优秀学生寒假必做作业121 任意角三角函数练习二

1、2、1 任意角三角函数

练习二

一、选择题

1.已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边( ) A.在x 轴上 B.在y 轴上

C.在直线y ＝x 上

D.在直线y ＝－x 上

2.如果4

π＜θ＜

2

π

，那么下列各式中正确的是( ) A.cos θ＜tan θ＜sin θ B.sin θ＜cos θ＜tan θ C.tan θ＜sin θ＜cos θ D.cos θ＜sin θ＜tan θ

3.若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则P （cos B －sin A ，sin B －cos A ）在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

4.若sin αtan α＞0，则α的终边在( )

A.第一象限

B.第四象限

C.第二或第三象限

D.第一或第四象限

5.若角α的终边与直线y =3x 重合且sin α＜0，又P （m ，n ）是角α终边上一点，且|OP |=10，则m －n 等于( )

A.2

B.－2

C.4

D.－4

二、填空题

6.若0≤θ＜2π，则使tan θ≤1成立的角θ的取值范围是_________.

7.在（0，2π）内使sin x ＞|cos x |的x 的取值范围是_________.

三、解答题

8.比较下列各组数的大小： （1）sin 1和sin 3

π

； （2）cos 7π4和cos 7π

5； （3）tan 8π9和tan 7π9； （4）sin 5π和tan 5

π.

9.已知α是第三象限角，试判断sin（cosα）·cos（sinα）的符号.

10.求下列函数的定义域：

（1）y=)

lg(cos x；

（2）y=lgsin2x+2

.

9x

π）时，求证：sinα＜α＜tanα.

11. 当α∈（0，

2

12. 已知θ为正锐角，求证：

π；

（1）sinθ＋cosθ＜

2

（2）sin3θ+cos3θ＜1.

π，2kπ+π）

13.已知角α的终边经过点P（－3cosθ，4cosθ），其中θ∈（2kπ+

2

（k∈Z），求角α的各三角函数值.

14.（1）已知角α的终边经过点P （3，4），求角α的六个三角函数值； （2）已知角α的终边经过点P （3t ，4t ），t ≠0，求角α的六个三角函数值.

15．已知角α终边上的一点P ，P 与x 轴的距离和它与y 轴的距离之比为3 ：4，且0sin <α求：cos α和tan α的值．

答案：

一、选择题

1.B

2.D

3. D

4. D

5.A 二、填空题

6.［0，

4π］∪（2π，4π5］∪（2π3，2π） 7.（4

π，4π3）

三、解答题

8.分析：三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值.比较两个三角函数值的大小，可以借助三角函数线.

且－1＜sin α<0.在此基础上可确定sin （cos α）与cos （sin α）的符号，进而即可确定sin （cos α）·cos （sin α）的符号.

解：∵α是第三象限角，∴－10.∴sin （cos α）·cos （sin α）<0. 10.解：（1）由lg （cos x ）≥0，得cos x ≥1，又cos x ≤1， ∴cos x =1.

∴x =2k π，k ∈Z .故此函数的定义域为{x |x =2k π，k ∈Z }. （2）∵sin2x >0，∴2k π<2x <2k π+π（k ∈Z ）.

∴k π

2

π

（k ∈Z ）. ①

又9－x 2≥0，∴－3≤x ≤3.

故y =lgsin2x +29x -的定义域为{x |－3≤x <－2

π或0

π

}.

11. 分析：利用代数方法很难得证.若利用三角函数线借助几何直观建立面积不等式，则可迎刃而解.

解：如下图，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于点P ，α的正弦线、正切线为MP 、AT ，则MP =sin α，AT =tan α.

x ∵S △AOP =21

OA ·MP =21sin α，S 扇形AOP 2

2，S △OAT =21OA ·AT =21AT =2

1tan α. 又S △AOP ＜S 扇形AOP ＜S △AOT ，

∴21sin α＜21α＜2

1tan α，即sin α＜α＜tan α. 12. 证明：（1）设角θ的终边与单位圆交于P （x ，y ）， 过点P 作PM ⊥Ox ，PN ⊥Oy ，M 、N 为垂足. ∵y ＝sin θ，x ＝cos θ，

x )y S △OAP ＝21|OA |·|PM |＝21y ＝21sin S △OPB ＝2

1|OB |·|NP |＝2

1x ＝2

1cos θ，

S 扇形OAB ＝4

π

4π2=R .

又四边形OAPB 被扇形OAB 所覆盖，

∴sin θ＋cos θ＜

2

π. （2）∵0＜x ＜1，0＜y ＜1， ∴0＜cos θ＜1，0＜sin θ＜1.

∵函数y =a x （0＜a ＜1）在R 上是减函数， ∴cos 3θ＜cos 2θ，sin 3θ＜sin 2θ. ∴cos 3θ+sin 3θ＜cos 2θ+sin 2θ. ∵sin 2θ+cos 2θ=x 2+y 2=1， ∴sin 3θ+cos 3θ＜1. 13. 解：∵θ∈（2k π+2

π

，2k π+π）（k ∈Z ）， ∴cos θ＜0.

∴x =－3cos θ，y =4cos θ，r =22y x +=22)cos 4()cos 3(θθ+-=－5cos θ. ∴sin α=－5

4，cos α=5

3，tan α=－3

4，cot α=－4

3，sec α=3

5，csc α=－4

5. 14. 解：（1）由x =3，y =4，得r =2243+=5.

∴sin α=r y =54，cos α=r x =53，tan α=x y =34，cot α=y x =43，sec α=x r =35，csc α=y r =4

5. （2）由x =3t ，y =4t ，得r =22)4()3(t t +=5|t |. 当t ＞0时，r =5t .

因此sin α=5

4，cos α=5

3，tan α=3

4，cot α=4

3，sec α=3

5，csc α=4

5； 当t ＜0时，r =－5t .

因此sin α=－5

4，cos α=－5

3，tan α=3

4，cot α=4

3，sec α=－3

5，csc α=－4

5. 15. 设P(x ，y)，则依题意知|y| ：|x| =3 ：4 ∵sin α<0

∴α终边只可能在第三、四象限或y 轴负半轴上 若P 点位于第三象限，可设P （-4k ，-3k ），（k>0）

∴r=5k ，从而54cos -=α，4

3

tan =α

若P 点位于第四象限，可设P （4k ，-3k ），（k>0）

∴r=5k ，从而54cos =α，4

3

tan -=α

又由于|y| ：|x| =3 ：4，故α的终边不可能在y 轴的负半轴上

综上所述：知cos α的值为5454-或，tan α的值为4

3

43或-