导数的概念导学案
导数的概念导学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
预习目标：“导数的概念”了解瞬时速度的定义，能够区分平均速度和瞬时速 度，理解导数(瞬时变化率)的概念 预习内容： 问题1 我们把物体在某一时刻的速度称为________。一般地，若物体的运动规律为 )(t f s =，则物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物体在t 到t t ?+这段时间内，当_________时平均速度的极限，即t s v x ??=→?0lim =___________________ 问题2 函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是: 000 0()()lim lim x x f x x f x f x x ?→?→+?-?=?? 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的______，记作'0()f x 或________，即___________________________________________________________. 提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑? 课内探究学案 一：探究求导数的步骤： （即________变化率） 二：精讲点拨 例1(1)求函数23x y =在1=x 处的导数. (2)求函数x x x f +-=2)(在1x =-附近的平均变化率,并求出该点处的导数. 三：有效训练 求22+=x y 在点x=1处的导数. );()()1(00x f x x f y -?+=?求增量;)()()2(00x x f x x f x y ?-?+=??算比值时）（在求0.)3(0→???='=x x y y x x
导数学案(有答案)
3.1.1平均变化率 课时目标 1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题． 1．函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为____________．习惯上用Δx表示________，即__________，可把Δx看作是相对于x1的一个“__________”，可用__________代替x2；类似地，Δy＝__________，因此，函数f(x)的平均变化率可以表示为________． 2．函数y＝f(x)的平均变化率Δy Δx＝ f(x2)－f(x1) x2－x1 的几何意义是：表示连接函数y＝f(x)图象 上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))的割线的________． 一、填空题 1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数________．(填序号) ①在[x0，x1]上的平均变化率； ②在x0处的变化率； ③在x1处的变化率； ④以上都不对． 2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的增量Δy＝______________. 3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则Δy Δx＝ ________. 4．某物体做运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是______________． 5．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是________． 6．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为________． 7．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______． 8．若一质点M按规律s(t)＝8＋t2运动，则该质点在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度是________． 二、解答题 9．已知函数f(x)＝x2－2x，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．10．过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx，1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．
第三章 导数 导学案
§3.1.1 变化率问题 1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程. 体会数学的博大精深以及学习数学的意义； 2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化. 7880 复习1：曲线22 1259 x y +=与曲线 22 1(9)259x y k k k +=<--的（ ） A ．长、短轴长相等 B ．焦距相等 C ．离心率相等 D ．准线相同 复习2：当α从0 到180 变化时，方程22cos 1x y α+=表示的曲线的形状怎样变化？ 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一： 问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率 吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象? 问题2：高台跳水，求平均速度 新知：平均变化率： 2121()()f x f x f x x x -?=-? 试试：设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ?，即 x ?= 或者2x = ，x ?就表 示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为y ?，即y ?= ；如果它们 的比值y x ??，则上式就表示为 ， 此比值就称为平均变化率. 反思：所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值. ※ 典型例题 例 1 过曲线3()y f x x ==上两点(1,1P 和(1,1)Q x y +?+?作曲线的割线，求出当0.1x ?=时割线的斜率. 变式：已知函数2()f x x x =-+的图象上一点 (1,2)--及邻近一点(1,2)x y -+?-+?，则y x ??= 例 2 已知函数2 ()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001] 小结：
导数在函数中的应用
第二课时 导数在函数中的应用 【学习目标】 1.理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用； 2.理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用。 3.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； 4.结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 【重点难点】 ①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；③利用导数求函数的最值；④利用导数证明函数的单调性；⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题；⑦导数与解析几何相综合的问题。 【高考要求】B 级 【自主学习】1． 函数的单调性 ⑴ 函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为 ；若)(x f '＜0，则)(x f 为 .（逆命题不成立） (2) 如果在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f . 注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的. (3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： ① 确定函数)(x f 的 ； ② 求)(x f '，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根； ③ 把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间； ④ 确定)(x f '在各小开区间内的 ，根据)(x f '的符号判定函数)(x f 在各个相应小开区间内的增减性. 2．可导函数的极值 ⑴ 极值的概念：设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且对0x 附近的所有点都有 （或 ），则称)(0x f 为函数的一个极大（小）值．称0x 为极大（小）值点. ⑵ 求可导函数极值的步骤： ① 求导数)(x f '；
导数导学案8
§132利用导数研究函数极值 学习目标 1.理解极大值、极小值的概念； 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值; 3.掌握求可导函数的极值的步骤 . 心学习过程 - ■—?■"—■- ~ —? ■—— -- ——~—-_-—I _■■- ? ?- —■—— 一、课前准备 (预习教材P27~ P30，找出疑惑之处) 复习1：设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内 这个区间内为_____ 函数；如果在这个区间内y 0 ,那么函数 函数. 复习2:用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数f 等式，得x的范围就是递增区间.③令______________ 解不等式，得 二、新课导学探学习探究探究任务一：问题1:如下图，函数y f(x)在a,b,c,d ,e, f ,g,h等点的函数值与这些点附近的函数值有什 么关系？ y f(x)在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y f(x)的导数的符号有什么 看出，函数y f(x)在点x a的函数值f(a)比它在点x a附近其它点的函数值都—， f (a) 且在点x a附近的左侧f (x)_0，右侧f (x)_0. 类似地，函数 y f(x)在点x b的函数值f(b)比它在点x b附近其它点的函数值都_____________ ，f (b)— 而且在点x b附近的左侧f(X) _______ 0，右侧f(X) _____ 0. 新知： 我们把点a叫做函数y f (x)的极小值点，f(a)叫做函数y f (x)的极小值；点b叫做函数y f (x) 的极大值点，f(b)叫做函数y f(x)的极大值. 极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值. 极值反映了函数在某一点附近的_________________ ， 刻画的是函数的_____________ . 试试: (1) ________________ 函数的极值 (填是，不是)唯一的. (2)一个函数的极大值是否一定大于极小值________ ⑶函数的极值点一定出现在区间的______ (内，外)部，区间的端点 极值点. 反思：极值点与导数为0的点的关系: 导数为0的点是否一定是极值点. y 0，那么函数y=f(x)在 y=f(x)在为这个区间内的 _ (x).②令 _____________ 解不 x的范围，就是递减区间. (能，不能)成为
变化率与导数、导数的计算学案(高考一轮复习)
20XX 年高中数学一轮复习教学案 第二章 函数、导数及其应用 第11节 变化率与导数、导数的计算 一．学习目标： 1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义； 2．能根据导数定义，求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1 x 的导数； 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 二．学习重、难点： 1．学习重点：能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数； 2．学习难点：理解导数的几何意义. 三．学习方法：讲练结合 四．自主复习： 1．导数的概念 (1)函数在x ＝x 0处的导数 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是__________________________＝lim Δx →0 Δy Δx ， 称其为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0 . (2)导函数：当上式中的x 0看作变量x 时，函数f ′(x )为f (x )的________． (3)导数的几何意义：f ′(x 0)是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的________，相应的切线方程是_____________________．
2．基本初等函数的导数公式 3.运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝_________________； (2)[f(x)·g(x)]′＝________________________； (3)[f(x) g(x) ]′＝_______________________ (g(x)≠0)．五．复习前测： 1．已知函数f(x)＝sin x＋ln x，则f′(1)的值为() A．1－cos1 B．1＋cos1 C．cos1－1 D．－1－cos1
【高考二轮课程】数学文科 全国通用版 第18讲 导数的综合应用 学案
高考二轮复习第18讲导数的综合应用 一、高考回顾 导数是高考的难点，一般在高考中是一大一小，小题多考切线相关问题，或者单调性、极值最值问题；而大题一直是压轴题，考查不等式恒成立、含参问题等。对大多数学生来说，导数部分能熟练掌握简 二、知识清单 1.思维导图
2.知识再现 （一）导数概念 函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)('0x f 或0|'x x y =，即 x y x x x f x f x x ??=??-=→?→?000 0lim )(lim )(' 说明： 1. 函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在 2. 在定义导数的极限式中，x ?趋近于0可正、可负、但不为0，而y ?可能为0 3. 导数是一个局部概念，它只与函数)(x f y =在0x 及其附近的函数值有关，与x ?无关 4. 在定义式中，设x x x ?+=0，则0x x x -=?，当x ?趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义 式可写成 0000/) ()(lim )()(lim )(0x x x f x f x x f x x f x f x x o x --=?-?+=→→? 5. 若极限x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 000 不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导 6. 导数反映函数)(x f y =在点))(,(00x f x 处变化的快慢程度. 7. 导数的物理意义:瞬时速度，气球的瞬时膨胀率等. 8. 求函数)(x f y =在0x x =处的导数的一般方法： 思维特征 自变量x 因变量y 函数的切线问题 函数单调性 函数的极最值 核心知识 导数利用代数解析式研究性质 利用几何图形研究性质 利用导函数研究性质 图像语言 符号化语言 描述性语言 思维载体
3.1 导数的概念及其运算导学案
§3.1 导数的概念及其运算 2014高考会这样考 1.利用导数的几何意义求切线方程；2.考查导数的有关计算，尤其是简单的复合函数求导． 复习备考要这样做 1.理解导数的意义，熟练掌握导数公式和求导法则；2.灵活进行复合函数的求导；3.会求某点处切线的方程或过某点的切线方程． 1． 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1，若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平 均变化率可表示为Δy Δx . 2． 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 学&科& (1)定义 称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx → f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)，即f ′(x 0)＝lim Δx → Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . (2)几何意义 函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3． 函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝lim Δx → f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′. 4． 基本初等函数的导数公式
5. (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)?? ??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x ) g 2(x ) (g (x )≠0)． 6． 复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [难点正本 疑点清源] 1． 深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系 (1)函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)是一个常数； (2)函数y ＝f (x )的导函数，是针对某一区间内任意点x 而言的．如果函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内每一点x 都可导，是指对于区间(a ，b )内的每一个确定的值x 0都对应着一个确定的导数f ′(x 0)．这样就在开区间(a ，b )内构成了一个新函数，就是函数f (x )的导函数f ′(x )．在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数． 2． 曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系 (1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不
2020高考数学一轮复习第三章导数及其应用3-3导数的综合应用学案理
【2019最新】精选高考数学一轮复习第三章导数及其应用3-3导数的 综合应用学案理 考点1 利用导数研究生活中的优化问题 [典题1] 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底 面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成 本为12 000π元(π为圆周率)． (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．[解] (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本 为160πr2元． 所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元． 又根据题意，得200πrh＋160πr2＝12 000π， 所以h＝(300－4r2)， 从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)． 因为r>0，又由h>0可得0＜r<5， 故函数V(r)的定义域为(0,5)． (2)因为V(r)＝(300r－4r3)， 故V′(r)＝(300－12r2)， 令V′(r)＝0，解得r＝5或－5(r＝－5＜0，舍去)． 当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数； 当r∈(5,5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上为减函数． 由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8. 即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．
[点石成金] 利用导数解决生活中的优化问题的四步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题 中变量之间的函数关系式y ＝f(x)； (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大 (小)值； (4)回归实际问题作答. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价 格x(单位：元/千克)满足关系式y ＝＋10(x －6)2，其中3＜x ＜6，a 为常数，已知销 售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值； (2)若该商品的成本为3元千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该 商品所获得的利润最大． 解：(1)因为当x ＝5时，y ＝11， 所以＋10＝11，a ＝2. (2)由(1)知，该商品每日的销售量y ＝＋10(x －6)2. 所以商场每日销售该商品所获得的利润 ???? ??2x －3＋10x －623)－(x ＝f(x) ＝2＋10(x －3)(x －6)2,3＜x ＜6. 从而，f′(x)＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)． 于是，当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表. x (3,4) 4 (4,6) f ′(x ) ＋ 0 － f (x ) 极大值42 由上表可得，x 所以，当x ＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
导数导学案1
§1.1.1函数的平均变化率 ，匚* 学习目标 1 ?感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程.体会数学的博大精深以及学习数学的意义； 2?理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景. 心学习过程 一、课前准备 （预习教材P3~ P 5,找出疑惑之处） 2 2 复习1:曲线乞乂 25 9 A .长、短轴长相等 C.离心率相等1与曲线 2 X 25 k 焦距相等 准线相同 -1(k 9)的( ) k 复习2:当从0。到180°变化时，方程X2y2 cos 1表示的曲线的形状怎样变化? 二、新课导学探学习探究探究任务一： 问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球 时，随着气球内空气容量的增加, 描述这种现 象？ 气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何 问题2:高台跳水, 求平均速度 f x 试试：设y f（X）, X1是数轴上的一个定点, 即 在数轴X上另取一点X2 , X1与X2的差记为X , 或者X2 = 函数的变化量或增量记为y，即y = X就表示从X1到X2的变化量或增量，相应地， ____ ;如果它们的比值」，则上式就表示 X ，此比值就称为平均变化率 反思：所谓平均变化率也就是的增量与的增量的比值.
2 x ，分别计算f （x ）在下列区间上的平均变化率: 小结： %动手试试 练1.某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示， 试分别计算从出生到第 个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率 . 探典型例题 例 1过曲线y 割线的斜率. f(x) 3 X 上两点P （1,1）和Q （1 x,1 y ）作曲线的割线，求出当 x 0.1 时 变式：已知函数 f(x) x 2 x 的图象上一点（1, 2）及邻近一点（1 x, 2 y ），则一y = x 例2 已知函数f （1） [1，3]； （2） [1，2]； （3） [1，1.1]； （4[1，1.001] 3个月与第6
导数的应用(习题课)优秀教学设计
§1.3 导数的应用（习题课）教学设计 【教材分析】 本节课是人教A版选修2-2第一章第三节内容，前面已经学习了利用导数求解函数的单调性、极值、最值、零点等问题，本节课是在前节内容的基础上，进一步学习如何利用导数研究不等式恒成立问题。这个问题属于高考压轴题的范畴，本节主要从“套路”和“模型”的角度出发，体现导数的工具性特征。 【学情分析】 学生已经学习了导数的基础知识，知道了一些解题的基本思路，但如何利用导数来解决一些较难的问题，完成对压轴题的“破冰”，学生还是无能为力，这是本节课的困难，需要进行不断的引导与强化。 【教学目标】 1、知识与技能： （1）能利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点等问题及不等式恒成立问题； （2）能够利用导数作图，反之可以利用图像来研究函数的性质； 2、过程与方法： 导数作为一种工具，是高中数学诸多知识的一个交汇点。通过教师思路上的引导，小组合作探究，能让学生从诸多条件中抽丝剥茧，发现解决方法，从而提高学生发现问题、解决问题的能力，深化对问题的认识，在过程中获得思维能力的提高。 3、情感与价值观： 培养学生主动学习，合作交流的意识，互相启发，相互促进，充分发挥各自的主观能动性，激发学生的学习兴趣，完善学习成果。 【教学重点】 利用“套路”和“模型”来研究导数研究不等式恒成立问题。 【教学难点】 （1）基本模型的熟悉与应用；（2）问题如何转化成“模型”来处理。 【课时设计】 两个课时，其中一个0.5个课时完成课堂练习，1.5个课时完成后面内容。 【教学策略】 采用练、评、讲的教学方法，利用几何画板、多媒体投影仪辅助教学。
【教学过程】 一、课堂练习（提前印发给学生） 问题 设计意图师生活动1、解决导数在函数中的应用问题的一般步骤：构造函数 求 求导 求 →→→ 求极值、最值 求问题的解 →→回顾定义，明确方法。 学生自主完成。 2、曲线在处的切线方程为 .x x y ln 2=e x =3、函数的单调递减区间为 . 1ln -=x x y 4、函数的极小值点为( ) x x e y x 2-=A. 1 B. C. D.2-e )2,1(-e ) ,1(e 5、函数的零点个数为( )x xe y =A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6、若不等式恒成立,则实数的取值范围为0ln >-x ax a ( ) A. B. C. D.??????+∞,1e [)+∞,e ??? ??+∞,1e ??? ? ? ∞-e 1,左边5个题均是导数应用中的基础题型， 练习的目的如下：1、巩固求解切线、单调区间、极值点、 零点的一般步骤；2、熟练掌握简单复合函数的求导，并能根据导函数画出原函数图像，深化对导数的理解。 学生自主完成，并 总结求解步骤，注意事项。 二、列表比较常考函数的图像与性质：（课堂完成） 教师：通过以上5个题目我们发现，含对数指数的复合函数出现的频率很高，事实上在高考中考查的也很频繁，下面我们对这几类函数进行单独研究，后期就会有意想不到收获。 学生：独立完成下表，小组内部讨论结论是否正确。 设计意图：针对高考的热点问题进行练习，先追根溯源，找到构成问题的“基本元素”，再由简到繁，引导学生体会解题思路，有意识去提炼总结，提高学生解题能力的同时增强自信心。原函数 x xe y =x e y x = x e x y = x x y ln =x x y ln = x x y ln = 定义域
苏教版数学高二- 选修2-2导学案 《常见函数的导数》
1.2.1 常见函数的导数 导学案 一、学习目标 掌握初等函数的求导公式； 二、学习重难点 用定义推导常见函数的导数公式． 三、学习过程 【复习准备】 1.导数的相关知识 ①导数的定义；②导数的几何意义；③导函数的定义；④求函数的导数的流程图. （1）求函数的改变量 （2）求平均变化率 （3）取极限，得导数/ y ＝()f x '= 2.如何求切线的斜率? (0)PQ x k P ?→当时，无限趋近于点处切线的斜率 3.导数：函数在某点处的瞬时变化率 设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上有定义，x0∈(a ，b)，若△x 无限趋近于零时，比值 00()()f x x f x y x x +?-?=??.无限趋近于一个常数A ，则称f(x)在x ＝x 0处可导，并称
该常数A 为函数f(x)在x ＝x0处的导数，记作f/(x 0)． 4.由定义求导数（三步法） ①求函数的增量：=?y ②算比值（平均变化率）： =??x y ③取极限，得导数：0 x x y ='= 【情境引入】 本节课我们将学习常见函数的导数.首先我们来求下面几个函数的导数. （1）y=x; （2）y=x 2 ; （3）y=x 3 . 问题：1-=x y ，2-=x y ，3-=x y 呢？ 问题：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？ 【数学建构】 1.几种常见函数的导数: 问题引入1： (1)(23)x '-+= (4)x '= (2)(2)x '-= (5)(5)x '+= (3)3'= (6)(4)'-= 通过以上运算我们能得到什么结论? 公式一:
问题引入2： (1)x '= 2(2)()x '= 2(3)(3)x '= 1(4)()x '= 通过以上运算我们能得到什么结论? 公式二: 【知识应用】 例1 求下列函数的导数： （1）()'3x ;（2）'21x ?? ??? ;（3 ）' . 解： 拓展 例2 求下列函数的导数： 4(1)y x =; 3(2)y x -=; 1(3)y x =; (4)y = =0(5)sin 45y ; =(6)cos u v . 解：
《导数的综合应用》优秀教学设计获奖定稿
《导数的综合应用》优秀教学设计 一、教材分析 “导数的综合应用”是高中数学人教A版教材选修1-1第三章的内容，是中学数学新增内容，是高等数学的基础内容，它在中学数学教材中的出现,使中学数学与大学数学之间又多了一个无可争辩的衔接点。导数的应用是高考考查的重点和难点，题型既有灵活多变的客观性试题，又有具有一定能力要求的主观性试题，这要求我们复习时要掌握基本题型的解法，树立利用导数处理问题的意识． 二、学情分析 根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点。 三、教学目标 1、知识与技能： （1）利用导数的几何意义； （2）利用导数求函数的单调区间； （3）利用导数求函数的极值以及函数在闭区间上的最值； （4）解决根分布及恒成立问题 2、过程与方法： （1）能够利用函数性质作图像，反过来利用函数的图像研究函数的性质如交点情况，能合理利用数形结合解题。 （2）学会利用熟悉的问答过渡到陌生的问题。 3、情感、态度与价值观： 这是一堂复习课，教学难度有所增加，培养学生思考问题的习惯，以及克服困难的信心。 四、教学重点、难点 重点是应用导数求单调性，极值，最值 难点是方程根及恒成立问题 五、学法与教法 学法： （1）合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题（如题型一（2））。 （2）自主学习：引导学生从简单问题出发，发散到已学过的知识中去。（如题型一（1））。 （3）探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知（如题型四的发散和直击高考的处理）。 教学用具：多媒体。
教法： 变式教学———这样可以让学生从题海中解脱出来，形成知识网络，增强知识的系统性与连贯性，从而使学生能够抓住问题的本质，加深对问题的理解，从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索“变”的规律；
3.1导数导学案
导数的概念及运算 一、预习案 （一）高考解读 能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数，通过图像直观地理解导数的几何意义，会求在某点和过某点的切线方程。 （二）知识清单 2、求导法则 ①运算 （1）=±' )]()([x g x f 。 （2）=?')]()([x g x f 。 （3）=?? ????' )()(x g x f 。 ②复合函数的导数：设)(x v u =在x 处可导，)(u f y =在点u 处可导， 则复合函数)]([x v f 在点x 处可导，且=)('x f 。 （三）预期效果及存在困惑
二、导学案 （一）完成《新亮剑（红色）》第50页查缺补漏。 （二）高考类型 考点一、导数运算 1、已知函数ax x x x f +=sin )(，且1)2 ('=π f ，则a 的值等于（ ） A.0 B.1 C.2 D.4 2、函数)(x f 的定义域是R ，2)0(=f ，对任意1)()(,'>+∈x f x f R x ，则不等式1)(+>?x x e x f e 的解集为 考点二、导数几何意义的应用 3、已知函数454)(23-+-=x x x x f 。 （1）求曲线)(x f 在点))2(,2(f 处的切线方程； （2）求经过点)2,2(-A 的曲线)(x f 的切线方程。 练习： 1（2018课标I ）设函数ax x a x x f +-+=23)1()(。若)(x f 为奇函数，则曲线)(x f y =在)0,0(处的切线方程为（ ） A. x y 2-= B.x y -= C.x y 2= D.x y =
2.（2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( ) A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0 课堂总结： 三、巩固案 1.（2016北京节选）设函数bx xe x f x a +=-)(，曲线)(x f y =在))2(,2(f 处的切线方程为4)1(+-=x e y ，求b a ,的值。 2.（2015全国II ）设函数)('x f 是奇函数)(x f 的导函数，0)1(=-f ，当 0>x 时，0)()('<-x f x xf ，解不等式0)(>x f 。
2019-2020年高考数学一轮复习第16课时导数的综合应用教学案
2019-2020年高考数学一轮复习第16课时导数的综合应用教学案 教学目标：能运用导数研究函数的性质（奇偶性、单调性、极值、最值等相关问题） 一、基础训练 1. 二次函数对于任意实数都有，且，则的最小值为 . 2.设是函数的导函数，若在 上的图像如图所示，则的单调减区间 是 . 3.用边长为6的正方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角各截去一个小正方形，然后将四边翻 转角，再焊接而成，则容器的高为 时，容器的体积最大. 4.函数的最大值是 . 5.已知上的可导函数在上是减函数，在上是增函数，如果，那么的符号为 . 二、合作探究 例1．已知函数 （1）求函数在[1，e]上的最大值和最小值； （2）求证：当时，函数的图象在的下方. 变式训练1： 已知定义在正实数集上的函数2 21()2,()3ln 2 f x x ax g x a x b =+=+,其中,设两曲线在公共点处的切线相同，求证： x y O 1 2 3
例2 已知函数2 ()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠ （1）当时，求证：上单调递增；（2）若函数有三个零点，求t 的值； （3）若存在，使得，试求实数的取值范围. 例3. 已知函数x a b bx ax x f )()(2 3 -++=（a ，b 是不同时为0的常数）,其导函数为。 （1） 当时，若存在，使得>0成立，求的取值范围； （2） 求证：函数在（-1,0）内至少存在一个零点： （3） 若函数为奇函数，且在=1处的切线垂直于，关于的方程在上有且只有一个实数根， 求实数t 的取值范围。 三、能力提升 1.若曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为 . 2.曲线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 . 3.若曲线的切线与直线平行，则该切线的方程为 . 4.如图，等腰梯形的三边分别与函数2 12([2,2])2 y x x =-+∈-的图像切于点，求梯形面积的最小值. A B C D x y
人教课标版高中数学选修1-1《函数的单调性与导数》导学案
§3.3.1函数的单调性与导数 学习目标 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法 学习过程 一、课前准备 （预习教材P 89~ P 93，找出疑惑之处） 复习1：以前，我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有＝ ，那么函数f (x )就是区间I 上的 函数. 复习2： 'C = ；()'n x = ；(sin )'x = ；(cos )'x = ；(ln )'x = ；(log )'a x = ；()'x e = ；()'x a = ； 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：函数的导数与函数的单调性的关系： 问题：我们知道，曲线()y f x =的切线的斜率就是函数()y f x =的导数.从函数342+-=x x y 的图像来观察其关系： 在区间（2，∞+）内，切线的斜率为 ，函数()y f x =的 值随着x 的增大而 ，即0y '>时，函数()y f x =在区间（2，∞+）内为 函数； 在区间（∞-，2）内，切线的斜率为 ，函数()y f x =的值随着x 的增大而 ，即/y <0时，函数()y f x =在区间（∞-，2）内为 函数. 新知：一般地，设函数()y f x =在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y '>，那么函数()y f x =在这个区间内的增函数；如果在这个区间内0y '<，那么
函数()y f x =在这个区间内的减函数. 试试：判断下列函数的的单调性，并求出单调区间： （1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =--； （3）()sin ,(0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+. 反思：用导数求函数单调区间的三个步骤： ①求函数f (x )的导数()f x '. ②令()0f x '>解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令()0f x '<解不等式，得x 的范围就是递减区间. 探究任务二：如果在某个区间内恒有()0f x '=，那么函数()f x 有什么特性？ ※ 典型例题 例1 已知导函数的下列信息： 当14x <<时，()0f x '>； 当4x >，或1x <时，()0f x '<； 当4x =，或1x =时，()0f x '=.试画出函数()f x 图象的大致形状. 变式：函数()y f x =的图象如图所示，试画出导函数()f x '图象 的大致形状. 例2 如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应 的水的高度h 与时间t 的函数关系图象.
高中数学《导数的计算》学案1 新人教A版选修
高中数学《导数的计算》学案1 新人教A版选 修 3、2 导数的计算 【成功细节】 张玥谈导数的计算的方法（xx年，北京文9) 已知是的导函数，则的值是＿＿＿＿、本节内容公式和法则比较多，以公式的推导、记忆以及应用为主，重点是基本初等函数导数公式以及导数的四则运算法则的灵活运用，公式的形式多样，容易引起混淆，并且公式中往往会有一些条件容易忽略，导致遗漏错误、所以在学习时，我认为应注意以下几个方面：（1）要牢记常数函数和幂函数的求导公式，能用定义法求这些函数的导数的方法，注意四种常见函数实际上就是四种特殊的幂函数；（2）要熟记基本初等函数的导数公式，特别是对数函数和指数函数的导函数的形式，；（3）熟练掌握导数的四则运算法则，注意公式的形式以及前提条件，两个函数的和与差的导数与两个函数积的导数的形式是不同的；（4）和（或差）、积的函数的导数运算法则可以推广到两个以上函数的和（差）、积的求导；（5）在求函数的导数时，一定要先化简函数的表达式，尽量不使用积的函数的导数的法则；（6）若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导。如，这个题主要考查基本初等
函数的导数公式以及函数和的导数的计算法则，是一个简单的小题，但计算时要细心，可先求出导函数，然后再求导数值，显然有公式可得，，所以、 【高效预习】 （核心栏目）“要养成学生阅读书籍的习惯就非教他们预习不可”。叶圣陶 【关注、思考】 1、阅读课本第8182页，总结四个常用函数的导数公式，认真阅读导数公式的推导过程，这四个常用函数有什么共同的特征，其导数有什么意义？细节提示：利用导数的定义求解四种函数的导数，对照函数图象，把握住导数的物理意义和几何意义；四种常用函数实际上都是幂函数，探讨规律时，应把导函数的系数与幂指数与原函数进行对比、 【领会、感悟】 1、这四种函数实质上都是特殊的幂函数，它们的导函数的系数为幂函数的指数，指数为幂函数的指数减去1所的数值；函数的导数的几何意义是函数图象在该点处的切线的斜率 【领会感悟】 2、基本初等函数的导数公式是我们求解函数导数的基础，要记准确，记牢，才可能在运算过程中不出现错误。例1是导数的简单应用、 【精读细化】
