专题--数列求和的基本方法和技巧
数列求和的基本方法和技巧
一、利用常用求和公式求和：利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)
1(11)1()1(111
q q q a a q
q a q na S n n
n
3、 )1(211+==∑=n n k S n
k n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n 5.2
1
3)]1(21[+==∑=n n k S n
k n
[例1] 已知3
log 1log 23-=
x ，求???++???+++n
x x x x 32的前n 项和. 解：由2
1
2log log 3log 1log 3323=?-=?-=
x x x
由等比数列求和公式得 n
n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式）
＝x x x n
--1)1(＝
2
11)
211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1
)32()(++=
n n
S n S n f 的最大值.
解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2
1
++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=
n n S n S n f ＝64
342++n n n
＝
n
n 64341+
+＝
50
)8(12+-
n
n 50
1≤
∴ 当
8
8-
n ，即n ＝8时，501)(max =n f
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.
[例3] 求和：1
32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………①
解：由题可知，{1
)12(--n x
n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1
-n x
}的通项之积
设n
n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位）
①－②得 n
n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1
----?
+=-- ∴ 2
1)1()
1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+
练习.求数列??????,22,,26,24,
2232n
n
前n 项的和. 三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就能够得到n 个)(1n a a +.
[例5] 求证：n
n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++
证明： 设n
n n n n n C n C C C S )12(53210++???+++=………………………….. ①
把①式右边倒转过来得
113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++???+-++=- （反序）
又由m
n n m n C C -=可得
n
n n n n n n C C C n C n S ++???+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②
①+②得 n
n n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110?+=++???+++=- （反序相加） ∴ n
n n S 2)1(?+=
练习求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
例. 求数列的前n 项和：231
,,71,41,
1112-+???+++-n a a a n ，… 解：设)231
()71()41()11(12-++???++++++=-n a
a a S n n
将其每一项拆开再重新组合得
)23741()1
111(12-+???+++++???+++
=-n a
a a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2
)13(n
n + （分组求和）
当1≠a 时，2)13(1111n n a
a S n n -+--
=＝2)13(11n n a a a n -+--- 练习. 求数列{n(2n+1)}的前n 项和.
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1）)()1(n f n f a n -+= （2）1
1
1)1(1+-=+=
n n n n a n
（3）)1
21
121(211)12)(12()2(2+--+=+-=
n n n n n a n （4）])
2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=
n n n n n n n a n
(5) n
n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2
)1(1
1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++=
-则 [例9] 求数列
???++???++,1
1,
,321,
2
11n n 的前n 项和.
解：设n n n n a n -+=++=
111
（裂项）
则 1
13
212
11
+++???+++
+=
n n S n （裂项求和）
＝)1()23()12(n n -++???+-+- ＝11-+n
练习.在数列{a n }中，1
1211++???++++=
n n
n n a n ，又12+?=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.
六、合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，所以，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .
[例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.
解：设S 2002＝2002321a a a a +???+++
由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得
,2,3,1654-=-=-=a a a
,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a …… 2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a
∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性质项） ∴ S 2002＝2002321a a a a +???+++ （合并求和） ＝)()()(66261612876321++++???+++???+???+++???+++k k k a a a a a a a a a a
2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++???+++???+
＝2002200120001999a a a a +++＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5
练习 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +???++=求的值. 练习 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征实行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.
[例15] 求
1
1111111111个n ???+???+++之和. 解：因为)110(91
99999111111
1
-=????=???k k k
个个 （找通项及特征） ∴ 1
1111111111个n ???+???+++ ＝
)110(91
)110(91)110(91)110(91321-+???+-+-+-n （分组求和） ＝
)1111(91)10101010(911
321 个n n +???+++-+???+++ ＝9
110)110(1091n
n ---?
＝
)91010(81
1
1n n --+
(完整版)数列求和常见的7种方法
数列求和的基本方法和技巧 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x
由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1)1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2 1 }的通项之积
数列求和的方法专题
数列求和的方法 一、公式法[来源: 自然数方幂和公式：1 123(1)2 n n n +++???+= + 22221 123(1)(21)6n n n n +++???+=++ 333321 123[(1)]2 n n n +++???+=+ 【例题1】设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1 {}n a 的前n 项和n T ，求得1|1|1000 n T -<成立的n 的最小值. 【变式训练】已知等差数列{}n a 满足3a =2，前3项和3S =9 2 . (Ⅰ)求{}n a 的通项公式， (Ⅱ)设等比数列{}n b 满足1b =1a ，4b =15a ，求{}n b 前n 项和n T . 二、分组法 类型一、等比数列+等差数列混合求和： 【例题2】已知数列{a n }是3＋2－1,6＋22 －1,9＋23 －1,12＋24 －1，…，写出数列{a n }的通项公式并求其前n 项和S n .
【变式训练】已知数列{a n }的通项公式为a n =2n (n ∈N*)，数列{b n }是以函数 214sin 12y x π? ?=+- ?? ?的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{a n - b n }的 前n 项和S n . 类型二、奇数项和偶数项分别求和： 【例题3】已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N * )，则S 2 012= 。 【变式训练】【2015高考湖南，文19】（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ， 已知121,2a a ==，且13n n a S +=* 13,()n S n N +-+∈， （I ）证明：23n n a a +=； （II ）求n S . 类型三、正数项和负数项分别求和后再求和： 【例题4】在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列． (Ⅰ)求d ，a n ； （Ⅱ）若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |. 【变式训练】在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N ＋)，公比q ∈(0,1)，且a 3a 5＋2a 4a 6＋a 3a 9＝100，又4是a 4与a 6的等比中项． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n ＝log 2a n ，求数列{|b n |}的前n 项和S n .
数列求和7种方法(方法全,例子多)
数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习） 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+=
2、等比数列求和公式：??? ??≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1 log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝2 11) 21 1(2 1--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+= n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n
数列求和专题训练 方法归纳
数列求和专题 方法归纳 方法1：分组转化法求和 1．已知{a n }的前n 项是3＋2－1,6＋4－1,9＋8－1,12＋16－1，…，3n ＋2n －1，则S n ＝ ________. 2．等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2an －2＋n ，求 b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值． 方法2裂项相消法求和 3.设数列{}a n 满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N * )，则数列? ???????? ?1a n 前 10项的和为______． 4. S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. ①求{a n }的通项公式； ②设b n ＝ 1 a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和． 5．若已知数列的前四项是 112 ＋2，122＋4，132＋6，1 42＋8 ，则数列的前n 项和为________． 6．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. （1)求{a n }的通项 公式； (2)设b n ＝1 a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和T n . 7．已知数列{a n }各项均为正数，且a 1＝1，a n ＋1a n ＋a n ＋1－a n ＝0(n ∈N *)． (1)设 b n ＝1 a n ，求证：数列{ b n }是等差数列；(2)求数列?????? ??? ?a n n ＋1的前n 项和S n . 方法3：错位相减法求和 8．已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列(b n ＞0)，且a 1＝b 1＝2，a 3＋b 3＝16，S 4＋b 3＝34.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n 为数列{a n b n }的前n 项和，求 T n . 9．设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *)．
数列求和常见的7种方法
数列求与得基本方法与技巧 一、总论:数列求与7种方法: 利用等差、等比数列求与公式 错位相减法求与 反序相加法求与 分组相加法求与 裂项消去法求与 分段求与法(合并法求与) 利用数列通项法求与 二、等差数列求与得方法就是逆序相加法,等比数列得求与方法就是错位相减法, 三、逆序相加法、错位相减法就是数列求与得二个基本方法。 数列就是高中代数得重要内容,又就是学习高等数学得基础。在高考与各种数学竞赛中都占有重要得地位、数列求与就是数列得重要内容之一,除了等差数列与等比数列有求与公式外,大部分数列得求与都需 要一定得技巧、下面,就几个历届高考数学与数学竞赛试题来谈谈数列求与得基本方法与技巧、 一、利用常用求与公式求与 利用下列常用求与公式求与就是数列求与得最基本最重要得方法。 1、等差数列求与公式: 2、等比数列求与公式: 3、４、 5、 ［例1］已知,求得前n项与。 解:由 由等比数列求与公式得(利用常用公式) ＝==1- ［例2］设S n＝１+2＋3+…+n,n∈Ｎ*,求得最大值、 解:由等差数列求与公式得, (利用常用公式) ∴＝ =＝ ∴当,即n＝８时, 二、错位相减法求与 这种方法就是在推导等比数列得前ｎ项与公式时所用得方法,这种方法主要用于求数列｛ａn·ｂn｝ 得前n项与,其中｛a n｝、｛bｎ}分别就是等差数列与等比数列。 ［例3］求与:………………………① 解:由题可知,{}得通项就是等差数列｛2ｎ—1｝得通项与等比数列｛}得通项之积 设………………………。②(设制错位)
①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- (错位相减) 再利用等比数列得求与公式得: ∴ [例4］ 求数列前n 项得与、 解:由题可知,{｝得通项就是等差数列{2n}得通项与等比数列｛｝得通项之积 设…………………………………① ………………………………② (设制错位) ①—②得 (错位相减) ∴ 三、反序相加法求与 这就是推导等差数列得前ｎ项与公式时所用得方法,就就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n 个。 [例5］ 求证: 证明: 设…………………………、。 ① 把①式右边倒转过来得 (反序) 又由可得 ………….。……、. ② ①+②得 (反序相加) ∴ [例6］ 求得值 解:设…………、 ① 将①式右边反序得 ………….。② (反序) 又因为 ① ＋②得 (反序相加) )89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++???++++=S ＝89 ∴ S=44、５ 题1 已知函数 (1)证明:; (2)求得值。 解:(1)先利用指数得相关性质对函数化简,后证明左边=右边 (２)利用第(1)小题已经证明得结论可知, 两式相加得: 所以、 练习、求值:
数列求通项公式及求和9种方法
数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】：“ 1 n n S S - -”代入消元消n a 。 【注意】漏检验n的值 (如1 n=的情况 【例1】.（1）已知正数数列{} n a的前n项的和为n S， 且对任意的正整数n满足1 n a =+，求数列{} n a的通项公式。 （2）数列{} n a中，1 1 a=对所有的正整数n都有 2 123n a a a a n ????=，求数列{}n a的通项公式 【作业一】 1－ 1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈，求数列{}n a的通 项公式．
（二）.累加、累乘 型如1()n n a a f n --=, 1 ()n n a f n a -= 1()n n a a f n --= ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法） 【方法】 1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……， 21(2)a a f -=2n ≥， 从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+ +，检验1n =的情 况 ()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比 数列通项公式的方法） 【方法】2n ≥， 1 2 12 1 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---??? =?-??
数列求和的常用方法
数列求和的常用方法 永德二中 王冬梅 数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。 下面，简单介绍下数列求和的基本方法和技巧。 第一类：公式法 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 1、等差数列的前n 项和公式 2 )1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= 2、等比数列的前n 项和公式 ?? ???≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、常用几个数列的求和公式 （1）、)1(213211 += +?+++==∑=n n n k S n k n （2）、)12)(1(6132122221 2++= +?+++==∑=n n n n k S n k n （3）、233331 3)]1(21[321+=+?+++==∑=n n n k S n k n 第二类：乘公比错项相减（等差?等比） 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列}{n n b a ?的前n 项和，其中}{n a ，}{n b 分别是等差数列和等比数列。 例1：求数列}{1-n nq (q 为常数)的前n 项和。 解：Ⅰ、若q =0， 则n S =0 Ⅱ、若q =1，则)1(2 1321+= +?+++=n n n S n Ⅲ、若q ≠0且q ≠1， 则12321-+?+++=n n nq q q S ① n n nq q q q qS +?+++=3232 ② ①式—②式：n n n nq q q q q S q -+?++++=--1321)1(
专题--数列求和的基本方法和技巧
数列求和的基本方法和技巧 一、利用常用求和公式求和：利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n 5.2 1 3)]1(21[+==∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11) 211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位）
数列求和7种方法(方法全_例子多)
数列求和的基本方法和技巧 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式）
＝x x x n --1)1(＝ 2 11) 211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ －１，则＝ 题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2 +cn ，则a = ,b = ,c = . 解： 原式= 答案： 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1) 1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和.
(甘志国)数列求和的七种基本方法
数列求和的七种基本方法 甘志国部分内容(已发表于 数理天地(高中)，2014(11)：14-15) 数列求和是数列问题中的基本题型，但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点，本文将通过例题(这些例题涵盖了2014年高考卷中的数列求和大题)简单介绍数列求和的七种基本方法. 1 运用公式法 很多数列的前n 项和n S 的求法，就是套等差、等比数列n S 的公式，因此以下常用公式应当熟记： 还要记住一些正整数的幂和公式： 例1 已知数列}{n a 的前n 项和232n n S n -=，求数列}{n a 的前n 项和n T . 解 由232n n S n -=,可得n a n 233-=,160≤?>n a n ，所以： (1)当16≤n 时,n T =232n n S n -=. (2)当17≥n 时， 所以 2 2 32(1,2,,16)32512 (17,) n n n n T n n n n * ?-=?=?-+≥∈??N L 且 例2 求1)2(3)1(21?++-?+-?+?=n n n n S n Λ. 解 设2 )1()1(k n k k n k a k -+=-+=，本题即求数列}{k a 的前n 项和. 高考题1 (2014年高考浙江卷文科第19题(部分))求数列{}21n -的前n 项和n S . 答案：2n S n =. 高考题2 (2014年高考四川卷理科第19题(部分))求数列{}24n -的前n 项和n S . 答案：23n S n n =-. 高考题3 (2014年高考福建卷文科第17题)在等比数列{}n a 中，253,81a a ==. (1)求n a ； (2)设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 答案：(1)1 3 n n a -=；(2)22 n n n S -=. 高考题4 (2014年高考重庆卷文科第16题)已知{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，
高中数列专题常见求和方法总结
专题：数列及其数列求和 ?重点、考点精读与点拨 一、基本知识 1．定义： (1) .数列：按一定次序排序的一列数 (2) 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列叫做等差数列 (3) 等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一 个常数，则这个数列叫做等比数列 2． 通项公式与前n 项和公式 }{n a 为等差数列： d n a a n )1(1-+= 2 )(2)1(11n n a a n d n n na S +=-+ = }{n b 为等比数列： )1(1 1≠=-q q b b n n q q a a q q a S n n n --=--=11)1(11（q )1≠ 3． 常用性质 }{n a 为等差数列，则有 （1） 从第二项起，每项是前一项与后一项的等差中项，2 1 1-++=n n n a a a （n>1） （2） ),()(*N n m d m n a a m n ∈-+= （3） 若m+n = p+q , 则：q p n m a a a a +=+，特殊的：若m+n=2r ,则有：r n m a a a 2=+ （4） 若,,m a n a n m ==则有：0=+n m a （5） 若)(,,n m S m S n S n m n m +-===+则有： （6） }{n a 为等差数列q p q pn a n ,(+=?为常数)?),(2 R q p qn pn S n ∈+=
（7） m m m m m S S S S S 232,,--┅┅仍成等差数列 （8）}{},{n n b a 为等差数列，则}{n n qb pa +为等差数列（p ，q 为常数） （9）若项数为偶数2n ，nd ＝－奇偶S S ， 1+n n a a S S ＝ 偶 奇 若项数奇数2n －1，n a S S =偶奇－， 1 -n n S S ＝偶 奇 （10）?? ?=≥-=-11 1)2 (S a n S S a n n n }{n a 为等比数列，则有 （1） 只有同号的两数才存在等比中项 （2） ),(*N n m q a a m n m n ∈=- （3） 若m+n = p+q , 则：q p n m a a a a ?=?，特殊的：若m+n=2r ,则有：2 r n m a a a =? （4） }{},{n n b a 为等比数列，则}{n n b a ?，}{ n n b a ，{n ca }为等比数列（0≠ c ） （5） 等比数列中连续n 项之积构成的新数列仍是等比数列，当1≠q 时，连续项之和仍为 等比数列 （6） )1,0() 0,0(≠≠-=≠≠=q q k kq S q c cq a n n n n 二、在数列中常见问题： 1、等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，)(1d a dn a n -+=（定义域为正整数集），一次项的系数为公差；等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数， n d a n d s n )2 (212-+= 二次项系数为公差的一半，常数项为0. 证明某数列是等差（比）数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证：常数）常数，（ ==-++n n n n a a a a 1 1 2、等差数列当首项a 1>0且公差d<0时(递减数列)，前n 项和存在最大值。利用???<≥+001 n n a a 确 定n 值，即可求得s n 的最大值（也可以用二次函数的性质或图象解）。 等差数列当首项a 1<0且公差d>0时（递增数列），前n 项和存在最小值。
高中数列求和公式
数列求和的基本方法和技巧 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 )1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(21 1 +==∑=n n k S n k n 自然数列 4、 )12)(1(611 2++==∑=n n n k S n k n 自然数平方组成的数列 [例1] 已知3log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 12log log 3log 1log 3323=?-=?-=x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+= n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝n n 64 341 ++＝50)8 (12+-n n 50 1≤ ∴ 当 8 8-n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.
高三数列列项求和和放缩法专题
（一）数列通项公式的求法 8.(1)和型: )(1n f a a n n =++ 基本思路是，由)(1n f a a n n =++得)1(21+=+++n f a a n n ，相减，得奇数项成等差，偶数项成等 差，分别求奇数项通项，偶数项通项。 例如：数列{}n a 中相邻两项n a ，1+n a 是方程032=++n b nx x 的两根，已知1710-=a ，则51b =____． (2)积型：)(1n f a a n n =?+ 基本思路是，由)(1n f a a n n =?+，得)1(21+=?++n f a a n n ，两式相除，得奇数项成等比，偶数项成等比，分别求奇数项通项，偶数项通项，做法与“商型”相乘的思路相反． 例如：已知数列}{n a 中，11=a ，n n n a a )2 1(1=?+，则数列}{n a 的通项公式为________． 特别地： (1)如果数列}{n a 从第2项起的每一项与前一项的和为定值，则此数列}{n a 为等和数列。 递推公式为：?? ?=+=+c a a a a n n 11 （c 为常数），则n n a a =+2．即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶 数项也相等． (2)如果数列}{n b 从第2项起的每一项与前一项的积为定值，则此数列}{n b 为等积数列。 递推公式为：?? ?=?=+p b b b b n n 11 （p 为常数），则n n a a =+2，即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶 数项也相等． 9.周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。 例如：已知数列}{n a 满足)(1 33,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则56a =______. 10.取对数法 形如r n n pa a =+1，一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用待定系数法求解。 例如.设正项数列{}n a 满足11=a ，2 12-=n n a a （n ≥2）.求数列{}n a 的通项公式. 11.换元法：适用于含有根式递推关系式 类比函数的值域的求法有三角代换和代数代换两种，目的是代换后出现的整体数列具有规律性。 例如.已知数列}{n a 中，111 (14116 n n a a a +=+=，，求数列}{n a 的通项公式.
详解数列求和的方法+典型例题
详解数列求和的常用方法 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。 第一类：公式法 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 1、等差数列的前n 项和公式 2 )1(2)(11d n n na a a n S n n -+ =+= 2、等比数列的前n 项和公式 ?? ? ??≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、常用几个数列的求和公式 （1）、)1(2 1 3211+= +?+++== ∑=n n n k S n k n （2）、)12)(1(6 1 321222212++= +?+++== ∑=n n n n k S n k n （3）、23 3331 3)]1(21[321+=+?+++==∑=n n n k S n k n 第二类：乘公比错项相减（等差?等比） 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列 }{n n b a ?的前n 项和，其中}{n a ，}{n b 分别是等差数列和等比数列。 例1：求数列}{1 -n nq (q 为常数)的前n 项和。 解：Ⅰ、若q =0， 则n S =0 Ⅱ、若q =1，则)1(2 1 321+=+?+++=n n n S n Ⅲ、若q ≠0且q ≠1， 则1 2 321-+?+++=n n nq q q S ① n n nq q q q qS +?+++=3232 ②
①式—②式：n n n nq q q q q S q -+?++++=--1 321)1( ?)1(11 132n n n nq q q q q q S -+?++++-= - ?)11(11n n n nq q q q S ----= ?q nq q q S n n n ----=1) 1(12 综上所述：????????? ≠≠----=+==)10(1) 1(1)1)(1(2 1 )0(02 q q q nq q q q n n q S n n n 且 解析：数列}{1 -n nq 是由数列{}n 与{}1-n q 对应项的积构成的， 此类型的才适应错位相减，（课本中的的等比数列前n 项和公式就是用这种方法推导出来的），但要注意应按以上三种 情况进行分类讨论，最后再综合成三种情况。 第三类：裂项相消法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如： 1、乘积形式，如： （1）、1 1 1)1(1+- =+= n n n n a n （2）、)1 21 121(211)12)(12()2(2+--+=+-= n n n n n a n （3）、]) 2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=++=n n n n n n n a n （ 4 ） 、 n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2 )1(1 1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++= -则 2、根式形式，如：
数列求和中常见放缩方法和技巧(含答案)
数列求和中常见放缩方法和 技巧(含答案) -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
数列求和中常见放缩方法和技巧 一、放缩法常见公式： （1) ()() 11 1112-<<+n n n n n （2） () 121 2 211 2--=-+<+=< ++n n n n n n n n n （3）()()2 11++< + 2 ==<=， 则( )( ) ( ) 112212 322 1 n n n ++ <+-+-+ +-- 1<< 例5. 已知* N n ∈且)1n (n 3221a n +++?+?= ，求证：2 )1(2)1(2 +< <+n a n n n 对所有正整数n 都成立。 证明：因为n n n n =>+2)1(，所以2 ) 1n (n n 21a n +=+++> ， 又2 ) 1()1(+< +n n n n ， 所以2 )1n (21n 225232)1n (n 232221a 2 n += ++++=++++++< ，综合知结论成立。 例6、求证：2 222111 17123 4 n ++++ < 证明： 21111 (1)1n n n n n <=--- 2222211111111151171()().1232231424 n n n n ∴ ++++<++-++-=+-<- 此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。 n n n 1211)1ln(113121+++<+<++++ 数列求和专题 一.公式法（已知数列是等差或等比数列可以直接使用等差或等比的求和公式求和） 二.分组求和法 若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求. 例1：求数列11111246248162 n n ++L ， ，，，，…的前n 项和n S ．- 23411111 111(2462)(1)222 222n n n S n n n ++??=+++++++++=++- ???L L ． 例2： 求数列5，55，555，…，55…5 的前n 项和S n 解： 因为55…5= )110(9 5 -n 所以 S n =5+55+555+...+55 (5) =[] )110()110()110(952-+???+-+-n =?? ????---n n 110)110(1095 =815095108150--?n n 练习：、求数列1111 1,2,3,4,392781L 的前n 项和。 解：211223n n n ++-? 三．错位相减法 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 例： 求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………（0x ≠） 解： 当x=1时，23121315171(21)1135(21)n n S n n n -=+?+?+?+???+-?=+++ +-= 当x ≠1时， 132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………. ① ①式两边同乘以x 得n xS = 2 3 1 135(23)(21)n n x x x n x n x -+++???+-+-………② （设制错 位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1 4 3 2 --+???+++++=-- （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1)1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ n 数列求和的七大技巧 ★数列在高考中的要求： 1．等差数列与等比数列是两种最基本、最重要及应用最广泛的数列，其他数列问题的解决往往借助它们完成，或经过变形转化为等差或等比数列，或利用等差、等比数列的研究方法。所以等差数列与等比数列的基础知识是数列中最基本、最重要也最易把握的知识。 2．数列的通项是数列最重要、最常见的表达形式，它是数列的核心。应弄清通项公式的意义——项数n 的函数；理解通项公式的作用——可以用通项公式求数列的任意一项的值及对数列进行一般性的研究。 3．数列的递推式是数列的另一种表达形式，可以是一阶线性递推、二阶线性递推、二次函数形式递推、勾函数形式递推、与奇偶联系的递推等，是高考的热点。要注重叠加、叠乘、迭代等解题技巧的训练。 4．数列求和的问题往往和其他知识综合在一起，综合性教强。数列求和就显得特别重要，数列求和就需要根据数列的特点选择最适合的方法，那么必须掌握几种常用的数列求和方法。 5．自从文科不考数学归纳法以来，数学归纳法几乎成了一个理科必考的容。而且常常和放缩法、函数单调性、构造法等联系在一起，能力要求较高。 6．纵观近几年的高考，每年都有求极限的题目。常以选择题、填空题的形式命题，有时也作为某一大题的某一问出现，难度不大。 7．数列的应用极其广泛，因此尽管现在的应用题多为概率统计，但不排除考数列应用题的可能，也有可能是数列与概率交汇。 8．数列常与函数、不等式、解析几何、立体几何、导数、三角、向量、二项式等知识联系在一起，以它的复杂多变、综合性强、解法灵活等特征成为高考的中档题或压轴题。 一、利用常用求和公式求和 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211 +==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知数列{},n n n a a x =， （x ≠0），n s 数列的前n 项和，求n s 。 解：当x=1时，n s n = 当x ≠1时，{}n a 为等比数列，公比为x数列求和专题(必考必练,方法全面,有答案)
数列求和的七大技巧