离散数学网上作业题概要

东北农业大学网络教育学院

离散数学复习题

复习题一

一、证明

1、对任意两个集合B A 和，证明 ()()A B A B A =??-

2、构造下面命题推理的证明

如果今天是星期三，那么我有一次英语或数学测验；如果数学老师有事，那么没有数学测验；今天是星期三且数学老师有事，所以我有一次英语测验。

二 、计算

1、(1)画一个有一条欧拉回路和一条汉密顿回路的图。 (2)画一个有一条欧拉回路但没有汉密顿回路的图 (3)画一个没有欧拉回路但有一条汉密顿回路的图

2、设()(){}212,，，个体域为为，整除为

()()()()()x Q y x P y x →??,的真值。

3、一棵树有2n 个结点度数为2 ，3n 个结点度数为3，… ，k n 个结点度数为k ，问它有几个度数为1的结点。

4、设集合{

}A A ,4,3,2,1=上的关系 {}

4,3,3,2,1,22,1,1,1=R ，求出它的自反闭包，对称闭包和传递闭包。

三、设{}45,36,27,15,9,6,5,3,2,1=A 上的整除关系{}

212121,,,a a A a a a a R 整除∈=，

R 是否为A 上的偏序关系？若是， 则：1、画出R 的哈斯图；

2、求{}{}{}9,2glb 9,2lub 9,2和最大下界的最小上界。

四、用推导法求公式()()R Q P →→的主析取范式和主合取范式。 五、设实数集2

R 上的关系{

}

c b

d a R d c b a d

c b a +=+∈,,,,,,,2＝ρ，

证明：ρ是2R 上的等价关系。

六、设+

R R 和分别是实数集和正实数集，＋和×分别是普通加法和乘法，定义函数+

→R R f :为

r r f 2)(=，证明 ),(),(?++R R f 到是从的同构映射。

七、设R 是实数集合，}0{*-=R R ，在R R ?*

上定义二元运算 为：()()()d bc ac d c b a +=,,, ，试证

明>?< ,*R R 是一个群。>?< ,*R R 是否阿贝尔群？

复习题二

一、设 上的整除关系

完成下列各小题。

1、 证明ρ是L 上的偏序关系。

2、 画出偏序集,L ρ<>的哈斯图。

3、 在L 上定义两个二元运算∧和∨：对任意,a b L ∈，(,)a b glb a b ∧=，(,)a b lub a b ∨=。请填空（在

横线上填是或不是）：

①代数系统,,L <∧∨> 格。 ②代数系统,,L <∧∨> 有界格。 ③代数系统,,L <∧∨> 有补格。 ④代数系统,,L <∧∨> 分配格。 二、求布尔函数的析取范式和合取范式

设123122323(,,)()()()E x x x x x x x x x =∧∨∧∨∧是布尔代数{0,1},,,<∨∧>上的一个布尔表达式。试写出123(,,)E x x x 的析取范式和合取范式（用推导法或列函数表的方法均可）。 三、画出满足下列要求的图

①有一条欧拉回路和一条汉密尔顿回路。 ②有一条欧拉回路但没有汉密尔顿回路。 ③没有欧拉回路但有汉密尔顿回路。 ④既没有欧拉回路也没有汉密尔顿回路。

四、证明在完全二叉树中，边的总数等于2(n-1)，这里n 是叶子数。 五、计算

求带权2、3、5、7、11、13的最优二叉树。 六、证明

在一个连通平面图中，若它有n 个结点，m 条边，且每个面由k 条边围成。 试证

(2)

2

k n m k -=

-

七、证明

设V 是有限字母表，给定代数系统*,V <>，其中是串的连接运算。对于任一串*V α∈，建立*

V 到

{}1,2,3,4,12L ={}

121212

,,,a a a a L a a ρ=∈整除

N 的映射f ，()||f αα=。证明f 是*,V <>到,N <+>的一个满同态，且当||1V =时，f 是同构映射。

八、应用

给定有限状态机(,,,,,)s M Q S R f h A =，它的状态图如附图所示。 1、 求状态A 的011010的后继以及可接受状态序列。 2、 求s M 对于激励010110的响应。

3、构造一台与s M 相似的转换赋值机t M ，画出t M 的状态图。 九、证明

考察一个（8，4）码C ，它的校验位a 5，a 6，a 7，a 8满足下列方程 a 5=a 1+ a 2+ a 4 a 6=a 1+ a 3+ a 4 a 7=a 1+ a 2+ a 3 a 8=a 2+ a 3+ a 4

其中a 1，a 2，a 3，a 4为信息位。 求出这个码的一致校验矩阵。证明

min x C x ∈≠()4W X =。

复习题三

一、设集合

完成下列各小题。 1求S 的幂集()P S 。 2证明(),P S 是偏序集。 3画出偏序集(),P S 的哈斯图。

4在()P S 上定义两个二元运算∧和∨：对任意,()A B P S ∈，A B A B ∧=?，A B A B ∨=?

。请填空

{},,S a b c =

（在横线上填是或不是并回答为什么）：

①代数系统(),P S 格，因为 。 ②代数系统(),P S 有界格，因为 。 ③代数系统(),P S 有补格，因为 。 ④代数系统(),P S 分配格，因为 。 ⑤代数系统(),,,~P S 布尔代数，因为 。 二、计算

设123122323(,,)()()()E x x x x x x x x x =∧∨∧∨∧是布尔代数{0,1},,,<∨∧>上的一个布尔表达式。试写出123(,,)E x x x 的析取范式和合取范式（用列函数表的方法）。 三、回答问题

完全图n K 是否是欧拉图？是否是哈密尔顿图？为什么？ 四、画图

对于下图，利用克鲁斯克尔算法求一棵最小生成树。

五、计算

一棵树有两个结点度数为2 ，1个结点度数为3，3个结点度数为4 ，其余结点度数为1。问该树有几个度数为1的结点。 六、证明

(,)G V E =图是无向简单图，其中||||V n E m ==，

，证明：2

)

1(-≤n n m 。 证明 因为G 是简单图，所以图G 中没有环和平行边，任意两结点间最多有一条边，故2

(1)

2

n n n m C -≤=。 七、证明

已知

(,,,),{,,},{,,},:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)N T N T G V V P V B C V a b c P a BC aBC CB BC aB ab bB bb bC bc cC cc

σσσσσ===→→→→→→→

求证 *

n n n

a b c σ?

八、设计

设计一台有限状态机M ，它的输出是已经输入符号数的模3数（即设计模3计数器）。 九、计算

给定码C={00000,10001,01100,10101}，求码C 中任两个码字的海明距和min ()d C 。

复习题四

一、填空

1、设A 和B 为有限集，|A|=m ，|B|=n ，则有 个从A 到B 的关系，有 个从A 到B 的函数，其中当m ≤n 时有 个入射，当m=n 时，有 个双射。

2、集合2{|}A n n N =∈ （是/不是）可数的。 二、计算

1、用推导法求下列公式的主合取范式和主析取范式：(())P Q R ?∨→

2设A A },4,3,2,1{=上二元关系{1,2,2,2,2,4,3,4}R =<><><><>，求其自反闭包、对称闭包、传递闭包。 三、证明

1、设C B A ,,是三个集合，证明：()()A B C A C B ?-=-? 2证明等价式：()(()())()()()()x A x B x x A x x B x ?→??→? 四、将下列命题推理符号化并给出形式证明：

已知张三或李四的彩票中奖了；如果张三的彩票中奖了，那么你是知道的；如果李四的彩票中奖了，那么王五的彩票也中奖了；现在你不知道张三的彩票中奖。所以李四和王五的彩票都中奖了。 五、设复数集合{|,,0}C a bi a b R a =+∈≠，定义C R 上二元关系：,a bi c di R <++>∈当且仅当

0ac >，证明：R 为等价关系。

六、证明：若A

B C

D A B C D ??和，则。

七、设集合{23|,}m n G m n I =∈，?是普通乘法，证明：,G 是一个群。

八、设实数集合R ，+和x 是普通加法和乘法，定义映射:f R R →，,()x x R f x e ?∈=，证明

,,f R R <+>是从到的单一同态。

复习题五

一、填空

1、实数集合R （是/不是）可数的。

2、设A 和B 为有限集，|A|=m ，|B|=n ，则有 个从A 到B 的关系，有 个从A 到B 的函数，其中当m ≤n 时有 个入射，当m=n 时，有 个双射。

二、计算

1、用推导法求下列公式的主合取范式和主析取范式：(())P Q R ?∨→

2设A A },4,3,2,1{=上二元关系{1,1,2,3,2,4,3,2,3,4}R =<><><><><>，求其自反闭包、对称闭包、传递闭包。 三、证明

1、设C B A ,,是三个集合，证明：()()A B C A C B --=-- 2证明等价式：()(()())()()()()x A x B x x A x x B x ?→??→? 四、将下列命题推理符号化并给出形式证明：

已知今天下雨或刮风；如果今天下雨，那么我在家看书；如果今天刮风，那么我去放风筝；今天我没有在家看书。所以今天刮风并且我去放风筝了。

五、设正整数集合I +上的二元关系{,|,,}2

x y

R x y x y I I +-=<>∈∈，证明：R 为等价关系。 六、证明：若A

B C

D A B C D ??和，则。

七、设集合{5|}n G n I =∈，?是普通乘法，证明：,G 是一个群。

八、设正实数集合R +和实数集合R ，+和x 是普通加法和乘法，定义映射:f R R +→，

,()ln x R f x x +?∈=，证明,,f R R +<+>是从到的同构。

复习题六

一、 求公式q ∧(p ∨┐q)的析取范式、合取范式及主析取范式、主合取范式。 二、用推理规则证明：

前提 (?x)(F(x)∧S(x))→(?y)(M(y) →W(y))，(?y)(M(y)∧┐W(y)) 结论 (?x)(F(x)→┐S(x)) 三、计算题

1.证明逻辑等价式A →(A →B)?A →B 成立。

2.对任意集合A ，B ，C ，证明：（A - B ）⊕ B = A ? B

3.设二元关系R={<{a},b>,, }求：

(1) dom R (2) ran R (3) R οR

4.求集合A={|p,q 都是整数}的势。

5. 在20名青年中有10名是公司职员，12名是学生，其中5名既是职员又是学生，问有几名既不是职员，又不是学生。

四、假设给定了正整数的序偶集合A ，在A 上定义二元关系R 如下：<,>∈R,当且仅当xv=yu ，证明R 为等价关系。

五、给出偏序集上偏序关系R 的关系图（如下图所示）。

（1）求偏序集的哈斯图。

（2）指出A 的最大、最小元（如果有的话），极大、极小元。

六、设为群。若在G 上定义二元运算о,使得对任何元素x ，y ∈G ，有

x оy = y *x 。

证明也是群

七、设为群,a 为G 中给定元素。定义函数f ：G →G ，使得对每一x ∈G 有f(x)=a *x *a -1

证明：f 是到的自同构。

复习题七

一、证明

1、对任意两个集合B A 和，证明 ()()A B A B A =??-

2、构造下面命题推理的证明

如果我学习，那么我数学不会不及格；如果我不热衷于玩游戏机，那么我将学习；但我数学不及格，因此我热衷与玩游戏机。 二 、计算

1、 画一个有一条欧拉回路和一条汉密顿回路的图。

2、设()(){}212,，，个体域为

为，整除为

3一棵树有2n 个结点度数为2 ，3n 个结点度数为3，… ，k n 个结点度数为k ，问它有几个度数为1的结点。

4设集合{}A d c b a A ,,,,=上的关系 {d c c b a b a R ,,,,,=，求出它的自反闭包，对称闭包和传递闭包。

三、设{}15,9,5,3=A 上的整除关系{}

212121,,,a a A a a a a R 整除∈=，

R 是否为A 上的偏序关系？若是，则：

1、画出R 的哈斯图；

2、求A 的极大值和A 的极小值。

四、用推导法求公式()()R Q P →→的主析取范式和主合取范式。

五、设自然数集N 上的关系R 定义为：{}

I m n n N n n n n R m ∈=∈=,2/,,,212121，

证明：R 是N 上的等价关系。

六、设+

R R 和分别是实数集和正实数集，＋和×分别是普通加法和乘法，定义函数+→R R f :为

r r f 10)(=，证明 ),(),(?++R R f 到是从的同构映射。

七、设I 是整数集合，＋是普通加法，试证明>+<,I 是一个群。>+<,I 是否循环群？

复习题八

一、 求公式(┐p ∨┐q)→(p ?┐q)的析取范式、合取范式及主析取范式、主合取范式。 二、用推理规则证明：

前提 (?x)P(x)→(?x)((P(x)∨Q(x))→R(x))，(?x)P(x)，(?x)Q(x) 结论 (?x)(?y)(R(x)∧R(y)) 三、计算题

1.证明逻辑等价式A ?B ? (A ∧B)∨(┐A ∧┐B)成立。

2.设A ?B ，求证A ∩C ?B ∩C 。

3.设集合A={a ，b ，c ，d}，A 上的关系R={,,,}，求R 的自反闭包、对称闭包。

4.求下列集合的基数。

1）T={x|x 是单词“BASEBALL ”中的字母} 2）B={x|x ∈R ∧x 2

=9∧2x=8} 3）C=)(A ?，A={1,3,7,11}

5. 求从1到500的整数中，能被3或5除尽的数的个数。

四、设R ，S 为A 上的两个等价关系，且R ? S 。定义A/R 上的关系R/S ： <[x],[y]>∈R/S 当且仅当∈S 证明：R/S 为A/R 上的等价关系。

五、设{}45,36,27,15,9,6,5,3,2,1=A 上的整除关系

{}

212121,,,a a A a a a a R 整除∈=，

R 是否为A 上的偏序关系？若是，

则：1、画出R 的哈斯图；

2、 求{}{}{}9,2glb 9,2lub 9,2和最大下界的最小上界。 六、设为一群。证明：

（1）若对任意a ∈G 有a 2

=e ，e 为幺元，则G 为阿贝尔群。 （2）若对任意a ，b ∈G 有(a *b)2

=a 2

*b 2

，则G 为阿贝尔群。 七、设N 4 =｛0，1，2, 3｝，f ：N 4→N 4定义如下：

??

?=+≠++=410411

)(x x x x f 当当

令F = {f 0,f 1,f 2,f 3}，其中f 0为N 4上恒等函数。给定一代数结构，且j i j

i

f f f 4+= （这里ο为函数

合成运算，+4为模4加运算）。 试证与< N 4,+4>同构。

复习题九

一．单项选择题

1．命题公式为()P P Q 禺?（ ）。

A ．重言式

B ．可满足式

C ．矛盾式

D ．等值式

2．设集合A = {1，a }，则P (A ) =（ ）。 A ．{{1}，{a }} B ．{f ，{1}，{a }} C ．{f ，{1}，{a }，{1，a }} D ．{{1}，{a }，{1，a }} 3．下列命题中正确的结论是：（ ）

A ．集合上A 的关系如果不是自反的，就一定是反自反的；

B ．若关系S R ,都是反自反的，那么S R 必也为反自反的；

C ．若关系S R ,都是自反的，那么S R 必也为自反的；

D ．每一个全序集必为良序集. 4．下列结论中不正确的结论是：（ ）

A ．三个命题变元的布尔小项R Q P ?∧∧?的编码是010m ；

B ．三个命题变元的布尔大项P Q R 刳

谪的编码是101M ；

C ．任意两个不同的布尔小项的合取式必为永假式；

D ．任意两个不同的布尔大项的合取式必为永假式. 5．设集合A 和二元运算*，可交换的代数运算是（ ）。

A ．设b a b a A b a y x P A =*∈?=,,}),,({

B ．设||,,},5,4,3,2,1,1{b b a A b a A =*∈?--=

C ．设)(R M A n =，运算*是矩阵的乘法

D ．设b a b a A b a Z A 2,,,+=*∈?=

6．以下命题中不正确的结论是（ ）

A ．素数阶群必为循环群；

B ．Abel 群必为循环群；

C ．循环群必为Abel 群

D ．4阶群必为Abel 群.

7．设代数系统),(1?K 和),(2 K ，存在映射21:K K f →，如果1,K b a ∈?，都有（ ），称K 1与K 2

同态。

A ．)()()(b f a f b a f ?=

B ．)()()(b f a f b a f =?

C ．)()()(b f a f b a f =

D ．)()()(b f a f b a f ?=?

8．图G 有21条边，3个4度结点，其余均为3度结点，则G 有（ ）个结点。 A ． 13 B ． 15 C ． 17 D ． 19 9．以下命题中正确的结论是（ ） A ．2n k =时，完全图n K 必为欧拉图

B ．如果一个连通图的奇结点的个数大于2，那么它可能是一个Euler 图；

C ．一棵树必是连通图，且其中没有回路；

D ．图的邻接矩阵必为对称阵.

10．若连通图>=

A ．1-+m n

B ．1+-m n

C ．1+-n m

D ．1--n m 二．填空题

11．公式()P Q R ∧∨?的对偶式为 。

12．子集公理的逻辑表达式为 。

13．设集合A = {a ,b ,c ,d }，A 上的二元关系R = {,,,}，那么Dom(R ) = ，

Ran(R ) = 。

14．设集合B = {a ,b ,c }上的二元关系R 的关系矩阵????

? ??=000100011R

M ，则R 具有的性质是 ，且它的对称闭包()S R ＝ 。

15．设集合A = {a ,b }，B = {1,2}，则从A 到B 的所有函数是

，其中双射的函数 。

16．完全图n K 是平面图的充要条件是n ≤

17．在布尔代数中，有b a b a a +=?+)(成立，则其对偶式 成立。 18．已知下图，它的点连通度)(G κ为 ，边连通度)(G λ为 。

19．给定平面图G ，如下图所示，则G 的面数为 ，G 中面的总次数为 。

20．若二部图,m n K 为完全二部图，则其边数为 三．计算题(一)

21．符号化下述两个语句，并说明其区别： （1）如果天不下雨，我们就去旅游；（2）只有不下雨，我们才去旅游。 22．将下命题化为主析取范式和主合取范式： )())((r q p r q p ∧∧→∧∨.

23．设{0,1,1,0,0,2,2,0}R =<><><><>，求：⑴ R R *；⑵ 1R R -*； ⑶ {,{}}R f f -；⑷ [{,{}}]R f f

24．设集合Ａ＝｛１，２，３，４｝，Ａ上的二元关系Ｒ，其中Ｒ＝｛<1,1>,<1,4>,<2,2>,

<2,3>,<3,2>,<3,3>,<4,1>,<4,4>｝，说明Ｒ是否Ａ上的等价关系。 25．分别画下图中的强分图、单向分图。

26．设代数系统),(*Z ,其中Z 是整数集，二元运算定义为2,,-+=*∈?b a b a Z b a 。Z a ∈?,求a 的逆元.

三．计算题(二)

27．设)1,0, ,,,(?+B 是布尔代数，B c b a ∈?,,，化简()a a b c a b ++g g 。 28．求下图D 的邻接矩阵()A D ，并算出其可达矩阵()P D

四．证明题

29．试证明：()(()()),()()x P x Q x x P x "??┣ ()()x Q x $

30．给定正整数m ，令{|}G km k Z =?，证明：(,)G +是一个群，其中+是数的普通加法。

复习题十

一．单项选择题

1．下列哪个语句是真命题（ ）。

A ．我正在说谎

B ．如果1+2 = 3，则雪是黑色的

C ．如果1+2 = 5，则雪是黑色的

D ．上网了吗

2．设L(x)：x 是演员，J(x)：x 是教师，A(x ，y)：x 佩服y ，命题“所有演员都佩服某些 教师”可符号化为（ ）。