不等式指数对数立体几何

不等式

（1）能熟练地用区间表示集j í

合h é

；

（2）知道不等式的性质，能用不等式的性质进行判断；

(3) 会解一元一次不等式，一元二次不等式，含绝对值的不等式和由这些不等式构成的不等式组，并会将解集用集合表示出来。 知识要点 1、 区间

设a 、b 为任意实数，且a < b 我们规定：

（1）满足不等式 的实数 的集合叫闭区间，表示为 。 （2）满足不等式 的实数 的集合叫开区间，表示为

（3）满足不等式 或 的实数X 的集合叫左半开区间，表示为 或 （4）满足不等式 或 的实数X 的集合叫右半开区间，表示为 或 2、不等式的性质 （1）实数的基本性质 设a,b R,则

说明：此性质体现了实数的大小顺序与运算性质之间的关系。 （2）不等式的性质

性质1 如果 且 则 性质2 如果 且 则 性质3 如果 且 则 如果 且 则 （1） 不等式的其他常用性质

说明： 且 则 若 则

本知识点的考查以基础知识为主，但通常将不等式的几个性质归结在一个题目中进行，有时也可以与函数性质结合考查。 3．不等式的解法

使一个不等式成立的未知数X 取的每一个值叫做这个不等式的一个解。一个不等式的所有解组成的集合叫做这个不等式的解集。求一个不等式的解集叫做解不等式。 解不等式的基本思路就是利用不等式的基本性质，通过同解变形，得出这个不等式的解集。 由几个含有相同未知数的不等式所组成的一组不等式叫做不等式组。解不等式组就是求这个不等式组中各个不等式解集的交集。 （1） 解一元一次不等式（或组） 一元一次不等式的最简形式为：

Ax>b,其中 ， 也可以换成 或 及

一元一次不等式解的情况（心为例，其中）

分别求出每一个不等式的解，然后利用数轴找出它们有公共部分。以两个一元一次不等式组成的不等式组为例，其解的情况如下（不妨设a

（2）解一元二次不等式

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。一般形式为：

，其中也可以换成或及

解一元干净不等式通常有两种方法：

方法一利用因式分解法求解

同解变形的依据是：

说明：应用因式分解法来解一元二次不等式的步骤是：首先将所给不等式右端变成0，然后将左端因式分解，再利用上面同解变形的依据，转化为一次不等式组，进而求解。

方法二利用一元干净函数性质求解

设不等式与（，，是常数且）

如果的系数小于零，则不等式两边同乘以-1，使得一元二次函数的图像开口向上的抛物线，进而可以应用这个函数的性质解不等式。

不妨高，则函数、方程以及不等式（或<0）之间的

说明：应用一元二次函数性质来解一元二次不等式的步骤是：首先求出相应一元二次方程的根，然后根据上图表求出一元二次不等式的解集。这种方法体现了数形结合的数学思想，也从本质上揭示了一元二次方程、一元二次不等式与相应一元二次函数的联系，特别是当一元二次不等式的解集是特殊集合（如R，等）时，这种方法更加直观和简练。

（3）含有绝对值的不等式

绝对值内含有未知数的不等式称为含有绝对值的不等式。

说明：1现阶段，大纲只要求掌握会解含有一个绝对值符号的不等式。但对于利用绝对值定义求解的类型，或简单变形的就等式也要求能够解决。

2解含有绝对值的不等式特别要注意“且”与“或”的区别和联系。

3不等式（组）的解集通常用营养师肤浅，这样更简捷。

（2）不等式的应用

秒等式的应用非常广泛，解题的关键的把非不等式的问题借助于不等式解决。这种化归和转化，是对学生基本能力和基本方法的考查。现阶段需要掌握以下方面：求函数的定义域，讨论方程的实根分布，解决与不等式有关的实际应用问题，求参数的取值范围等。

指数函数与对数函数

（1）能将根式化为分数指数幂的形式，会利用幂的运算法则进行幂的运算。

（2）会求出幂函数的定义域，并知道简单幂函数的图像及奇偶性和单调性。

（3）能将指数形式和对数形式进行互化，知道对数的基本性质和简单应用，认识两个恒等式的形式和特点，会用对数运算法则进行对数运算及求值。

（4）知道指数函数的图像特点和性质，能利用所知求一些复合函数的值域、凑数奇偶性、会比较两个幂值的大小等。

（5）知道对数函数的图像特点和性质，能利用所知求一些复合函数的定义域、判断奇偶性、比较两个对数值的大小等。

（6）会利用指数函数和对数函数的单调性解一些简单的指数方程和不等式、对数方程和不等式。

（7）知道关于图像变换的一些简单知识

（8）会判定简单的形如的函数的单调性

1.指数概念的推广

（1）整数指数幂

（2）n次根式

设a是一个实数,n是大于1的正整数，如果存在实数x满足，则称x是a的一个n次方根。

若，则

说明：1当有意义时，把叫a的n次根式，n叫做根指数，a 叫做被开方数，由上表知，当n为偶数时，n次根式有意义，当且仅当。当n 为奇数时，对任意实数a，n次根式都有意义。

2 当有意义时，

（3）分数指数幂

设n，m老师正整数，，且，不可约，当有意义时有:

说明：1对于，当n为偶数时，a 0；当n为奇数时，a 。

2幂的概念是以指数的取值范围为基础的，当指数为正整数时，幂是若干个相同因数的乘法的简缩形式；当指数取值为负整数或分数时，幂变成分式或根式的又一表达形式。因此利用分数指数幂的概念可以将根式的运算转化为幂的运算从而简化了根式的运算。

3 一般地，当a>0时，任意给定一个实数，都有是一具唯一确定的实数，这样我们就把有理数指数幂的概念推广到了实数指数幂。

（4）实数指数幂的运算法则

设，，且有

说明：应注意法则的灵活应用。作为运算结果，一般不能同时含有根号和分数指数幂。

（4）常见的简单幂函数及图像

（5），，及，的图像及性质如下：

2．对数的概念和性质

（1）对数的概念

如果，那么b叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫做对数的底，N叫做真数。

对数式与指数式的互化

设a>0且，N>0，则

（3）对数的基本性质

（4）

（3）两个重要恒等式

设且则

（4）积、商、幂的对数

M、N以及任意实数p，有

（5）换底公式

设且且则

（6）常用对数与自然对数

常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，即：

自然对数：以e为底的对数叫做自然对数，即：

说明：1对数式与指数式表示的是a,b,N三个量之间的同一关系，故它们之间的相互转化很重要，它既可以把对数问题转化为指数问题来解决，又可以把指数问题转化为对数问题来处理。

2.应注意对数运算法则的灵活应用。

3由换底公式可得

4应用法则变形时，应注意法则的适用范围。

3.指数函数与对数函数

设，且，形如的函数称为指数函数，其中自变量是。

设，且，形如的函数称为对数函数，其中自变量是。

指数函数与对数函数其图像与性质如下

说明：1指数函数与对数函数的图像关于直线对称。

2函数与的图像关于y轴对称。

3.函数与的图像关于X轴对称

4利用指数函数的单调性可以比较两个幂值的大小，还可以解一些简单的指数不等式和指数方程；利用对数函数的单调性可以比较两个对数值的大小，还可以解一些简单的对数不等式和对数方程。

5学习这部分知识应采取类比的学习方法，既注意到它们研究方法的一致性、结论的相似性，更应注意到它们各方面的不同点。

这部分知识的考查，既有单独函数知识的题目，又有综合性很强的题目，涉及内容非常广泛，需要学生特别加以注意。

4.简单的图像蛮像

这部分要求学生掌握下乡图像变化，包括：

（1）平移变换

函数的图像可由函数的图像沿x轴向左或向右平移个单位而得到；

函数的图像可由函数的图像沿y轴向上或向下平移个单位而得到；

（2）对称变换

函数的图像与函数的图像关于y轴对称

函数的图像与函数的图像关于x轴对称

函数的图像与函数的图像关于原点轴对称

（3）翻折变换

函数的图像可由图像保留其在x轴上方的部分，而将x轴下方部分沿x翻折上去而得到。

函数是偶函数，其图像关于y轴对称，其图像在y轴左侧的部分与函数在y 轴右侧的部分对称。

5. 简单复合函数的单调性的判断

设，称为内函数；则，称为外函数

当内函数与外函数单调性一致时，函数是增函数；

当内函数与外函数单调性不一致时，函数是减函数。

注：该知识点不易掌握，难度只限于本书给出的类型。

四、立体几何

复习目标

（1）知道平面的基本性质和确定平面的方法。

（2）知道两直线的三种位置关系，会用平等的性质判断两直线平等，能找到两异面直线所成的角

（3）知道直线和平面的三种位置关系，可以进行直线与平面平行或垂直的简单应用，会求一些点到平面的距离，能在一些给定的图形中找到并计算出直线与平面所成的角

（4）知道两平面的两种位置关系，会进行两平面平等和垂直的判定，特别是能利用两平面垂直的含义进行简单的应用；知道二面角的构成，可以在一些给定图形中做出二面角的平面角，并利用上述知识解决一些较复杂的问题。

知识要点

1.平面的基本性质

性质1 如果直线L上的两个点都在平面内，那么直线上的所有点都在平面内。此时称直线在平面内或平面经过直线。记作。

性质2 如果两个平面有一个公共点，那么它们一定还有其他公共点，并且所有公共点的集合是过这个点的一条直线。此时称这两个平面相交，并把所有公共点组成的直线叫做两个平面的。若平面和平面相交，交线是直线，则记作。

性质3 不在同一条直线上的三个点，可以确定一个平面

由平面的三个基本性质可以得出下列三个结论

结论1 直线和这条直线外的一点可以确定一个平面。

结论2 两条相交直线可以确定一个平面

结论3 两本相交直线可以确定一个平面

说明：1.数学中的平面的指平坦、光滑并且可以无限延展的图形。

2.空间中两个不同的点确定一条直线。

3.性质1是判定直线在平面内的依据；性质2可解决两平面相交问题；性质3及三个结论是确定平面的依据。

4.如果几个占（或几条直线）在同一个平面内，则称这些点（或这些直线）共面；否则称它们不共面。

2. 直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系

（1）直线与直线有有一种位置关系

说明：不同在八哥一个直线叫做异面直线。平行直线与异面直线有本质的不同：平行直线一定共面，异面直线一定不共面。平等直线和异面直线都没有公共点。

（2

说明：1直线在平面内记作，直线与平面相交且交点为点记作：直线与平面平行记作：

（3）平面与平面有两种位置关系

说明：1过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行

2如果一个角的两边和另一个角的两边分别平等并且方向相同，那么这两个角相等。

3直线与直线平等，记作

（2）直线与平面平行的判定与性质

直线与平面平行的判定：如果平面外挂一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。

直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，并且经过这条直线的一个平面和这个平面数位，那么这条直线与交线平行，

说明：证明直线和平面平行的常用方法是在平面内寻找一条直线，由“线线平行”得到“线面平行”；反之，如果直线和平面平行，那么这条直线可与平面内的无数条直线平行。

（3）平面与平面平行的判定：如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行。

平面与平面平行的性质：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行。

说明：1如果两个平面平行，那么一个平面内鬼任意一条直线和另一个平面平行。

2学习直线与平面，平面与平面的位置关系时，要体会各种位置关系间的转化。如在直线与平面平行的判定时，将“线线平行”转化为“线面平行”；在性质中，将“线面平行”转化为“线线平行”。又如在两个平面平等的判定中，将“线面平行”转化为“面面平行”而在性质中，将“面面平行”转化为“线线平行”和“线面平行”。

这部分知识体现了空间直线、平面之间位置关系及相互转化，反映学生对各种位置关系的认识程度，以及利用上述知识进行一些证明的能力。

4. 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的概念、判定和性质

（1）直线与直线垂直的概念：两条直线气盛角为90 。分为相交垂直和异面垂直两种。

（2）直线与平面垂直的概念、判定和性质：

直线与平面重进的概念：如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，则称直线和平面垂直，记作。直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的重于泰山，直线与平面的交点叫做垂足。

直线与平面垂直的判定：如果一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。

直线与平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。

说明：1过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；过一点有且只有一个平面和一条直线

垂直。2如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。3垂直于同一条直线的两个平面互相平行。4应体会各种位置关系的转化，如在直线与平面的判定中是将“线线垂直”转化为了“线面垂直”；而在性质中，又将“线面垂直”转化为了“线线垂直”或者“面面垂直”。5斜线在平面内的射影及点到平面的概念。

（3）平面与平面垂直的概念、判定和性质

平面与平面垂直的概念：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直。

平面与平面垂直的判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。

平面与平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

说明：1应体会各种位置关系的转化，如在两个平面垂直的判定中，由“线面垂直”转化为“面面垂直”；在性质中，由“面面垂直”又可以转化为“线面垂直”。2证明“平行”与“垂直”是立体几何中内容之一，一般思路有：要证线面平行，先证线线平行；要证面面平行，先线面平行；要证线面垂直，先证线线垂直；要证面面垂直，先证线面垂直。

这部分知识是立体几何最重要的内容，集中反映了空间想象能力、逻辑推理能力和综合分析问题的能力，是考查中必然出现的内容。

5. 直线与直、直线与平面、平面与平面所成的角

（1）直线与直线所成的角

两条相交直线所成的角就是这两条直线相交所成的最小的正角；

两条异面直线所成的角是经过空间任意一点分别作与两条异面直线平等的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角。显然，这个角的范围是[0,]

两条平等直线所成的角是零角。

说明：当两条直线和所成角是时，称两条直线垂直，记作。显然，两条直线垂直有相交垂直和异面生存两种情况。

（2）直线与平面所成的角

斜线与它在平面内的射影的夹角，叫做直线与平面所成的角。斜线与平面所成的角的范围是。

当直线与平面垂直时，所成的角是是直角。

当直线与平面平行或者直线在平面内时，直线与平面所成的角是零角。

总之，直线与平面所成的角范围是

说明：1斜线与平面气盛的角是这条斜线与平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。2如图，直线与平面所成角为，直线与平面内直线所成角为，射影与平面内直线所成角为，则有3若直线平面，则直线与平面的距离就是直线上任意一点到平面的距离。4如图，点这在平面外，点在平面上的射影在内，则有下面常用结论：

若，则点是的外心；

若点到边的距离都相等，则点是的内心；

若两两互相垂直，则点是垂心

（3）二面角：平面内的一条直线把平面分成两部分，每一部分叫做一个半还有，、

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

如以直线为棱，两个半平面分别为和的二面角可以记作二面角。

过棱上一点，分别在二面角的两个面内与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小下角叫做二面角的平面角，坯布角的大小用它的平面角来度量。

说明：1做出二面的平面角时要注意：顶点在二面角的棱上、两条射线分别在两个半平面内、两射线都与棱垂直。且二面角的大小精心平面角的顶点在棱上的位置无关，因此常选取棱上特殊的点作为平面角的顶点。2如图，二面角是它的平面角。3当二面角的两个半平面重合时，规定二面角为零角；当二面角的两个半平面合成为一个平面时，规定二面角为平角；因此，二面角的 4.平面角是直角的坯布角叫做直二面角。也称两平面垂直，记作。5二面角内有一点，垂足是点，垂足是点若，则二面角的大小为