信号与系统复习题(答案全)

1、 若系统的输入f (t)、输出y (t) 满足()3()4t y t e f

t -=，则系统为 线性的 （线性的、非线性

的）、 时变的 （时变的、时不变）、 稳定的 （稳定的、非稳定的）。

2、 非周期、连续时间信号具有 连续 、非周期频谱；周期、连续时间信号具有离散、非周期 频谱；

非周期、离散时间信号具有 连续 、周期频谱；周期、离散时间信号具有离散、 周期 频谱。 3、 信号f(t)的占有频带为0-10KHz,被均匀采样后,能恢复原信号的最大采样周期为 5×10-5 s . 4、 )100()(2

t Sa t f =是 能量信号 （功率信号、能量信号、既非功率亦非能量信号）。 5、 ()2cos()f t t =+是 功率信号 （功率信号、能量信号、既非功率亦非能量信号）。 6、 连续信号f(t)=sint 的周期T 0= 2π ,若对f(t)以fs=1Hz 进行取样，所得离散序列f(k)=

sin(k) ,该离散序列是周期序列？ 否 。

7、 周期信号2sin(/2)()j n t

n n f t e n ππ+∞

=-∞

=

∑，此信号的周期为 1s 、直流分量为 2/π 、频率为5Hz 的谐波分量的幅值为 2/5 。 8、 f (t) 的周期为0.1s 、傅立叶级数系数**033555

32F F F F F j --=====、其余为0。试写

出此信号的时域表达式f (t) = 5 + 6 cos ( 60 π t ) - 4 sin (100 π t ) 。 9、 f (k) 为周期N=5的实数序列，若其傅立叶级数系数()205=F ()5

2511,

πj

e

F -+=

()5

4512πj

e

F -+=、 则F 5 (3 )= ()5

4512πj

e

F +=- 、F 5 (4 )= ()5

2511π

j e

F +=- 、F 5 (5 )= 2 ；

f(k) =())1.725

4

cos(62.052)9.3552cos(62.152525140525?-?+?-?+=∑=k k e n F n k jn πππ

。

10、 离散序列f(k) = e j 0.3k 的周期N 不存在 。 11、 离散序列f (k) = cos (0.3πk)的周期N= 20 。 12、

若有系统()dx x f e t y t

x t ?

∞

----=

2)()(，则其冲激响应=)(t h ()2)2(---t e t ε 。 13、

若有系统()dt t f t y t

?

∞

-=)(，则其=)(t h ()t ε 、=)(ωj H

()ωπδω

+j 1

。 14、

若有系统dt

t df t y )

()(=

，则其=)(t h ()t 'δ 、ωωj j H =)( 。

15、

对信号)100()(2

t Sa t f =均匀抽样时,其最低抽样频率=s

f

π

200

。

16、

已知2

)()2(+=--s e s F s ,其原函数=)(t f ()1)

1(22---t e

e t ε . 17、 若线性系统的单位阶跃响应g (t) = 5e - t ε(t)，则其单位冲激响应h (t) = 5δ(t) – 5e - t ε(t) 。 18、 离散LTI 系统的阶跃响应g(k)=0.5k ε(k)，则其单位样值响应h(k) = 0.5 k ε (k)- 0.5 (k-1) ε (k-1)。 19、

现有系统冲激函数()3()5t h t e t ε=,其频响特性H (j ω) = 不存在 。

20、 现有系统冲激函数()t e t h t

ε32)(-=,其频响特性H(j ω)= 2/(3+jω) .

21、 某LTI 系统的ωωj j H =)(，若输入)2cos()(t t f =，则系统的输出=)(t y 2cos(2t+π/2)。 22、

某LTI 系统的冲激响应为()()()t

h t t e

t δε-=-，系统的频率响应()H j ω= 1－

1/(1+jω) 。 若输入()2cos()f t t =+，则输出()y t =

)45cos(2

1?+t

23、 某LTI 系统的ωωj j H =)(，若输入)2cos(2)(t t f +=，则输出=)(t y 2cos(2t+π/2) 。 24、 因果系统36

.05.1)(2+-=

z z z z H 的频率响应特性=)(ω

j e H 不存在 。

25、 设离散因果系统()2

() 1.20.35H z z z

z =-+，则其阶跃响应的终值()g ∞= 20/3 。

26、 现有系统函数2

3)(2+-=s s s

s H ,其频响特性H (jω)= 不存在 。

27、

系统传递函数22

()2p K s

H s s s αω=

++，则使系统稳定的α的取值范围为 α> 0 。

28、

已知f (t)?F(jω),则f (4-3t)的傅立叶变换为 ω

ω34

)3

(31j e j F -- 。

29、

已知)()(ωj F t f ?，则 dt

t df t

)

( 的傅立叶变换为 -()()dF j F j d ωωωω- 。

30、 信号e 2 t δ ( t-1)的傅立叶变换式为 e 2 e -j ω

. 信号2 k δ (k-3)的DTFT 为 8e - j3 θ .

31、

抽样信号Sa(2πt)的傅立叶变换为

()()()4112222g πωεωπεωπ=+--???

?。

32、

以10Hz 为抽样频率对 Sa(2πt)进行冲激抽样()()()0.20.1s k f t Sa k t k πδ+∞

=-∞

=

-∑，

则fs(t) 的傅立叶变换为()()()5

202202s k F k k ωεωππεωππ+∞

=-∞

=-+---????∑ 。

33、 f (k) = Sa (0.2πk)，则DTFT[f (k)]()()5

20.220.2k k k εθππεθππ+∞

=-∞

=-+---????∑.

34、

已知f (t)?F(ω),则f (t) cos (200t) 的傅立叶变换为 [F(ω+200)+ F(ω-200)]/2 .

35、 已知周期信号f T (t) =

t T

jn

n e

F π

2∑+∞

∞

-，则其傅立叶变换为 )2(2T

n

F n n πωδπ

-∑+∞

-∞

= . 36、 若LTI 系统无传输失真，则其冲激响应

=)(t h k δ(t-t d )；其频率响应H(j ω) =d

t

j ke ω-。

37、

单位阶跃序列的卷积和ε (k) * ε (k) = (k+1)ε(k) .

38、 已知时间连续系统的系统函数有极点02,1ωαj p ±-=，（0,ωα均为正实数），零点z = 0，该

系统 为 带通 滤波器。

39、 已知信号∑=-=k

i i

k f 0

)1()(，则其Z 变换为=)(z F 221z z - 。

40、

(4)k k δ∞

=-∞

-=∑ 1 。

41、

?=∞

∞

-－dt e

t

j ω )(2ωπδ 。

42、 若线性系统的单位冲激响应h (t) = e - t ε (t)，则其单位阶跃响应g (t) = （1- e - t ）ε (t) .

43、 已知5

.05.11

)(22+-+=z z z z X ，若收敛域为|Z|>1,x (k) = 2δ (k)+4ε (k) -5 (0.5) k ε (k) ，若收敛

域为0.5<|Z|<1,x (k) = 2δ (k) - 4ε (-k-1) -5 (0.5) k ε (k) 。 44、 已知信号)()(t e

t t f at

n

ε-=,其拉普拉斯变换和收敛域为()

1

!

() n n F s s a σα+=

>-+。

45、 信号f(t) 的频率上限为100KHz,信号f 1(t)＝3f (t-3)的最小采样频率为 200KHz .

46、 信号f (t) 的频率上限为100KHz,信号f 1(t)＝3f (t-3)*f (t)的最小采样频率为 200KHz .

47、 已知3

21)(22-++=s s s s F ，则=+

)0(f -2 ，=∞)(f 不存在 。

48、 若2

36

)(2+-=

s s s H ，则阶跃响应g (t)的初值g (0+) = 0 ：终值g (∞)= 不存在。

49、 已知系统描述dt t de t r dt t dr dt

t r d )()(4)(3)(22

2=++，且)()cos()(t t t e ε=，=-

)0(r 0 1)0(='-r ，则=+)0(r 0 ，=+)0('r 1.5 。

50、 已知系统描述dt t de t r dt t dr dt

t r d )()(4)(3)(22

2=++，且)()sin()(t t t e ε=，=-

)0(r 0, 1)0(='-r ，则=+)0(r 0 ，=+)0('r 1 。

51、

=-??∞

-τπ

τδτd t

)6(sin 4 2 ε ( t - π/6 ) ; ()22k

i

i i δ=-∞

-=∑ 4 ε ( k-2 ) .

52、

[]{}

dt t t t t

?--++++44

2

)2()()5()1(δδδ= 6。；

()()5

2

224i

i i i i δδ=-∞

-+-=∑ 20 .

53、 已知f (t) = ε (t-1) - ε (t-3), x (t) = δ (t-3),则f(t)*x (t) = ε (t-4) - ε (t-6) 。 54、 多级子系统级（串）联时，系统冲激响应是 子系统冲激响应的卷积 。

55、 已知f(t)?F(ω)，以Ts 为间隔进行冲激抽样后的频谱为: Fs(ω) =

∑

+∞

-∞

=-k s

s

T k

F T )2(1

πω； 离散信号f (kTs ) 的DTFT 为()()

/s

j s

T F e

F θ

ωθω==

56、 写出信号f (t) = 10 +2cos (100t+π/6)+ 4cos(300t+π/3)经过截止频率150 rad s -1的理想低通滤波器

H(j ω)＝5G 300(ω)e - j2ω后的表达为： f (t) = 50 +10cos [100（t - 2）+ π/6] 。

57、 已知信号)20(cos )6sin(1)(2t t t f ++=。能够无失真地传输此信号的理想低通滤波器的频率特

性)(ωj H = kG 2ωc (ω)e – j ω td ，k 、td 为常数、ωc > 40 rad/s 。

58、 理想低通滤波器: 截止频率50Hz 、增益5、延时3。 则其频响特性H(j ω)= 5G 200π (ω)e – j 3ω . 59、 f (t) = 1 +2 Sa (50πt)+ 4 cos (300πt+π/3) + 4 cos (600πt+π/3)通过理想低通滤波器后的响应为y(t)

= 10+20 Sa[ 50π (t -6)] + 40 cos [300π (t-6)+π/3 ]。请写出此想低通滤波器的频率响应特性 H (j ω) = 10G 2ω(ω)e – j6ω ,600π > ω > 300π rad / s 。 60、 序列x (k) = 0.5 k ε (k) + 0.2 k ε (-k-1)的Z 变换为 不存在 。

61、 )(k f 的Z 变换为∞<<-=

Z z z z F 5.0,5

.016)(5

，则=)(k f 16 (0.5)(k+4) ε (k+4) 。

62、 求x (n) = 2 δ (n+2) +δ (n) + 8δ (n -3)的z 变换X(z) = 2 Z 2+1+8 Z - 3 , 和收敛域∞<

64、 判断所列系统是否为线性的、时不变的、因果的？ 1) r (t) = d ε (t)/ d t (线性的、时不变的、

因果的； 2) r (t) = sin(t) ε (1-t) 线性的、时变的、非因果的; 3) y(n) = [x(n) + x (n-1) + x (n+1)]/3； (线性的、时不变的、非因果的) ；4) y(n) = [x(n)]2 (非线性的、时不变的、因果的)。

65、 已知滤波器的频率特性[]??

??

?≥<-=-s

rad s

rad e

j H j /40/44)(ωωωωω

, 输入为

)3/5cos(1.0)6/3cos(2.0)cos(2)(ππ+++++=t t t t f 。写出滤波器的响应)36

3cos(2.0)1cos(38)(-++-+=π

t t t y 。问信号经过滤波器后是否有失真？（有）若有

失真，是幅度失真还是相位失真？或是幅度、相位皆有失真？（幅度失真）

66、

已知系统的频率特性

22

5,0

()5,0

j j e H j e ωωω-?>=?

（1）求系统响应y(t)；(2 ) 问信号经过系统后是否有失真？若有失真，是幅度失真还是相位失真？或是幅度、相位皆有失真？

解：（1）()105cos(2)cos(32)0.5cos(52)y t t t t =+-+-+- （2）信号经过系统后有失真。

解：（1）()105cos(2)cos(32)0.5cos(52)y t t t t =+-+-+- （2）信号经过系统后有失真。

()5H j ω=，故幅度不失真；2,0

()2,0ω?ωω->?=?

，不与ω成正比，故有相位失真。。

67、 时间离散系统单位样值响应()k k h k

ε)91()(=,其频响特性H (e j θ ) = 9

1-

θθ

j j e e 。

68、 时间离散系统单位样值响应()k k h k

ε)3()(=,其频响特性H (e j θ ) = 不存在 。

69、 若系统的输入f (t)、输出y (t) 满足()32()4t y t e f t -=，则系统为 非线性的 （线性的、非

线性的）、 时变的 （时变的、时不变）、 稳定的 （稳定的、非稳定的）。 70、

冲激响应()()()h t t t δε=+，阶跃响应()g t =

)()(t t t εε+；系统为 不稳定 （稳定、

不稳定）。

71、 离散系统()()()()11y k f k f k f k =-+++，单位序列响应()h k =)1()()1(+++-k k k δδδ ;

频率响应特性()j H e θ

= θ

θj j e e ++-1；系统函数=

)(z H z z ++-11。

72、

卷积和

()()k k εε*= )()1(k k ε+；卷积积分()()12t t εε-*-=

)3()3(--t t ε 。

73、 ()f t 的周期为0.01s 、傅立叶级数系数**011225

1F F F F F j --=====、其余为0。

试写出()f t = )400sin(2)200cos(25t t ππ-+，其平均功率为 29 。

74、 已知信号)5(31)(+??

?

??=k k f k

ε，其z 变换为3/12436-z z 、收敛域为 ∞<

75、 已知f(t)?F(ω)，以0.1s 为间隔进行冲激抽样后的频谱为: ()1020k F k ωπ∞

=-∞

-∑

。

76、 f (t) 的周期为0.1s 、傅立叶级数系数**011335

322F F F F F j --=====+、其余为0。

试写出此信号的三角级数表达式f (t ) = ()()()56cos 204cos 604sin 60t t t πππ++-。 77、 系统函数2

31

)(2++=

s s s H ，则阶跃响应g (t)的初值g (0+) = 0 ： 终值g (∞) = 1/2 。

78、 已知系统构成如图

e(t)

各子系统的冲激响应分别为A(t) = δ(t -1), B(t) = ε (t) - ε (t-3), 则总的冲激响应为 ε (t) - ε (t-3) + ε (t -

1) - ε (t - 4) .

79、

系统如图所示。若0

()(), 0,1,2,......,n f t

t nT n δ+∞

==

-=∑则零状态响应y(t)= ε (t) 。

二．计算题

1、已知因果离散系统的系统函数零（o ）、极点（X ）分布如图所示，且当z →∞时，()1H z →。

求：1)系统函数H(z)；2）单位样值响应h(k)； 3)频率响应特性()

j H e θ； 4) 粗略画出0 <θ< 3π

的幅频响应特性曲线, 并指出该系统的滤波特性（低通、高通、带通、带阻等）。

解：（1）由零极点图得： ()()

21/33148

z z H z K

z z +∴=-+

由 z →∞时，()1H z → 得：()()

21/33148

z z H z z z +∴=

-+

（2） ()710113342

z z H z z z -=+--， ()()()()

()7101142

33k k

h k k k εε∴=-+

（3）系统函数极点在单位圆内，故系统为稳定系统，()()()(

)(

)

1/3|

1

1

4

2

j j j j z e j j e e H e

H z e e θ

θθθ

θ

θ

=+==

--

（4）()

()()32

16

0, 3.56;,;,0.36.9

45

j j j H e

H e H e θ

θθθθθπ==

=↑↓==

=

因此，该系统为低通滤波器。

T

()t

r d ττ

-∞

?

y (t)

f (t)

- 1

1/2 - 1/3

Re [z]

Im [z]

× ×

1/4

2、求2

1213141()(20),()(3),()(0.5),()5(1)f t Sa t f t f t f t f t f t f t π====-，的柰奎斯特抽样频

率f s1、 f s2、f s3、f s4。 解： 由抽样定理， 2s m f f =。

11401111

()(20)()(),20,10,20;20

m m s f t Sa t F G f Hz f Hz ππωωωπ=?=

∴==∴=

221211212111()(3)()()()2360,12023333

m m s f t f t F F F f f Hz f Hz

ωωωπ=?=

?*∴=?=∴=3131()(0.5)()2(2)f t f t F F ωω=?=， 3130.55,10m m s f f Hz f Hz ∴==∴=；

4141()5(1)()5()j f t f t F F e ωωω-=-?=， 41410,20m m s f f Hz f Hz ∴==∴=

3、已知1

1

)(+=

s s H ; y (0-)=2；激励f (t) = sin(3t)(t), 试求零输入响应y x (t)、零状态响应y f (t) ,

并指出瞬时响应y tr (t)和稳态响应y ss (t)。

解：（1）()t

x y t Ce -=，由y x (0+)= y (0-)=2得：C=2， 故：零输入响应为：()2,0t

x y t e t -=≥。

（2） ()2

3

9

F s s =

+，()()()f Y s H s F s =? ()()22220.31130.30.330.10.31919199

f s s

Y s s s s s s s s -=

=+=+-+++++++

()()()()()()0.30.1sin 30.3cos 3t

f y t e t t t t t εεε-=+-

该系统为稳定系统，故： ()()()()()()()0.3,0.1sin 30.3cos 3t

tr ss y t e

t y t t t t t εεε-==-

4、求下列离散信号()()()112sin 63k k f k cos ππ????

--=+????????

的周期N 和傅里叶系数()N F n 。（和作业题P210 4.53(1)类似）

5、已知如图所示LC 电路的端电压为周期信号()2

422j k t

k f t Sa k e π

π+∞

=-∞

??= ???∑。

求：（1）f (t)的周期T 和f (t) 的直流、一次和二次谐波分量；

（2）电流i ( t ) 的直流、一次和二次谐波分量；

f (t)

1 H

1Ω

+

i (t)

（3）大致画出t = 0到T 的f (t ) 的波形。

()∑∑+∞

=+∞

-∞=??? ????? ??+=??? ??=1

242

4cos 24222)1(k k t jk t k k Sa e k Sa t f ππππ

，84/2=???

??=ππT

()0

2cos 4

4cos 164cos 24 22220=??

?

????

?

??=??? ????? ??=t Sa t t Sa C ππππππ二次谐波：；一次谐波：；直流：

()()().

0 384cos 28.1 2 t)( i 3879.025.011

;4

1

;0;11

200

，－，分量分别为：

一次谐波和二次谐波波的直流、）（??

?

??∴-∠=+=

=

==+=t j j H j H j j H ππ

ωπ

ωωωω

ω

6、计算f (t) = [ε (t + π/4) – ε (t – π/4)]﹡[cos t δ (sin t)] 并画出其波形。（式中 “*”为卷积符号）

()()()()()πδπδππ

πδπδn t n t n n n t n t

t t n n n n --=

-=-=∑

∑∑

∞

-∞

=∞-∞=∞

-∞

=1cos cos cos 1cos sin cos

()()()()()ππδππn t g n t t g t f n n

n n

--=

--*

=∑∑∞

-∞

=∞

-∞

=2/2/11)(

7、

-∞

=n n 求此周期信号的平均功率。

1

2

22

212

sin(/2)2sin(/2)

()(/2)(/2)4/21

1

11()(4)()(1/2)248

n n T n T n n F n n n n f t g t n p f t dt dt T

ππ

πωδωπδωππ+∞+∞

=-∞

=-∞

+∞

=-∞

--

=-=

-?=

-∴=

=

=∑∑∑?

?

8、求信号t

t t f )sin()(π=

的傅立叶变换)(ωj F 并求该信号的能量()dt t f

E ?

+∞

∞

-=

2

。

()()2sin()

()t f t Sa t g t

πππππω=

=? ()()222

12E f t dt F j d ωωππ

+∞+∞-∞-∞∴===?? 9、()()()cos[(3]

313k f t t k t k t k πεε+∞

=-∞

=

-----????∑。

（1）画出此信号在- 5< t <5区间的波形；（2）求此信号的指数形式和三角形式的傅立叶级数展开式。

令[])1()()cos()(0--=t t t t f εεπ，则

)()(0kT t f t f -=，3,=∈T Z k 为一周期3=T 的信号，其在55<<-t 区间的波形为：

求此信号的指数形式和三角形式的傅立叶级数展开式：

()

()()1

1

2201011()cos()()222

2

j j f t t g t F j Sa e Sa e

ωπωπωπ

ωπ

πω-+--??

+-????=-?=+??

? ???????

g ??

?

??+-??

?

??--??? ??+-Ω=????????? ??--??? ??+=??

????????? ??-+??? ??+==232323023

2361232361|)(1ππππππωππππππππωn j n j n j n n e n Sa n Sa e n Sa e n Sa j F T F

（1） 指数形式：

2323

1()63232n n j j

t n n n f t Sa Sa e e

πππ

ππππ??

∞

-+

??

?

=-∞??????∴

=+-- ? ????????

?∑

（2） 三角形形式：

0 1 2 3 4

5

-1

-2 -3 -4 -5 t

f(t)

???

?????? ??--??? ??+==23

23312ππππn Sa n Sa F A n n ，00A =，???

?

??+-=23π

π?n n

??? ??--?????

???? ??--??? ??+=∴

∑∞

∞=2332cos 232331)(πππ

ππππn t n n Sa n Sa t f n

10、系统结构如右图所示。

求其系统函数H (s) = s / (s 2 + 3s + 2) 和单位冲激响应h (t) = (- e - t + 2e - 2 t ) ε(t)

11.如图所示系统，已知?

??≤=2,02

,1)(φωωωF ，)sgn()(ωωj j H =，求系统的零状态响应)(t y 。

（建议用图解法）)5cos()(2

)(t t Sa t y π

=

?

?

＋

t

4cos t

4sin )

(t f )

(t y )

(ωH

12．两线性时不变系统分别满足下列描述：

)(3)()(2)(:)(11

111t e t e t r t r t h +'=+' )()(3)(:)(2222t ke t r t r t h =+' ① 求)(),

(21s H s H ；3

)(,23)(21+=

++=

s k

s H s s s H ② 两系统按图示方式组合，求组合系统的系统函数)(s H ;k

s s s H +++=

23

)(

③

k 为何值时，系统)(s H 稳定？k >-2

13．连续时间系统020

,

2

3)(H s s H s H ++=为常数，已知该系统的单位冲激响应的初值为3，

① 求0H ；＝ 3

y （t ）

f （t ）

∑

-3

∫

∫ -2

)

(t e )

(t r )

(1t h )

(2t h ∑1

-

② 若给定激励)()1(3t e

t

ε-+时，系统的完全响应为29

(2)

02

t t e e t --+->，

求系统的零输入响应()()()215,02

t

t

x f y t y t y t e e t --=-=+

>、 零状态响应()()()()293

322

t t f y t t e t e t εεε--=

--及系统起始状态)0(),0(--'r r 。(0)(0),'(0)'(0)

(0) 5.5,

'(0)6

x x y y y y y y -+-+-

-

==∴==-Q

14．系统结构如图所示，已知2

9

)2(,3)1(=

-=-y y ， ① 写出系统的差分方程；② 求系统函数)(z H 及系统的单位样值响应)(k h ;

③ 激励为)(k ε时，求系统响应，并指出其自由响应分量、强迫响应分量、暂态响应分量和稳

态响应分量。

15 时间离散系统结构如图所示。

（1） 写出描述系统的差分方程。y (n) + y (n-1) + 0.25 y (n-2) = x (n) + x (n-1)

（2） 写出该系统的系统函数H (z)220.25

Z Z

Z Z +=++,

并求冲激响应h (n) = [0.5 n (-0.5) n-1 + (-0.5)n ]ε (n)。 判断该系统是否稳定。是

（3） 已知x (n) = ε (n), y (-2) = 4, y (-1) = 0, 求零输入、零状态响应。

零状态响应=

()()1811()0.5()0.5()936

n n

n n n n εεε-+-+- ； 零输入 = [2n (-0.5) n -1 – 4 (-0.5)n ]ε (n)。

（4） 若x (n) = 2ε (n), y (-2) =16, y (-1) = 0, 求零输入、零状态响应。

零状态响应=2倍（3）的零状态响应；零输入 ＝ 4倍（3）的求零输入。

x

16. 如图所示, H 1(jω)为理想低通滤波器, e -jωt 0 |ω|≤1, H 1(jω)=

0 |ω|>1, 求系统的阶跃响应. (提示：dx x x

y Si y

?

=

sin )(). ()()101

h t Sa t t π

=

-; ()()()001

1

1g t Si t t Si t T t ππ

=+

-+

--

17. 已知系统对激励 f(t) = sin (t)·ε (t)的零状态响应 y(t)＝)()]sin(5

2

)cos(515

1[2t t t e

t

ε+--, 求系统的冲激响应h(t) )(2t e

t

ε-=.

18. 已知LTI 系统在输入e 1(t) = ε (t)作用下的全响应为y 1= (6e -2 t - 5e -3 t ) ε (t)；在输入e 2(t) = 3ε (t)下的全响应为y 2= (8e -2 t - 7e -3 t ) ε (t)。系统的初始状态不变。求：1）系统的零输入响应y 0(t)；2) 当输入e 3(t) = 2ε (t)时的零状态响应y e3 (t)。y 0(t) = = (5e -2 t - 4e -3 t ) ε (t)；y e3 (t) = (2e -2 t - 2e -3 t ) ε (t) 19. 已知系统函数2

()2100

s H s s s =

++。1）求其冲激响应h(t)的初值h (0＋

) = 1与终值h (∞) = 0 ；2）

画出其零、极点图并粗略画出其幅频特性曲线，指出系统的滤波特性。（带通滤波器）极点；

991j ±-；零点：0。

20. 如图所示系统，已知 ，（1）试画出f(t)、f 1(t)、f 2(t)、

f 3(t)和y(t)的频谱图；（2）说明信号经此系统转换后再传输的意义；（3）说明由y(t)恢复f(t)的方法。

f (t)

f 2 (t)

f 3 (t)

f 1(t)

H(j ω)

∑

y (t)

cos(4t)

sin(4t)

延时T

H 1(j ω)

＋

F(j ω) 1

-2 F 2(j ω) -4 2 ω

4 - 6

6

1/2

F 3(j ω) 1/2

21. 已知离散系统差分方程[][][][][]13

1

281143-+=-+--

n x n x n y n y n y 。1)求系统函数和单位样值响应; 2)画出系统函数的零极点分布图; 3) 粗略画出幅频响应特性曲线, 指出其滤波特性。

()(

)

()()21

711013

[]31

343248

n n

z z H z h n n z z ε+????

=

=-+ ? ?????

-+

；

零点：0、- 1/3；极点：1/4、1/2。

22.

(

t t ε=)(

和系统的零输入响应()t y x = (2e - t - e - 2 t ) ε (t)； a = -3、 b = -2、 c = 2。

23. 求2

1213141()(100),()(),()3(3),()3(4)f t Sa t f t f t f t f t f t f t π====-，的最小抽样频率f s1、

f s2、f s3、f s4。(100, 200, 300, 100 Hz)

24. 为了通信保密，可将语音信号在传输前进行倒频，接收端收到倒频信号后，再设法恢复原

信号频谱。下图是一倒频系统，其中HP 、HL 分别为理想高、低通滤波器。已知ω b > ωm 。（1） 画出x(t) 和y(t) 的频谱图；（2）若HP 、HL 中有一个滤波器为非理想滤波器，倒频系统是否能正常工作？（3）若HP 、HL 均为非理想滤波器，倒频系统是否能正常工作？

F （s

（可见书上P208页

4.40题）

25. 已知两矩形脉冲f 1 (t)与f 2 (t)。f 3 (t) =

f 1(t)*f 2(t)。.(1)画出f 3 (t)的图形；（2）求信号f 3 (t)的傅氏变换F 3(ω) = 32 Sa (ω) Sa (2 ω )。

26. 求矩形脉冲G(t)= ε ( t + 5) - ε ( t - 5)经冲激抽样后的付里叶变换。抽样间隔1/5。大致画出Ｆ(ω)

的图形。 Ｆ(ω) = 50

()[]∑+∞

-∞

=-k k Sa πω105

27、求[Sa(πt)]2的傅立叶变换；求[Sa(0.2πk)]2的离散时间傅立叶变换并画出频谱图

28、求信号()()(4)f t Sa t Sa t =?的傅立叶变换)(ωj F 并求该信号的能量()dt t f

E ?

+∞

∞

-=2

。

29. 时间离散系统结构如图所示。

(1) 写出描述系统的差分方程； (2) 写出该系统的系统函数H (z), 并求冲激响应h (n)。

(3) 判断该系统是否稳定；

(4) 大致画出幅频响应特性曲线并指出属于何种滤波特性； (5) 若x (n) =ε (n),求零状态响应，分别指出暂态与稳态响应。

30. 系统构成如图所示。

各子系统的冲激响应分别为：h 1(t) = ε (t)，h 2 (t) = δ (t-1)，h 3 (t) = -δ (t )。求总的冲激响应h (t)。。

t

2 k Ω

h (t) = ε (t) - ε (t - 1)

31. 试证明2

1

sin()1x dx dx x x π+∞

+∞-∞

-∞==+??。 ()()

()()()()()

()

2

2

21

2011sin 11t

e F j d

f dx x x Sa t f t dt F j dx x

ωωωππ

ωπεωεωωπ+∞

+∞

--∞

-∞+∞

+∞

=-∞

-∞

??Γ=

=∴=??++Γ=+--=∴=????????

?

?

?

?

Q Q

32. 如图所示电路

（1）写出电压转移函数)

()

()(0s E s V s H =

。 （2）画出幅频、相频特性。指出电路属何种滤波器，

确定其截止角频率ωc 。

（3）若e (t) = (10 sin 500 t )ε (t), 求v (t)。

指出其自由、强迫、暂态、稳态响应。

高通10

;10

101

1010)

()

()(5

440=+=+=

=-c s s

s

s E s V s H ω

稳态响应约等于输入，即 (10 sin 500 t )ε (t)。（ 因为500>>50 ）

33.如图所示电路。t = 0 以前电路处于稳态，t = 0时开关自1转至2。 (1) 写出电路的传递函数H(s)，画出零、

极点图；

(2) 画出幅频响应、相频响应特性曲线； (3) 分别求e 1 (t) = 0, e 2 (t) = 2 cos (ω01 t),

ω01 = 10 rad/s 时的输出信号v 0 (t)。

34．图示电路系统中R=10Ω, L=1/（200π）H, C=1/（200π）μF 。求，（1）系统函数H(s)；（2）

系统频率特性H(j ω)，粗略画出其幅频特性曲线，指出系统的滤波特性（低通、高通或带通等）并说明系统的主要参数；（3）图示对称矩形周期信号e (t)作用下该系统的响应v (t)

()()1002;22)/(10200102002001

,100020012

102;221102

236020

22==++-=?=??=====

++=+

+=++=αωωωαωω

αωπππωππ

αωααQ j j j H s rad LC L

R

s s s LC

s L R s s

L R sC Ls R R s H 这是一个品质因素Q 很高的带通滤波器，其幅频特性曲线如图所示：

另一方面，图示对称矩形周期信号e(t)＝1/2 + 2/π[cos(2π105t)-1/3 cos(6π105t)+1/5 cos(10π105t)-……]。其中只有基波信号能够通过题中的滤波器，直流分量以及高次谐波的响应均可认为是零，而H(j ω)∣ω=ω0 =1因此y(t) ≈ 2/πcos(2π105t) (V)。

35．时间离散系统的幅频、相频响应特性曲线如图所示。1）指出此系统的滤波特性（低通、高通、带通、带阻等）；2）若系统输入为f (k) = 2 ε (k) + 3 (-1)k ε (k)，求系统的稳态输出y ss (k)。 **提示：(-1) k = cos ( πk )，1k = cos ( 0 k ) **

。。。

θ = π 时 ()2=θj e H 、?(θ) = 0；θ = 0 时 ()

0=θj e H 、?(θ) = π/2，所以，

y ss (k) = 2 × 3 (-1)k ε (k) = 6 (-1) k ε (k)。

36．设有周期矩形方波信号f(t)如图（a ）所示。其周期T1= 1s, 脉冲宽度 τ = 0.5 s 。求f(t)经过一理想低通滤波器后的输出信号y(t)。理想低通滤波器的幅频、相频特性如图（b ）所示。

ω (2π 103 rad/s)

f(t) = 1+ f 1(t)，f 1(t)为周期1 s 的对称矩形方波。

()()()211211

()0.5(0.5)[cos 2cos 6cos 10........]235

k t

k f t Sa k e

t t t ππππππ+∞

-=-∞

=

=

+-+-∑ 由通滤波器的幅频、相频特性可知，f = 0时，增益为1；f = 1时，增益为1/2、相移为– 0.5 π；f >=2,

增益为0。所以，()t t t y πππππ2sin 12322cos 123)(+=??? ?

?

-+=

. 37．线性时不变系统结构如右图： (1) 写出描述系统的差分方程； (2) 写出该系统的系统函数H (z)。

(3) 画出其零极点分布图，判断该系统是否稳定； (4)

(5) 分别求f (k)为 cos (0 k)ε (k)、cos (

π k)ε (k)、cos (0.5π k)ε (k)时的稳态响应。

38、信号f 1(t)、f 2(t) 如图所示。

求F 1(j ω) 和F 2(j ω)、大致画出频谱图并进行比较。

F 1(j ω) = 4 Sa (2 ω )；又因为, f 2(t) = f 1(t) * f 1(t)/4, 和F 2(j ω) = 4 Sa 2 (2 ω ).

t

F1(jw)

F2(jw)

比较 F 1(j ω) 和F 2(j ω)可以发现，三角脉冲的高频成分要比矩形脉冲的高频成份少，即随着频率的增大，幅频特性的幅值更快地得到收敛。从时域上看，三角脉冲是连续（其一阶导数有断点），而矩形脉冲本身就有断点。

39、 （1）对上题中的f 1(t) 以0.5秒为间隔进行冲激抽样得到f 1s (t) =

())(1

s

k s

kT t kT f -∑+∞

-∞

=δ，试求

)

f 1s (t)的傅立叶变换F 1s (j ω)= ??

?

??-∑+∞-∞=5.025.011πωk F k 并大致画出其频谱图为F 1(j ω)以4 π为周期的周期延拓。；（2））将上题中的f 2 (t)与cos (4πt)相乘得到f 3 (t)，试求f 3 (t)的傅立叶变换F 3 (j ω) = [F 2 (ω +4π)

＋F 2 (ω - 4π) ]/2大致画出其频谱图。

40、已知系统函数2

2)(2

++=

s s s

s H ,（1）画出其零极点图；（2）大致画出其幅频和相频曲线；（3）求系统在激励f (t) = 10cos (t)·ε (t),作用下的稳态响应y ss (t)。

41、设有如图所示信号且)()(ωF t f ?ωωd F ?

+∞

∞

-)(；②{})(Re ωF 写出其表达式）。

①

ππωω2)0(2)(==+∞

f d F ；② {}()()()()()()t f t f F F F -+?-+=

11

)(Re ωωω

42、已知信号)(t f 的功率谱为N S f =)(ω。

求信号通过以下低通滤波器后输出信号

)(t y 的功率谱)(ωy S 。

)(t y 的功率谱为：()

()1

11)(22

2

+=

+

==RC N

C

j R C j N

j H N S y ωωωωω。

43、用f s = 5 kHz 的周期单位冲激函数序列对有限频带信号f (t) = 3 + 2 cos(2π f 1 t )， f 1 = 1kHz ，进行

取样。（1）画出f (t)以及取样信号f s (t)在频率区间（- 10kHz, 10 kHz ）的频谱图；（2）若由f s (t)恢复f (t)，理想低通滤波器的截止频率f c 应如何确定？4 kHz > f c > 1 kHz

R

y (t)

（3 ）

44、信号f 1(t)、f 2(t) 如图所示。求F 1(j ω) 和F 2(j ω)、大致画出频谱图并进行比较。

()()

()()

2

121

22162()

2224n n k F j Sa F j F j n T

Sa k k ωπ

ωωωωδωπππ

δω+∞

=-∞=Ω

+∞

=-∞

==

-Ω????- ? ?????∑∑

45、写出上题中f 2(t)的指数和三角形式的傅立叶级数表达式。若将f 2 (t)作为电压源作用于图示RL 电路，试求电流i ( t) 的前3次谐波分量。

()()()()()22421

00224cos 2241

;0;1

11;0.7938410.2531;0.3967410.753i ( t) 32 1.28cos 380.14cos 6744jk t k k f t Sa k e Sa k k t H j H j j H j j H j j t t π

πππωωωωπωωππωωπ

ππ+∞

+∞

=-∞=??????==+ ? ? ???????===+===∠-+===∠-+????

∴ ? ???∑∑的前次谐波分量为

＋－＋－?

?

46、时间离散因果系统的系统函数H (z)的零（o ）、极点（×）分布如图所示，且已知当Z →∞时，H (z) →1。 1）写出系统函数H (z)的表达式；2）写出其频率响应特性H ( e j θ)的表达式；3)粗略画出0 < θ < 3π 时的幅频响应曲线,并指出该系统的滤波特性（低通、高通、带通、带阻等）；4）若系统输入为f (k) = sin (0.5πk ) ε (k)，求系统的稳态输出y ss (k)。

f 2(t)

+

Re [z]