a kb i n ====L L L L n 柯西不等式设是实数则 当且仅当或存在一个数 使得时等号成立222222 212121122()()()n n n b a a a b b b a b a b a b +++++++L L L ≥n n b a b a b a B Λ++=2211， b b b C n 2 2221+++=Λ222222212121122()()()n n n b a a a b b b a b a b a b +++++++L L L ≥② 证明： 柯西不等式的推论一 柯西不等式的推论二 柯西不等式的应用 2AC B 不等式就是②≥()222 2121122222 121,2,()()2() ()i i n n n n a i n a f x a a a x a b a b a b x b b b ==+++++++++L L L L 若全部为零，则原不等式显然成立。若不全部为零，构造二次函数0)()()()(2222211≥++++++=n n b x a b x a b x a x f Λ又∴二次函数()f x 的判别式0△≤, 即2222222112212124()4()()0n n n n a b a b a b a a a b b b ++-++?+++L L L ≤ 证明： 22 2222 12212(111)() (111)n n a a a a a a ++++++?+?++?L L L ≥ 例1已知12,,,n a a a L 都是实数，求证： 222212121()n n a a a a a a n ++++++L L ≤ 22221212() ()n n n a a a a a a ∴++++++L L ≥222212121()n n a a a a a a n ∴++++++L L ≤2 111,n n i i i i i a R a n a +==????∈≥ ? ?????∑∑设则例2 已知,,,a b c d 是不全相等的正数，证明： 2222a b c d ab bc cd da +++>+++ 证明： 2 22222222 ()() ()≥a b c d b c d a ab bc cd da +++++++++ ∵,,,a b c d 是不全相等的正数，a b c d b c d a ∴ ===不 人教版初中物理自主招生考试辅导材料（有答案） 一、选择题 1．如图所示，甲图中圆柱形容器中装有适量的水。将密度均匀的木块A放入水中静止时，有2/5的体积露出水面，如图乙所示，此时水对容器底部的压强比图甲水对容器底部的压强增加了300 Pa。若在木块A上表面轻放一个质量为m1的物块，平衡时木块A仍有部分体积露出水面，如图丙所示，此时水对容器底部的压强比图甲水对容器底部的压强增加了400Pa。若将容器中的水换成另一种液体，在木块A上表面轻放一个质量为m2的物块，使平衡时木块A露出液面部分与丙图相同，如图丁所示。若m1∶m2＝5∶1，则下列说法中错误的是 A．木块A的质量m A与m1之比为1︰3 B．在丁图中，液体的密度为kg/m3 C．木块A的密度为kg/m3 D．在图丙中，木块A露出水面的体积与木块A的体积之比是1:5 答案: A 2．将甲、乙两个完全相同的溢水杯放在水平桌面上，甲溢水杯中装满密度为ρ1的液体，乙溢水杯中装满密度为ρ2的液体。如图8甲所示，将密度为ρA，重为G A的物块A轻轻放入甲溢水杯中，物块A漂浮在液面上，并且有1/4的体积露出液面，液体对甲杯底的压强为P1。如图乙所示，将密度为ρB，重为G B的物块B轻轻放入乙溢水杯中，物块B沉底，物块B对乙溢水杯底的压力为F，液体对乙溢水杯杯底的压强为P2。已知ρ1∶ρ2＝3∶2，ρA∶ρB＝4∶5，则下列说法中正确的是 A．ρ1∶ρA,＝3∶4 B．F A浮∶F B浮＝9∶8 C．P1∶P2＝2∶3 D．F∶G B＝13∶45 答案: D 3．如图所示，实心铝块B、C的体积均为10cm3，已知铝的密度为2.7g/cm3。当B浸没在水中时，木块A 恰能在水平桌面上向左匀速运动。若用铝块D替换C，使A在桌面上向右匀速运动，不计水与B之间的摩擦及滑轮与轴的摩擦，则D的质量应为： 第二节 机械能 自然界中的能量有很多，诸如电能、内能、化学能、核能等。机械能是重力势能、弹性势能和动能的总称。 一、重力势能 1．重力做功的特点 当物体上升或者下降时，重力就会对物体做功，重力所做的功对 应着物体与地球之间能量的变化。如图5.28所示，我们分别计算物体 m 沿不同路径从1h 高度运动至2h 高度时，重力做的功。 物体沿AB 下落时，有()12AB W mg h h =-。 物体沿AC 下落时，设AC 与水平方向夹角为α，则()cos 90AC AC W mg s α=???-，因为()21cos 90sin AC AC s s h h αα?-=-?=，因此()12AC W mg h h =-。 可见，AB AC W W =，无论物体沿着竖直方向下落，还是沿着倾斜直线下落，重力所做的功都等于重力大小与下降高度的乘积。这个结论可以用来求解沿AD 下降时重力的功AD W 。 将曲线AD 分割成无限多的微元段，则每一个微元段可以视为倾斜的直线，微元段的竖直高度分别为1h ?，2h ?，3h ?，…，则 ()()12312312AD W mg h mg h mg h mg h h h mg h h =?+?+?+???=?+?+?+???=- 综上可知，重力做功与物体的移动路径无关，只与物体的初、末位置的高度差有关，可以用AB W mg h =?来计算重力做的功，其中h ?表示物体在初、末位置的高度差，如果物体有一定的形状和大小，则h ?表示物体的重心在初、末位置的高度差。 2．重力势能的定义 重力做功时，对应着物体能量的变化。这种能量是由于物体与地球之间存在引力作用，而该种引力（重力）做功又与路径无关，只与初、末位置有关，物体和地球间的这种由相对位置决定的能叫做重力势能。重力势能是物体和地球所共有的，为了叙述方便，可以说成是某一物体的重力势能。 重力势能的计算公式为p E mgh =，在国际单位制中，重力势能的单位是焦（J ）。式中h 是物体重心相对某个参考平面（零势能面）的高度，选择不同的参考平面，物体的高度h 不同，物体的重力势能也就不同，所以物体的重力势能具有相对性。但是物体从一个高度运动到另一高度，重力势能的变化量是绝对的，跟参考平面的选取无关，例如，质量为m 的物体从房顶落到地面，下落高度为h ?，不论选择怎样的参考平面，该物体的重力势能总是减少mg h ?。 例1 （上海第27届大同杯初赛）两个完全相同的正方体均匀物块，分别沿各自虚线切割掉一半，将剩余部分a 和b 按照图5.29所示位置摆放在同一水平面上，两物块的重力势能的比较结果为史上最系统最全面的高校自主招生资料(含自主招生试题)_物理学科
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