正五边形尺规作图的画法及其他(精品)

正五边形尺规作图的画法及其他

正五边形的画法

第一种：圆内接正五边形的画法如下:

1、作一个圆，设它的圆心为O；

2、作圆的两条互相垂直的直径AZ和XY；

3、作OY的中点M；

4、以点M为圆心，MA为半径作圆，交OX于点N；

5、以点A为圆心，AN为半径，在圆上连续截取等弧，使弦

AB=BC=CD=DE=AN，则五边形ABCDE即为正五边形。

第二种作法：

1. 以O为圆心，半径长为R画圆，并作互相垂直的直径MN和AP；

2. 平分半径OM于K，得OK=KM；

3. 以K为圆心，KA为半径画弧与ON交于H，AH即为正五边形的边长；

4. 以AH为弦长，在圆周上截得A、B、C、D、E各点，顺次连结这些点。五边形ABCDE 即为所求。

第三种：圆内接正五边形的画法如下:

1、作一个圆，设它的圆心为O；

2、作圆的两条互相垂直的直径AZ和XY；

3、作OY的中点M；

4、以点M为圆心，MA为半径作圆，交OX于点N；

5、以点A为圆心，AN为半径，在圆上连续截取等弧，使弦

AB=BC=CD=DE=AN，则五边形ABCDE即为正五边形。

以上两种图形的作法运用了所求图形边长与已知的线段长度的关系，用构造直角三角形的方法作出与所求图形的边长相等的线段，从而作出整

个图形，这是尺规作图中常用的一种方法——等线段法，即用已知图形的线段作出与所求图形边长相等的线段。

正多边形的尺规作图是大家感兴趣的．正三边形很好做；正四边形稍难一点；正六边形也很好做；正五边形就更难一点，但人们也找到了正五边形的直规作图方法．确实，有的困难一些，有的容易一些．正七边形的尺规作图是容易一些，还是困难一些呢？人们很久很久未找到作正七边形的办法，这一事实本身就说明作正七边形不容易；一直未找到这种作法，也使人怀疑：究竟用尺规能否作出正七边形来？数学不容许有这样的判断：至今一直没有人找到正七边形的尺规作图方法来，所以断言它是不能用尺规作出的．

人们迅速地解决了正三、四、五、六边形的尺规作图问题，却在正七边形面前止步了：究竟能作不能作，得不出结论来．这个悬案一直悬而未决两千余年．

17世纪的费马，就是我们在前面已两次提到了的那个法国业余数学家，他研究了形如

Fi （i为右下角标）＝22i（底数2指数2的i次幂）＋1 的数．

费马的一个著名猜想是，当n≥3时，不定方程xn＋yn＝zn没有正整数解．现在他又猜测Fi都是素数，对于i＝0，1，2，3，4时，容易算出来相应的Fi：

F0＝3，F1＝5，F2＝17，

F3=257，F4=65 537

验证一下，这五个数的确是素数．F5=225+1是否素数呢？仅这么

一个问题就差不多一百年之后才有了一个结论，伟大的欧拉发现它竟不是素数，因而，伟大的费马这回可是猜错了！F5是两素数之积：

F5＝641×6 700 417．

当然，这一事例多少也说明：判断一个较大的数是否素数也决不是件简单的事，不然，何以需要等近百年？何以需要欧拉这样的人来解决问题？

更奇怪的是，不仅F5不是素数，F6，F7也不是素数，F8，F9，F10，F11等还不是素数，甚至，对于F14也能判断它不是素数，但是它的任何真因数还不知道．至今，人们还只知F0，F1，F2，F3，F4这样5个数是素数．由于除此而外还未发现其他素数，于是人们产生了一个与费马的猜想大相径庭的猜想，形如22i＋1的素数只有有限个．但对此也未能加以证明．

当然，形如Fi=22i+1的素数被称为费马素数．由于素数分解的艰难，不仅对形如Fi=22i+1的数的一般结论很难做出，而且具体分解某个Fi也不是一件简单的事．

更加令人惊奇的事情发生在距欧拉发现F5不是素数之后的60多年，一位德国数学家高斯，在他仅20岁左右之时发现，当正多边形的边数是费马素数时是可以尺规作图的，他发现了更一般的结论：正n边形可尺规作图的充分且必要的条件是

n=2k（2的k次幂）或2k×p1×p2×…×ps，（1，2…s为右下角标）其中，p1，p2，…，ps是费马素数．

正7边形可否尺规作图呢？否！因为7是素数，但不是费马素数．

倒是正17边形可尺规作图，高斯最初的一项成就就是作出了正17边形．根据高斯的理论，还有一位德国格丁根大学教授作了正257边形．就这样，一个悬而未决两千余年的古老几何问题得到了圆满的解决，而这一问题解决的过程是如此的蹊跷，它竟与一个没有猜对的猜想相关连．

正17边形被用最简单的圆规和直尺作出来了，而正多边形可以换个角度被视为是对圆的等分，那么这也相当于仅用圆规和直尺对圆作了17等分，其图形更觉完美、好看．高斯本人对此也颇为欣赏，由此引导他走上数学道路(他早期曾在语言学与数学之间犹豫过)，而且在他逝后的墓碑上就镌刻着一个正17边形图案．

高斯把问题是解决得如此彻底，以致有了高斯的定理，我们对于早已知道如何具体作图的正三边形、正五边形，还进而知道了它们为什么能用尺规作图，就因为3和5都是费马素数(3=F0，5＝F1)；对于很久以来未找到办法来作出的正七边形，乃至于正11边形、正 13边形，现在我们能有把握地说，它们不可能由尺规作图，因为7、11、13都不是费马素数；对于正257边形、正65 537边形，即使我们不知道具体如何作，可是理论上我们已经知道它们是可尺规作图的；此外，为什么正四边形、正六边形可尺规作图呢？因为4＝22，因为6= 2· 3而 3=F0．

2018中考尺规作图、定义、命题、定理真题

尺规作图、定义、命题、定理参考答案与试题解析一．选择题（共18小题） 1．（2018?嘉兴）用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是（） A． B．C．D．【分析】根据菱形的判定和作图根据解答即可．【解答】解：A、作图根据由作图可知，AC⊥BD，且平分BD，即对角线平分且垂直的四边形是菱形，正确； B、由作图可知AB=BC，AD=AB，即四边相等的四边形是菱形，正确； C、由作图可知AB=DC，AD=BC，只能得出ABCD是平行四边形，错误； D、由作图可知对角线AC平分对角，可以得出是菱形，正确；故选：C． 2．（2018?襄阳）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（） A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm 【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．【解答】解：∵DE垂直平分线段AC， ∴DA=DC，AE=EC=6cm，

∵AB+AD+BD=13cm， ∴AB+BD+DC=13cm， ∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm，故选：B． 3．（2018?湖州）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣： ①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点； ②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点； ③连结OG．问：OG的长是多少？大臣给出的正确答案应是（） A．r B．（1+）r C．（1+）r D．r 【分析】如图连接CD，AC，DG，AG．在直角三角形即可解决问题；【解答】解：如图连接CD，AC，DG，AG． ∵AD是⊙O直径， ∴∠ACD=90°，在Rt△ACD中，AD=2r，∠DAC=30°，

尺规作图典型例题

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典型例题例1 、求作等腰直角三角形，使它的斜边等于已知线段已知：线段求作：，使∠A＝90°，AB＝AC，BC＝分析：由于等腰直角三角形比较特殊，内角依次为45°，45°，90°，故有如下几种作法：作法一：1、作线段BC＝ 2、分别过点B、C作BD、CE垂直于BC 3、分别作∠DBC、∠ECB的平分线，交于A点即为所求作法二：作线段BC＝ 2、作∠MBC＝45° 3、作∠NCB＝∠MBC，CN与BM交于A点即为所求作法三：1、作线段BC＝

2、作∠MBC＝45° 3、过C作CE⊥BM于A 即为所求作法四：1、作线段BC＝ 2、作BC的中垂线，交BC于O点 3、在OM上截取OA＝OB，连结AB，AC 即为所求说明：几种作法中都是以五种基本作图为基础，不要求写出基本作图的作法和证明。例2、已知三角形的两边和其中一边上的中线长，求作这个三角形. 已知：线段a、b为两边，m为边长b的中线求作：，使BC=a，AC=b，且AM=MC，BM=m. 分析：先画草图，假定为所求的三角形，则有BC=a，AC=b，设M为AC边的中点，则MB=m,而，故的三边为已知作出，然后再作出 . 作法：（1）作，使BC=a，，MB=m；（2）延长线段CM至A，使MA=CM;

（3）连接BA，则为所求作的三角形. 小结：本题的突破口是找与所求的的关系.由于的三边已知，故即可顺利作出. 例3、如图，A、B、C三点表示三个村庄，为解决村民就近入学问题，计划新建一所小学，要使学校到这三个村庄的距离相等，请你在图中用尺规确定学校的位置P. 分析：分两步：先作到A、B两点距离相等的点的图形，再作到B、C两点等距离的点的图形，两图形的交点，这就是所求作的点. 作法：（1）连结AB，做线段AB的垂直平分线DE；（2）连结BC，作线段BC的垂直平分线FG，交DE与点P. 则点P为所求作的学校位置. 小结：由于不能直接确定到三点距离相等的点的位置，可以分解为先求到A，B相等的所有点，再求作到B，C相等的所有点，交点即所求. 扩展资料三大几何作图问题三大几何作图问题是：倍立方、化圆为方和三等分任意角。由于限制了只能使用直尺和圆规，使问题变得难以解决并富有理论魁力，刺激了许多学者投身研究。早期对化圆为方作出贡献的有安纳萨戈拉斯（Anaxagoras，约500B.C.～428B.C.），希波克拉底（Hippocrates of chios，前5世纪下半叶）、安蒂丰（Antiphon，约480B.C.～411B.C.）和希比亚斯（Hippias of Elis，400B.C.左右）等人；从事倍立方问

正五边形尺规作图的画法及其他(精品)

正五边形尺规作图的画法及其他正五边形的画法第一种：圆内接正五边形的画法如下: 1、作一个圆，设它的圆心为O； 2、作圆的两条互相垂直的直径AZ和XY； 3、作OY的中点M； 4、以点M为圆心，MA为半径作圆，交OX于点N； 5、以点A为圆心，AN为半径，在圆上连续截取等弧，使弦 AB=BC=CD=DE=AN，则五边形ABCDE即为正五边形。第二种作法： 1. 以O为圆心，半径长为R画圆，并作互相垂直的直径MN和AP； 2. 平分半径OM于K，得OK=KM； 3. 以K为圆心，KA为半径画弧与ON交于H，AH即为正五边形的边长； 4. 以AH为弦长，在圆周上截得A、B、C、D、E各点，顺次连结这些点。五边形ABCDE 即为所求。

第三种：圆内接正五边形的画法如下: 1、作一个圆，设它的圆心为O； 2、作圆的两条互相垂直的直径AZ和XY； 3、作OY的中点M； 4、以点M为圆心，MA为半径作圆，交OX于点N； 5、以点A为圆心，AN为半径，在圆上连续截取等弧，使弦 AB=BC=CD=DE=AN，则五边形ABCDE即为正五边形。以上两种图形的作法运用了所求图形边长与已知的线段长度的关系，用构造直角三角形的方法作出与所求图形的边长相等的线段，从而作出整

个图形，这是尺规作图中常用的一种方法——等线段法，即用已知图形的线段作出与所求图形边长相等的线段。正多边形的尺规作图是大家感兴趣的．正三边形很好做；正四边形稍难一点；正六边形也很好做；正五边形就更难一点，但人们也找到了正五边形的直规作图方法．确实，有的困难一些，有的容易一些．正七边形的尺规作图是容易一些，还是困难一些呢？人们很久很久未找到作正七边形的办法，这一事实本身就说明作正七边形不容易；一直未找到这种作法，也使人怀疑：究竟用尺规能否作出正七边形来？数学不容许有这样的判断：至今一直没有人找到正七边形的尺规作图方法来，所以断言它是不能用尺规作出的．人们迅速地解决了正三、四、五、六边形的尺规作图问题，却在正七边形面前止步了：究竟能作不能作，得不出结论来．这个悬案一直悬而未决两千余年． 17世纪的费马，就是我们在前面已两次提到了的那个法国业余数学家，他研究了形如 Fi （i为右下角标）＝22i（底数2指数2的i次幂）＋1 的数．费马的一个著名猜想是，当n≥3时，不定方程xn＋yn＝zn没有正整数解．现在他又猜测Fi都是素数，对于i＝0，1，2，3，4时，容易算出来相应的Fi： F0＝3，F1＝5，F2＝17， F3=257，F4=65 537 验证一下，这五个数的确是素数．F5=225+1是否素数呢？仅这么

尺规作图类型题目以及全等三角形的几个证明

尺规作图类型讲解题目一：作一条线段等于已知线段。已知：如图，线段a . 求作：线段AB，使AB = a . 作法：（1）作射线AP；（2）在射线AP上截取AB=a . 则线段AB就是所求作的图形。题目二：作已知线段的中点。已知：如图，线段MN. 求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）. 作法：（１）分别以M、N为圆心，大于的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q；（２）连接PQ交MN于O．则点O就是所求作的ＭＮ的中点。（试问：PQ与ＭＮ有何关系？）（怎样作线段的垂直平分线？）题目三：作已知角的角平分线。已知：如图，∠AOB，求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。作法：（1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB于M，N；（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；（3）作射线OP。则射线OP就是∠AOB的角平分线。题目四：作一个角等于已知角。（请自己写出“已知”“求作”并作出图形，不写作法）题目五：已知三边作三角形。已知：如图，线段a，b，c. 求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a. 作法：（1）作线段AB = c；（2）以A为圆心b为半径作弧，以B为圆心a为半径作弧与前弧相交于C；（3）连接AC，BC。

则△ABC就是所求作的三角形。题目六：已知两边及夹角作三角形。已知：如图，线段m，n, ∠α. 求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n. 作法：（1）作∠A=∠α；（2）在AB上截取AB=m ,AC=n；（3）连接BC。则△ABC就是所求作的三角形。题目七：已知两角及夹边作三角形。已知：如图，∠α，∠β，线段m . 求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=m. 作法：（1）作线段AB=m；（2）在AB的同旁作∠A=∠α，作∠B=∠β， ∠A与∠B的另一边相交于C。则△ABC就是所求作的图形（三角形）。

尺规作图的意义

尺规作图的意义初等几何中，所接触到的问题主要有两类：一类是先假设给出合乎一定条件的图形，然后研究这个图形有些什么性质，证明题、计算题即属于这一类；另一类是预先给出一些条件，要求作出具备这些条件的图形，这便是作图题.按照一定方法作出所求图形的过程，叫做解作图题.作图的方法，自然是和作图的工具有关的.古希腊以来，平面几何中的作图工具习惯上限用直尺和圆规两种.其中，直尺假定直而且长，但上面无任何刻度，圆规则假定其两腿足够长并能开闭自如.作图工具的这种限制，最先大概是恩诺皮德斯(Oenopides，约公元前465年)提出的，以后又经过柏拉图(Plato，公元前427—347)大力提倡.柏拉图非常重视数学，强调学习几何对训练逻辑思维能力的特殊作用，主张对作图工具要有限制，反对使用其他机械工具作图.之后，欧几里得(Euclid，约公元前330—275)又把它总结在《几何原本》一书中.于是，限用尺规进行作图就成为古希腊几何学的金科玉律. 其实，作图工具的这种限制并非个别人的癖好和主观旨意，主要有下面两方面的原因. 1.和研究的对象有关，因为初等平面几何研究的对象，只限于直线、圆以及由它们(或其一部分)所组成的图形.有了直尺和圆规这两种作图工具，直线和圆都已可作出，自然无需再增加别的工具. 2.和公理系统有关.在欧几里得几何中，从最少的基本假设(定义、公理、公设)出发，通过逻辑推理，得出尽可能多的命题，这里，关于作图题的结论是和几何证明、几何计算的结论相当的，欧几里得公理系统里的几条公设也就决定了只能是限用尺规作图.并且，凡能作出的图形都在欧几里得几何里加以研究；凡研究其性质的图形也必可用尺规来作出. 确定了作图工具后，还要明确允许怎样使用这两种工具.就是说，直尺和圆规具有什么功能？为此，在平面几何里约定，利用直尺和圆规可以并且只能完成如下几个认可的简单作图： 1．通过两个已知点可以作一条直线(欧几里得几何公理系统中的五条公设之一)； 2．以一个已知点为圆心，以某一已知距离为半径，可以作一个圆(欧几里得几何公理系统中的五条公设之一)； 3．两已知直线，一已知直线和一已知圆，或两已知圆，如其相交，可确定其交点. 此外还附加一个规约：在已知直线上或直线外，已知圆周上或圆内(外)，均可任意取点，但所取的点不得附加其余任何特殊性质. 上面1．—3．条叫做作图公法，用以指明尺规作图的可能范围. 所谓利用直尺和圆规来完成一个作图题，就是指上述作图公法所确定的三种简单作图的有限次的组合. 能有限次地进行作图公法所确定的三种简单作图，从而最终可以得到给定条件的图形，这一类作图题称为尺规作图可能问题.反之，凡有限次地进行作图公法所确定的三种简单作图肯定不能得到给定条件的图形，这一类作图题就称尺规作图不能问题. 下面通过几个例子，从正、反两个方面来加深理解尺规作图的意义. [例1]已知∠AOB，求作射线OS，使∠AOS=∠SOB.

正n边形的画法

正四边形的画法正四边形:过任意两点AB作直线,在直线上截取AC,分别以A、C为圆心，AC、CA为半径作圆，作以A、C为顶点的两个平角的角平分线（作直角或垂直的方法），分别交⊙A于D、E，交⊙C于F、G，连接DF、EG，则四边形ABFD ABGE为所求作正四边形。正五边形的画法正五边形：作直线AB，截取线段AB，作BC⊥BA，且AB=2BC（作AB的垂直平分线），连接AC。以C为圆心，BC为半径作圆交AC于P，再以A为圆心，AP为半径作圆，交AB于M。以M为圆心，MB为半径作圆交AB的垂直平分线于D，以A、D为圆心，AD、AB为半径作圆交于一点E，以B、D为圆心，BD、AB为半径作圆交于一点F。连接AD、BD、AE、BF、EF。则五边形ADBFE 为正五边形。一先画个圆 2 在画出这个圆的一对成直角的直径 3 随便选你画的直径上你任何一个半径，找到它的中点 4 用圆规以这个你找的中点为一点，量出与你找中点所在半径所垂直的半径与圆的边的交点的长度 5 保持这个长度 6 以你所找的中点为圆心，以你找的长度画圆 7 我们就可以看见中点所在的直径上有有了一个点 8 找到新的点，还是用圆规量出与你点所在半径垂直的半径与圆边的交点的距离 9 保持这个距离在圆的边上找一点，画个圆，得到3个点，在分别用其他两个点画园，又可以得到两个点 11 连接5个点正六边形的画法正六边形：作⊙O，及过O点作直线AB，交⊙O于A、B。分别以A、B为圆心，AO、BO 为半径作圆交⊙O于C、D、E、F（C、E在AB同侧），连接AC、AD、BE、BF、CD、EF，则六边形ACEBFD为所求作正六边形。

第12讲尺规作图、命题与证明-2020中考数学全覆盖总复习硬核精华16讲(原卷版)

2020中考数学总复习模块四图形的性质(6)st

知识点8：尺规作图真题/典题/热点/重点/易错点掌握1．下列关于几何画图的语句，正确的是() A．延长射线AB到点C，使2 BC AB = B．点P在线段AB上，点Q在直线AB的反向延长线上 C．将射线OA绕点O旋转，当终止位置OB与起始位置OA成一条直线时形成平角 D．已知线段a、b，若在同一直线上作线段AB a =，BC b =，则线段AC a b =+ 2．（2020?河南模拟）如图，在Rt ABC ?中，90 ABC ∠=?，分别以点A和点B为圆心，大于1 2 AB长为半径作弧相交于点D和点E，直线DE交AC于点F，交AB于点G，若3 BF=，2 AG=，则( BC=) A．5B．43C．25D．213 3．下列说法正确的是() A．用直尺和圆规作一条线段的垂直平分线的过程，是用“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上” B．用直尺和圆规作一个角的平分线的过程，是用“边角边”构造了全等三角形 C．用直尺和圆规作一个角的平分线的过程，是用“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上” D．用直尺和圆规作一个角等于已知角的过程，是用“边角边”构造了全等三角形 4．下面是小明设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．如图，已知钝角ABC ?，依下列步骤用尺规作图，并保留作图痕迹．步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；步骤3：连接AD，交BC延长线于点H，则AH即为所求．作图依据：．

5．如图，利用尺规，在ABC ∠=∠，在射线AE上截取AD BC ?的边AC上方作CAE ACB =，连接CD，并证明：// CD AB（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法） 6．（2020?南昌模拟）（1）如图1:ABC ?是O的内接三角形，OD BC ⊥于点D．请仅用无刻度的直尺，画出ABC ?中BAC ∠的平分线．（保留作图痕迹，不写作法）．（2）如图2:O为ABC ?的外接圆，BC是非直径的弦，D是BC的中点，连接OD，E是弦AB上一点，且// ?的内心I．（保留作图痕迹，不写作法）．DE AC，请仅用无刻度的直尺，确定出ABC 7．如图，ABC ?中，AB AC =．按要求解答下面问题：（1）尺规作图：（保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） ①作BAC ∠的平分线AD交BC于点D； ②作边AB的垂直平分线EF，EF与AD相交于点P； ③连结PB、PC．（2）根据（1）中作出的正确图形，写出三条线段PA、PB、PC之间的数量关系． 8．（2019?江西）在ABC ?中，AB AC =，点A在以BC为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列

几何作图的方法(含六边形画法等)

六、几何作图 1、正六边形的画法绘制正六边形，一般利用正六边形的边长外接圆半径的原理，绘制步骤如图1-14所示。图1-14 正六边形画法 2、正五边形的画法 1．已知正五边形的边长AB，绘制正五边形的方法如图1-15所示。 (1)分别以A、B为圆心，AB为半径画弧，与AB的中垂线交于K； (2)在中垂线上自K向上取CK＝2AB/3，得到C点； (3)以C点为圆心，AB为半径画圆弧与前面所画两段圆弧相交于D、E点，即可得到正五边形的五个顶点。图1-15 已知边长画正五边形 2．已知外接圆直径，绘制正五边形的方法。 (1)取半径的中点K； (2)以K点为圆心，KA为半径画圆弧得到C点； (3)AC即为正五边形边长，等分圆周得到五个顶点。 3、斜度与锥度 1．斜度斜度是指一直线或平面对另一直线或平面的倾斜程度。工程上用直角三角形对边与邻边的比值来表示，并固定把比例前项化为1而写成1 : n的形式，如图1-17(a)所示。若已知直线段AC的斜度为1 : 5，其作图方法如图1-16所示。

图1-16斜度的画法 2．锥度锥度是指圆锥的底圆直径D与高度H之比，通常，锥度也要写成1 : n的形式。锥度的作图方法如图1-17所示。图1-17 锥度的画法 4、圆弧连接圆弧与圆弧的光滑连接，关键在于正确找出连接圆弧的圆心以及切点的位置。由初等几何知识可知：当两圆弧以内切方式相连接时，连接弧的圆心要用R－R0来确定；当两圆弧以外切方式相连接时，连接弧的圆心要用R＋R0来确定。用仪器绘图时，各种圆弧连接的画法如图1-18所示。这些作图方法在计算机绘图中实现起来既准确又快捷，充分体现了计算机高速和精确的特点。 (a)用圆弧连接两已知直线 (b) 用圆弧连接直线和圆弧 (c)与两圆弧外切的画法 (d)与两圆弧内切的画法

第12讲尺规作图、命题与证明-2020中考数学全覆盖总复习硬核精华16讲(解析版)

2020中考数学总复习模块四图形的性质(6)TH

知识点8：尺规作图真题/典题/热点/重点/易错点掌握1．（2019秋?番禺区期末）下列关于几何画图的语句，正确的是() A．延长射线AB到点C，使2 BC AB = B．点P在线段AB上，点Q在直线AB的反向延长线上 C．将射线OA绕点O旋转，当终止位置OB与起始位置OA成一条直线时形成平角 D．已知线段a、b，若在同一直线上作线段AB a =，BC b =，则线段AC a b =+ 【解答】解：A．延长射线AB到点C，使2 BC AB =，因为射线不能延长，所以A选项错误，不符合题意； B．因为直线不能反向延长，所以B选项错误，不符合题意； C．将射线OA绕点O旋转，当终止位置OB与起始位置OA成一条直线时形成平角． C选项正确，符号题意； D．已知线段a、b，若在同一直线上作线段AB a =，BC b =，则线段AC a b =+或a b =-．所以D选项错误，不符合题意．故选：C． 2．（2020?河南模拟）如图，在Rt ABC ?中，90 ABC ∠=?，分别以点A和点B为圆心，大于1 2 AB长为半径作弧相交于点D和点E，直线DE交AC于点F，交AB于点G，若3 BF=，2 AG=，则( BC=) A．5B．43C．25D．213 【解答】解：由作法得GF垂直平分AB， FB FA ∴=，2 AG BG ==， FBA A ∴∠=∠， 90 ABC ∠=?， 90 A C ∴∠+∠=?， 90 FBA FBC ∠+∠=?， C FBC ∴∠=∠， FC FB ∴=， 3 FB FA FC ∴===， 6 AC ∴=，4 AB=， 2222 6425 BC AC AB ∴=-- 故选：C．

中考复习模拟试题集锦——命题与证明

命题与证明 1、如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠= ，3AB =，4AC =，将ABC △沿直线BC 向右平移 2.5个单位得到DEF △，连结AD AE ，，则下列结论：①AD BE ∥，②ABE DEF ∠=∠，③ED AC ⊥，④ADE △为等腰三角形，正确．．的有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案：D 2、如图，在矩形ABCD 中，有一个菱形BFDE （点E 、F 分别在线段AB 、CD 上），记它们的面积分别为ABCD S 和BFDE S . 现给出下列命题： ①若 ABCD BFDE S S = ，则tan EDF ∠=；②若2 ·DE BD EF =，则DF ＝2AD . 那么，下面判断正确的是（） A ．①是真命题，②是真命题 B ．①是真命题，②是假命题 C ．①是假命题，②是真命题 D ．①假真命题，②假真命题答案：A 3、数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P 所表示的数是 2 ”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（） A ．代入法 B ．换元法 C ．数形结合 D ．分类讨论答案： C 4.已知下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②等腰梯形的对角线相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④内错角相等．其中假命题有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ． 3个 D ．4个第10题图

答案：B 二、解答题 1、已知二次函数25y x kx k =-+-． ⑴求证：无论k 取何实数，此二次函数的图像与x 轴都有两个交点； ⑵若此二次函数图像的对称轴为1x =，求它的解析式；答案（1）证明：令y =0, 则 052=-+-k kx x , ∵△= )5(42--k k =2042 +-k k = 16)2(2 +-k ∵2 )2(-k ≥0, ∴ 16)2(2+-k ＞0 ∴无论k 取何实数，此二次函数的图像与x 轴都有两个交点. -------------4分 (2).∵对称轴为x =12 2==-- k k ， ∴k =2 ∴解析式为322 --=x x y ---------7分： 2、（本题满分10分）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．（1）如图1，损矩形ABCD ，∠ABC =∠ADC =90°，则该损矩形的直径是线段．（2）在线段AC 上确定一点P ，使损矩形的四个顶点都在以P 为圆心的同一圆上(即损矩形的四个顶点在同一个圆上)，请作出这个圆，并说明你的理由. 友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．（3）如图2，，△ABC 中，∠ABC ＝90°，以AC 为一边向形外作菱形ACEF ，D 为菱形ACEF 的中心，连结BD ，当BD 平分∠ABC 时，判断四边形ACEF 为何种特殊的四边形？请说明理由．若此时AB ＝3，BD ＝BC 的长．答案：（1）该损矩形的直径是线段AC ……1分（2）取AC 中点O ，以O 为圆心、 1 2 AC 为半径作圆……3分 E F D A

几何证明基础

几何证明基础第一部分：命题的四种形式一、命题的定义：判断一件事情的句子叫做命题。二、命题的结构：命题=条件（题设）+结论三、命题的基本表述方式：四、命题的分类五、命题的四种形式: 【注】1、“互逆”和“互否”的命题不一定同“真”或同“假” ； 2、“互为逆否”的两个命题必同“真”或同“假” 。第二部分：证明的基本常识一、证明的意义必要性（仅凭观察、猜测、度量都是不够的）二、证明的定义：陈述某一判断的充足理由的思维形式，即用已知的真实的理由推出一个判断的真实性。三、证明的结构和要求真实性待证明的判断，又叫待证命题。证明的依据和理由。利用论据来证明论题的推理过程。论据充分层次分明步骤完整论题要明确论题必须始终如一（偷换概念）论据必须真实（虚假理由，予期理由）论据必须能推出论题（不能推证，不能推出）论据不能靠论题论证（循环论证）五、证明的依据主要有：定义、公理、定理及其推论、已知条件、己证明的结论、等量性质、等式（不等式）性质等 3. 依题意和图形，写岀“已知”，“求证” 4. 分析题意，探索证明思路和方法 5. 依思路运用数学符号和语言有条理地写岀证明的过程。 6. 检查表达过程是否正确，完善。七、证明方法 1证明的入手方式/ 六、证明的一般步骤 1. 理解题意 2. 依题意画出正确的图形 1、“如果一一那么 2、“若__则 3、“已知一一求（证）一一”等形式。命题真命题假命题公理 *産理（正确的命题）（错误的命题） 1、证明结构包括：广①论题: 2、证明的基本要求：四、证明的规则： A. B. 2 C. D. y 互逆

正多边形的画法

正三角形的画法第一步：用圆规画一个圆，第二步：半径不变，把圆规的针脚放在圆周上任意一点P画弧与圆交于两点A、B，第三步：半径不变，把圆规的针脚放放在点A处再画画弧与圆交于两点P、Q(P是第二步中的P)，第四步：以A、B、Q为顶点作△ABQ，则△ABQ即为圆内接等边△。正四边形的画法取已知圆O上任一点A，以A为一个分点把⊙O六等分，分点依次为A、B、C、D、E、F。分别以A、D为圆心，AC、BD为半径作圆交于G，以A为圆心，OG为半径作圆，交⊙O 于M、N，则A、M、D、N即四等分⊙O的圆周。其中的把⊙O六等分,是取AB=AO(因为是等边三角形),以此类推,可得到六等分点可参考图片正五边形的画法 ①以O为圆心，r为半径画圆，并作互相垂直的直径MN和AP。 ②平分半径ON，得OK=KN。

③以K为圆心，KA为半径画弧与OM交于H，AH即为正五边形的边长。 ④以AH为弦长，在圆周上截得A、B、C、D、E点，正七变形的画法 ①以定长R为半径作圆，并过圆心O作互相垂直的纵横两条直径MN、HP. ②过N点任作一射线NS，用圆规取七等分，把端点T与M连结起来，然后过NT上的各点推出MT 的平行线，把MN七等分. ③以M为圆心，MN为半径画弧，和PH的延长线相交于K点，从K向MN上各分点中的偶数点或奇数点（图中是1、3、5、7各点）引射线，与交于A、B、C、M. 再分别以AB、BC、 CM为边长，在圆周上从A点（或M点）开始各截一次，得到其他三点，把这些点依次连结起来，即得近似的正七边形. 正八边形的画法

正九边形的画法内接9边形画法：先画一个圆。再画两个相互颠倒的内接等边三角形。再把6角星的对角两两相连。得到6个与两个等边三角形的底边的6个交点。选择每一个交点为圆心，到圆内部正六边形的底边的任意一端点的距离为半径，画圆，与大圆产生2个交点。把所有交点画出来再相连，就得到正九边形。

五边形、六边形、椭圆几何作图的方法

几何作图 1、正六边形的画法绘制正六边形，一般利用正六边形的边长外接圆半径的原理，绘制步骤如图1-14所示。图1-14 正六边形画法 2、正五边形的画法 1．已知正五边形的边长AB，绘制正五边形的方法如图1-15所示。 (1)分别以A、B为圆心，AB为半径画弧，与AB的中垂线交于K； (2)在中垂线上自K向上取CK＝2AB/3，得到C点； (3)以C点为圆心，AB为半径画圆弧与前面所画两段圆弧相交于D、E点，即可得到正五边形的五个顶点。图1-15 已知边长画正五边形 2．已知外接圆直径，绘制正五边形的方法。 (1)取半径的中点K； (2)以K点为圆心，KA为半径画圆弧得到C点； (3)AC即为正五边形边长，等分圆周得到五个顶点。 3、斜度与锥度 1．斜度斜度是指一直线或平面对另一直线或平面的倾斜程度。工程上用直角三角形对边与邻边的比值来表示，并固定把比例前项化为1而写成1 : n的形式，如图1-17(a)所示。若已知直线段AC的斜度为1 : 5，其作图方法如图1-16所示。

圆内接正五边形的作法

圆内接正五边形作法 : (1) 作⊙O 的互相垂直的直径AQ 、FG 。 (2) 以OQ 中点M 为心，MF 为半径作圆与AO 交于N 。 (3) 以Q 为心，QN 为半径作圆交⊙O 于B 、E ，则AB 、AE 为⊙O 内接正五边形边长。 (4) 分别以B 、E 为心，以AB = AE 为半径作弧交⊙O 于C 、D ，则ABCDE 是圆内接正五边形。证明：连结EQ 设OF ＝R ∵M 是OQ 中点 ∴OM ＝ 2 R ∴MF ＝R R R 25)2(22=+ ∵MN ＝MF ∴MN ＝R 2 5 ∴QN ＝R 2 15EQ 215225＋＝ ∴+=+R R R ∵AQ ＝2R ∴AE ＝R 2 5210R 45210R 45264R EQ AQ 22222－＝－＝＋－＝－

如图（2） ABCDE 半径为R 的圆内接正五边形，作OG ⊥AB 交⊙O 于G ，连结BG 、作∠OBG 平分线交OG 于H ∵∠AOB ＝?725 360＝ ∵OA ＝OB OG ⊥AB ∴∠BOG ＝36° ∴∠OBG ＝∠OGB ＝72° ∴∠GBH ＝∠OBH ＝36° ∴∠GBH ＝∠BOG ∴ΔBGH ∽ΔOGB ∴GH OG BG 2?=＝ BG GH OG BG ∵∠OBH ＝∠BOG ＝36° ∴OH ＝BH ∴BG 2＝R （R －OH ）＝R （R －BG ） ∴BG 2＋BGR －R 2＝0 ∴BG ＝2R 5±R ∴BG ＝R 2 15）－（ ∵OG ⊥AB ∠OGB ＝72° ∴∠GBA ＝18° ∴∠HBA ＝18° ∴∠GM ＝HM ∴GH ＝R －OH ＝R －BG ＝R － R R 253215-=- ∴GM ＝R 4 5210R 453R 215BM 45322－＝）－－（）－（＝ ∴-R ∴AB ＝2BM ＝ R 25210－故图（1）中AE 与图（2）中AB 相等，且半径都为R ，故AE 为正五边形边长