三明市2018-2019学年第一学期普通高中期末质量检测高一数学试题及答案

三明市2018-2019学年第一学期普通高中期末质量检测

高一数学试题

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 已知角α的终边经过点(?3,4)，则tanα=

A. 3

4

B. ?3

4

C. 4

3

D. ?4

3

2. 已知向量a ?=(4,t +1)，b ??=(2,?1)，若a ??//b ??，则实数t 的值为

A. ?2

B. ?3

C. 0

D. 3 3. 函数y =lg (x +1)+√1?x 的定义域是

A. [?1,1]

B. (?1,1)

C. [?1,1)

D. (?1,1]

4. 在△ABC 中，设AB ??????=a ??，AC ??????=b ??，D 为线段AC 的中点，则BD ?

??????= A. 1

2a

??+b ?? B. a ??+1

2

b ?? C. 1

2a

???b ?? D. 1

2b ??

?a ?? 5. 已知a =2?0.5，b =log 30.5，c =log 25，则a ，b ，c 的大小关系为

A. a >c >b

B. c >b >a

C. c >a >b

D. a >b >c 6. 方程xsinx ?1=0在区间[?100,100]上的所有解的和为

A. 100π

B. 200π

C. 1

D. 0

7. 函数f(x)=x a +b ，不论a 为何值f(x)的图象均过点(m,0)，则实数b 的值为

A. ?1

B. 1

C. 2

D. 3

8. 已知函数f(x)=4x +a ?2x 在区间[2,+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为

A. [?4,+∞)

B. (?∞,?4]

C. [?8,+∞)

D. (?∞,?8] 9. 如图函数f(x)=2cos(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π

2)的部分图象，则

A. ω=1

2，φ=π

6

B. ω=1

2，φ=π

3

C. ω=1710，φ=π

6

D. ω=17

10，φ=π

3

10. 已知函数f(x)=(1

2)x ?x 3，若f(2a +1)>f(a ?1)，则实数a 的取值范围是

A. a >?2

B. a

C. ?2

D. a >2

11. 已知cosα=1

3，cos (β?α)=√3

3

，且0<β<α<π，则cosβ=

A. 5√39

B. ?√33

C. 2√39

D. ?5√39

12. 已知函数f(x)=9?sin(π

6x +π

3)+a(2x?1+21?x )有唯一零点，则实数a 的值为

A. ?4

B. ?3

C. ?2

D. ?1

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 已知函数f(x)={e x ,x <3,

f(x ?1),x ≥3,则f(4)=______．

14. 已知tanα=3，则sinα?2cosα

sinα+cosα=______．

15. 设lg2=a ，lg7=b ，则log 714=______(用含a ，b 的式子表示)．

16. 已知函数f(x)=asin(2x ?φ)?cos(2x ?φ)(a <0)的图象关于点(π

2,0)成中心对

称，则式子√2sin(φ+π

4)+asin 2φ的取值范围为______． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

17. 设集合A ={x|1?2m ≤x ≤m +2}，B ={x|0≤x ≤2}．

(1)若m =1，求A ∩?R B ；

(2)若A ∩B =B ，求实数m 的取值范围．

18. 已知函数f(x)=2sin(ωx ?π

6)(ω>0)的最小正周期为π．

(1)求函数f(x)的解析式； (2)当x ∈[π6,π

3]时，求f(x)的值域．

(3)将函数f(x)的图象向左平移φ(0≤φ≤π

2)个单位后得到函数g(x)的图象，且g(x)为偶函数，求?的值．

19. 已知向量a ??=(4,3)，b ??=(1,2)．

(1)设向量a ??与b ??的夹角为θ，求cosθ； (2)设向量a ?=(cosα,sinα)，求|a ???c ??|的取值范围．

20. 已知函数f(x)=ax 2+2(1?a)x +b(a,b ∈R)．

(1)若a <0，且函数f(x)在区间(?∞,3]上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)令f(x)=xg(x)(x ≠0)，且f(x)为偶函数，试判断g(x)的单调性，并加以证明．

21.已知函数f(x)=2√3sinxcosx+2cos2(x+π

6

)?1．

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)若函数g(x)=f(x)?k在区间[?π

6,13π

12

]上有三个零点，求实数k的取值范围．

22.已知函数f(x)=log2(a+1

x

)(a∈R)．

(1)当a=1时，求f(x)在x∈[1,+∞)时的值域；

(2)若对任意t∈[2,4]，x1，x2∈[t?1,t+1]，均有|f(x1)?f(x2)|≤2，求a的取

值范围．

参考答案

DBDDC DACAB AA ;

e 2,14,a b

+1, [?√2?1

2

,1]

17.解：(1)m =1，集合A ={x|?1≤x ≤3}，?R B ={x|x <0或x >2}， A ∩?R B =[?1,0)∪(2,3]；

(2)若A ∩B =B ，则B ?A ，所以{1?2m ≤0

m +2≥0，

所以m ≥1

2．

18.解：(1)根据函数f(x)=2sin(ωx ?π

6)(ω>0)的最小正周期为2π

ω=π，∴ω=2， 故f(x)=2sin(2x ?π

6).

(2)当x ∈[π6,π

3]时，2x ?π

6∈[π6,π

2]，故sin (2x ?π

6)∈[1

2,1]，f(x)∈[1,2]． (3)将函数f(x)的图象向左平移φ(0≤φ≤π

2)个单位后，得到函数g(x)=2sin(2x +2φ?π

6)的图象，

∵g(x)为偶函数， ∴2φ?π

6=π

2，∴?=π

3

．

19.解：∵a ??=(4,3)，b ??=(1,2)， ∴cosθ=

a

???b ??|a ??||b ??|=

5×√5

=

2√5

5

， (2)∵a ?=(cosα,sinα)， ∴a ??c ?=(4?cosα,3?sinα)，

|a ??c ?|=√(4?cosα)2+(3?sinα)2=√26?2(3sinα+4cosα)， =√26?10sin(α+θ)(θ为辅助角)，

根据正弦函数的性质可知，4≤√≤6， ∴|a ??c ?|的取值范围[4,6]． 20.解：(1)当a <0时，f(x)=ax 2+2(1?a)x +b 的开口向下，对称轴x =a?1a

，

∵f(x)在区间(?∞,3]上单调递增， ∴

a?1a

≥3，解可得，?1

2≤a <0，

故实数a 的取值范围[?1

2,0),

(2)∵f(x)=ax 2+2(1?a)x +b 为偶函数，对称轴x =0， ∴a =1，f(x)=x 2+b ， ∵f(x)=xg(x)(x ≠0)， ∴g(x)=x +b

x ， ∴g′(x)=1?b x 2，

若b≤0，g′(x)=1?b

x2

>0恒成立，g(x)在(?∞,0)，(0,+∞)上单调递增，

若b>0，则由g′(x)=1?b

x2

>0可得，x>√b或x

由g′(x)=1?b

x2

<0可得?√b

故函数g(x)在(?√b,0)，(0,√b)上单调递减，在(?∞,?√b)，(√b,+∞)上单调递增．21.解：∵f(x)=2√3sinxcosx+

2cos2(x+π

6

)?1，

=√3sin2x+cos(2x+1

3

π)，

=√3sin2x+1

2cos2x?√3sin2x×1

2

，

=1

2cos2x+√3

2

sin2x，

=sin(2x+π

6

)，

(1)令?1

2π+2kπ≤2x+π

6

≤2kπ+1

2

π，k∈Z，

解可得，?1

3π+kπ≤x≤π

6

+kπ，k∈Z，

即f(x)的单调递增区间为[?1

3π+kπ,π

6

+kπ]，k∈Z，

(2)由g(x)=f(x)?k在区间[?π

6,13π

12

]上有三个零点，

可得y=f(x)与y=k在区间[?π

6,13π

12

]上有三个交点，

结合正弦函数的图象可知，k∈[?1

2,√3

2

]．

22.解：(1)当a=1时，f(x)=log2(1+1

x

)，

当x≥1时，t=1+1

x

∈(1,2]，

由f(x)=log2t，t∈(1,2]时，f(x)单调递增，故f(x)的值域为(f(1),f(2)]，即(0,1]，(2)对任意t∈[2,4]，t?1∈[1,3]，t+1∈[3,5]，

不妨设x1

相当于x∈[t?1,t+1]，f(x)max?f(x)min≤2，

对于任意t∈[2,4]，当x∈[t?1,t+1]时，f(x)=log2(a+1

x )，有意义必须a>?1

x

，

即a>(?1

x )max=?1

t+1

，

因为t+1∈[3,5]，故1

t+1∈[1

5

,1

3

],?1

t+1

∈[?1

3

,?1

5

]，所以a>?1

5

，

根据复合函数的单调性，f(x)单调递减，故f(x)max=f(t?1)，f(x)min=f(t+1)，

f(x)max ?f(x)min ≤2，即log 2(a +1

t?1

)?log 2(a +

1

t+1

)=log 2

a+

1t?1a+1t+1

≤2，

化简得3a ≤1

t?1?4

t+1， 令g(t)=1

t?1?4t+1，t ∈[2,4]，，

故当t ∈[2,3)时，

，g(t)递增；当t ∈(3,4]时， 0'/>，g(t)递减，

所以g(t)min =g(3)=?1

2， 故a ≤?1

6，结合a >?1

5， 故a ∈(?1

5,?1

6].