指数与对数不等式的解法

指数不等式、对数不等式的解法

指数不等式：转化为代数不等式

()()()()()

1.(1)()();(01)()()

2.(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a

b a b f x a b

>>?>><>>??>

对数不等式：转化为代数不等式 ()0log ()log ()(1)()0;

()()()0log ()log ()(01)()0

()()a a a a f x f x g x a g x f x g x f x f x g x a g x f x g x >??

>>?>??>?>??

><??

例题例1.解不等式6

52225

.0-+---≥x x x x

变式 .解关于x 的不等式：22

(2--+>x x x

例2.解不等式15

4log

例3.如果x=3是不等式：

2log (2)log (1)log 3a a a x x x --<++的一个解，解此关于x 的不等式.

例4.解不等式：)10(log 31log ≠<-<-a x x a a

例5．1>a 时解关于x 的不等式0]1)2(2[log 12>++-+x x x x

a a a

练习 1.

不

等

式

log log 22

1>x 的解集

为……………………………………（）

（A ）{x|x<2} （B ）{x|02}

2. （05辽宁卷）若011log 2

2<++a

a a

，则a 的取值范围是（）

A ．),21

(+∞ B ．),1(+∞ C ．)1,21(

D ．)2

1,0( 3. (05全国卷Ⅰ) 设10<

则使0)(

4. （05山东卷）01a <<，下列不等式一定成立的是（）（A ）(1)(1)log (1)log (1)2a a a a +--++> （B ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--<+

（C ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++ （D ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+

5、不等式x

x 283)3

1(2--> 的解集为； 6、不等式

1)22lg(2<++x x 的解集为； 7.若3

log 1(0,1),4

a a <>≠且则实数a 的取值范围为 8. )54(log 2

01|{<<>x x x 或 D ．}410|{<

2．不等式)1(1)

12(1

log log ---->x a x a 成立的充要条件（）

3．已知集合=?>-=<=N M x x N x M x x 则},0)1(log |{},33|{2

4．若函数)2(log 22a ax x y +-=的值域为R ，则实数a 的取值范围（）

2322)21(,a x ax x R x +-<∈不等式恒成立，则a 的取值范

____________________.

7．不等式1)1

1(log >-x

的解集为_____________________. 8．解下列不等式 ①2log )

一元一次不等式组的解法常考题型讲解

题型2：考察一元一次不等式组的解法 2.（2018春天心区校级期末）不等式组?? ???>+≤-6 1213312 x x 的解集在数轴上表示正确的是（） 3.解下列不等式组，并在数轴上表示解集： ! （1）?? ? ??<--+->++-021331215)1(2)5(7x x x x （2）?????≥-+->-154245 3312x x x x （3）?????≤--+<--+-1213128)3()1(3x x x x （4）?? ? ??< -+≤+321)2(352x x x x —

（5）?????-<+-<-2322125.05.7x x x x （6）?????->≥----62410 2.05.05.04 .073x x x x x ！ 4. 解下列不等式21 153 x --< ≤ \

高二数学辅导精讲：指数不等式、对数不等式的解法·例题

指数不等式、对数不等式的解法·例题例5-3-7 解不等式：解(1)原不等式可化为 x 2-2x-1＜2(指数函数的单调性) x 2-2x-3＜0 (x+1)(x-3)＜0 所以原不等式的解为-1＜x＜3。 (2)原不等式可化为注函数的单调性是解指数不等式、对数不等式的重要依据。例5-3-8 解不等式log x+1(x2-x-2)＞1。解[法一] 原不等式同解于

所以原不等式的解为x＞3。 [法二] 原不等式同解于 log x+1(x2-x-2)＞log x+1(x+1) 所以原不等式的解为x＞3。注解这类对数不等式，要注意真数为正数，并须对底数的分类讨论。解原不等式可化为 22x-6×2x-16＜0 令2x=t(t＞0)，则得 t2-6t-16＜0 (t+2)(t-8)＜0 -2＜t＜8 又t＞0，故0＜t＜8即0＜2x＜8，解得x＜3。

注解这类指数不等式，常常需要通过变量代换把它变为整式不等式来解。解原不等式可化为解得t＜-2或0＜t＜1，即注解不同底的对数不等式，应先化为同底对数的不等式，再利用对数函数的单调性将它转化为整式不等式求解。这时也常常用到换元法。

例5-3-11设a＞0且a≠1，解不等式解原不等式可化为令log a x=t，则得当0＜a＜1时，由指数函数的单调性，有 4-t 2＜1-2t t2-2t-3＞0 (t+1)(t-3)＞0 t＜-1，或t＞3 当a＞1时，则有 4-t 2＞1-2t t2-2t-3＜0 (t+1)(t-3)＜0 -1＜t＜3 注解既含指数又含对数的不等式的基本思想是“化同底，求单一”，即把不同底的指数或对数化为同底的，再通过函数的单调性将复合情形转化为只含指数或对数的单一情形求解。例5-3-12设f(x)是定义在实数集R内的函数，对任意x，y∈R，有f(x+y)=f(x)·f(y)；并且当x＞0时，f(x)＞1，f(1)=a。解关于x的不等式f(x2+x-4)＞a2。

不等式知识点详解

考试内容：不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明．（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．（4）掌握简单不等式的解法．（5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │ §06. 不等式知识要点 1. 不等式的基本概念（1）不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a ?>- （2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3）同向不等式与异向不等式. （4）同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质（1）a b b a （对称性）（2）c a c b b a >?>>,（传递性）（3）c b c a b a +>+?>（加法单调性）（4）d b c a d c b a +>+?>>,（同向不等式相加）（5）d b c a d c b a ->-?<>,（异向不等式相减）（6）bc ac c b a >?>>0,. （7）bc ac c b a 0,（乘法单调性）（8）bd ac d c b a >?>>>>0,0（同向不等式相乘） (9)0,0a b a b c d c d >><（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>? <（倒数关系）（11）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（平方法则）（12）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 3.几个重要不等式（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号）（3）如果a ,b 都是正数，那么 .2 a b +≤（当仅当a=b 时取等号）极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.

绝对值指数对数三角不等式的解法

不等式的解法绝对值不等式例1 解绝对值不等式｜x+3｜>｜x-5｜．｛x ｜x>1｝．例2 对任意实数x ，若不等式｜x+1｜-｜x-2｜>k 恒成立，则实数k 的取值范围是（） A ．k<3 B ．k<-3 C ．k≤3 D ．k≤-3 选B ．例3 解不等式｜3x-1｜>x+3．｛x ｜ x<- ，或x>2｝．例4 解不等式｜x-5｜-｜2x+3｜<1 ｛x ｜x<-7或 x> ｝｜x+3｜+｜x-3｜>8．例5 解不等式1≤｜2x-1｜<5．｛x ｜-2????≥ ≥?> )()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 定义域型例1.解不等式0343>-- -x x 二.???<≥?? ???>≥≥?>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或型例2.解不等式x x x 34232->-+- }256| {≤≥?<2)]([)(0 )(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型例3.解不等式24622+<+-x x x

指数不等式例1、解不等式（1）12>x （2） ) 1(332)21(22--->+-a a a a x x x 且（4）x x -->4)21(3 2 （5）222223 2≤+-x x （6）2931831>?+-+x x {x |x >2或32 log 3x （2） 1log 2 1->x （3）6 24log log >x （4）)102(log )43(log 312 31+>--x x x 三角不等式（1）21 cos >x （2） 3sin 2+πx

一元一次不等式及其解法常考题型讲解

5.解不等式 10 1.0)39.1(10 2.06.035.05.12?->---x x x 。 6.（2016秋相城区期末）若代数式 123-+x 的值不大于6 34+x 的值时，求x 的取值范围。 7. （2017春开江县期末）请阅读求绝对值不等式3x 的解集的过程：因为3x ，从如图2所示的数轴上看：小于3-的数和大于3的数的绝对值是大于3，所以3>x 的解集是3-x 。解答下列问题：（1）不等式a x <（0>a ）的解集为，不等式a x >（0>a ）的解集为；（2）解不等式42<-x ；（3）解不等式75>-x 。

4.8.2 指数不等式与对数不等式(含答案)

【课堂例题】例1.试解下列不等式： (1)123 9x x ->; (2) 1()32x ≤; (3)2lg lg(6)x x >+； (4)0.5log 1x >-. 课堂自测 1.解下列不等式： (1)23712 ()2x x +-> (2)11332 log ()log x x x -> (3)11() 93x -< (4)2lg(6)1x -≤ 2.解下列不等式： (1)469x x x +>; (2)2log log 430x x +-≤; 3.解不等式：2 (2)log (34)0x x x ---< (选用)例2.解关于x 的不等式：2log (2)log 20,(0,1)a a a x a x a a -++>>≠.

【知识再现】下列常见指数不等式与对数不等式的等价变形为： ()()(0,1)f x g x a a a a ?>≠>??? (0,1)log ()log ()a a a a f x g x ?>≠>??? 【基础训练】 (解不等式的结果一律集合(区间)表示) 1.解下列不等式： (1)352114()2x x +->; (2)451381x -≥. 2.解下列不等式： (1)222log log x x ≥; (2)0.5log 2x ≤-. 3.(1)不等式11()161282 x <≤的整数解的个数为( )； A.10 B.11 C.12 D.13 (2)不等式3log |2|2x -<的整数解的个数为( )； A.15 B.16 C.17 D.18 (3)若2log 13 a <，则a 的取值范围是( ). A.2(0,)3 B.2(,)3+∞ C.2(,1)3 D.2(0,)(1,)3+∞ 4.解不等式：2log (6)2x x x -->. 5.解不等式：2882lg33 10x x +->.

基本不等式求最值的类型与方法,经典大全

专题：基本不等式求最值的类型及方法一、几个重要的基本不等式： ①，、)(2 22 22 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤ ?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链： b a 11 2 +2 a b +≤≤≤2 2 2b a +。二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞ ；单调递减区间：(0, ，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+ >-的最小值。解析：21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1)x x x x --=+++>- 1≥312≥+52=，当且仅当 2 11 (1) 22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。例2、求下列函数的最大值： ①2 3 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析：① 3 0,3202 x x <<->∴， ∴2 3(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3(32)[ ]13 x x x ++-≤=，当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。 ② 0,sin 0,cos 02 x x x π << >>∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求2y 的最大值。 2 4 2 sin cos y x x =?2 2 2 sin sin cos x x x =??222 1(sin sin 2cos )2x x x =??22231sin sin 2cos 4( )2327 x x x ++≤?=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π < < tan x ?=tan x arc =时 “=”号成立，故评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。例3、若x 、y + ∈R ，求4 ()f x x x =+ )10(≤、图象及性质知，当(0,1]x ∈时，函数 4 ()f x x x =+是减函数。证明：任取12,(0,1]x x ∈且1201x x <<≤，则

指数不等式、对数不等式考试试题及答案

指数不等式、对数不等式考试试题及答案例5-3-7 解不等式：解(1)原不等式可化为 x2-2x-1＜2(指数函数的单调性) x2-2x-3＜0 (x+1)(x-3)＜0 所以原不等式的解为-1＜x＜3。 (2)原不等式可化为注函数的单调性是解指数不等式、对数不等式的重要依据。例5-3-8 解不等式log x+1(x2-x-2)＞1。解[法一] 原不等式同解于

例5-3-11设a＞0且a≠1，解不等式解原不等式可化为令log a x=t，则得当0＜a＜1时，由指数函数的单调性，有 4-t2＜1-2t t2-2t-3＞0 (t+1)(t-3)＞0 t＜-1，或t＞3 当a＞1时，则有 4-t2＞1-2t t2-2t-3＜0 (t+1)(t-3)＜0 -1＜t＜3 注解既含指数又含对数的不等式的基本思想是“化同底，求单一”，即把不同底的指数或对数化为同底的，再通过函数的单调性将复合情形转化为只含指数或对数的单一情形求解。例5-3-12设f(x)是定义在实数集R内的函数，对任意x，y∈R，有f(x+y)=f(x)·f(y)；并且当x＞0时，f(x)＞1，f(1)=a。解关于x的不等式f(x2+x-4)＞a2。

常见不等式通用解法

常见不等式通用解法总结一、基础的一元二次不等式，可化为类似一元二次不等式的不等式 ①基础一元二次不等式如2260x x --<，2210x x -->，对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元二次不等式，重点关注解区间的“形状”。当二次项系数大于0，不等号为小于（或小于等于号）时，解区间为两根的中间。 2260x x --<的解为3 (,2)2 - 当二次项系数大于0，不等号为大于（或大于等于号）时，解区间为两根的两边。 2210x x --> 的解为(,1(1)-∞?+∞ 当二次项系数小于0时，化成二次项系数大于0的情况考虑。 ②可化为类似一元二次不等式的不等式（换元）如1392x x +->，令3x t =，原不等式就变为2320t t -+<，再算出t 的范围，进而算出x 的范围又如243 2 x ax >+ ，令2t x =，再对a 进行分类讨论来确定不等式的解集 ③含参数的一元二次不等式解法步骤总结：如不等式210x ax ++>，首先发现二次项系数大于0，而且此不等式无法直接看出两根，所以，讨论24a ?=-的正负性即可。此不等式的解集为0,0,{|}20,()R a x R x ? ??-∞?+∞? 又如不等式223()0x a a x a -++>，发现其可以通过因式分解化为2()()0x a x a -->，所以只需要判定2a 和a 的大小即可。此不等式的解集为22 01,{|}01,(,)(,)01,(,)(,) a or a x R x a a a a a or a a a ==∈≠?? <<-∞?+∞??<>-∞?+∞?

不等式的典型例题解析

不等式的典型例题解析【例1】解不等式：(1)2x3-x2-15x＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．【分析】如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“区间法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：(1)原不等式可化为 x(2x+5)(x-3)＞0 顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1)的阴影部分． (2)原不等式等价于 (x+4)(x+5)2(x-2)3＞0 ∴原不等式解集为｛x|x＜-5或-5＜x＜-4或x＞2｝．【说明】用“区间法”解不等式时应注意：①各一次项中x的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可参照(2)的解法转化为不含重根的不等式，也可直接用“区间法”，但注意“奇穿偶不穿”．其法如图(5－2)．【例2】解下列不等式：

变形解：(1)原不等式等价于用“区间法” ∴原不等式解集为(-∞，-2)∪〔-1，2)∪〔6，+∞)．用“区间法”

【例3】解下列不等式：【分析】无理不等式的基本解法是转化为有理不等式(组)后再求解，但要注意变换的等价性．解：(1)原不等式等价于 (2)原不等式等价于 ∴原不等式解集为｛x|x≥5｝． (3)原不等式等价于

【说明】解无理不等式需从两方面考虑：一是要使根式有意义，即偶次根号下被开数大于或等于零；二是要注意只有两边都是非负时，两边同时平方后不等号方向才不变．此外，有的还有其他解法，如上例(3)．原不等式化为 t2-2t-3＜0(t≥0)解得0≤t＜3 【说明】有些题目若用数形结合的方法将更简便．【例4】解下列不等式：

高中数学考前归纳总结常见基本不等式的解法

常见基本不等式的解法一、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。如（1）解不等式2 (1)(2)0x x -+≥。（答：{}|12x x x ≥=-或）；（2）不等式(0x -的解集是____（答：{}|31x x x ≥=-或）；（3）设函数()()f x x ，g 的定义域都是R ，且()0f x ≥的解集为{}|12x x ≤<， ()0g x ≥的解集为?，则不等式()()0f x g x ?>的解集为______ （答：()[),12,-∞+∞U ；（4）要使满足关于x 的不等式2290x x a -+<（解集非空）的每一个x 的值至少满足不等式2430x x -+<和2680x x -+<中的一个，则实数a 的取值范围是______. （答：81[7,)8 ）二、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如（1）解不等式25123 x x x -<---（答：()()1,12,3-U ）；（2）关于x 的不等式0ax b ->的解集为()1,+∞，则关于x 的不等式 02ax b x +>-的解集为____________（答：()(),12,-∞-+∞U ）. 三、绝对值不等式的解法：（1）零点分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式312242 x x -++≥（答：x R ∈）；（2）利用绝对值的定义；（3）数形结合；如解不等式13x x +->（答：()(),12,-∞-+∞U ）（4）两边平方：如若不等式322x x a +≥+对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围

基本不等式的各种求解方法和技巧

基本不等式一、知识梳理二、极值定理（1）两个正数的和为常数时，它们的积有；若0,0,a b a b M >>+=，M 为常数，则ab ≤ ；当且仅当，等号成立.简述为，当0,0,a b a b M >>+= ，M 为常数，max ()ab = . （2）两个正数的积为常数时，它们的和有；若0,0,a b ab P >>=，P 为常数，则a b +≥ ；当且仅当，等号成立.简述为，当0,0,a b ab P >>= ，M 为常数，min ()a b += . (,)2 a b a b R ++≤ ∈，求最值时应注意以下三个条件：

应用基本不等式的经典方法方法一、直接利用基本不等式解题例1、（1）若0,0,4a b a b >>+=，则下列不等式恒成立的是（） A ．1 1 2ab > B ．1 1 1a b +≤ C 2≥ D. 2211+8a b ≤ （2）不等式2162a b x x b a +<+对任意(),0,a b ∈+∞ 恒成立，则实数x 的取值范围是（） A ．(2,0)? B ．(,2)(0,)?∞?+∞ C ．(4,2)? D ．(,4)(2,)?∞?+∞ （3）设,,1,1x y R a b ∈>>，若3,x y a b a b +，则11 x y +的最大值为 ( ) A ．2 B ．32 C ．1 D ．12

方法二：凑项（增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于构造条件，通过乘或除常数、拆因式、平方等方式进行构造）例2、（1）已知54x <，求函数1 445y x x =+?的最大值；（2）已知，则的取值范围是（） A ． B ． C ． D ．方法三：“1”的巧妙代换命题点1、“1”的整体代换例3、（1）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是( ) A ．245 B ．285 C ．5 D ．6 （2）已知0,0,x y >>且21x y +=,求1 1 x y +的最小值. 0,2b a ab >>=2 2 a b a b +?(],4?∞?(),4?∞?(],2?∞?(),2?∞?

指数方程与指数不等式、对数方程与对数不等式的解法

指数、对数方程与不等式的解法注：以下式子中，若无特别说明，均假设0a >且1,0a b ≠>. 一、知识要点： 1、指数方程的解法：（1）同底去底法：()()()()f x g x a a f x g x =?=；（2）化成对数式：log ()()()log a b f x f x a a b a a f x b =?=?=；（3）取同底对数：()()()()lg lg ()lg ()lg f x g x f x g x a b a b f x a g x b =?=?=. 2、对数方程的解法：（1）同底去底法：log ()log ()()()a a f x g x f x g x =?=；（2）化成指数式：log ()log ()log ()b b a a a f x b f x a f x a =?=?=；（3）取同底指数：log ()log ()()a f x b b a f x b a a f x a =?=?=. 3、指数不等式的解法：（1）同底去底法： 1a >时， ()()()()f x g x a a f x g x ；（2）化成对数式： 1a >时， log ()()()log a b f x f x a a b a a f x b ；（3）取同底对数：()()()()lg lg ()lg ()lg f x g x f x g x a b a b f x a g x b 时， log ()log ()0()()a a f x g x f x g x >；（2）化成指数式： 1a >时， log ()log ()log 0()b b a a a f x b f x a f x a >.

高中数学不等式的分类、解法讲解学习

高中数学不等式的分类、解法

精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除高中数学简单不等式的分类、解法一、知识点回顾 1.简单不等式类型：一元一次、二次不等式，分式不等式，高次不等式，指数、对数不等式，三角不等式，含参不等式，函数不等式，绝对值不等式。 2.一元二次不等式的解法解二次不等式时，将二次不等式整理成首项系数大于0的一般形式，再求根、结合图像写出解集 3三个二次之间的关系：二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系(见复习教材P228) 二次函数的零点---对应二次方程的实根----对应二次不等式解集区间的端点 4.分式不等式的解法法一：转化为不等式组；法二：化为整式不等式；法三：数轴标根法 5.高次不等式解法法一：转化为不等式组；法二：数轴标根法 6.指数与对数不等式解法 a>1时)()()()(x g x f a a x g x f >?>； 0)()()(log )(log >>?>x g x f x g x f a a 0； ) ()(0)(log )(log x g x f x g x f a a < 7.三角不等式解法利用三角函数线或用三角函数的图像求解 8.含参不等式解法根据解题需要，对参数进行分类讨论 9.函数不等式解法利用函数的单调性求解，化为基本不等式（有时还会结合奇偶性） 10.绝对值不等式解法（后面详细讨论）二、练习：（1）23440x x -++>解集为（2 23x -<< ）（一化二算三写）（2）213 022 x x ++>解集为（R ） (变为≤，则得?)（无实根则配方）三、例题与练习例1已知函数)()1()(b x ax x f +?-= ，若不等式0)(>x f 的解集为)3,1(-，则不等式 0)2(<-x f 的解集为 ),2 1 ()23,(+∞--∞Y 解法一：由根与系数关系求出3,1-=-=b a ，得32)(2++-=x x x f ，再得出新不等式，求解

高考一轮复习教案一(7)指数、对数不等式的解法(教师)

模块：一、集合、命题、不等式课题： 7、指数、对数不等式的解法教学目标：掌握指数、对数不等式的解法．重难点：指数、对数运算的应用．一、知识要点 1、指数不等式的解法 2、对数不等式的解法注：解指数、对数不等式，未指定底数的大小，要分1a >和01a <<两种情况解．二、例题精讲例1、解下列不等式（1） 2 lg 12 x < ；（2）649x x x +>；（3）22162 30x x +-+<．答案：（1）11,00,1010???? - ? ?????；（2）2 31,log 2?? -∞ ? ?? ? ；（3）()40,log 3．

例2、解下列不等式（1）()() 122log 21log 222x x +-?-<；（2）()3log 3log 01a a x x a a <>≠且；（3 21 12log x > +．答案：（1）2 25log ,log 34?? ?? ? ；（2）当01a << 时，()() 3 ,a -+∞；当 1a >时， (() 3 0,1,a a ；（3）()0,1,22? ?? 例3、解下列关于x 的不等式（1）()3 log 1 01a x a x a a x --??<>≠ ??? 且；（2）()()2 log 12101a x a a a ->->≠且．答案：（1）当1a >时，解集为() 3,a a ；当01a <<时，解集为()()30,,a a +∞；（2）当102a << 时，解集为()0,+∞；当12a =时，解集为()110,,22,22???? +∞ ? ????? ；当 1 12 a <<时，解集为( () ( ) ()() 212120,,,a a a a a a ----+∞；当1a >时， (() 20,,a a a +∞ *例4、（1）解不等式22 3103 7290x x +-?+≤；（2）对满足（1）的x ，若函数()( ) 2 2 log log 1a a y a x x b =?-+的最大值为3 2 ，最小值为0，求a b 、的值．答案：（1）[]2,4；（2）2a =或12a =，32 b =．

指数方程与指数不等式、对数方程与对数不等式的解法

指数、对数方程与不等式的解法注:以下式子中，若无特别说明，均假设0a >且1,0a b ≠>. 一、知识要点：１、指数方程的解法：（1）同底去底法:()()()()f x g x a a f x g x =?=; （２)化成对数式:log () ()()log a b f x f x a a b a a f x b =?=?=; （3）取同底对数：()()()()lg lg ()lg ()lg f x g x f x g x a b a b f x a g x b =?=?=. 2、对数方程的解法： (１）同底去底法：log ()log ()()()a a f x g x f x g x =?=; (2)化成指数式:log ()log ()log ()b b a a a f x b f x a f x a =?=?=; （３)取同底指数：log ()log ()()a f x b b a f x b a a f x a =?=?=. 3、指数不等式的解法： (1)同底去底法: 1a >时, ()()()()f x g x a a f x g x ；（2）化成对数式： 1a >时, log ()()()log a b f x f x a a b a a f x b ；（3）取同底对数：()()()()lg lg ()lg ()lg f x g x f x g x a b a b f x a g x b 时， log ()log ()0()()a a f x g x f x g x >；（2）化成指数式: 1a >时， log ()log ()log 0()b b a a a f x b f x a f x a >.

常见不等式的解法归纳总结

常见不等式的解法归纳总结知识点精讲一．一元一次不等式（ax b >）（1）若0a >，解集为|b x x a ??> ????. (2) 若0a <，解集为|b x x a ??< ??? ? （3）若0a =，当0b ≥时，解集为?；当0b <时，解集为R 二、一元一次不等式组（αβ<）（1）x x αβ>??>?，解集为{}|x x β>.（2）x x αβ?? ??≠，其中24b ac ?=-，12,x x 是方程2 0(0)ax bx c a ++>≠的两个根，且12x x < （1）当0a >时，二次函数图象开口向上. （2）①若0?>，解集为{} 21|x x x x x ><或. ②若0?=，解集为|2b x x R x a ??∈≠- ???? 且. ③若0?<，解集为R . (2) 当0a <时，二次函数图象开口向下. ①若0?>，解集为{}12|x x x x << ②若0?≤，解集为? 四、简单的一元高次不等式的解法简单的一元高次不等式常用“穿根法”求解，其具体步骤如下. 例如，解一元高次不等式()0f x > （1）将()f x 最高次项系数化为正数（2）将()f x 分解为若干个一次因式或二次不可分因式（0?<）（3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶次方根切而不过，奇次方根既穿又过，简称“奇穿偶切”）.

指数与对数不等式的解法

指数不等式：转化为代数不等式 ()()()()() 1.(1)()();(01)()() 2.(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b >>?>><>>??> 对数不等式：转化为代数不等式 ()0log ()log ()(1)()0; ()()()0log ()log ()(01)()0 ()()a a a a f x f x g x a g x f x g x f x f x g x a g x f x g x >?? >>?>??>?>?? ><??x x x 例2.解不等式15 4log

的一个解，解此关于x 的不等式. 例4.解不等式：)10(log 31log ≠<-<-a x x a a 例5．1>a 时解关于x 的不等式0]1)2(2[log 1 2>++-+x x x x a a a 练习 1. 不等式 log log 22 1>x 的解集为……………………………………（）（A ）{x|x<2} （B ）{x|02} 2. （05辽宁卷）若011log 2 2<++a a a ，则a 的取值范围是（） A ．),2 1 (+∞ B ．),1(+∞ C ．)1,21( D ．)21,0( 3. (05全国卷Ⅰ) 设10<

不等式解法15种典型例题

不等式解法15种典型例题典型例题一例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2<-++x x x ．分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(-+x x x 把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根 3,2 5,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为? ????? ><<-3025x x x 或（2）原不等式等价于 0)2()5)(4(32>-++x x x ???>-<-≠????>-+≠+?2 450)2)(4(05x x x x x x 或 ∴原不等式解集为 {}2455>-<<--

不等式的解法典型例题及详细答案

不等式的解法·典型例题【例1】?(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．【例2】?解下列不等式：【例3】?解下列不等式【例4】?解下列不等式：【例5】?|x 2-4|＜x+2．【例6】?解不等式1)123(log 2122<-+-x x x ．不等式·典型例题参考答案【例1】?(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．【分析】?如果多项式f(x)可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“区间法”求解，但要注意处理好有重根的情况．原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0 ∴原不等式解集为｛x|x ＜-5或-5＜x ＜-4或x ＞2｝．【说明】?用“穿针引线法”解不等式时应注意： ①各一次项中x 的系数必为正； ②但注意“奇穿偶不穿”．其法如图(5－2)．【例2】?解下列不等式：解：(1)原不等式等价于用“穿针引线法” ∴原不等式解集为(-∞，-2)∪〔-1，2)∪〔6，+∞)．（2）【例3】?解下列不等式解：(1)原不等式等价于 ∴原不等式解集为｛x|x ≥5｝． (2)原不等式等价于【说明】?解无理不等式需从两方面考虑：一是要使根式有意义，即偶次根号下被开数大于或等于零；二是要注意只有两边都是非负时，两边同时平方后不等号方向才不变．【例4】?解下列不等式：解：(1)原不等式等价于令2x =t(t ＞0)，则原不等式可化为 (2)原不等式等价于 ∴原不等式解集为(-1，2〕∪〔3，6)．【例5】?|x 2-4|＜x+2．解：原不等式等价于-(x+2)＜x 2-4＜x+2．故原不等式解集为(1，3)．这是解含绝对值不等式常用方法．【例6】?解不等式1)123(log 2122<-+-x x x ．解：原不等式等价于 (1)当a ＞1时，①式等价于 ② (2)当0＜a ＜1时，②等价于 ③