(完整word版)高考数学数列题型之等差数列与等比数列综合题

等差数列与等比数列综合题

例 已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n =

2

11

n a -(n ∈N *

)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有

11

27

21026a d a d +=??

+=?，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（

；n S =n(n-1)

3n+22

?=2n +2n 。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n =

211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)?=111

(-)4n n+1

?，

所以n T =

111111(1-+++-)4223n n+1?-L =11

(1-)=

4n+1?n 4(n+1)

， 即数列{}n b 的前n 项和n T =

n

4(n+1)

。

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。

例 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*

n N ∈，其中k 是常数．

（I ） 求1a 及n a ；

（II ）若对于任意的*

m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值． 解（Ⅰ）当1,111+===k S a n ，

12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*）

经验，,1=n （*）式成立， 12+-=∴k kn a n （Ⅱ）m m m a a a 42,,Θ成等比数列，m m m a a a 42

2.=∴，

即)18)(12()14(2

+-+-=+-k km k km k km ，整理得：0)1(=-k mk ， 对任意的*∈N m 成立， 10==∴k k 或

例 等比数列{n a }的前n 项和为n s ，已知1S ,3S ,2S 成等差数列 （1）求{n a }的公比q ；

（2）求1a －3a ＝3，求n s 解：（Ⅰ）依题意有

)(2)(2111111q a q a a q a a a ++=++

由于 01≠a ，故 022

=+q q

又0≠q ，从而2

1

－=q 5分 （Ⅱ）由已知可得32

12

11=--）（a a 故41=a

从而）

）（（）

（）

）（（n n

n 211382

112114--=----=S 10分 例 已知数列{}n a 满足， *1

1212,,2

n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝＝.

()I 令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列；

(Ⅱ)求{}n a 的通项公式。 （1）证1211,b a a =-= 当2n ≥时，1111,11

()222

n n n n n n n n n a a b a a a a a b -+--+=-=-=--=- 所以{}n b 是以1为首项，1

2

-

为公比的等比数列。 （2）解由（1）知1

11(),2

n n n n b a a -+=-=-

当2n ≥时，121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-L 2

1111()()22

n -=++-++-L

1

11()2111()2

n ---=+

--2211[1()]32n -=+--1521(),332n -=--

当1n =时，11

1521()1332a ---==。 所以1*

521()()332

n n a n N -=--∈。

例 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21n

n n ba b S -=-

（Ⅰ）证明：当2b =时，{}

12n n a n --?是等比数列； （Ⅱ）求{}n a 的通项公式

解 由题意知12a =，且()21n

n n ba b S -=-

()11121n n n ba b S +++-=-

两式相减得()()1121n

n n n b a a b a ++--=-

即12n

n n a ba +=+ ①

（Ⅰ）当2b =时，由①知122n

n n a a +=+

于是()()1122212n

n

n

n n a n a n +-+?=+-+?

()

122n n a n -=-?

又1

112

10n a --?=≠，所以{}

12n n a n --?是首项为1，公比为2的等比数列。

（Ⅱ）当2b =时，由（Ⅰ）知11

22n n n a n ---?=，即()112n n a n -=+

当2b ≠时，由由①得

1111122222n n n n n a ba b b

+++-

?=+-?-- 22n n b

ba b

=-?-

122n n b a b ??

=-? ?-??

因此11112222n n n n a b a b b ++??

-

?==-? ?--??

()212n

b b b

-=

?-

得()1

2

1122222n n n n a b b n b

-=??=???+-≥???-? 例 在数列{}n a 中，111

1

1,(1)2

n n n n a a a n ++==++, （I ）设n

n a b n

=

，求数列{}n b 的通项公式; （II ）求数列{}n a 的前n 项和n S 解：（I ）由已知有

1112n n n a a n n +=++11

2

n n n b b +∴-= 利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1122

n n b -=-(*

n N ∈) （II ）由（I ）知1

22n n n a n -=-

, ∴n S =11(2)2n

k k k k -=-∑111(2)2n n

k k k k

k -===-∑∑

而

1

(2)(1)n

k k n n ==+∑,又1

1

2n

k k k

-=∑

是一个典型的错位相减法模型， 易得

111242

2n

k n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1

242n n -++- 例 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且3231=++n n S a （n 为正整数）

（Ⅰ）求出数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若对任意正整数n ，n S k ≤恒成立，求实数k 的最大值. 解：（Ⅰ）Θ3231=++n n S a ， ① ∴ 当2≥n 时，3231=+-n n S a . ② 由 ① - ②，得02331=+-+n n n a a a . 3

1

1=∴+n n a a )2(≥n .

又 11=a Θ，32312=+a a ，解得 3

12=a . ∴ 数列{}n a 是首项为1，公比为3

1

=q 的等比数列. 1

1

131--??

? ??==∴n n n q

a a （n 为正整数）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知??

????-=

∴n n S )31(123 由题意可知，对于任意的正整数n ，恒有???

?

?????

?

?

??-≤n

k 31123，. Θ 数列??

?

????????

?

?

??-n

311单调递增， 当1=n 时，数列中的最小项为32，

∴ 必有1≤k ，即实数k 的最大值为1

例 各项均为正数的数列{}n a 中，n S a ,11=是数列{}n a 的前n 项和，对任意*

∈N n ，有

)(222

R p p pa pa S n n n ∈-+=；

⑴求常数p 的值； ⑵求数列{}n a 的通项公式； ⑶记n n

n n S b 23

4?+=

，求数列{}n b 的前n 项和T 。 解：（1）由11=a 及)(222

*∈-+=N n p pa pa S n n n ，得：p p p -+=22 1=∴p （2）由1222

-+=n n n a a S ① 得1221211-+=+++n n n a a S ② 由②—①，得 )()(2212

2

11n n n n n a a a a a -+-=+++ 即：0)())((2111=+--++++n n n n n n a a a a a a 0)122)((11=--+∴++n n n n a a a a

由于数列{}n a 各项均为正数， 1221=-∴+n n a a 即 2

11=

-+n n a a ∴数列{}n a 是首项为1，公差为2

1

的等差数列， ∴数列{}n a 的通项公式是 2

1

21)1(1+=?-+=n n a n

（3）由21+=

n a n ，得：4

)

3(+=n n S n n n n n n n S b 2234?=?+=

∴ n n n T 223222132?++?+?+?=∴ΛΛ

13222)1(2222+?+?-++++=?n n n n n T ΛΛ

22)1(22

1)21(22

2222111

32-?--=?---=?-++++=-+++n n n n n n n n n T ΛΛ

1

(1)22

n n T n +=-?+

例 在数列{}

).,2(322,311*∈≥++=-=-N n n a a a a n n n n 且中，

（1）的值；求32,a a （2）设{}是等差数列；证明：n n

n n b N n a b ),(2

3*

∈+=

（3）求数列{}

..n n S n a 项和的前 解（1）),,2(322,311*∈≥++=-=-N n n a a a n

n n 且Θ

13222

12=++=∴a a

.133223

23=++=a a

（2）对于任意,*

∈N n ()[]322

1

232311

111--=+-+=-+++++n n n n n n n n n a a a a b b Θ =

()[]

1332

2

11

1

=-+++n n ，

∴数列{}n b 是首项为

02

3

3231=+-=+a ，公差为1的等差数列. （3）由（2）得，

,1)1(02

3

?-+=+n a n

n ).(32)1(*

∈-?-=∴N n n a n n

()[]

321)322()321(332-?-++-?+-?+-=∴n

n n S Λ， 即().321232221432n n S n

n -?-++?+?+?=Λ 设(),21232221432n

n n T ?-++?+?+?=Λ 则(),2123222121

543+?-++?+?+?=n n n T Λ

两式相减得，()1

432212222+?--++++=-n n n n T Λ

,2)1(2

1)

21(411+-?----=

n n n 整理得，,2

)2(41

+?-+=n n n T

从而).(32)2(41*

+∈-?-+=N n n n S n n

例 已知数列{}n a 的首项2

11=a ，前n 项和n n a n S 2

=. （Ⅰ）求证：n n a n n

a 2

1+=

+; （Ⅱ）记n n S b ln =，n T 为{}n b 的前n 项和，求n e n T

--的值. 解：（1）由n n a n S 2

=①，得121)1(+++=n n a n S ②，

②-①得：n n a n n

a 2

1+=+.

（2）由n n a n n

a 21+=

+求得)

1(1+=n n a n .

∴1

2+=

=n n

a n S n n ，)1ln(ln ln +-==n n S

b n n (ln1ln 2)(ln 2ln 3)(ln 3ln 4)(ln ln(1))ln(1)n T n n n =-+-+-++-+=-+L

∴1)1ln(=-=-+-n e n e n T n .

例 等比数列{n a }的前n 项和为n s ，已知1S ,3S ,2S 成等差数列 （1）求{n a }的公比q ；

（2）求1a －3a ＝3，求n s 解：（Ⅰ）依题意有

)(2)(2111111q a q a a q a a a ++=++

由于 01≠a ，故022

=+q q

又0≠q ，从而2

1－=q

（Ⅱ）由已知可得321

2

11=--）（a a

故41=a

从而）

）（（）

（）

）（（n n

n 211382

112114--=----=S

例 已知{n a }是公比为q 的等比数列，且12,,++m m m a a a 成等差数列.

（1）求q 的值；

（2）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，试判断12,,++m m m S S S 是否成等差数列？说明理由.

解：（1）依题意，得2a m+2 = a m+1 + a m

∴2a 1q m+1 = a 1q m + a 1q m – 1

在等比数列{a n }中，a 1≠0，q ≠0，

∴2q 2 = q +1，解得q = 1或2

1

-

. （2）若q = 1， S m + S m+1 = ma 1 + (m+1) a 1=(2m+1) a 1，S m + 2 = (m+2) a 1

∵a 1≠0，∴2S m+2≠S m + S m+1

若q =21-，S m + 1 =m 2

m )21(6132)

2

1(1)21(1-?-=----+

S m + S m+1 = )

2

1(1)21(1)21(1)21(11

m m ----+----+])21()21[(32341m m +-+--==m )21(3134--

∴2 S m+2 = S m + S m+1

故当q = 1时，S m , S m+2 , S m+1不成等差数列； 当q =2

1

-

时，S m , S m+2 , S m+1成等差数列.

例6 已知数列{}n a 中，0122,3,6a a a ===，且对3n ≥时

有123(4)4(48)n n n n a n a na n a ---=+-+-．

（Ⅰ）设数列{}n b 满足1,n n n b a na n *-=-∈N ，证明数列1{2}n n b b +-为等比数列，并求数

列{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）记(1)21!n n n ?-???=L ，求数列{}n na 的前n 项和n S

（Ⅰ） 证明：由条件，得112234[(1)]4[(2)]n n n n n n a na a n a a n a ------=-----，

则1112(1)4[]4[(1)]n n n n n n a n a a na a n a +----+=----． 即

111244.1,0

n n n b b b b b +-=-==又，所以

1122(2)

n n n n b b b b +--=-，

21220b b -=-≠．

所以1{2}n n b b +-是首项为-2，公比为2的等比数列． 2122b b -=-，所以112122(2)2n n n n b b b b -+-=-=-．

两边同除以12n +，可得

111

222

n n n n b b ++-=-

． 于是2n n

b ??

????

为以12首项，－12为公差的等差数列． 所以

11

(1),2(1)2222

n n n n

b b n n b =--=-得． （Ⅱ）111122(2)n n n n n n a na n n a -----=-=-，令2n n n

c a =-，则1n n c nc -=．

而111 (1)21(1)21n c c n n c n n =∴=-????=-???L L ，． ∴(1)212n n a n n =-???+L ．

(1)212(1)!!2n n n na n n n n n n n =??-???+=+-+?L ，

∴2(2!1!)(3!2!)(1)!!(12222)n n S n n n =-+-+++-+?+?++?L L ． 令T n ＝212222n n ?+?++?L ，

①

则2T n ＝2311222(1)22n n n n +?+?++-?+?L ． ②

①－②，得-T n ＝212222n n n ++++-?L ，T n ＝1(1)22n n +-+．

∴1(1)!(1)21n n S n n +=++-+． 例7 已知数列{}n a 满足115

a =

，且当1n >，*

n ∈N 时，有112112n n n n a a a a --+=-

(1)求证：数列1n a ??

?

???

为等差数列； (2)试问12a a 是否为数列{}n a 中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由. 证明：（1）由

112112n n n n

a a a a --+=-得()()111221n n n n a a a a ---=+ 即114n n n n a a a a ---= 上式两边同时除以1n n a a -得

()1

1141n n n a a --=> 又

1

1

5a =，1n a ??????

是首项为5，公差为4的等差数列 （2）又（1）知

()1541n n a =+-，即141n a n =+ ∴ 219a =， 121

45a a =

令11

4145

n a n ==

+， 解得11n = 所以 12a a 是数列{}n a 的第11项

例8 设数列{}{},n n a b 满足11

1,0a b ==且1123,

1,2,3,2,

n n n n n n a a b n b a b ++=+?=?=+?L L

（Ⅰ）求λ的值，使得数列{}n n a b λ+为等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；

（Ⅲ）令数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n

S '，求极限lim n

n n

S S →∞'的值．

（Ⅰ）令n n n c a b λ=+，其中λ为常数，若{}n c 为等比数列，则存在0q ≠使得

111()n n n n n c a b q a b λλ+++=+=+．

又1123(2)n n n n n n a b a b a b λλ+++=+++(2)(32)n n a b λλ=+++． 所以()(2)(32)n n n n q a b a b λλλ+=+++． 由此得(2)(32)0,

1,2,3,n n q a q b n λλλ+-++-==L

由111,0a b ==及已知递推式可求得222,1a b ==，把它们代入上式后得方程组

20,

320

q q λλλ+-=??

+-=? 消去q

解得λ=

下面验证当λ=

{}

n n a +为等比数列．

11(2(3(2)n n n n n n a a b a ++=++= (1,2,3,)n =L ，

1110a =≠

，从而{}

n n a +

是公比为2的等比数列．

同理可知{}

n n a

是公比为2

的等比数列，于是λ=

（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果得1(2n n n a -=

，1(2n n n a -=，解得

(

(1

1

1

222n n n a --??=+?

???

，(

(1

1

226n n n

b --??=+-????

．

（Ⅲ）令数列{}n d

的通项公式为1(2n n d -=，

它是公比为2p =的等比数列，令

其前n 项和为n P ；

令数列{}n e

的通项公式为1(2n n e -=

，它是公比为2p '=其前n 项和为n P '． 由第（Ⅱ）问得1()2n n n S P P '=

+

，)n n n S P P ''=-．

11n n n n n

n

n n n

n

P S P P P P S P P P '

+

'+=='''--． 由于数列{}n e

的公比021<-

，则lim n n P →∞

'=

．

1

11()()1111()1

n n n n n p p p

P p p

---==--

，由于12p ==-1lim 0n n P →∞=，

于是lim

0n n n P P →∞'=

，所以lim n n n

S

S →∞='

例9 数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意*N n ∈，总有2,,n n n a S a 成等差数列.

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；

(Ⅱ)设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且2

ln n

n n a x b =

，求证:对任意实数(]e x ,1∈（e 是常数，

e ＝2.71828???）和任意正整数n ，总有n T < 2；

(Ⅲ) 正数数列{}n c 中，()

)(,*1

1N n c a n n n ∈=++.求数列{}n c 中的最大项.

（Ⅰ）解：由已知：对于*

N n ∈，总有22n n n S a a =+ ①成立

∴2

1112n n n S a a ---=+ （n ≥ 2）② ①--②得2

1122----+=n n n n n a a a a a ∴()()111----+=+n n n n n n a a a a a a

∵1,-n n a a 均为正数，∴11=--n n a a （n ≥ 2） ∴数列{}n a 是公差为1的等差数列 又n=1时，21112S a a =+， 解得1a =1 ∴n a n =.(*

N n ∈)

（Ⅱ）证明：∵对任意实数(]e x ,1∈和任意正整数n ，总有2

ln n

n n a x b =

≤

21n

. ∴()n n n T n 113212*********

22-++?+?+<+++≤

ΛΛ

21

211131212111<-=--++-+-

+=n

n n Λ (Ⅲ)解：由已知 2212

12=

?==c c a ，

5

45

45434

34323

235

5,244,33=?====?===?==c c a c c a c c a

易得 12234,...c c c c c <>>>

猜想 n ≥2 时，{}n c 是递减数列.

令()()22ln 1ln 1

,ln x

x

x x

x x x f x x x f -=-?='=则 ∵当().00ln 1,1ln 3<'<->≥x f x x x ，即则时，

∴在[)+∞,3内()x f 为单调递减函数. 由()1

1ln ln 1

1++=

=++n n c c a n n n

n 知.

∴n ≥2 时, {}n c ln 是递减数列.即{}n c 是递减数列.

又12c c < , ∴数列{}n c 中的最大项为323=c .

例10 设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足

222223457,7a a a a S +=+=。

（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）试求所有的正整数m ，使得1

2

m m m a a a ++为数列{}n a 中的项。 解：（1）设公差为d ，则2

222

2543

a a a a -=-，由性质得43433()()d a a d a a -+=+，因为0d ≠，所以430a a +=，即1250a d +=，又由77S =得176

772

a d ?+

=，解得1

5a =-，

2d =,

(2)

（方法一）12

m m m a a a ++=(27)(25)

23m m m ---,设23m t -=，

则

12

m m m a a a ++=

(4)(2)8

6t t t t t --=+-, 所以t 为8的约数

（方法二）因为

1222222

(4)(2)8

6m m m m m m m m a a a a a a a a +++++++--==-+为数列{}n a 中的项， 故

m+2

8

a 为整数，又由（1）知：2m a +为奇数，所以2231,1,2m a m m +=-=±=即 经检验，符合题意的正整数只有2m =。

例12 数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =L ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列。 （I ）求c 的值；

（II ）求{}n a 的通项公式。

解：（I ）12a =，22a c =+，323a c =+，因为1a ，2a ，3a 成等比数列，

所以2

(2)2(23)c c +=+，解得0c =或2c =． 当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =． （II ）当2n ≥时，由于21a a c -=，322a a c -=，

1(1)n n a a n c --=-，所以1(1)

[12(1)]2

n n n a a n c c --=+++-=

L 。 又12a =，2c =，故2

2(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+=L ，，．当n=1时，上式也成立，所以2

2(12)n a n n n =-+=L ，

， 例13 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，对一切正整数n ，点),(n n S n P 都在函数

x x x f 2)(2+=的图像上，且过点),(n n S n P 的切线的斜率为n k ．

（1）求数列}{n a 的通项公式． （2）若n k n

a b n 2=，求数列}{n b 的前n 项和n T ．

（3）设},2{},,{**∈==∈==N n a x x R N n k x x Q n n ，等差数列}{n c 的任一项

R Q c n ?∈，其中1c 是R Q ?中的最小数，11511010<

式.

解：（1）Q 点),(n n S n P 都在函数x x x f 2)(2

+=的图像上，∴2*2()n S n n n N =+∈,

当n 2≥时，12 1.n n n a S S n -=-=+

当ｎ＝1时，113a S ==满足上式，所以数列}{n a 的通项公式为2 1.n a n =+ （2）由x x x f 2)(2

+=求导可得()22f x x =+‘

Q 过点),(n n S n P 的切线的斜率为n k ，22n k n ∴=+.

24(21)4n k n n n b a n ∴=?+?＝.

12343445447421)4n n ∴=??+??+??+????+?n T +4（①

由①×4，得

2341443445447421)4n n +=??+??+??+????+?n T +4（②

①-②得：

()231

343424421)4n n n +??-=?+?++???+???

n T +4-（

2

1141434221)414n n n -+??-=?+?+???-??

（4）-（

26116499

n n ++∴=

?-n T （3）{22,},{42,}Q x x n n N R x x n n N **==+∈==+∈Q ,Q R R ∴?=.

又n c Q R ∈?Q ，其中1c 是R Q ?中的最小数，16c ∴=.

{}n c Q 是公差是4的倍数，*1046()c m m N ∴=+∈. 又10110115c <

11046115

m m N

<+

设等差数列的公差为d ，则1011146

121019

c c

d ---＝

＝＝，

6(1)12126n c n n ∴=++?=-，所以{}n c 的通项公式为126n c n =-

例14 已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，1

23,22

a a ==，且113210n n n S S S +--++=，其中*

2,n n N ≥∈.

(1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)求 n S .

解：①Q 113210n n n S S S +--++=?112()1n n n n S S S S +--=--

?121(2)n n a a n +=-≥

又123,22

a a ==也满足上式，∴*121()n n a a n N +=-∈?112(1)n n a a +-=-（*n N ∈） ∴数列{}1n a -是公比为2，首项为11

12

a -=

的等比数列 121

1222

n n n a ---=?=

②12...n n S a a a =+++()()()()1012212121...21n --=++++++++

②12...n n S a a a =+++

()(

)()()

1012212121...21n --=++++++++ (

)

10

12

222 (2)

n n --=++++ 21

2

n n -=+