逆命题与逆定理教案
19.4.2 等腰三角形的判定
主备人：王启彤
教学目标 1.理解等腰三角形的判定方法和证明过程，掌握运用“等角对等边”
证明等腰三角形的方法，提高逻辑推理能力；
2.通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，掌握分析问题和
解决问题的方法；
3.极度热情、全力以赴，体会数学源于实践，又服务于实践的辩
证唯物主义观点。
教学重点难点重点：等腰三角形的判定方法及其应用。
难点：等腰三角形判定方法的证明中添加辅助线的思想方法以及等腰三角形性质与判定的区别。
教学方法教学过程
一、预习案
1.等腰三角形性质定理的逆命题是什么？勾股定理的逆命题是什么？
2.等腰三角形性质定理的逆命题可以用来证明它是一个等腰三角形吗？
3.等腰三角形有几种证明方法？分别是什么？怎样证明一个三角形是直角三角形？
二、基础知识探究
探究点一等腰三角形的判定定理（重点）
问题1：如图1，在△ABC中，AB=AC，图中必有哪些相等？为什么？
答案：∠B=∠C，根据的是等腰
三角形的性质定理。
问题2：反过来，若∠B=∠C，一定有AB=AC吗？并证明你的结论.
答案：一定。已知△ABC中，∠B=∠C.
求证：AB=AC.
思路分析：联想证明有关线段相等的知识知道，需先构造以AB、AC为对应边的全等三角形。因为已知∠B=∠C，没有对应边
相等，所以需添加辅助线为两个三角形的公共边，因此辅助线
应从A 点引出.再让学生回想等腰三角形中常添加的辅助线，
学生可以作∠BAC 的平分线AD 交BC 于D 或作BC 边上的高
AD 等，证明三角形全等，从而推出AB=AC.
证明：如图2，作∠BAC 的平分线AD 交
BC 于D.在△BAD 和△CAD 中，因为
∠B=∠C, ∠1=∠2,AD=AD,
所以△BAD ≌△CAD(A.A.S.).所以
AB=AC （全等三角形的对应边相等）.
问题3：等腰三角形的判定定理是什么？
答案：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边
也相等.（简写成“等角对等边”）
问题4：还可以用其他方法判定等腰三角形吗？
答案：直接利用等腰三角形的定义也可以判定等腰三角形.
归纳总结：等腰三角形的判定方法有两种：（1）根据定义，即
在一个三角形中，如果有两条边相等，那么这个三角形为等腰
三角形；（2）等腰三角形的判定定理。
探究点二 勾股定理的定理
问题1：什么是勾股定理？
答案：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和一定
等于斜边长的平方.
问题2：勾股定理的逆命题是什么？
答案：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，
那么这个三角形是直角三角形.
问题3：如何证明该命题的正确性？
答案：已知：如图3，在△ABC 中，
AB=c ，BC=a ，CA=b,且222a b c +=.
求证：△ABC 是直角三角形. 图1 图2
思路分析：首先构造直角三角形A 1 B 1 C 1 ，使∠C 1 =90°，
B 1
C 1 =a ，C 1 A 1 =b ，然后可以证明△ABC ≌△A 1 B 1 C 1 ，从而
可知△ABC是直角三角形.
证明：如图2所示，构造直角三角形A1 B1 C1，使∠C1 =90°，B1 C1 =a，C1 A1 =b；在直角三角形A1 B1 C1中，由勾股定理可得B1 B1 =c; 则在△ABC和△A1 B1 C1中，AB= A1 B1，BC= B1 C1，所以△ABC≌△A1 B1 C1，故有∠C=∠C1=90°，所以△ABC是直角三角形.
归纳总结：（1）勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形的依据；（2）股定理通过计算判断一个三角形是否为直角三角形.
三、知识综合应用
例1.如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，
△ABD是等腰三角形吗？为什么？
思考1：想判定△ABD为等腰三角形，只需要得出哪两个角相等即可？
思考2：如何利用已知条件得出这两个角相等？
思考3：判定三角形为等腰三角形的一般方法是什么？
例2.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2，
CD=3，AD=1，且∠B=90°，
求∠DAB的度数.
思考1：分割法求角是我们常用的求角的方法，如何利用分割法求∠DAB呢？
思考2：连结AC，如何说明△ACD是直角三角形？
思考3：勾股定理的逆定理在证明直角三角形时应该怎么用？
四、课堂练习
1.如图，已知P、Q是△ABC的边BC上两点，并且BP=PQ
=QC=AP=AQ，求∠BAC的大小.
2.三角形三边长a、b、c分别是下列各组数，试判断各三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？
（1）a=8，b=15，c=17；（2）a=6，b=10，c=8；
（3）a=1，b=3，c=2.
3.给定一个三角形的两边长分别为5、12，当第三条边为多长时，这个三角形是直角三角形？
五、课后作业
1.以下列各组数据为边长，能构成直角三角形的有（）
①6，7，8；②8，15，17；③7，24，25；④12，35，37.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，D是AC上一点，若∠BDC=72°，则图中等腰三角形的个数为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
3.在△ABC中，∠A=110°，∠C=35°，则△ABC=
三角形.
4.如图所示，∠ABC=∠ACB，BD、CD分别是∠ABC、∠ACB 的平分线，求证：△DBC是等腰三角形.
5.如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是（）
①∠A=∠1；
②∠B=∠2=90°；
③BC：AC：AB=3：4：5；
④∠1=∠2
A.1
B.2
C.3
D.4
19.4.3 角平分线
主备人：王启彤
教学目标 1.掌握角平分线的性质定理及其逆定理，并能运用这两个定理证明线段相等和角相等，提高逻辑推理能力；
2.通过独立思考、小组合作、展示质疑，体会数学的严密性；
3.极度热情，做最佳的自己，激发学习数学的兴趣.
教学重点难点重点：角平分线的性质定理及其逆定理的应用。
难点：角平分线的性质定理及其逆定理的推导过程。
教学方法教学过程
一、预习案
1.你如何理解角平分线的性质定理？
2.你能通过逻辑推理的方法证明角平分线的性质定理吗？
3.角平分线性质定理的逆命题正确吗？
4.你能通过逻辑推理的方法证明角平分线的性质定理的逆命题吗？
5.如何判定点在角的平分线上？
二、基础知识探究
探究点一角平分线的性质定理（重点）
问题1：如何求直线外一点到直线的距离？
答案：过点向直线作垂线段，垂线段的长度即为所求.
问题2：如图所示，射线OP是∠AOB的平分线，点C为OP 上任意一点，且CD⊥OA，CE⊥OB，
垂足分别为D，E.那么点C到OA的
距离是，点C到OB的距离是.
问题3：若将图中的∠AOB沿着OC所在的直线折叠，你会发现CD与CE在数量上有什么关系？
答案：相等.
问题4：你能用逻辑推理的方法证明问题3的结论吗？
答案: 已知：如图，OP是∠AOB的平分线，C是OP上任意一点，且CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，求证：CD=CE. 证明：因为射线OP是∠AOB的平分线，所以∠AOP=∠BOP.在Rt△DCO和Rt△ECO中，∠DOC=∠EOC，∠CDO=∠CEO =90°，CO=CO，所以Rt△DCO≌Rt△ECO(A.A.S.)，所以CD=CE. 问题5：你能得到什么结论？
答案：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
归纳总结：（1）角平分线性质定理中的“距离”是指点到直线的距离.是垂线段的长度，要与点到点的距离区别开；
（2）角平分线的性质定理可用于说明两条线段相等.
探究点二角平分线的性质定理的逆定理（重点）
问题1：角平分线性质定理的逆命题是什么？
答案：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.
问题2：如图所示，CD⊥OA，CE⊥OB，且CD=CE，点C 在∠AOB的平分线上吗？为什么？
答案：在. 在Rt△DCO和Rt△ECO
中，CD=CE，CO=CO，所以Rt△DCO
≌Rt△ECO（H.L.）,所以∠DOC=∠EOC.
即点C在∠AOB的平分线上。
问题3：你能得到什么结论？
答案：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。归纳总结：角平分线的性质定理的逆定理的实质是由“线段相等”证明“角相等”。
三、知识综合应用
例1.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（）
A.2cm
B.3cm
C. 4cm
D. 5cm
思考1：使用角平分线的性质定理的条件是什么？
思考2：BC与AC的位置关系是怎样的？
思考3：CE与DE有什么关系？为什么？
思考4：AE+DE=AE+EC=AC吗？
例2.如图所示，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，BF与CE相交于点D，BD = CD.求证：点D在∠BAC的平分线上。
思考1：利用角平分线的性质定理的
逆定理，我们可以把“点D在∠BAC的
平分线上”转化成什么结论？
思考2：想要证明DE=DF，只需要证明哪两个三角形全等即可？
四、课堂练习
1.如图，在直线l上找出一点P，使得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等。
2.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上。
五、课后作业
1. ∠AOB的平分线上有一点M，M到OA的距离为1.5cm，则M到OB的距离为_______.
2.如图所示，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，
CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_____.
2题3题
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，已知BC=8cm，BD=5cm，则点D到AB的距离是______.
4.如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，
=36cm2，AB=18cm，BC=12cm，则DE=______cm.
S
△ABC
4题 5题
5.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是（）
A.PA=PB
B. PO平分∠APB
C.OA=OB
D.AB垂直平分OP
6.如图所示，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，且BE，CF交于点D，若AB=AC，求证：点D在∠BAC的平分线上。
19.4.4 线段垂直平分线
主备人：王启彤
教学目标 1.掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，并能熟练地应用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理进行证明，提高逻辑推
理能力。
2.通过独立思考、小组合作、展示质疑，体会数学的严密性；
3.极度热情、自动自发、享受成功，提高数学应用意识。
教学重点难点重点：掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。
难点：理解线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的关系。
教学方法教学过程
一、预习案
1.你如何理解线段垂直平分线的性质定理？
2.你能通过逻辑推理的方法证明线段垂直平分线的性质定理吗？
3.线段垂直平分线的性质定理的逆命题正确吗？
4.你能通过逻辑推理的方法证明线段垂直平分线的性质定理的逆命题吗？
5.如何判断一个点是否在线段的垂直平分线上？
二、基础知识探究
探究点一：线段垂直平分线的性质定理（重点）
问题1：线段的垂直平分线是直线，还是线段？有几条？
答案：直线；有1条。
问题2：如图所示，直线MN是线段AB的垂直平分线，O为垂足，点P是直线MN上任意一点，连结PA，PB，则图中相等的线段有哪些？
答案：线段OA与OB相等，
线段PA与PB相等。
问题3：你能逻辑推理的方法证明问题2中的结论PA=PB吗？答案：已知：如图，直线MN经过线段AB的中点O，且MN
⊥AB，P是MN上任意一点，求证：PA=PB.
证明：因为MN⊥AB（已知），所以∠POA=∠POB（S.A.S），所以PA=PB（全等三角形的对应边相等）.
问题4：通过问题3，你能得到什么结论？
答案：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
归纳总结：（1）线段垂直平分线上的任意一点到这条线段的两个端点的距离都相等；（2）线段垂直平分线的的性质定理可以用来证明线段相等。
探究点二：线段垂直平分线的性质定理的逆定理（重点）
问题1：你能写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题吗？
答案：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
问题2：这个逆命题是真命题还是假命题？若是真命题，能用逻辑推理的方法加以证明吗？
图1 图2
答案：真命题；已知：如图1，AC=BC，求证：点C在线段AB 的垂直平分线上，证明：如图2，作CD⊥AB交AB于点D，所以∠CDA=∠CDB=90°，在Rt△CDA和Rt△CDB中，AC=BC，CD=CD，所以Rt△CDA≌△Rt△CDB（H.L.），所以AD=BD。又因为∠CDA=∠CDB=90°，所以点C在线段AB的垂直平分线上。问题3：你能得到什么结论？
答案：线段垂直平分线的性质定理的逆定理可以证明一个点在线段的垂直平分线上。
三、知识综合应用
例1.如图所示，在△ABC中，BC=10，
边BC的垂直平分线交AB于E，
BE=7，则△BCE的周长为______.
思考：由“边BC的垂直平分线交AB于点E”可以得到BE与CE有什么关系？
拓展提升：如图所示，A、B、C三点表示三个居民区，为了方便居民就近购物，计划新建一个综合商场，要使商场到三个居民区的距离相等，请你在图中用尺规作图确定商场的位置。（不写作法，只保留作图痕迹）
思考1：如何找一点到线段的两个端
点的距离相等？
思考2：若点P到线段AB的两个端
点的距离相等，同时，到线段BC的两个端点的距离也相等，那么点P到线段AC的两个端点的距离相等吗？
例2.已知：如图在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上一点，E是AB上一点，且在BD的垂直平分线EG上，BE交AC于点F.
求证：点E在AF的垂直平分线上。
思考1：欲证点E在AF的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理，只需要证明哪两条线段相等即可？
思考2：证明线段相等的常用方法有哪些？
思考3：根据已知条件，如何推得EA=EF？
四、课堂练习
1.如图，已知点A、点B以及直线l，在直线l上求作一点P，使PA=PB.
2.如图，已知AE=CE，BD⊥AC.求证：AB+CD=AD+BC.
3.如图，在△ABC上，已知点D在BC上，且BD+AD=BC.
求证：点D在AC的垂直平分线上。
五、课后作业
1.下列命题中正确的命题有（）
①线段垂直平分线上任一点到线段的两个端点的距离相等；
②线段上任一点到其垂直平分线两端的距离相等；
③经过线段中点的直线只有一条；
④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段
AB的垂直平分线；
⑤过线段上任一点可以作这条线段的垂直平分线
A.1个
B. 2个
C. 3个
D.4个
2.已知：如图所示，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN 交AC于点D，∠DBC=_______.
2题 3题
3.如图所示，在△ABC中，AB=AC，ED垂直平分AB.
（1）若BD=10，则AD=_______.
（2）若∠A=50°，则∠ABE=______，∠EBC=________.
（3）若AB=14，△BCE的周长为24，则BC=_______.
4.如图所示，在△PAB中，AB边的垂直平分线交PA于点M，垂足为N，试比较PA，PB的大小，并说明理由.
逆命题、逆定理教案
4.逆命题、逆定理 我们已经知道，可以判断正确或错误的句子叫做命题?例如“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”都是命题. 在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题. 命题“两直线平行，内错角相等”的题设为________________________________ 结论为__________________________________________________________________ 它的逆命题为____________________________________________________ — 每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设， 便可得到原命题的逆命题.但是原命题正确，它的逆命题未必正确.例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是一个假命题. 如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理. 我们已经知道命题“两直线平行，内错角相等”和它的逆命题“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是互逆定理. 在第19章中，我们已经学过勾股定理，即 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 我们可以证明，勾股定理的逆命题也是正确的. 勾股定理的逆定理如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方 和，那么这个三角形是直角三角形. 已知：如图27.2.9,在厶ABC 中，AB = c, BC = a,CA= b,且a2+ b2= c2. 求证：△ ABC是直角三角形. 分析首先构造一个直角三角形A' B' C'，使得/ C'= 90°, B'C'= a，C' A' =b,然后可以证明△ ABC^A A' B' C'，从而可知△ ABC是直角三角形. 做一做 设三角形三边长分别是下列各组数，试判断各三角形是不是直角三角形.如果是直角三角形，请指出哪条边所对的角是直角. (1) 7，24，25; (2) 12，35，37; (3) 35，91，84.
《角平分线的性质定理及其逆定理》教学设计-01
《角平分线的性质定理及其逆定理》教学设计 教学设计思想： 通过前面的学习已经探究出角平分线上的点所具有的性质，本节学习对这个性质进行证明.让学生完成对三角形全等的判定公理的推论的证明，进而应用这个公理完成对角平分线性质定理的证明，对于平分线的性质定理的逆定理仿照上节课处理线段垂直平分线逆命题的思路，引导学生解决与定理和逆定理的有关问题.对于尺规作角平分线，要让学生明白每步做法的依据.最后通过例题的学习来巩固这些知识点. 教学目标： 知识与技能： 总结角平分线的性质定理及其逆定理的证明并能灵活应用它们进行有关的计算和证明； 说出用尺规作角平分线的依据； 能够熟练地按照证明的格式和步骤对一些命题进行证明. 过程与方法： 经历用尺规作角平分线的过程； 经历寻找证明、作图思路的过程，进一步发展推理证明意识和能力； 情感态度价值观： 通过观察、类比、对比、归纳等方法尝试从不同角度分析问题，形成不同的策略； 愿意动手操作，并和同伴交流，形成不同意见. 教学重点和难点： 重点是角平分线的性质定理和逆定理的证明及其应用； 难点是角平分线的性质定理和逆定理的应用. 解决办法：通过例题的学习，分析出解题的思路，总结出做题的方法. 教学方法： 启发引导、小组讨论 课时安排： １课时 教具学具准备： 投影仪或电脑、三角板 教学过程设计： （一）角平分线的性质定理 我们已经探究出角平分线上的点所具有的性质，怎样对这个性质进行证明呢？
角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 证明角平分线的性质定理时，我们将用到三角形全等判定公理的推论： 推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）. 做一做 证明三角形全等判定公理的推论. 注：让学生独立按照证明的格式完成对“AAS”定理的证明，作为证明本节定理的依据. 证明略. 利用上面你已经证明的推论，可以对角平分线的性质定理给出如下的证明. 已知：如下图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 求证：PD=PE. 证明：∴OC是∠AOB的平分线(已知)， ∴∠1=∠2(角平分线的定义). ∵PD⊥OA，PE⊥OB(已知)， ∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义). 在△PDO和△PEO中， ∠PDO=∠PEO (已证)， ∠1＝∠2(已证)， OP＝OP(公共边)， ∴△PDO≌△PEO (AAS). ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等). （二）角平分线性质定理的逆定理 做一做 1.请写出角平分线性质定理的逆命题. 2.请根据逆命题的内容，画出图形，并结合图形，写出已知和求证.
角平分线的性质定理及其逆定理 教学设计
角平分线的性质定理及其逆定理教学设计教学设计思想 通过前面的学习已经探究出角平分线上的点所具有的性质，本节学习对这个性质进行证明。让学生完成对三角形全等的判定公理的推论的证明，进而应用这个公理完成对角平分线性质定理的证明，对于平分线的性质定理的逆定理仿照上节课处理线段垂直平分线逆命题的思路，引导学生解决与定理和逆定理的有关问题。对于尺规作角平分线，要让学生明白每步做法的依据。最后通过例题的学习来巩固这些知识点。 教学目标 知识与技能 总结角平分线的性质定理及其逆定理的证明并能灵活应用它们进行有关的计算和证明； 说出用尺规作角平分线的依据； 能够熟练地按照证明的格式和步骤对一些命题进行证明。 过程与方法 经历用尺规作角平分线的过程； 经历寻找证明、作图思路的过程，进一步发展推理证明意识和能力； 情感态度价值观 通过观察、类比、对比、归纳等方法尝试从不同角度分析问题，形成不同的策略； 愿意动手操作，并和同伴交流，形成不同意见。 教学重点和难点 重点是角平分线的性质定理和逆定理的证明及其应用； 难点是角平分线的性质定理和逆定理的应用。 解决办法：通过例题的学习，分析出解题的思路，总结出做题的方法。 教学方法 启发引导、小组讨论 课时安排 １课时 教具学具准备 投影仪或电脑、三角板 教学过程设计 （一）角平分线的性质定理
我们已经探究出角平分线上的点所具有的性质，怎样对这个性质进行证明呢？ 角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 证明角平分线的性质定理时，我们将用到三角形全等判定公理的推论： 推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。 做一做 证明三角形全等判定公理的推论。 注：让学生独立按照证明的格式完成对“AAS”定理的证明，作为证明本节定理的依据。 证明略。 利用上面你已经证明的推论，可以对角平分线的性质定理给出如下的证明。 已知：如下图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。 求证：PD=PE。 证明：∴OC是∠AOB的平分线(已知)， ∴∠1=∠2(角平分线的定义)。 ∵PD⊥OA，P E⊥OB(已知)， ∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义)。 在△PDO和△PEO中， ∠PDO=∠PEO (已证)， ∠1＝∠2(已证)， OP＝OP(公共边)， ∴△PDO≌△PEO (AAS)。 ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)。 （二）角平分线性质定理的逆定理 做一做 1.请写出角平分线性质定理的逆命题。
《逆命题与逆定理》教案
《逆命题与逆定理》教案 教学目的 1、理解互逆命题与互逆定理； 2、正确应用互逆命题与互逆定理； 3、线段的垂直平分线定理及逆定理； 4、角平分线定理及逆命题的应用． 重点与难点 区分互逆命题与互逆定理； 线段的垂直平分线定理及逆定理的应用； 角平分线定理及逆命题的应用． 教学过程 【一】 我们已经知道，可以判断正确或错误的句子叫做命题．例如“两直线平行，内错角相等”、“内错角相等，两直线平行”都是命题． 上面两个命题的题设和结论恰好互换了位置． 一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题． 命题“两直线平行，内错角相等”的题设为____________________________________； 结论为____________________________________． 因此它的逆命题为 _____________________________________________． 每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题．但是原命题正确，它的逆命题未必正确．例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是假命题． 如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理． 我们已经知道命题“两直线平行，内错角相等”和它的逆命题“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是互逆定理． 一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理．例如“相等的角是对顶角”是假命题，但它的逆命题“对顶角相等”是真命题，且是定理． 练习 1．说出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题： (1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余； (2)等边三角形的每个角都等于60°； (3)全等三角形的对应角相等． 2．举例说明下列命题的逆命题是假命题： (1)如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除； (2)如果两个角都是直角，那么这两个角相等． 3．在你所学过的知识内容中，有没有原命题与逆命题都正确的例子(即互逆定理)？试举出几对． 课堂小结： 总结一下你所学过的知识． 【二】 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，并知道线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．我们也可用逻辑推理的方法证明这一结论．
勾股定理及逆定理的应用练习(含答案)
勾股定理的逆定理 1.如图所示,△ABC 中,若∠A=75°,∠C=45°,AB=2,则AC 的长等于( ) A.22 B.23 C. 6 D. 23 6 知识点：转化的数学思想、勾股定理 知识点的描述：在解决有关求线段长度问题时，常通过添加辅助线，把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理解决问题。勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 答案：C 详细解答：作BC 边上的高AD, △ ABC 中,∠BAC=75°,∠C=45°，那么∠B=60°，从而∠BAD=30° 在Rt △ABD 中，∠BAD=30°，AB=2,所以BD=1，AD=3 在Rt △ACD 中，∠C=45°，AD=3,所以CD=AD=3， 利用勾股定理可得AC=6。 1．已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，∠A=60°，CD=3，线段AB 长为（ ）。 A.2 B.3 C.4 D.33 答案：C 分析：欲求AB ，可由AB=BD+AD ，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD 和AD 。或欲求AB ，可由22BC AC AB +=，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角， 求出AC 和BC 。 详细解答：在Rt △ACD 中，∠A=60°，那么∠ACD=30°，又已知CD=3,所以利用勾股定理或特殊三角形的三边的比求出AD=1。 C D
在Rt △ACB 中，∠A=60°，那么∠B=30°。 在Rt △BCD 中，∠B=30°，又已知CD=3,所以BC=23，利用勾股定理或特殊三角形的三边的比求出BD=3。 因此AB=BD+CD=3+1=4， 小结：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC 2 -BD 2 =AC 2 -AD 2 ，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。 2．已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足a 2c 2 －b 2c 2 =a 4 －b 4 ，则它的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 知识点：综合代数变形和勾股定理的逆定理判断三角形的形状 知识点的描述：这类问题常常用到代数中的配方、因式分解，再结合几何中的有关定理不难作出判断。 答案：D 详细解答：∵ a 2c 2 －b 2c 2 =a 4 －b 4 ，∴左右两边因式分解得))(()(2 222222b a b a b a c -+=- ∴0))((2 2222=---b a c b a ∴022=-b a 或02 22=--b a c ， 即b a =或2 22b a c +=，所以三角形的形状为等腰三角形或直角三角形。 2．若△ABC 的三边a ，b ，c 满足(c-b)2 +︱a 2 -b 2 -c 2 ︱=0，则△ABC 是（ ） （A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）等腰直角三角形 （D ）等腰三角形或直角三角形 答案：C 详细解答：∵(c-b)2 +︱a 2 -b 2 -c 2 ︱=0，∴c-b =0且a 2 -b 2 -c 2 =0 即b c =且2 22b a c +=， 所以三角形的形状为等腰直角三角形。 3．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
逆命题与逆定理(基础)知识讲解
逆命题与逆定理（基础） 责编：杜少波 【学习目标】 1．理解命题与逆命题、定理与逆定理的意义，会区分命题的题设（条件）和结论，并能判断一个命题的真假；会识别互逆命题与互逆定理，并知道原命题成立时其逆命题不一定成立； 2．理解并掌握角平分线的性质定理及其逆定理，能用它们解决几何计算和证明题； 3．理解并掌握线段垂直平分线性质定理及其逆定理，能用它们解决几何计算和证明题． 【要点梳理】 要点一、互逆命题与互逆定理 1.互逆命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题. 要点诠释：所有的命题都有逆命题. 原命题正确，它的逆命题不一定是正确的. 2.互逆定理 如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理. 要点诠释： （1）一个命题是真命题，但是它的逆命题不一定是真命题的，所以不是每个定理都有逆定理； (2)一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理. 要点二、线段垂直平分线性质定理及其逆定理 线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理是：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上． 要点诠释： 性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理的题设是已知线段相等，结论是确定线段被垂直平分，一定要注意两者的区别，前者在题设中说明，后者则在最终的结论中得到，所以在使用这两个定理时不要混淆了. 要点二、角平分线性质定理及其逆定理 角平分线性质定理是：角平分线上的点到角两边的距离相等；逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 要点诠释： 性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；逆定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了. 【典型例题】 类型一、互逆命题与互逆定理 1、“等腰三角形是轴对称图形”的逆命题是 . 【答案】轴对称图形是等腰三角形 【解析】根据轴对称图形的概念求解．逆命题是结果与条件互换一下的说法． 【总结升华】掌握好逆命题，及轴对称的概念． 举一反三： 【变式】下列定理中，没有逆定理的是（）． A.全等三角形的对应角都相等 B.全等三角形的对应边都相等 C.等腰三角形的两底角相等 D.等边三角形的三边都相等 【答案】A 类型二、线段垂直平分线性质定理及其逆定理
逆命题与逆定理测试卷及答案
Ⅲ.（一）必记概念 1．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的，而第一个命题的结论是第二个命题的，那么这两个命题叫做命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的 . （二）必记定理 1．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边（简写成“”）. 2．等腰三角形的性质定理，等腰三角形的两个底角（简写成“”）. 3．等腰三角形的、、互相重合．（简写成“等腰三角形的三线合一”）. 4．斜边、直角边定理：如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形． 5．角平分线上的点到这个角的相等． 6．到一个角的两边距离相等的点在 . 7．线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离． 8．到一条线段的两个端点的距离相等的点，在 . 9．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于 . 10．勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是 . 逆命题与逆定理单元小节测试卷 （120分 100分钟） 一、基础题（8题7分，其余每题各4分，共35分） 1．在两个直角三角形中，有两条边分别对应相等，这两个直角三角形一定全等吗？如果不一定全等，请举出一个反例． 2．写出下列命题的逆命题，并判断这些命题的真假． （1）如果∠α与∠β是邻补角，那么∠α+∠β=180°； （2）如果一个三角形的两个内角相等，那么这两个内角所对的边相等． 3．已知：如图，在五边形ABCDE中，∠B=∠E=90°，BC=ED，∠ACD=∠ADC．求证：AB=AE．
4．已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，BD=CD ．求证：AB=AC ． 5．已知：如图，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，AB 的垂直平分线EF 交AB 于E ，交CD 于F ，且AC=FD ．求证：△ABF 是等腰直角三角形． 6．判断由线段a 、b 、c 组成的三角形是不是直角三角形． （1）a=7，b=24，c=25；（2）a=1.5，b=2.5；（3）a=45，b=1，c=3 2. 7．在△ABC 中，AC=2a ，BC=a 2+1，AB=a 2-1，其中a ﹥1，△ABC 是不是直角三角形？如 果是，那么哪一个角是直角？ 8．如图，在四边形ABCD 中，AB=1，BC=3，CD=DA=2，∠D=90°，求∠BAD 的度数. 二、学科内综合题（5分） 9．已知等腰△ABC 的底边BC=8cm ，且|AC-BC|=2cm ，则腰AC 的长为（ ） A ．10cm 或6cm B ．10cm C ．6cm D ．8cm 或6cm 三、学科间综合题（5分） 10．一平面镜以与水平成45°角固定在水平桌面上，如图，小球以1米／秒的速度沿桌面向平面镜匀速滚去，则小球在平面镜里所成的像（ ）
逆命题与逆定理(提高)知识讲解
逆命题与逆定理（提高）知识讲解 责编：杜少波 【学习目标】 1．理解命题与逆命题、定理与逆定理的意义，会区分命题的题设（条件）和结论，并能判断一个命题的真假；会识别互逆命题与互逆定理，并知道原命题成立时其逆命题不一定成立； 2．理解并掌握角平分线的性质定理及其逆定理，能用它们解决几何计算和证明题； 3．理解并掌握线段垂直平分线性质定理及其逆定理，能用它们解决几何计算和证明题． 【要点梳理】 要点一、互逆命题与互逆定理 1.互逆命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题. 要点诠释：所有的命题都有逆命题. 原命题正确，它的逆命题不一定是正确的. 2.互逆定理 如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理. 要点诠释： （1）一个命题是真命题，但是它的逆命题不一定是真命题的，所以不是每个定理都有逆定理； (2)一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理. 要点二、线段垂直平分线性质定理及其逆定理 线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理是：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上． 要点诠释： 性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理的题设是已知线段相等，结论是确定线段被垂直平分，一定要注意两者的区别，前者在题设中说明，后者则在最终的结论中得到，所以在使用这两个定理时不要混淆了. 要点二、角平分线性质定理及其逆定理 角平分线性质定理是：角平分线上的点到角两边的距离相等；逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 要点诠释： 性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；逆定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了. 【典型例题】 类型一、互逆命题与互逆定理 1、请写出“全等三角形的对应角相等”的逆命题，判断此逆命题的真假性，并给出证明． 【答案与解析】 解：命题“全等三角形的对应角相等”的题设是“全等三角形”，结论是“对应角相等”，故其逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题． 举例证明：
逆命题与逆定理(导学案)教案
《§13.5 逆命题与逆定理》导学案教案设计 学习内容：教材P92及P93及练习题。 课型：新授课 学习目标：1.知识与技能：使学生理解逆命题与逆定理的意义，会写出一个命题的逆命题，会判断定理的逆命题的真假. 2.过程与方法：通过探索逆命题的写法,培养学生的观察 能力,应变能力和语言表达能力. 3.情感、态度与价值观：教学中渗透着数学的形式美和内 涵美，提高学生对数学美德鉴赏能力. 学习重点：会写一个命题的逆命题，会判断定理的逆命题的真假. 学习难点：正确写出一个命题的逆命题. 教学准备：多媒体、导学案. 第一板块自主学习导学 回顾旧知： 1.什么叫做命题？什么叫做定理？ 2.命题由和两部分组成. 3.正确的命题称为，错误的命题称为 4.你学过哪些定理？ 新课先知： 仔细阅读教材P92和P93内容，完成下面的填空.
1.“两直线平行，内错角相等”的条件是： ，结论是： . 2.“内错角相等，两直线平行”的条件是： ，结论是： . 3.观察以上两个命题发现：两个命题的和恰好互换了位置.这两个命题叫做命题. 4.在两个命题中，如果第一个命题的是第二个命题的结论，而第一个命题的是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的 . 5.如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做 .我们已知“两直线平行，内错角相等”和它的逆命题“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是 . 初步体验： 1.先指出下列各命题的条件和结论，再写出它们的逆命题，并判断其真假. ⑴如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余； ⑵如果一个数是自然数，那么它必然是有理数； ⑶如果a=b，那么a3=b3. 2.下列定理中，没有逆定理的是（） A．同位角相等，两直线平行 B．直角三角形中，两锐角互余
三垂线定理及其逆定理测试题(含答案)
三垂线定理及其逆定理 一、单选题(共8道，每道12分) 1.如图，BC是的斜边，过点A作△ABC所在平面α的垂线AP，连接PB，PC，过点A作AD⊥BC于点D，连接PD，那么图中的直角三角形共有( ) A.4个 B.6个 C.7个 D.8个 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三垂线定理 2.如图，在正方体中，E为的中点，则下列与直线CE垂直的是( )
A.直线AC B.直线 C.直线 D.直线 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三垂线定理
3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的度数( ) A.逐渐变大 B.逐渐变小 C.不变 D.先变大再变小 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三垂线定理 4.已知三棱锥P-ABC的高为PH，若P到△ABC的三边的距离相等，且点H在△ABC内，则点H为△ABC的( ) A.垂心 B.重心 C.外心 D.内心 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三垂线定理 5.四面体ABCD中，棱AB，AC，AD两两垂直，则顶点A在底面BCD上的正投影H为△BCD 的( ) A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三垂线定理 6.已知二面角α-AB-β的平面角是锐角，C是平面α内一点（点C不在棱AB上），D是点C 在平面β上的射影，E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任一点，那么( ) A.∠CEB＞∠DEB B.∠CEB=∠DEB C.∠CEB<∠DEB D.∠CEB和∠DEB的大小关系不能确定 答案：A 解题思路：
逆命题和逆定理教案
八年级数学编者：王丽丽校审：刘晓雪时间：11月12号 13.5逆命题与逆定理 教学目标 1、知道原命题、逆命题、互逆命题、逆定理、互逆定理等的含义． 2、会写一个命题的逆命题，并会证明它的真假． 3、知道每一个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理． 4、增强逆向思维的意识，体会辩证思想． 教学重点及难点 重点：写出一个命题的逆命题． 难点：判断逆命题的真假性． 教学过程 一、回顾旧知，引入新课． 1、回顾 前面我们学习了命题的概念，谁能说一说什么叫命题？ “判断一件事情的句子叫做命题．” 我们还知道，命题都有两部分，即题设和结论， 它的一般形式是“如果…，那么…”． 命题有真假之分. 【说明】通过复习引起学生回忆，巩固命题的概念，同时为本节的学习打下基础． 观察表中的命题，命题⑴与命题⑵有什么关系？命题⑶与命题⑷呢？ 第一个命题的条件和结论与第二个命题的题设和结论是相反的．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题． 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题． 二、反馈练习，巩固知识． 例1:说出下列命题的逆命题，并判断是真命题还是假命题 (1)两直线平行，同位角相等. (2)同位角相等 (3)同角的余角相等练习1:说出下列各命题的逆命题，并判断互逆命题的真假 (1)如果|a|=|b|，那么a=b. (2)等边三角形的三个内角都是60°. (3)两个全等三角形的面积相等. 【说明】及时的练习可以巩固学生刚刚学到的知识,对于一些层次比较好的同学,教师也可以在这个练习时就提出本题中两个命题的逆命题是真是假?这样可以让这些同学积极地思维,判断命题为真,必须进行证明;判断命题为假,只需举出反例即可. 【说明】每个命题都有逆命题,一个命题的逆命题是真是假难以确定. 三、引入新知. 如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫互逆定理,其中一个叫做另一个的逆定理。 四、巩固新知. 例 2 :下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请说出逆定理 (1)同旁内角互补，两直线平行 (2)对顶角相等 (3)全等三角形对应角相等 【说明】写出原定理的逆命题,如果逆命题经过证明为真,那么这个逆命题就是原定理的逆定理;反之,就说明原定理没有逆定理. 练习3:下列说法哪些正确，哪些不正确？ (1) 每个定理都有逆命题。 (2) 每个定理都有逆定理。 (3)有些定理的逆定理可能是假的。 【说明】每个定理都有逆命题，但不一定有逆定理。 练习4： (1)写出一对互逆定理。 (2)写出一个没有逆定理的定理。 例3:已知命题：“若点P是线段AB的垂直平分线上的任意一点,则PA=PB.”证明这个命题的真假，并写出它的逆命题，判断其逆命题的真假？ 五、课堂小结． 如何写出一个命题的逆命题? 如何证明命题的真假性? 互逆命题与互逆定理的联系与区别？ 六、布置作业．课本练习题第1、2题
初二上册数学勾股定理及其逆定理知识点总结
初二上册数学勾股定理及其逆定理知识点总结 初二上册数学勾股定理及其逆定理知识点总结 一、勾股定理： 1.勾股定理内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a，斜边长为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.勾股定理的证明： 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是： (1)图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变; (2)根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。 3.勾股定理的适用范围： 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。 二、勾股定理的逆定理 1.逆定理的内容：如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。 说明：(1)勾股定理的'逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形
状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形; (2)定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c，那么以a，b，c 为三边的三角形是直角三角形，但此时的斜边是b. 2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的一般步骤： (1)确定最大边; (2)算出最大边的平方与另两边的平方和; (3)比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形。 三、勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数. 四、一个重要结论： 由直角三角形三边为边长所构成的三个正方形满足“两个较小面积和等于较大面积”。 五、勾股定理及其逆定理的应用 解决圆柱侧面两点间的距离问题、航海问题，折叠问题、梯子下滑问题等，常直接间接运用勾股定理及其逆定理的应用。
逆命题和逆定理(1)
逆命题和逆定理（1） 渔渡中学党文州教学目标 1、经历逆命题的概念的发生过程，了解一个命题都是由条件与结论两部分构成，每个命题都有它的逆命题，命题有真假之分。 2、了解逆命题、逆定理的概念。 教学重难点 重点：会识别两个命题是不是互逆命题，会在简单情况下写出一个命题的逆命题，了解原命题成立，其逆命题不一定成立． 难点：能判断一些命题的真假性，并能运用推理的思想方法证明一类较简单的真命题，同时了解假命题的证明方法是举反例说明． 教学过程 一、回顾旧知，引入新课 1、命题的概念：对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。我们还知道，命 题都有两部分，即条件和结论，它的一般形式是“如果…，那么…” 例1．命题：“平行四边形的对角线互相平分”条件是，结论是。 命题：“对角线互相平分的四边形是平行四边形”条件是，结论是。 以上两个命题有什么不同？请你说一说。 归纳：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。 就例1来说，如果说“平行四边形的对角线互相平分①”为原命题，则“对角线互相平分的四边形是平行四边形②”为逆命题。我们说①②两个命题叫做互逆命题。 请学生分别说明上表的原命题，逆命题及真假。（幻灯片演示） 问：每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题是否一定为真命题？ 二、合作学习（做一做） 1、说出下列命题的逆命题，并判定逆命题的真假； ①既是中心对称，又是轴对称的图形是圆。 逆命题：圆既是中心对称，又是轴对称的图形——真命题。 ②有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
八年级数学逆命题与逆定理同步练习及答案
八年级数学逆命题与逆定理同步练习及答 案 19.4 逆命题与逆定理测试题 （120分 100分钟） 一、基础题（8题7分，其余每题各4分，共35分） 1．在两个直角三角形中，有两条边分别对应相等，这两个直角三角形一定全等吗？如果不一定全等，请举出一个反例． 2．写出下列命题的逆命题，并判断这些命题的真假．（1）如果∠α与∠β是邻补角，那么∠α+∠β=180°； （2）如果一个三角形的两个内角相等，那么这两个内角所对的边相等． 3．已知：如图，在五边形ABDE中，∠B=∠E=90°，B=ED，∠AD=∠AD．求证：AB=AE． 4．已知：如图，AD是△AB的角平分线，DE⊥AB，DF⊥A，垂足分别是E、F，BD=D．求证：AB=A． 5．已知：如图，A⊥D，BD⊥D，AB的垂直平分线EF交AB于E，交D于F，且A=FD．求证：△ABF是等腰直角三角形． 6．判断由线段a、b、组成的三角形是不是直角三角形．
（1）a=7，b=24，=25；（2）a=1.5，b=2.5；（3）a= ，b=1，= . 7．在△AB中，A=2a，B=a2+1，AB=a2-1，其中a﹥1，△AB是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？ 8．如图，在四边形ABD中，AB=1，B=3，D=DA=2，∠D=90°，求∠BAD的度数. 二、学科内综合题（5分） 9．已知等腰△AB的底边B=8，且|A-B|=2，则腰A的长为（） A．10或6B．10．6D．8或6 三、学科间综合题（5分） 10．一平面镜以与水平成45°角固定在水平桌面上，如图，小球以1米／秒的速度沿桌面向平面镜匀速滚去，则小球在平面镜里所成的像（） A．以1米／秒的速度，做竖直向上运动B．以l米／秒的速度，做竖直向下运动 ．以2米／秒的速度，做竖直向上运动D．以2米／秒的速度，做竖直向下运动 四、应用题（10分） 11．如图，河南区一个工厂在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，到河上公路桥较近桥头（图中A点）的距离与到公路东侧学校（图中B点）的距离也相等，试在
初二上册数学第一章勾股定理及其逆定理知识点
初二上册数学第一章勾股定理及其逆定理知识点 初二上册数学第一章勾股定理及其逆定理知识点 一、勾股定理： 1.勾股定理内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a，斜边长为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.勾股定理的证明： 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的.思路是： (1)图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变; (2)根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。 4.勾股定理的适用范围： 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。 二、勾股定理的逆定理 1.逆定理的内容：如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。 说明：(1)勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形
状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形; (2)定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c，那么以a，b，c 为三边的三角形是直角三角形，但此时的斜边是b. 2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的一般步骤： (1)确定最大边; (2)算出最大边的平方与另两边的平方和; (3)比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形。 三、勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数. 四、一个重要结论： 由直角三角形三边为边长所构成的三个正方形满足“两个较小面积和等于较大面积”。 五、勾股定理及其逆定理的应用 解决圆柱侧面两点间的距离问题、航海问题，折叠问题、梯子下滑问题等，常直接间接运用勾股定理及其逆定理的应用。
逆命题与逆定理(原卷版)
考点06 逆命题与逆定理 1.（2020·河南·月考试卷）下列各命题的逆命题是真命题的是() A.对顶角相等 B.全等三角形的对应角相等 C.相等的角是同位角 D.等边三角形的三个内角都相等 2.（2020·湖南·期末试卷）以下三个命题：①等腰三角形的两个底角相等；①全等三角形的面积相等；①对顶角相等.其逆命题为真命题的个数共有()个 A.0 B.1 C.2 D.3 3.（2020·福建·期末试卷）原命题为：“若a>0，b>0，则a+b>0”，逆命题为：“若a+b>0，则a>0， b>0”．下列判定正确的是（） A.原命题为真命题，逆命题为假命题 B.原命题与逆命题均为真命题 C.原命题为假命题，逆命题为真命题 D.原命题与逆命题均为假命题 4.（2020·湖北·月考试卷）下列各定理中有逆定理的是() A.两直线平行，同旁内角互补 B.若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等 C.对顶角相等 D.如果a=b，那么a2=b2 5.（2020·安徽·期中试卷）下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；①若|a|＝|b|，则a＝b；①直角都相等； ①相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是（） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 6.（2020·湖南·期中试卷）下列说法正确的是() A.举反例和反证法都是用来证明一个命题是假命题的方法 B.命题“如果|x+2|=2，那么x=0”的逆命题是一个假命题 C.任何数的零次幂都等于1 D.定理“对顶角相等”有逆命题 7.（2020·黑龙江·期中试卷）下列各命题的逆命题成立的个数有() ①同旁内角互补，两直线平行；①如果两个角是直角，那么它们相等；
(八年级数学教案)逆命题与逆定理教案
逆命题与逆定理教案 八年级数学教案 一、教材分析 1、教材的地位和作用 角平分线的概念在第一册的教材中已介绍过，它的性质很重要，在几何里证 明线段或角相等时常常用到它们，同时在作图中也运用广泛，刚学过的运用 HL 定理来证明直角三角形全等的方法为证明角平分线的性质定理和逆定理创 造了条件。性质定理和它的逆定理为证线段相等、角相等，开辟了新的途径，简化了证明过程。 2、重点与难点分析 本节内容的重点是角平分线的性质定理，逆定理及它们的应用。 本节内容的难点是： a、角平分线定理和逆定理的应用； b、这两个定理的区别
C、学生对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用定理，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次定理。 3、教学目标 (一) 知识目标： (1) 掌握角平分线的性质定理和逆定理； (2) 能够运用性质定理和逆定理证明两个角相等或两条线段相等； (二) 能力目标： (1) 通过定理的推导，培养学生的归纳能力 (2) 通过定理的初步应用，培养学生的逻辑推理能力及创新的能力 (三) 情感目标： (1) 通过学生的主动探索让学生体验获取数学知识的成就感； (2) 通过对角平分线的进一步认识，渗透运用不同的观点，从不同的侧面认识事物的辩证思维方法。 二、教法学法 学生是学习的主体，只的学生真正融入到课堂教学中，学生才会深切地感受到数学带给他们的乐趣。这节课，我主要采用学生自己动手实践，观察，组织讨论等方法，多
媒体引导，以学生为主，给学生提供足够的活动时间，充分发挥他
们的个性，让学生在实践中感受知识的力量，通过观察，让学生在观察中发现，在发现中探索，在探索中创新。充分发挥他们的主观能动性，最大限度的发挥他们的创造力。让学生成为课堂的主人。教师只是在学生的思维受阻的情况下进行适时的引导。 三、教学过程 1、通过生活中的实例，创设情境 通过实例1的思考与探索，让学生复习了点到直线的距离这一概念。 通过实例2,给学生对角平分线有了一个初步的认识。 这一阶段的学习起到承上启下的作用，这两个例题的结合，为学生探索发现角平分线打下基础。 2、试一试 (1) 作一个具体画图的练习：已知角画出它的角平分线。 这样做让学生在动手画图的过程中对角平分线有一个很直观的认识 (2) 折纸练习。 让学生在动手实践的过程中发现规律，体验获取知识的成就感。 3、观察
5.7 逆命题和逆定理(2)
5.7 逆命题和逆定理（2） 【教学目标】 1、理解勾股定理的逆定理的证明 2、理解“在直角坐标系中，点（x,y ）与点（-x,-y ）关于原点对称”及其逆命题的证明。 3、进一步认识逆命题和逆定理及其在数学研究和解决实际问题中的作用 【教学重点、难点】 重点：进一步认识逆命题和逆定理． 难点：勾股定理的逆定理的证明思路和例3． 【教学过程】 一、知识回顾 1、逆命题的定义 2、一个命题的逆命题是真命题还是假命题 3、逆定理的定义 二、新课讲授： 1、说出勾股定理的逆命题： “如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形” 回答下列问题： （1）、这个命题是真命题还是假命题？ （2）、命题的条件和结论是什么？ （3）、证明命题的步骤 （4）、在未证明本定理的情况下，要证明一个三角形是直角三角形，只能根据什么？ 分析：如果我们能构造出一个直角三角形，然后证明△ABC 和所构成的直角三角形全等，便证得△ABC 是直角三角形 已知：在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，且a 2+b 2=c 2 求证：△ABC 是直角三角形 证明：如图作Rt △A’B’C’，使∠C ＝Rt ∠，B’C’ ＝a ，A ’ C’ ＝b 。 记A’B’ ＝c ’则a 2＋b 2＝c'2 ∵a 2＋b 2＝c 2 ∴C ’2＝c 2 ∵c'＞0 , c ＞0 ∴c ’＝c 又∵BC=a= B’C’，AC=b= A’ C’， AB=c= A’B’ ∴△ABC ≌△A’B’C’ ∴∠C=∠C ’= Rt ∠ ∴△ABC 是直角三角形 （幻灯片演示） 思路归纳：先构造出符合求证要求的图形，然后证明所求证图形和所构造图形全等。 2、例题教学 例3 说出命题“在直角坐标系中，点（x,y ）与点（-x,-y ）关于原点对称”的逆命题，并判断原命题、逆命题的真假 分析：命题的条件是“两个点具有（x,y ）与（-x,-y ）的坐标形式”， B'B C C'
八年级数学上册第十三章全等三角形13.5逆命题与逆定理教学设计新版华东师大版
13.5 逆命题与逆定理 教学目标： 基本目标 1.理解逆命题的概念，并会判断一个命题、逆命题的真假. 2.理解逆定理与互逆定理的概念. 教学重点： 逆命题与逆定理的概念. 教学难点： 判断逆命题的真假. 教学过程： 一、创设情景，导入新课 观察下列两个命题：（1）“两直线平行，内错角相等”；（2）“内错角相等，两直线平行”.你能分别说出它们的条件与结论吗？两者的条件与结论位置上有什么关系？从而导入新课. 二、师生互动，探究新知 1.原命题、逆命题、互逆命题 教师讲解并板书：在两个命题中，第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论，又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中的一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题. 教师启发如何构造一个命题的逆命题，并与同排同学做一个游戏：一个出示命题，一个构造它的逆命题. 学生活动、交流，教师选几组代表展示.教师强调互逆命题是相对的，而不能说×××命题是逆命题. 2.互逆命题与逆定理 教师选取交流代表中的例子，分析互逆命题的真假. 板书：如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理互为逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理.教师强调：不能说×××定理是逆定理. 教师提问：你能说出我们已经学过的互逆定理的例子吗？ 学生交流、讨论、回答，教师点评. 三、随堂练习，巩固新知 四、典例精析，拓展新知 例下列命题的逆命题是真命题的是（） A.对顶角相、 B.若a=b，则｜a｜=｜b｜ C.两直线平行，同位角相等 D.全等三角形的对应角相等
【答案】C 教学说明：先写出命题的逆命题，再判断真假，而不是判断原命题的真假.教师强调：假命题的逆命题可能是真命题，真命题的逆命题很有可能是假命题. 五、运用新知，深化理解 完成教材第1.2题，教师及时点评. 六、师生互动，课堂小结 这节课你学习了什么？有什么收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总结. 课后作业： 完成练习册中本课时对应的课后作业部分. 教学反思： 这节课内容较少，学生搞懂互逆命题、互逆定理的概念是教学的关键，判断逆命题的真假是本节的难点，应在教学中让学生多构造互逆命题，并判断其真假，让他们自己去感知命题与逆命题、定理与逆定理之间的关系. 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！