信号与系统作业作业1(第二章)答案

第二章 作业答案

2–1 已知描述某LTI 连续系统的微分方程和系统的初始状态如下，试求此系统的零输入响应。

（1）)()(2)(2)(3)(t e t e t y t y t y +'=+'+''

2)0(=-y ，1)0(-='-y

解：

根据微分方程，可知特征方程为：

0)2)(1(0232=++?=++λλλλ

所以，其特征根为： 1,221-=-=λλ

所以，零输入响应可设为：0)(221≥+=--t e

C e C t y t

t

zi 又因为 ???=-=????-=--='=+=--3

1

12)0(2

)0(212121C C C C y C C y

所以，03)(2≥-=--t e e t y t

t zi

（2）)(2)()(6)(5)(t e t e t y t y t y -'=+'+''

1)0()0(=='--y y 。

解：

根据微分方程，可知特征方程为：

0)3)(2(0652=++?=++λλλλ

所以，其特征根为： 3,221-=-=λλ

所以，零输入响应可设为：0)(3221≥+=--t e C e C t y t

t zi

又因为 ???-==????=--='=+=--3

4132)0(1)0(21

2121C C C C y C C y 所以，034)(32≥-=--t e

e t y t t zi

2–2 某LTI 连续系统的微分方程为)(3)()(2)(3)(t e t e t y t y t y +'=+'+'' 已知1)0(=-y ，2)0(='-y ，试求：

（1） 系统的零输入响应)(t y zi ；

（2） 输入)()(t t e ε=时，系统的零状态响应)(t y zs 和全响应)(t y 。 解：

（1）根据微分方程，可知特征方程为：

0)2)(1(0232=++?=++λλλλ

所以，其特征根为： 1,221-=-=λλ

所以，零输入响应可设为：0)(221≥+=--t e C e C t y t

t

zi

又因为 ???

=-=????=--='=+=--4

322)0(1)0(212121C C C C y C C y

所以，034)(2≥-=--t e e t y t t

zi

（2） 可设零状态响应为：0)(221>++=--t p e C e C t y t x t

x zs

其中p 为特解，由激励信号和系统方程确定。

因为)()(t t e ε= 所以，p 为常数，根据系统方程可知，23=p 。

于是，零状态响应可设为为：023)(221>++=--t e C e C t y t x t

x zs

将上式代入原方程中，比较方程两边的系数，可得到

?????-==2

2121C C 所以，023221)(2>+-=--t e e t y t t zs

全响应为 )()()(t y t y t y zs zi +=

0)2322

1()34()(22>+-+-=----t e e e e t y t t t t zs

0)23252()(2>+-=--t e e t y t t zs

2–3 试求下列各LTI 系统的冲激响应和阶跃响应。

（1）)(2)()(3)(4)(t e t e t y t y t y +'=+'+''

解：

根据 在激励信号为)(t δ的条件下，求解系统的零状态响应可得

()

)(21)(3t e e t h t t ε?+=-- 因为，单位阶跃响应?-?=t

d h t g 0)()(ττ 所以，()

?-?+=--t d e e t g 0321)(τττ 0),1(61)1(21612

16030>-+-=--=------t e e e e t t t t ττ 0,6

121326>--=--t e e t t

（2）)(2)(2)()(2)(3)("t e t e t e t y t y t y +'+''=+'+

解：

可先求系统 )()(2)(3)("t e t y t y t y =+'+ 的冲激励响应)(0t h ，

则，原系统的冲激响应为)(2)(2)()(0'0"0

t h t h t h t h ++=。 因为)()(2)(3)("t e t y t y t y =+'+的特征根为：1,221-=-=λλ 所以，可设冲激响应为：)()()(2210t e C e C t h t t ε?+=--

将)(0t h 代入系统方程，并确定待定系数后，可得：

)()()(20t e e t h t t ε?-=--

因为，)(2)(2)()(0'0"0

t h t h t h t h ++= 又因为，)()2()(2'0t e e t h t t ε?-=--，)()4()()(2"0t e e t t h t t εδ?--=-- 所以，

[]

)()(2)()2(2)()4()()(222t e e t e e t e e t t h t t t t t t εεεδ?-?+?-?+?--=------ )()2()(2t e e t t t εδ?--=-- 因为，单位阶跃响应?-?=t

d h t g 0)()(ττ 所以，[]

?-?--=--t t t d t e e t t g 02)()(2)()(τεδ ()

)(212t e e t t ε?-+=--

2–4 各信号的波形如题2–4图所示，试计算下列卷积，并画出其波形。

（1）)()(21t f t f *

（2）)()(31t f t f * （3）)()(24t f t f * （4）)()(34t f t f *

题2–4 图

解：

根据 )()()(00t t f t t t f -=-*δ，可方便地得到此题的卷积结果。

（1）

（2）

（3）

（4）

2–5 已知某LTI 连续系统的冲激响应)(t h 和各激励信号)(t e 的波形如题2–5图所示，试求此系统对激励信号的零状态响应。

题2–5图

解：

因为，)()()(t h t e t y zs *=

所以，[][])2()()2()()(--*--=t t t t t y zs εεεε

)2()2()2()()()2()()(-*-+-*-*--*=t t t t t t t t εεεεεεεε

)4()4()2()2(2)(--+---=t t t t t t εεε

2–6 题2–6图所示系统是由几个子系统组合而成的，各子系统的冲激响应分别为

)()(1t t h ε=，)1()(2-=t t h δ，)1()(3-=t t h ε

试求总系统的冲激响应)(t h 并画出其波形。

题2–6图

解： 根据系统框图，可得：

[])()()()()(1321t h t h t h t h t h **+=

[])()1()1()(t t t t εεδε*-*--=

[])()2()(t t t εεε*--=

)2()2()(-?--=t t t t εε

此系统的单位冲激响应的波形为：

2–7 题2–7图所示系统是由几个子系统组合而成，各子系统的冲激响应分别为

)1()(1-=t t h δ，)3()1()(2---=t t t h εε

试求总系统的冲激响应)(t h 并画出其波形。

题2–7图

解：根据系统框图，可得：

[])()()()()()(2111t h t h t h t h t t h **++=δ

[][])3()1()1()1()1()(---*-*-+-+=t t t t t t εεδδδδ [][])3()1()2()1()(---*-+-+=t t t t t εεδδδ

[][][])5()3()4()2()3()1(---+---+---=t t t t t t εεεεεε )5()4()2()1(-----+-=t t t t εεεε

此系统的单位冲激响应的波形为：