信号与系统课后习题答案-第1章

第1章 习题答案

1－1 题1－1图所示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？

解： ① 连续信号：图（a ）、（c ）、（d ）； ② 离散信号：图（b ）； ③ 周期信号：图（d ）；

④ 非周期信号：图（a ）、（b ）、（c ）； ⑤有始信号：图（a ）、（b ）、（c ）。

1－2 已知某系统的输入f(t)与输出y(t)的关系为y(t)=|f(t)|，试判定该系统是否为线性时不变系统。

解： 设T 为此系统的运算子，由已知条件可知： y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，以下分别判定此系统的线性和时不变性。 ① 线性

1）可加性

不失一般性，设f(t)=f 1(t)+f 2(t)，则

y 1(t)=T[f 1(t)]=|f 1(t)|，y 2(t)=T[f 2(t)]=|f 2(t)|，y(t)=T[f(t)]=T[f 1(t)+f 2(t)]=|f 1(t)+f 2(t)|，而

|f 1(t)|＋|f 2(t)|≠|f 1(t)+f 2(t)|

即在f 1(t)→y 1(t)、f 2(t)→y 2(t)前提下，不存在f 1(t)＋f 2(t)→y 1(t)＋y 2(t)，因此系统不具备可加性。 由此，即足以判定此系统为一非线性系统，而不需在判定系统是否具备齐次性特性。

2）齐次性

由已知条件，y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，则T[af(t)]=|af(t)|≠a|f(t)|=ay(t) （其中a 为任一常数）

即在f(t)→y(t)前提下，不存在af(t)→ay(t),此系统不具备齐次性，由此亦可判定此系统为一非线性系统。 ② 时不变特性

由已知条件y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，则y(t-t 0)=T[f(t-t 0)]=|f(t-t 0)|，

即由f(t)→y(t)，可推出f(t-t 0)→y(t-t 0)，因此，此系统具备时不变特性。

依据上述①、②两点，可判定此系统为一非线性时不变系统。

1－3 判定下列方程所表示系统的性质：

)()()]([)()(3)(2)(2)()()2()()(3)(2)()()()()()

(2''''''''0t f t y t y d t f t y t ty t y c t f t f t y t y t y b dx x f dt t df t y a t =+=++-+=+++=?

解：（a ）① 线性

1）可加性

由 ?+=t dx x f dt t df t y 0)()()(可得?????→+=→+=??t t t y t f dx x f dt t df t y t y t f dx

x f dt t df t y 01122011111)()()()()()()()()()(即即 则

???+++=+++=+t t t dx x f x f t f t f dt

d dx x f dt t df dx x f dt t df t y t y 0212102201121)]()([)]()([)()()()()()( 即在)()()()()()()()(21212211t y t y t f t f t y t f t y t f ＋＋前提下，有、→→→，因此系统具备可加性。

2）齐次性

由)()(t y t f →即?+=t dx x f dt

t df t y 0)()()(，设a 为任一常数，可得 )(])()([)()()]([)]([000t ay dx x f dt

t df a dx x f a dt t df a dx x af t af dt d t t t =+=+=+???

即)()(t ay t af →，因此，此系统亦具备齐次性。

由上述1）、2）两点，可判定此系统为一线性系统。

② 时不变性

)()(t y t f → 具体表现为：?+=t dx x f dt

t df t y 0)()()( 将方程中得f(t)换成f(t-t 0）、y(t)换成y(t-t 0)（t 0为大于0的常数），

即 ?-+-=-t dx t x f dt

t t df t t y 0000)()()( 设τ=-0t x ，则τd dx =，因此?--+-=-00)()()(00t t t d f dt

t t df t t y ττ 也可写成?--+-=-00)()()(00t t t dx x f dt

t t df t t y ， 只有f(t)在t=0时接入系统，才存在)()(00t t y t t f -→-，当f(t)在t ≠0时接入系统，

不存在)()(00t t y t t f -→-，因此，此系统为一时变系统。

依据上述①、②，可判定此系统为一线性时变系统。

（b ）① 线性

1）可加性

在由

)2()()(3)(2)(''''-+=++t f t f t y t y t y 规定的)()(t y t f →对应关系的前提下，可得 )]

2()2([)]()([)]()([3)]()([2)]()([)2()()(3)(2)()2()()(3)(2)(21'2121'21''212'22'2''21'

11'1''1-+-++=+++++????-+=++-+=++t f t f t f t f t y t y t y t y t y t y t f t f t y t y t y t f t f t y t y t y

即由)()()()()()()()(21212211t y t y t f t f t y t f t y t f ＋＋可推出→??→??

??→→，系统满足可加性。 2）齐次性 由

)()(t y t f →，即)2()()(3)(2)(''''-+=++t f t f t y t y t y ，两边同时乘以常数a ，有 )]

2([)]([)]([3)]([2)]([)]

2()([)](3)(2)([''''''''-+=++?-+=++t af t af t ay t ay t ay t f t f a t y t y t y a 即)()(t ay t af →，因此，系统具备齐次性。

由1）、2）可判定此系统为一线性系统。

② 时不变性

分别将)()(00t t f t t y --和（t 0为大于0的常数）代入方程

)2()()(3)(2)(''''-+=++t f t f t y t y t y 左右两边，则

左边＝)(3)(2)(002

02t t y dt t t dy dt t t y d -+-+- )(3)()

(2)]()([)()2()(00000000t t y t t y t t d d t t y t t d d t t d d t t f dt t t df -+--+---=--+-右边＝ 而 ，)()()(000t t y dt d t t y t t d d -=-- )()]()([)(022

000t t y dt

d t t y t t d d t t d d -=--- 所以，右边＝)(3)(2)(002

02t t y dt t t dy dt t t y d -+-+-＝左边，故系统具备时不变特性。 依据上述①、②，可判定此系统为一线性时不变系统。

（c ）① 线性

1）可加性

在由式)(3)(2)(2)('''t f t y t ty t y =++规定的

)()(t y t f →对应关系的前提下，可得

)]

()([3)]()([2)]()([2)]()([)

(3)(3)(2)(2)(2)(2)()()(3)(2)(2)()(3)(2)(2)(2121'21''212121'2'1''2''122'2''211'1''1t f t f t y t y t y t y t t y t y t f t f t y t y t ty t ty t y t y t f t y t ty t y t f t y t ty t y ＋＋＋＋＋＋两式相加=+++??→?=+++???→????=++=++ 即在)()()()(2211t y t f t y t f →→、的前提下，有式)()()()(2121t y t y t f t f +→+存在，即系统满足可加性。

2）齐次性

由)()(t y t f →，即)(3)(2)(2)('''t f t y t ty t y =++，两边同时乘以常数a ，有

)]([3)]([2)]([2)]([)(3)(2)(2)(''''''t af t ay t ay t t ay t af t ay t aty t ay =++?=++，

即有 )()(t ay t af →，因此，系统具备齐次性。

依据上述1）、2），此系统为一线性系统。

② 时不变性

分别将)()(00t t f t t y --和 （t 0为大于0的常数）代入方程)(3)(2)(2)('

''t f t y t ty t y =++ 左右两边，则

)(2)(2)(00022t t y t t y dt d t t t y dt

d -+-+-左边＝ 右边＝右边＝≠-+--+-=-+---+---)(2)()(2)()(2)()()(2)()

()(3000022000002020t t y t t y dt d t t t t y dt d t t y t t y t t d d t t t t y t t d d t t f

因此，系统是时变的。

依据上述①、②，可判定此系统为一线性时变系统。

（d ）① 线性

1）可加性

在由式)()()]([2't f t y t y =+规定的

)()(t y t f →对应关系的前提下，可得 )()()()()]([)]([)()()]([)()()]([21212'22'1222'2112'1t f t f t y t y t y t y t f t y t y t f t y t y +=+++???→??

??=+=+两式相加 而不是：)]()([)]()([})]'()({[2121221t f t f t y t y t y t y +=+++

即在)()()()(2211t y t f t y t f →→、的前提下，并不存在)()()()(2121t y t y t f t f +→+ 因此系统不满足可加性，进而系统不具备线性特性。（下面的齐次性判定过程可省略）

2）齐次性

由)()(t y t f →，即)()()]([2't f t y t y =+，两边同时乘以常数a ，有

)()()]([2't af t ay t y a =+，即式)]([)]([})]({[2't af t ay t ay =+不成立，不存在)()(t ay t af → 因此，系统也不具备齐次性。

单独此结论，也可判定此系统为一非线性系统。

② 时不变性

分别将)()(00t t f t t y --和 （t 0为大于0的常数）代入方程)()()]([2

't f t y t y =+ 左右两边，则 )()]([020t t y t t y dt

d -+-左边＝ 右边＝右边＝=-+-=-+---)(])([)(])()([

)(02002000t t y dt t t dy t t y t t d t t dy t t f 即以式)()()]([2't f t y t y =+规定的)()(t y t f →关系为前提，存在)()(00t t y t t f -→-

因此，系统是非时变的。

依据上述①、②，可判定此系统为一线性时不变系统。

1－4 试证明方程)()()('t f t ay t y =+所描述的系统为线性系统。

[提示：根据线性的定义，证明满足可加性和齐次性。]

证明：1）证明齐次性

满足齐次性

即即两边同乘任意常数?→?→?→?=+?→?=+?????→?=+)()()

()]([)]([)

()]()([)()()('''t by t bf t bf t by a t by t bf t ay t y b t f t ay t y b 2）证明可加性

满足可加性

即即相加?→?+→+?→?+=+++?→?+=+++??→???????=+=+?→?=+)

()()()()()()]()([)]()([)

()()()()()()()()()()()()()()(21212121'21212'21'122'211'1'

t y t y t f t f t f t f t y t y a t y t y t f t f t ay t y t ay t y t f t ay t y t f t ay t y t f t ay t y

由以上1）、2），可知系统是线性的。

1－5 试证明题1－4的系统满足时不变性。[提示：将方程中的t 换为t-t 0,导出f(t-t 0)与y （t-t 0)对应。] 证明：

分别将)()(00t t f t t y --和 （t 0为大于0的常数）代入方程)()()('

t f t ay t y =+ 左右两边，则 )()(00t t ay t t y dt

d -+-左边＝ 右边＝

右边＝=-+-=-+---)()()()()()(000000t t ay dt t t dy t t ay t t d t t dy t t f 即以式)()()('t f t ay t y =+规定的)()(t y t f →关系为前提，存在)()(00t t y t t f -→-

因此，系统满足时不变性。

1－6 试一般性的证明线性时不变系统具有微分特性。[提示：利用时不变性和微分的定义推导。] 证明：

设线性时不变系统的激励与响应的对应关系为

)()(t y t f →，则

（时不变性）)()(t t y t t f ?-→?- 由线性可加性可得 )()()()(t t y t y t t f t f ?--→?--

因此 t

t t y t y t t t f t f ??--→??--)()()()( 所以 t t t y t y t t t f t f t t ??--→??--→?→?)()()()(lim lim 0