图像分割技术综述---20050620

综述：PDE图像分割技术

沈民奋

汕头大学工学院，广东省图像处理重点实验室，汕头 515063

摘要：偏微分方程（PDE's）图像处理在图像处理的各个方面已经得到了广泛的应用，该

方法通常与水平集方法配合使用。在图像分割方面提出了许多基于偏微分方程（PDE's）的

方法，比如，M-S分片光滑法，C-V无需边缘的活动围线法，P-D测地活动区域组等等。本文

追踪偏微分方程（PDE's）图像分割的发展，回顾偏微分方程（PDE's）图像分割领域的重

要文献，也简述了偏微分方程（PDE's）图像分割中的数值技巧。从本文的综述可以看出，

当前偏微分方程（PDE's）图像分割的主要发展趋势有三个方面：将图像分割的边界特征和

区域特征相结合；建立新的水平集方法来实现偏微分方程（PDE's）图像分割；将偏微分方

程（PDE's）图像分割技术与传统技术如贝叶斯方法相结合。

关键词：偏微分方程，图像分割，水平集，活动围线，综述

中图分类号：TP391.4 文献标识码：A 文章编号：

0 引言

图像分割是图像分析和计算机视觉中一个基本处理环节。这方面的文献很多。本文主要关注偏微分方程（PDE）图像分割的最新进展。方程的建模通常是根据变分法寻找一个使能量泛函最小化的函数，并辅之以水平集技术。尽管本文主要综述关于二维灰度图像的分割方法，由于偏微分方程图象处理的固有优势，这些方法往往很容易推广到彩色图像分割或序列图像的运动追踪问题[1,5,29,30,33,35,41]。

传统的图像分割方法，无论是基于时域还是频域的分割，总是利用图像中的灰度边界信息或灰度同质区域进行分割图像。偏微分方程图像分割也是基本如此。从根本上说，偏微分方程图像处理是基于对图像的确定性描述，近年来，许多研究人员试图把概率性描述的一些手段与偏微分方程图像处理相结合。最早的偏微分方程图像分割借助于各向异性的灰度扩散技术，扩散的结果是使得原输入图象变换成为由一些分片光滑的灰度同质区域所组成的近似图像，从而更容易分割出图像中的不同区域。后来，随着水平集方法的提出，曲线演化和传统的参数型曲线演化相比，变得更加方便和有效。因此，曲线演化或称活动围线模型成为图像分割的主流。此后，偏微分方程活动围线的发展主要在于两个方面：多相活动围线和边界无关的活动围线模型。最近，活动围线和先验形状信息相结合的方法也相继被提出。另一方面，偏微分方程图像分割的技术改进也来自于新的数值技巧，比如改进传统的水平集方法；多尺度水平集技术；甚至完全抛开水平集方法而寻找方程的直接数值求解。

偏微分方程图象处理的一般方法是这样的：给定一个问题，在特定准则下最小化一个能量泛函，使得最小化函数即为问题的解。以图像分割为例，这些准则通常是图像中的灰度边缘信息或灰度同质区域信息；其次，根据这些准则确立一个能量泛函，使得仅在我们所期望达到的分割边界上该能量泛函达到最小；然后，从最小化问题中推导出相应的欧拉-拉格朗日方程（组），方程的解的存在性往往需要专门给出证明；最后，使用适当的数值技术求解这个方程（组）。偏微分方程图象处理确实能够提供与传统图象处理手段所不同的处理方法和效果，尤其对于复杂的图像分割问题显得灵活和有效。最近偏微分方程图象处理的繁荣就是由于它所能够提供灵活多样的，而且往往是传统处理方法所不能企及的处理性能。过去二十年来，有很多偏微分方程图像分割的文章相继发表，有基于边缘或测地边缘的活动围线模型，分片光滑的灰度同质区域分割模型，和结合其它方法（如贝叶斯方法）的偏微分方程图像分割模型。读者也可以参

考近年来发表的关于偏微分方程图象处理或偏微分方程图像分割的综述[3,7,16,18,43,46]。 本文结构如下：第1-3节回顾一些典型的偏微分方程图像分割模型，其中，第1节是关于借助于各向异性的灰度扩散模型；第2节回顾活动围线模型的发展历程和发展趋势；第3节介绍几个多相水平集方法，包括将偏微分方程图象处理技术与图像先验信息相结合的具体算法；最后第4节是对本综述的总结。

1 各向异性灰度扩散模型

热传导方程是第一个和图像处理联系起来的偏微分方程。简单地说，热传导方程起到像素平滑的作用；逆向热传导方程起到边缘增强的作用；利用偏微分方程实现各向异性灰度扩散，很容易将原始图象变换成几个灰度同质区域，我们把这一思想引入到图像分割中来，就是先通过各向异性灰度扩散将原输入图象变换成一个分片光滑的近似图像，然后对这一近似图像进行分割。

根据Gabor 的研究结果[51]，平滑之后的图像与原始图像的差值基本上与输入图像的拉普拉斯成比例。即

)()()()(000x u h

x u x u x K h ?→-* (1) 其中，0u 为初始图像，)(x K h 是平滑窗函数，h 是平滑窗的大小，x 是图像中像素的坐标向量。因此，随着h 逐渐减小，这一方程就演变为一个热传导方程。

u t

u ?=??， 0)0(u u = (2) 沿着这一思路逆推，当我们把热传导方程沿着时间轴逆推回去，其作用应该相当于对图像进行去模糊处理(deblurring)，也就是边缘增强。这一“逆向热传导方程”可以表示为，

u t

u ?-=??， observed u u =)0( (3) 但是由于逆向热传导方程的病态超定问题，重复进行上述过程将导致发散。具有实用价值的模型是由此改进的各种非线性的偏微分方程模型。Perona 和Malik 提出的非线性的偏微分方程模型是一个优秀的代表[51]，他们建立方程的思想是平滑均匀区域的像素值，同时增强边界信息。该方程的形式如下：

))((2Du g div t

u =?? (4) 其中灰度边缘检测函数2

11)(s s g λ+=，g 随着s 的增加而减小。将上述方程作如下变形可以容易看出它的物理意义。考虑图像某点处的灰度梯度方向Du 上关于像素值的二阶导数

),(2Du

Du Du Du u D u =ηη (5) 以及与灰度梯度方向相垂直的灰度保持方向⊥

Du 上关于像素值的二阶导数： ),(2

Du Du Du Du u D u ⊥⊥=ξξ (6) 其中Du =),(y x u u ，⊥Du =),(x y u u -，两个方向相正交，图像的拉普拉斯可以由上述两

个方向上的二阶变量表出：ηηξξu u u +=?。于是Peroma-Malik 方程可以变形为：

2222

222)

1()1(1Du u Du Du u t u λλληηξξ+-++=?? (7) 其中的第一项受灰度梯度影响，总是一个沿着灰度变化的垂直方向（即灰度保持方向）扩

散的一维热传导方程；而根据第二项，在灰度梯度方向上，当Du ≤λ时相当于热传导方程，当Du >λ时相当于逆向热传导方程。所以该模型的好处就是在于它同时统一地表达了热传导方程和逆向热传导方程，从而实现了非各向同性的灰度值扩散，即可以保持轮廓信息的平滑处理。也就是说，当Du 比较小的时候，方程相当于热传导方程，起到像素平滑的作用；而当Du 比较大的时候，方程相当于逆向热传导方程，起到边缘增强的作用。这一处理使得图像的表达既精减又精确，称为保边界的各向异性热传导方程。类似的模型还有[31,32,37,41,42]。这类模型的主要优点是对图像信息的表达做精简，即所谓稀疏化(sparse)。图像表达稀疏化的结果，是使得图像中的噪声以及非常不易觉察的细节信息被滤除，而主要地保留较大尺度上的轮廓信息，从而有利于正确分割。

2 活动围线模型

通常利用能量最小化方法建立一个活动围线模型。约束能量泛函最小化的因素主要有两个方面：一方面曲线的内在约束保持曲线演化过程中曲线的光滑性；另一方面来自图像特征（整体的或局部的）约束引导着曲线从初始位置（任意的或特定的）向着期望的边界位置演化。本文讨论的活动围线模型都是借助于水平集方法实现的，这与传统的参数化活动围线模型相比，更好地解决了对曲线演化过程中拓扑结构的变化，以及对初始围线位置的敏感性。在水平集方法

中，曲线C 由一个里布齐兹连续的零水平集函数

?→?2:φ表示。 }0)(:{)(""}

0)(:{)(""}

0)(:{222?∈==?∈=x x C outside x x C inside x x C φφφ (8)

2.1 基于边缘信息的活动围线模型

活动围线模型的发展，最初是利用参数描述的曲线演化；后来发展起了利用水平集的无参数活动围线模型；当Chan-Vese 提出了基于水平集的边缘无关活动围线模型，以及后来的Vese-Chan 边缘无关活动围线组模型，研究者们通常把这些依赖于灰度边缘信息的活动围线模型成为“传统”活动围线模型。这些模型中，活动围线的最终位置依赖于该物体边界上的灰度变化程度。 活动围线模型[50] 可以表示为：

)(inf 1C J C ，其中 ???+=101

0202'1)))((()()(ds s C u g ds s C C J λ (9)

其中，λ是正的任意常数，

0u 表示一个给定的图像，)(s C : [0,1]2?→表示一个分片一阶可导的曲线，)(0u g ?是上节提到的一个正的单调递减函数作为边界检测函数, 使得 )(lim t g t ∞→=0。上式中的第一项表示曲线的内部能量，它制约着曲线在演化过程中始终保持适度光滑；第二项表示曲线的外部能量，它使得曲线逐渐向着图像0u 待分割物体的边界位置移动。从上述能量最小化泛函推倒出相应的欧拉-拉格朗日方程，我们就可以通过求解方程使得曲线最终演化到我们期望的边界位置上。移动的速率大小通常有三种来源，曲率速度，常量速度和对流速度。在图像分割中比较常用的是前两种演化速率。借助于水平集方法实现的无参数活动围线模型都是通过对零水平集函数0φ

的演化而实现曲线演化，演化速度通常是沿着与零水平集相正交的方向（法线方向）。第一个平均曲率演化模型是由Osher-Shah 提出的[49]，几何活动围线模型可以看作是对平均曲率演化模型的改进。我们以Caselles 等提出的几何活动围线模型为例[46]。

))(()(0v div u g t +????=??φφφφ in 2],0[??∞ (10.1)

)(),0(0x x φφ= in 2? (10.2)

其中 )(0u g ?是我们前面已经提到的边界检测函数，v 是一个正的常数，0φ是初始水平集函数。零水平集曲线（活动围线）沿着法线方向以速率)))(()((0νφκ+?x u g 移动，最终理想地

停止在所期望的边界上（g =0处）。常量v 使得演化速度恒为正值，而仅在g =0处活动围线停止移动，这对于处理个别点的曲率函数为零（或为负值）而又不属于我们所期望的边界处的情况特别有效；而且，在曲线需要演化的位置上，常量v 的引入有效地加快了活动围线的演化进程。这类模型还有[34,48]。

总的来说，这些传统的活动围线模型都是依赖于一个边界检测函数（通常是灰度梯度的函数）而控制活动围线的最终停止位置，因此，它们对明确的灰度梯度具有过多的依赖性，而对于人眼很容易鉴别出来的断裂的边界，或者被平滑的边界分割能力比较有限。另外，由于实际数字图象中的灰度剃度是有界的，因此边界检测函数不会在边界上完全减小到零，这表现在活动围线的最终停止位置常常是“穿越”过边界而停留边界附近的其它位置上（这一现象称为“边界泄漏”）。为了遏止这类不期望出现的穿越边界现象，Yezzi 提出了增加一个“拖回”项的改进方法，但是取得的效果很有限[26]。

2.2 边缘无关活动围线模型

对于传统的活动围线模型固有的弱点，在模型中增加一个“拖回”项的方法，不足以解决根本的问题。Chan-Vese 从根本上放弃了活动围线模型对边界检测函数的依赖，提出了与灰度边缘无关活动围线模型[16]。Chan-Vese 模型的一个重要组成部分，就是对原始图像的一个分片光滑的逼近，这个分片光滑的逼近是基于前面提到的Mumford-Shah 分割模型[48]。该模型如下： ??ΩΩ?+-+?=C MS dx u dx u u C length C F \220)(),(λμμ (11)

其中第一项制约着曲线在演化过程中始终保持适度光滑；第二项表示对输入图像0u 的一个逼近函数u ；第三项表示这个逼近函数u 是分片光滑的。通过对一幅图像0u 作一个Mumford-Shah 分片光滑的近似，C-V 模型将图像分割成两个灰度同质的区域（标记为“曲线内部”和“曲线外部”）。近似图像)(2)(1C outside C inside c c u +=。C-V 模型的能量泛函),,(21c c F φ为：

??

-+-+?+?=)(2

202)(210121))(())((),,(C outside C inside p dx c u dx c u C inside area v C length c c C F λλμ(12) 其中)(C inside 和)(C outside 分别表示图像的两个光滑区域（其拓扑结构没有任何限制），C 是两个光滑区域的分界线， 1c 和2c 分别是两个光滑区域中的平均像素值大小，0>p 是常数，通常取值为2，0,,,21>λλμv 是微调参数，以得到所期望的分割性能。模型中第一项表示用来分割两个区域的曲线应该比较光滑，第二项表示分割出的区域（其中一个）面积应该比较小，最后两项表示近似图像)(2)(1C outside C inside c c u +=应该对原始图像0u

的一个分片光滑的逼近。该文作者证明了在有界变分空间（BV ）中解的存在性。为了得到相应的欧拉-拉格朗日方程，我们引入以下符号来标记两个平滑区域及其边界。 0,00,1{)(<≥=z z z H ，)()(z H dz d z =δ，??ΩΩ=dx H dx H u c )()(01φφ，??Ω

Ω--=dx H dx H u c ))(1())(1(02φφ

φφδφφ?=?==??ΩΩ)()(}0"{"H length

?Ω==dx H area )(}0"{"φφ

??Ω≥-=-dx H c u dx c u )(2100210φφ

??Ω<--=-dx H c u dx c u ))(1(22002

20φφ 在数值求解时，我们使用规则化了的 εH 和εδ='εH ，这样，该模型对应的欧拉-拉格朗日方

程是：

0])()()())(()[(220221011=-+---???-Ω?c u c u v div p p λλφφφφδμφδεε in Ω(13.1) 0)())((1

=????-Ω?n

p p φφφδφφδεε on Ω? (13.2) 方程中 )(

)(φφφκ??-=div 就是零水平集曲线的曲率。零水平集曲线（其最终停止位置也就是平滑区域的分界线）以一个曲率速率和一个常量速率沿着法线方向移动，同时，C-V 模型中引入了一个新的速率分量，即通过一个分片逼近函数约束着曲线演化的全局特性。所以，C-V 模型具有鲜明的“物理意义”：找到一个分割曲线，使得输入图像被分割成两个定值区域，该分割具有整体最优性。该活动围线模型可以成功地分割出目标物中的孔洞区域（内部边界），这是以往含参数活动围线模型所难以做到的。C-V 模型的良好特性依赖于对正值参数21,,,λλμv 取值的适当调整。该文也用实验展示了C-V 模型的灵活性和普适性，比如分割以往活动围线模型所不能胜任的纹理图像的分割问题。这其实是对图像先进行一个预处理][u T ，并用][u T 代替原始图像u 来施行利用C-V 模型的分割。另一方面，C-V 模型的一个弱点是，只能对图像作两个分片区域的分割，而不能将一幅复杂的图像分割成多片区域。后来，V-C 提出了多相活动围线模型作为对C-V 模型的改进[12]。

3 改良的水平集方法

O-S 提出的水平集方法有效地解决了在活动围线演化过程中曲线拓扑结构变化的问题。但是传统的水平集方法对图像只能作两个分片区域的分割，而且在数值计算中常常需要引入对零水平集函数的重新初始化过程，造成计算的繁琐。针对这些弊端，适合图像分割的新的水平集方法不断被提出。典型的技术是V-C 多相水平集方法和P-D 测地活动区域组，其他的水平集方法还有

[1,4-6,23,40]。

3.1 多相水平集方法

为了克服C-V 边缘无关活动围线模型对图像只能作两个分片区域的分割的缺点，V-C 提出了多相活动围线模型将这一具有全局最优特性的分割方法推广到多区域的图像分割[12]。多相水平集理论上说可以将解决图像“最小分割” 问题，从而将图像分割成任意多的适当区域。以下利用两个水平集函数对图像进行四相灰度常值分割的情况说明该模型的思路。引入水平集向量函数),(21φφφ=表示两个水平集函数，引入亥维赛向量函数))(),(()(11φφφH H H =表示可能分割出的最多四个灰度同质区域，00011011,,,c c c c 分别表示四个灰度同质区域中的像素平均值。于是两个像素点),(),,(2211y x y x 属于同一个灰度同质区域的条件就可以由

)),(()),((2211y x H y x H φφ=唯一地描述。该分割的能量泛函为：

??????Ω

ΩΩ

ΩΩ

Ω?+?+---+--+--+-=)()())(1))((1()()())(1()())(1)(()()()()(),(212120002120102121002121104φφφφφφφφφφφH v H v dxdy H H c u dxdy H H c u dxdy H H c u dxdy H H c u c F (14) 该模型相应的欧拉-拉格朗日方程为：

))]}

(1)()()(()())()[(()(){())]}

(1)()()(()())()[(()(){(1200021001201021102

2222200021002201021101

111φφφφφδφφφφφφδφεεH c u c u H c u c u vdiv t H c u c u H c u c u vdiv t ----+----??=??----+----??=?? (15)

根据以上思路，该方法还可以推广到m=3，即n=8的情况，在该文中同时给出了实验展示。但该方法的明显弊端是计算的复杂度。而且，由于该模型的解不满足唯一性，数值计算对活动围线的初始位置的依赖性较强。

3.2 测地活动区域组

将统计方法与偏微分方程（PDE's ）图像分割技术相结合，Paradios 和Deriche 提出的测地活动区域组模型提供了一个有益的尝试[22]。该模型假设输入图像可以分割成分片光滑的区域，则每个光滑区域的像素值分布可以由一个高斯函数描述。在建立变分模型之前，引入一个最小描述长度MDL[24]来对图像建模。建模的结果是把输入图像的直方图描述为几个高斯函数的叠加，而各个高斯函数所对应的区域即对应于所要分割出的灰度平滑区域。这样，通过MDL 中高斯函数的数目，可以估计出该分割可能得到的灰度平滑区域的数目N 。一个N 相P-D 变分模型可以表示为：∑?∑??=?

=??-+=N i i i i B i i i B N i R R i c d c R c R p g dxdy y x I p g R P F i 110,1)())),((()1())),,((())((σασα(

16)

其中i R 是第i 个灰度平滑区域，i =1,2,…,N , i p 是MDL 建模的结果,),(σx g 是高斯函数，第一项是区域约束，求和符号表示对全部的N 个分片平滑区域的约束，第二项是边缘约束，求和符号表示对全部N 个分片平滑区域的N 条边界的约束。求得相应的欧拉-拉格朗日方程，并用水平集函数的演化方程表示为：

()()()()()()()s s s s p g s s p g s s I p g s I p g s s i H s t i i i B i B i B i B i R k R i N j i j i i i φφφσκσδφσσγφφβφ?????++?-+?=??∑∈))),(()()),((()])),((())),((([),(,,]

,1[ (17)

)(s i κ是曲线i R ?在该点处的欧几里德曲率。该模型在探索偏微分方程与先验信息的结合方面做出了有益的尝试，实现了对图像的多相分割。自动估计出待分割的区域数目N ，用N 条曲线将图像分割成N 个分片平滑区域，并解决了水平集函数多相分割中经常出现的区域重叠或疏漏的问题。不足的是，该文提出的目标物灰度分布模型仅对某些图像噪声表现出较好的鲁棒性，而且难以分割纹理图像。其它将先验信息或统计方法与偏微分方程相结合的方法还有

[7,9,19,26,37]。

4 总结

偏微分方程（PDE's ）图像处理是图像处理中一个年轻而富有生机的分支。偏微分方程（PDE's ）

图像分割有其特有的优势。在图像分割中，促使初始曲线向边界线移动的各种准则，通常以能量泛函最小化的形式表达，这使得偏微分方程（PDE's）图像分割中，曲线演化的几何意义比较明确。而且利用能量泛函最小化方法建立图像分割偏微分方程（PDE's），可以比较方便地将多个分割准则集成到同一个模型中来，这样偏微分方程（PDE's）的方法得以成功处理传统的时域或频域图像分割方法所不能很好地解决的复杂问题。从以上综述中我们看到，在偏微分方程（PDE's）图像分割中，基于边缘的和基于区域的分割准则可以相结合而形成新的分割方法；而偏微分方程（PDE's）图像分割与水平集方法相结合，提出了多种基于水平集（组）的图象分割方法；多尺度的水平集方法有效地加快了运算速度；偏微分方程（PDE's）图像分割技术和其它传统技术的有效结合也在不断地被尝试。另一方面，偏微分方程（PDE's）图像分割的主要缺点就是计算的复杂性。而且，用变分法建立图象处理偏微分方程，必须严格地证明该方程的解的存在性。但同时，这些问题又激发着更多的研究者来寻找解决之道。每一个模型都会用不同的数值技术寻求解决方案，而为此建立新的水平集（组）也成为当今研究的一个热点。

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A Survey on Image Segmentation with Partial Differential Equations WANG Jin-xia; SHEN Min-fen

(Engineering College of Shantou University, Image Processing Key Lab of Guangdong Province,

Shantou, 515063, China)

Abstract: PDE’s in image processing, usually coupled with level set implementation, is an interesting approach in a variety of image processing tasks. A lot of PDE-based methods are proposed for image segmentation, such as Mumford-Shah piecewise smooth segmentation, Chan-Vese active contour model without edges, Paragios-Deriche coupled geodesic active regions, and others. This paper traces the development of PDE’s image segmentation, reviews the corner-stone works on this topic, as well as a b rief summery of the basis of numerical schemes of PDE’s image segmentation. As shown in this survey, nowadays the new trends in PDE’s image segmentation are integrating segmenting criteria of gradient and regional features, employing traditional level set and variants of level set techniques to implementing the PDEs, and combining PDE’s to traditional methods such as Bayes formulation.

Key word: survey, partial differential equation (PDE), segmentation, level set, active contour (snake), energy minimization