配方法与换元法
中考数学复习专题：配方法与换元法
一、配方法与换元法的特点：
把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．
配方法与换元法是初中数学中的重要方法，近几年的中考题中常常涉及。有时题中指定用配方法或换元法求解，而更多的则是隐含在题目当中，在分析题意的基础上，由考生自己确定选用配方法或换元法，把代数式配成完全平方式的形式，利用完全平方式的特性去求解，以达到快速解题的目的，这是种快捷也是很有效的方法，在初中代数中，占有很重要的地位和份量。
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
二、配方法与换元法的方法：
配方法与换元法主要依据完全平方公式，由公式a 2±2ab+b 2=(a±b)2可知，如果一个多项式能够表达成“两个数的平方和，加上或减去这两个数的积的2倍，则这个多项式就可以写成这两个数的和或差的平方。”由完全平方式的性质可知，任何一个实数的平方都是非负数，即(a-b)2
≥0，当a=b 时，(a-b)2
=0。利用这条性质，并可以解决很多与之有联系的数学问题。
配方法解题的关键是恰当的“凑配”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式．而配方法一般有两种形式，一是根据第一项和第二项的系数特点，确定第三项系数或常数项。如二次三项式4 x 2+6x+k 是完全平方式，试确定k 值。这一类的问题只有一解。而更多的是由第一项和第三项的系数特点，确定第二项的系数。如二次三项式4x 2+kxy+25 y 2是完全平方式，试确定k 值。这一类问题一定要考虑正、负值两种情况，结果应为两解才为正确，这一点为不少考生所忽视，一定要考虑周到方可取得好成绩。 三、例题精讲： 热身： 填空题：
1．将二次三项式x 2+2x －2进行配方，其结果为 。
2．方程x 2+y 2
+4x －2y+5=0的解是 。
3．已知M=x 2－8x+22，N=－x 2+6x －3，则M 、N 的大小关系为 。 4．用配方法把二次函数y=2x 2
+3x+1写成y=a(x+m)2
+k 的形式 。 5．设方程x 2+2x －1=0的两实根为x 1，x 2，则（x 1－x 2）2= 。 6．已知方程x 2－kx+k=0的两根平方和为3，则k 的值为 。 7．若x 、y 为实数，且1
1),32(332
+-+-=-+
x y x y x 则
的值等于 。
【例1】 分解因式：（1）a 2b 2-a 2+4ab-b 2+1 ；（2）（x 2+2x ＋4）（x 2+2x+6）-8
【例2】已知a ，b ∈R ，则不等式①a 2
+3>2a ，②a 2
+b 2
≥2(a －b －1)，③a 2
+b 2
>a b 中一定成立的有_______．
【例3】已知：a 、b 为实数，且a 2+4b 2－2a+4b+2=0，求4a 2－b 1
的值。
【例4】求证：不论m 、n 为任何实数，关于x 的一元二次方程mx 2＋(m ＋2n)x+2n=0总有两个实数根。
【例5】（技巧题）甲、乙两人同时从A 到B ，甲前一半路程用速度a ，后一半路程用速度b ；乙前一半时间用速度a ，后一半时间用速度b ，问哪个先到？
【例6】⑴已知M 为△ABC 的边AB 上的点，且AM 2
+BM 2
+CM 2
=2AM+2BM+2CM －3，则
AC 2+BC 2= 。⑵已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，则△ABC 的形状为 。
【例7】、解方程：1
2622
2
=+-
+x
x x x
【例8】已知：△ABC 的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程
23)32(2
2
=++++-k k
x k x 的两个实数根，第三边BC 的长为5．
（1）k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形？ （2）k 为何值时，△ABC 是等腰三角形？并求△ABC 的周长．
【例9】已知二次函数y = ( k －1)x 2－2kx +k +2，（1）当k 为何值时，图象的顶点在坐标轴上？（2）当k 为何值时，图象与x 轴的两交点间的距离为2 ？
【例10】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高出售价格，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价一元，其销售量将减少10件，问他将出售价定为多少元时，才能使每天所获利润最大?并且求出最大利润是多少?
四、闯关夺冠：
1．已知x 2
+y 2
+4x －2y+5=0，则3x-2y -2
的值是 。
2．已知M=x 2
－8x+22，N=－x 2
+6x －3，则M 、N 的大小关系为 。
3、已知13
x x +
=．则
2
2
1
x x +
的值为__________．
4、把代数式a 2+16加上一个单项式，使它能成为一个完全平方式，则所有符合条件的单项式是__________．
5．用配方法把二次函数y=2x 2+3x+1写成y=a(x+m)2+k 的形式 。 6．设方程x 2
+2x －1=0的两实根为x 1，x 2，则（x 1－x 2）2
= 。
7．将二次三项式x 2+2x －2进行配方，其结果为 最小值为 8、（08上海中考）用换元法解分式方程2x-1/x-x/2x-1=2时，如果设2x-1/x=y ，并将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个方程为_____________。
9．已知方程x 2－kx+k=0的两根平方和为3，则k 的值为 。 10．代数式a 2+5b 2-4ab+2b+100的最小值为——————————。
11．若x 、y 为实数，且
11
),32(332
+-+-=-+
x y x y x 则
的值等于 。
12、13、如果a 、b 、c 为互不相等的实数，且满足关系式141622
2
2
++=+a a c b 与
542
--=a a bc ，那么a 的取值范围范围是 ．
13、不论m 、n 为何值，代数式m 2+n 2-2m+4n+5的值总是 （ ）
A 非负数
B 正数
C 负数
D 0
14、已知关于x 的方程02222
2=+-+-a a ax x 的两个实数根满足2
2
21x x +=2，则a 的值
为 （ ）
A ．－3
B .－3，1 C.3，－1 D.1 15、已知一个四边形ABCD 的边长分别为a 、b 、c 、d ，其中a 、c 为对边，且a 2+b 2+c 2+d 2=2ac+2bd ，则四边形是 （ ）
A 任意四边形；
B 梯形；
C 平行四边形；
D 对角线互相垂直的四边形；
16、对于分式1/x 2-2x+m ，不论x 取何实数都有意义，则m 的取值范围为 （ ）
A m≥1，
B m≤1，
C m ＞1，
D m ＜1
17、若a 、b 、c 是三角形的三边长，则代数式a 2 –2ab+b 2 –c 2的值 （ ）
A 大于零
B 等于零
C 小于零
D 不能确定
18、若2x2－kx+9是一个完全平方式，求k的值.
19、已知：菱形的两条对角线长之和为2 ，菱形的面积为2 ，求菱形的周长。
20、解方程：（1）2x2-6x+3=0(配方法) （2）
4
x
1
x
x
1
x
2
2=
-
+
-
+
21、已知抛物线经过点A（2，4）和点B（－1，－8），且在x轴上截得的线段长为3，求抛物线的解析式。
22、已知a=2008x+2004，b=2008x+2006，c=2008x+2008，求代数式a2+b2+c2-ac-bc-ca的值。
23、试判断2005×2006×2007×2008+1是否是一个完全平方数。
24、已知：△ABC的三这分别为a、b、c，且满足等式3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2，试说明该三角形是等边三角形。
25、已知x
1、x
2
是关于x的方程x2-6x+k=0的两个实数根，且x
1
2x
2
2-x
1
-x
2
=115，
（1）求k的值；（2）求x
12+x
2
2+8的值.
26、已知抛物线y=(1－m)x2+4x－3开口向下，与x轴交于A(x
1,0)和B(x
2
,0)两点，其中x
l
2 ． (1)求m的取值范围； (2)若x 12+ x 2 2=10，求抛物线的解析式； (3)设(2)中的抛物线与y轴于点C,在y轴上是否存在点P，使以P、0、B为顶点的三角形与△AOC相似?若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 27、观察下列各式的特点，并回答下列问题： （1）用＞、=、＜填空： 32+42 ————2×3×4，（-1）2+82 ———— 2×（-1）×8， （-3）2+（-5）2 —————2×（-3）×（-5），（-6）2+（-6）2 —————— 2×（-6）×（-6） （2）若a、b为实数，则a2+b2、2ab的大小关系为a2+b2 _______ 2ab，并证明其正确性。 28、已知二次函数图象经过A（-1， 3）．对称轴为x=1，抛物线与x轴两交点距离为4，求这个二次函数的解析式？ 29．关于x的一元二次方程x2+(k+1)x－k－3=0 (1)求证：该方程一定有两个不相等的实数根；(2)若该方程的一根为2，求另一根的值． 30、(06南通中考)已知A=a+2，B=a2－2a+5，C=a2+5a－19，其中a>0． (1)求证：B－A>0，并指出A与B的大小关系；(2)指出A与C哪个大，并说明理由． 31、已知抛物线经过点A（2，4）和点B（－1，－8），且在x轴上截得的线段长为3，求抛物线的解析式。 2 例如：x 2 3x x 2 3x 2 3x 2 2x 3x 2 2x 4x 2 5x 观察发现 2 3x 2 3x 2x 4x 2 5x 1，故可设 x 2 3x 2 3x 2 2x v ，原方程变为u 2 uv v 2 ，方程由繁变简，可得解? 第 6 讲利用换元法解方程 、方法技巧 （一） 换元法 解方程是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的 . （二） 运用换元法解方程，主要有三种类型：分式方程、无理方程、整式（高次）方程 解分式方程、无理方程、 整式（高次）方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、 无理方程化为有理方程、整式（高次）方程逐步降次 （三） 换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的， 不同的方程就有不同的换元方 法，因此， 这种方法灵活性大，技巧性强?恰当地换元，可将复杂方程化简，以 便寻求解题的途径. 常用换元方法有局部换元、均值换元、倒数换元、常数换元等. 82，使方程变得易解，这是均值换元法 例如: 5 — 6 0，可使用局部换元法, x 1 ②x 2 0,变形后也可使用局部换元法，设 2x 2 ~2 x x 2 1 19 —，看着很繁冗，变形整理成 6 x 2 x 2 2 x 2 x 19 一 —时，就可使用局部换兀法 6 82 , 可设 口 x 2，方程变成 ⑤6x 4 5x 3 38x 2 5x 符合与中间项等距离的项的系数相等, 如6x 4 与6 , 5x 3与5x 系数相等，可构造 x 1换元，是倒数换元法. x ⑥x 3 2、.3x 2 3x .3 1 0 ,不易求解，若反过来看，把设 x 看作已知数, 把.3设为设t ，则方程就变成x t 2 2x 2 1 t 数字换元法不常用，但不失为一种巧妙的解题方法 有时根 据方程各部分特点可设双元，达到化繁为简, 求解的目的 利用换元法解分式方程的四种常见类型 一、直接换元 例1 解方程015)1 (2)1(2=----x x x x . 解：设 y x x =-1 ，则原方程可化为01522=--y y . 解得 5,321=-=y y . 当3-=y 时，31 -=-x x ，解得 43=x ； 当5=y 时，51=-x x ，解得 45 =x . 经检验，4 5 ,4321==x x 是原方程的根. 二、配方换元 例2 解方程 1)1 (3)1(22 2 =+-+ x x x x . 解：原方程配方，得 05)1 (3)1(22=-+-+x x x x . 设,1y x x =+则05322 =--y y . 解得 25 ,121=-=y y . 当1-=y 时，,11-=+x x 即012 =++x x . 因为0311412 <-=??-=?， 所以方程012 =++x x 无实数根. 当25=y 时，,2 51=+x x 即02522 =+-x x . 解得 21 ,221==x x . 经检验，2 1 ,221==x x 是原方程的根. 三、倒数换元 例3 解方程 031 ) 1(21122=-+++++x x x x . 解：设 y x x =++1 12，则原方程可化为032 =-+y y . 去分母，整理，得0232 =+-y y ，解得 2,121==y y . 当1=y 时， 11 1 2=++x x ，即02=-x x . 解得 1,021==x x . 当2=y 时， 21 1 2=++x x ，即0122=--x x . 解得 21,2143-=+=x x . 经检验，,1,021==x x 21,2143-=+=x x 都是原方程的根. 四、变形换元 例4 解方程12 22 242 2 =+-+ -x x x x . 解：原方程可变形为052 22 )22(22 2 =-+-+ +-x x x x . 设y x x =+-222 ，则原方程可化为052 2=-+ y y . 去分母，整理，得02522 =+-y y . 解得 2 1,221= =y y . 当2=y 时，2222 =+-x x ，即022 =-x x . 解得 2 1,021==x x . 当21= y 时，2 1222 =+-x x ，即03242=+-x x . 因为044344)2(2 <-=??--=?， 所以方程03242 =+-x x 无实数根. 经检验，2 1 ,021= =x x 是原方程的根. 例1 解方程 分析 括号里的分式相同，由这个特点，知可用换元法来解。 年 级 五年级 学 科 奥数 版 本 通用版 课程标题 换元法 （一） 编稿老师 王刚 一校 林卉 二校 黄楠 审核 高旭东 某些计算求值问题，有这样的特点：相同的部分重复出现两次或多次，整个算式不适合用裂项去处理。这时候我们应该考虑用换元法。什么是换元法呢？就是用字母或者符号替代算式中重复出现的部分，将算式改写成更简洁的形式，然后再计算。 初学换元法应先学会找到重复出现的项，观察这些项出现的位置。 例如： )98.1031.9()1066.577.688.7()1098.1031.9()66.577.688.7(+?+++-++?++ 这个算式中有5个不同的小数，各出现两次，非常适合用换元法来解。设 98 .1031.966.577.688.7+=++=b a 这样就完成了换元。 例1 12011200920102+? 分析与解： 1 1 1 1 )1 ( )1 ( 1 )1 ( )1 ( 1 2011 2009 2010 2010 2 2 2 2 2 2 2 = = + - + - = + - + ? - = + + ? - = + ? = a a a a a a a a a a a a a a，则原式可以变形为： 设 例2 ) 23 .0 12 .0( ) 34 .0 23 .0 12 .0 1( ) 34 .0 23 .0 12 .0( ) 23 .0 12 .0 1(+ ? + + + - + + ? + + 分析与解： 34 .0 34 .0 34 .0 34 .0 ) 34 .0 1( ) 34 .0 ( ) 1( ) 23 .0 12 .0( ) 34 .0 23 .0 12 .0 1( ) 34 .0 23 .0 12 .0( ) 23 .0 12 .0 1( 23 .0 12 .0 2 2 = - - - + + + = ? + + - + ? + = + ? + + + - + + ? + + + = a a a a a a a a a a a，则原式可变形为： 设 例3) 4 1 2 1 ( ) 6 1 4 1 2 1 1( ) 6 1 4 1 2 1 ( ) 4 1 2 1 1(+ ? + + + - + + ? + + 分析与解： 高考中的常用数学方法 配方法、待定系数法、换元法 一、知识整合 配方法、待定系数法、换元法是几种常用的数学基本方法.这些方法是数学思想的具体体现,是解决问题的手段,它不仅有明确的内涵,而且具有可操作性,有实施的步骤和作法. 配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧,由于这种配成“完全平方”的恒等变形,使问题的结构发生了转化,从中可找到已知与未知之间的联系,促成问题的解决. 待定系数法的实质是方程的思想,这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中,从而通过解方程(或方程组)求得未知数. 换元法是一种变量代换,它是用一种变数形式去取代另一种变数形式,从而使问题得到简化,换元的实质是转化. 二、例题解析 例1．已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为( ). (A )32 (B )14 (C )5 (D )6 分析及解：设长方体三条棱长分别为x ,y ,z ,则依条件得： 2(xy +yz +zx )=11,4(x +y +z )=24.而欲求的对角线长为 222z y x ++,因此需将对称式 222z y x ++写成基本对称式x +y +z 及xy +yz +zx 的组合形式,完成这种组合的常用手段 是配方法.故)(2)(2 222xz yz xy z y x z y x ++-++=++=62 -11=25 ∴ 52 22=++z y x ,应选C . 例2．设F 1和F 2为双曲线14 22 =-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=90°, 则ΔF 1PF 2的面积是( ). (A )1 (B ) 2 5 (C )2 (D )5 分析及解：欲求||||2 1 2121PF PF S F PF ?= ? (1),而由已知能得到什么呢？ 由∠F 1PF 2=90°,得20||||2 22 1=+PF PF (2), 又根据双曲线的定义得|PF 1|-|PF 2|=4 (3),那么(2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联系呢？我们发现将(3)式完全平方,即可找到三个式子之间的关系.即 16||||2||||||||||212221221=?-+=-PF PF PF PF PF PF , 合并法、换元法解二元一次方程组 （一）知识教学点 1．掌握用合并法、换元法解二元一次方程组的步骤． 2．熟练运用合并法、换元法解二元一次方程组． （二）能力训练点 1．培养学生的观察分析能力; 2．训练学生的运算技巧，养成检验的习惯． （三）德育渗透点 消元，化未知为已知的数学思想． （四）美育渗透点 通过本节课的学习，渗透化归的数学美，以及方程组的解所体现出来的奇异的数学美． 二、学法引导 1．教学方法：引导发现法、练习法，指导法． 2．学生学法：在前面已经学过二元一次方程组的解法，故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法． 三、重点、难点、疑点及解决办法 （－）重点 使学生会用合并法、换元法解二元一次方程组． （二）难点 灵活运用合并法、换元法的技巧． （三）疑点 如何“消元”，把“二元”转化为“一元”． 四、课时安排 一课时． 五、教具学具准备 电脑 投影仪． 六、教学过程 一导 运用导学案 自主学习 （一）解二元一次方程组的基本思路是消元，即通过运用代入法和加减法把二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求出方程组的解.而对于具有某些特点的二元一次方程组，如果仍按常规方法不仅运算量大，而且容易出错.若能根据题目的特点，适时改进方法，不仅可以减少运算量，而且可以又快又准地解出方程组. （二）自主探究请同学们根据提示用合并法解二元一次方程组 （略） 设计意图：以学生的兴趣为主，由易至难，逐层递进，逐步完成各个任务。 （三）总结 二研 合作学习 研究探讨 （一）例题解析 （1） ???-=+=+② 10y 65x ① 1056y x （2） ???=+-=-+-② 72009)-7(2010y 9)4(2x ① 3)20092010(3)92(2y x 设计意图：合作探究，探索比较，发现规律，使每位学生参与其中，成为课堂的主人，提高解题技巧 （二）练习题 （1）???=+=+② 79y 137x ① 61713y x （2）???=+=+② 74y 1911x ① 1061119y x （3）?????-=--+=-++.1106,3106y x y x y x y x （4）??? ????=--+=-++.86)32(55)1(3,36)32(5)1(2y x y x 设计意图：竞赛完成，激发学习热情，巩固强化 三验 课堂小测验（略） 设计意图：对学生完成情况及时了解，及时总结，对课堂教学及时反思，对下一步的教学进行适时，适当的调整。并对学生的解题情况进行总体的评价，要本着激励的原则，使学生有成就感。 二、换元法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x ＋2x －2≥0，先变形为设2x ＝t （t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y ＝x ＋1-x 的值域时，易发现x ∈[0,1]，设x ＝sin 2α ，α∈[0,π2 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x 、y 适合条件x 2＋y 2＝r 2（r>0） 时，则可作三角代换x ＝rcos θ、y ＝rsin θ化为三角问题。 均值换元，如遇到x ＋y ＝S 形式时，设x ＝S 2＋t ，y ＝S 2 －t 等等。 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0,π2 ]。 例1. 实数x 、y 满足4x 2－5xy ＋4y 2＝5 （ ①式） ，设S ＝x 2＋y 2，求 1S m a x ＋1S min 的值。（93年全国高中数学联赛题） 【分析】 由S ＝x 2＋y 2联想到cos 2α＋sin 2 α＝1,于是进行三角换元，设x S y S ==???? ?cos sin αα代入①式求S max 和S min 的值。 【解】设x S y S ==?????cos sin αα 代入①式得： 4S －5S ·sin αcos α＝5 解得 S ＝10852-sin α ； 换元法及其应用 高一（2）班（C3）张宇绪论：目的在于总结数学解题方法，灵活运用换元法解题。 （一）选题引入 【例一】 其中(>1),则的值域是_______。 【分析】 一般得求出的值域比较容易，但当的自变量也是一个函数的时候求 其值域相对比较困难，这时候换元法就大派用场了。 【解】 求的值域，首先要求出的表达式。 函数一般我们习惯还是用来表示，所以要把换成。 【例二】 解不等式：。 【分析】 这是包含对数函数的不等式，一般地对数函数或指数函数写起来都比较麻烦，当在一个等式或不等式中对数或指数出现次数很多的时候，一般可以考虑用换元法，把对数或指数换掉，这样可以简化计算的中间过程，减少因为写错写漏而引起的错误。 【解】 原不等式可以化为： 即，以2为底的对数函数是增函数。 ，以2为底的指数函数是增函数。 变量代换的一个共同的特点是：尽可能让外表结构简单明白，尽可能将新鲜的问题转化到熟悉的老问题中去。换元法关键的一步是变量代换，如何选择，如何代换直接影响计算的复杂度，甚至影响到能否解决问题。 （二） 选题概述 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 （三） 选题分类 1、局部换元 又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4 ＋2 －2≥0，先变形为设2 ＝t （t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 2、三角换元 应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y ＝√1-X^2值域时，若x ∈[-1,1]，设x ＝sin α ，sinα∈[-1,1 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x 、y 适合条件x ＋y ＝r （r>0）时，则可作三角代换x ＝rco sθ、y ＝rsinθ化为三角问题。 3、均值换元 如遇到x ＋y ＝2S 形式时，设x ＝ S ＋t ，y ＝ S －t 等等。 （四） 换元法典型题归纳 1、整体换元 求函数x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值. 解：设??t x x ?y x x t .2 1cos sin ),22(cos sin 2-=?≤≤-+=则 ?t t t y .1)1(2 12122-+=+-=故 当.221,2max +==??y ?t 时 2、三角换元 求函数25x x y -+=的值域. 解：令????x ],2 ,2[,sin 5ππθθ-∈= 之一：配方法与换元法 一、配方法与换元法的特点： 把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法． 配方法与换元法是初中数学中的重要方法，近几年的中考题中常常涉及。有时题中指定用配方法或换元法求解，而更多的则是隐含在题目当中，在分析题意的基础上，由考生自己确定选用配方法或换元法，把代数式配成完全平方式的形式，利用完全平方式的特性去求解，以达到快速解题的目的，这是种快捷也是很有效的方法，在初中代数中，占有很重要的地位和份量。 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 二、配方法与换元法的方法： 配方法与换元法主要依据完全平方公式，由公式a 2±2ab+b 2=(a±b)2可知，如果一个多项式能够表达成“两个数的平方和，加上或减去这两个数的积的2倍，则这个多项式就可以写成这两个数的和或差的平方。”由完全平方式的性质可知，任何一个实数的平方都 是非负数，即(a-b)2≥0，当a=b 时，(a-b)2 =0。利用这条性质，并可以解决很多与之有联系的数学问题。 配方法解题的关键是恰当的“凑配”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式．而配方法一般有两种形式，一是根据第一项和 第二项的系数特点，确定第三项系数或常数项。如二次三项式4 x 2 +6x+k 是完全平方式，试确定k 值。这一类的问题只有一解。而更多的是由第一项和第三项的系数特点，确定第二项的系数。如二次三项式4x 2+kxy+25 y 2是完全平方式，试确定k 值。这一类问题一定要考虑正、负值两种情况，结果应为两解才为正确，这一点为不少考生所忽视，一定要考虑周到方可取得好成绩。 三、例题精讲： 热身： 填空题： 1．将二次三项式x 2 +2x －2进行配方，其结果为 。 2．方程x 2+y 2+4x －2y+5=0的解是 。 3．已知M=x 2 －8x+22，N=－x 2 +6x －3，则M 、N 的大小关系为 。 4．用配方法把二次函数y=2x 2+3x+1写成y=a(x+m)2+k 的形式 。 5．设方程x 2+2x －1=0的两实根为x 1，x 2，则（x 1－x 2）2= 。 6．已知方程x 2－kx+k=0的两根平方和为3，则k 的值为 。 7．若x 、y 为实数，且1 1),32(332 +-+-=-+x y x y x 则 的值等于 。 【例1】 分解因式：（1）a 2b 2-a 2+4ab-b 2+1 ；（2）（x 2+2x ＋4）（x 2+2x+6）-8 分析：多于三项式的多项式的分解因式，常需要进行适当的分组，分组的原则是：首先看有没有能够构成完全平方的项，然后看看有没有能够构成平方差的项，最后看有没有公因式． 解答：（1）a 2b 2-a 2+4ab-b 2+1 = （a 2b 2+2ab+1）-（a 2-2ab+b 2）=（ab+1）2-(a-b)2 =(ab+a-b+1)(ab-a+b+1)。 2.2.5《解一元二次方程—换元法》典例解析与同步训练 【知识要点】 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化， 这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母 来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元 的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 【典例解析】 例1．用适当方法解下列方程： （1）2x2﹣5x﹣3=0 （2）16（x+5）2﹣9=0 2 2 2 ． （3）（x+x）+（x+x）=6 例题分析：本题考查了一元二次方程的几种解法：①公式法；②直接开平方法；③换元法（1）用公式法解一元二次方程，先找a，b，c；再求△；再代入公式求解即可； （2）用直接开平方法解一元二次方程，先将方程化为（x+5）2= ，直接开方即可；（3）设t=x2+x，将原方程转化为一元二次方程，求解即可． 解：（1）∵a=2，b=﹣5，c=﹣3，△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×（﹣3）=25+24=49， ∴x= = = ， ∴x1=3，x2=﹣； （2）整理得，（x+5）2=， 开方得，x+5=±， 即x1=﹣4 ，x2=﹣5 ， 2 +x，将原方程转化为2 ， （3）设t=x t+t=6 因式分解得，（t﹣2）（t+3）=0， 解得t1=2，t2=﹣3． 2 2 ∴x+x=2或x+x=﹣3（△＜0，无解）， ∴原方程的解为x1=1，x2=﹣2． 第 7 讲 换元法（高中版） （第课时） 换元法? ??? ??? ???? ??? ???? ?? ??????? ????三角代换均值代换 整体代换策略化超越式为代数式化无理式为有理式化分式为整式降次复杂问题简单化非标准问题标准化 用途 重点：1．；2．；3．。 难点：1．；2．；3．；。 我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子。换元的关键是构造元和设元。 换元的实质是转化，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式。换元后要注意新变量的取值范围，它既不能缩小也不能扩大。 换元法在因式分解、化简求值、恒等式证明、条件等式证明、方程、不等式、函数、数列、三角、解析几何等问题中有广泛的应用。 换元的常用策略有：整体代换（有理式代换，根式代换，指数式代换，对数式代换、复变量代换）、三角代换、均值代换等。 整体代换：在条件或者结论中，某个代数式反复出现，那么我们可以用一个字母来代替它， 当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x ＋2x －2≥0，先变形为设2x ＝t （t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角代换：如果把代数式换成三角式更容易求解时，可以利用代数式中与三角知识的联系进 行换元。例如求函数y ＝x ＋1-x 的值域时，易发现x ∈[0,1]，设x ＝sin 2 α ，α∈[0, π 2 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。又如变量x 、y 适合条件x 2 ＋y 2 ＝r 2 （r>0）时，则可作三角代换x ＝rcos θ、y ＝rsin θ化为三角问题。 均值代换：对两个类似的式子，可令其算术平均值为t 进行换元；如果遇到形如 S y x =+ 或 S y x =+2 2 这样的对称结构，可设 x ＝S 2＋t ，y ＝S 2－t 或 t S x +=22 ，t S y +=2 2等等。 1．换元法在方程中的应用 我们知道，解分式方程时一般用“去分母”的方法，把分式方程化成整式方程来解；解无理方程一般用“两边乘方”的方法，将无理方程化成有理方程来解。然而利用这些常规的变形方法解题，有时会产生高次方程，解起来相当繁琐，甚至有时难于解得结果。对于某些方程，我们可以用新的变量来替换原有的变量，把原方程化成一个易解的方程。 例.（高二）如果关于x 的方程 0sin cos 22 2 4 =++θθx x 有相异的四实根，求θ的范围。 分析：此题已知条件的形式比较陌生，我们先看看能不能把它转化为我们所熟悉的形式。 令 t x =2 ，则原方程化为： 0sin cos 22 2=++θθt t ⑴ 使原方程有相异的四实根等价于使方程⑴有两不等正根。 由此得 ?? ? ? ?>>->-=?)4(0sin )3(0cos ) 2(0sin 4cos 4222θθθθ 即 ?? ? ??≠<>0sin 0cos 02cos θθθ 解之得 4 52432ππθππ+<<+ k k 且 )()12(J k k ∈+≠πθ 2．换元法在不等式中的应用 例.（高二）设对所于有实数x ，不等式x 2 log 241()a a +＋2x log 221a a +＋log 2()a a +142 2 >0 恒成立，求a 的取值范围。 分析：不等式中，log 241()a a +、 log 221a a +、log 2()a a +142 2 三项有何联系？对它们进 行变形后再实施换元法。 解： 设 log 2 21 a a +＝t ，则 log 241()a a +＝log 2812()a a +＝3＋log 2a a +12＝3－log 221 a a +＝3－t ， log 2()a a +142 2 ＝2log 2 a a +12＝－2t ， 代入后原不等式简化为 （3－t ）x 2 ＋2tx －2t>0 ，它对一切实数x 恒成立， 换元法在椭圆问题中使用 我们在解决椭圆问题时往往因为运算量大，而感觉问题变得很难。其实，在椭圆方程中，令a=b=r，则椭圆方程变为圆方程；在椭圆面积公式S=πab中，令a=b=r，则椭圆面积公式变为圆的面积公式.以上说明圆能够看作是特殊的椭圆，它们有很多相似的性质，从而椭圆的有些 问题就能够用圆的知识来处理.下面分类举例，予以说明.求椭圆的中 点弦方程例１：已知椭圆+=1，定点P（m，n）（mn≠0）在椭圆内，求以Ｐ（m，n）为中点的弦所在的直线方程.解：令x′=，y′=，则已知椭圆和定点P（m，n）变为相对应的圆x′2+y′2=1和定点P′（，），从而所求问题变为：求圆x′2+y′2=1内以P′（，）为中点的弦所在的直线方程.∵直线OP′的斜率kOP′==，∴以P′为中点的弦所在直 线的斜率为-，弦所在直线的方程为y′-=－（x′-），化简得 b2mx+a2ny-b2m2-a2n2=0.评析：本题也可用韦达定理或“点差法”解决，但运算较繁琐，而以上解法通过换元法将椭圆转化为圆，再使用 圆的性质轻松求解，可谓方法独特.求椭圆上的动点到定直线（或定点）的距离的最值例2：在椭圆+=1上求一点，使它到直线l：3x-2y-16=0 的距离最短，并求此距离.解：令x′=，y′=，则已知椭圆和直线l变为相对应的圆x′2+y′2=1和直线l′：6x′-2y′-16=0.从而所求问 题变为：求圆x′2+y′2=1上一点到直线l′：6x′-2y′-16=0的距 离最短问题.由平面几何知识可知，过圆x′2+y′2=1的圆心O′（0，0）作直线l′的垂线段，交圆于点P′（x′，y′），点P′到垂足的距离最短.所以由直线l′的垂线O′P′：y′=-x′和圆x′2+y′2=1 相交，可求得点P′为（，-）.则相对应椭圆上所求的点Ｐ为（，-），所求最短距离为=.评析：此类问题还可用函数法、判别式法、导数法 和参数法求解，而通过换元法将椭圆和直线（或定点）转化为相对应 的圆和直线（或定点），使用圆的性质和平面几何知识使问题易于理解，又可避免较为繁琐的计算过程.求椭圆方程例３：已知椭圆的中心 在原点，焦点在x轴上，离心率为，过点M（0，2）作直线l与椭圆交于A、B两点，设N为AB的中点，且KＯＮ=，=，求椭圆的方程.解： 1-3-5换元法.题库教 师版 换元法 教学目标 对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．” 三、换元思想 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简． 【例 1】 计算：1111111111(1)()(1)()2424624624 ++?++-+++?+ 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 令1111246a +++=，111246b ++=，则： 原式1 1()()66a b a b =-?-?- 1166ab b ab a =--+ 1()6a b =-11166 =?= 【答案】16 【巩固】 11111111111111(1)()(1)()23423452345234 +++?+++-++++?++ 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 设111234a = ++，则原式化简为：1111(1555a a a a +(+)(+)-+)= 【答案】15 【巩固】 计算：621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947????????++?++-+++?+ ? ? ? ????????? 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 令621739458126358947a ++=；739458358947b +=， 原式378378207207a b a b ????=?+-+? ? ?????()3786213789207126207a b =-?=?= 【答案】9 【巩固】 计算：(0.10.210.3210.4321+++)?(0.210.3210.43210.54321+++)- (0.10.210.3210.43210.54321++++)?(0.210.3210.4321++) 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 设0.210.3210.4321x =++，0.210.3210.43210.54321y =+++， 原式=(0.1x +)y ?-(0.1y +)0.1x ?=?(y x -)0.054321= 【答案】0.054321 【巩固】 计算下面的算式 (7.88 6.77 5.66++)?(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)?(9.3110.98+) 例题精讲 因式分解方法归纳总结 第一部分：方法介绍 初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上，进一步着重换元法，待定系数法的介绍. 、提公因式法.：ma+mb=m(a+b) 、运用公式法. (1) (a+b)(a -b) = a 2-b2 ---------- a 2-b2=(a+b)(a -b); , 2 2, 2 2 , 2,2 (2) (a ± b) = a ± 2ab+b ----------------- a ± 2ab+b =(a ± b); (3) (a+b)(a 2-ab+b2) =a 3+b3------ a 3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2); 2 2、3 3 3 3 2 2、 (4) (a -b)(a +ab+b ) = a -b -------------- a -b =(a -b)(a +ab+b ). F面再补充两个常用的公式： (5) a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2; 3,3 3 2,2 2 (6) a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca); 例.已知a, b, c是ABC的三边，且a2 b2 c2则ABC的形状是() (二)分组后能直接运用公式ab bc ca, A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形解: a2 b2 c2 ab bc ca 2 2 2 2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca (a b)2 2 2 (b c) (c a) 三、，分组分解法 例 2、分解因式：2ax 10ay 5by 解法一：第、二项为一组； 第三、四项为一组。 解:原式=(2ax 10ay) (5by bx) = 2a(x 5y) b(x 5y) =(x 5y)(2a b) bx 解法二：第一、四项为一组；第 二、三项为一组。 原式=(2ax bx) ( 10ay 5by) =x(2a b) 5y(2a b) =(2a b)(x 5y) 练习：分解因式1、a2 ab ac bc 2、xy x y 1 第6讲 利用换元法解方程 一、方法技巧 （一）换元法解方程是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的. （二）运用换元法解方程，主要有三种类型：分式方程、无理方程、整式（高次）方程. 解分式方程、无理方程、整式(高次)方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、无理方程化为有理方程、整式（高次）方程逐步降次. （三）换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的，不同的方程就有不同的换元方 法，因此，这种方法灵活性大，技巧性强．恰当地换元，可将复杂方程化简，以便寻求解题的途径． 常用换元方法有局部换元、均值换元、倒数换元、常数换元等． 例如：① 256011x x x x ????++= ? ?++? ??? ，可使用局部换元法，设1x y x =+ ②22110x x x x +++=，变形后也可使用局部换元法，设1x t x += ③222212219116 x x x x x x x +++++=+++，看着很繁冗，变形整理成222211191116 x x x x x x +++++=+++时，就可使用局部换元法. ④()()443182x x +++=，可设()()3122x x y x +++==+，方程变成 ()()441182y y ++-=，使方程变得易解，这是均值换元法. ⑤4326538560x x x x +-++=，符合与中间项等距离的项的系数相等， 如46x 与6，35x 与5x 系数相等，可构造1x x + 换元，是倒数换元法. ⑥32310x x +++=，不易求解，若反过来看，把设x 看作已 t ，则方程就变成()() 2232110x t x t x ?+++-=， 数字换元法不常用，但不失为一种巧妙的解题方法. 有时根据方程各部分特点可设双元，达到化繁为简，求解的目的. 例如： 第8讲 高考中常用数学的方法 ------配方法、待定系数法、换元法 一、知识整合 配方法、待定系数法、换元法是几种常用的数学基本方法.这些方法是数学思想的具体体现,是解决问题的手段,它不仅有明确的内涵,而且具有可操作性,有实施的步骤和作法. 配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧,由于这种配成“完全平方”的恒等变形,使问题的结构发生了转化,从中可找到已知与未知之间的联系,促成问题的解决. 待定系数法的实质是方程的思想,这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中,从而通过解方程(或方程组)求得未知数. 换元法是一种变量代换,它是用一种变数形式去取代另一种变数形式,从而使问题得到简化,换元的实质是转化. 二、例题解析 例1．已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为( ). (A )32 (B )14 (C )5 (D )6 分析及解：设长方体三条棱长分别为x ,y ,z ,则依条件得： 2(xy +yz +zx )=11,4(x +y +z )=24.而欲求的对角线长为222z y x ++,因此需将对称式 222z y x ++写成基本对称式x +y +z 及xy +yz +zx 的组合形式,完成这种组合的常用手段是 配方法.故)(2)(2222xz yz xy z y x z y x ++-++=++=62-11=25 ∴ 5222=++z y x ,应选C . 例2．设F 1和F 2为双曲线14 22 =-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且满足∠ F 1PF 2=90°,则ΔF 1PF 2的面积是( ). (A )1 (B ) 2 5 (C )2 (D )5 分析及解：欲求||||2 1 2121PF PF S F PF ?= ? (1),而由已知能得到什么呢？ 由∠F 1PF 2=90°,得20||||2221=+PF PF (2), 又根据双曲线的定义得|PF 1|-|PF 2|=4 (3),那么(2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联系呢？我们发现将(3)式完全平方,即可找到三个式子之间的关系.即 学生做题前请先回答以下问题 问题1：目前我们学习的因式分解的方法有哪些？ 问题2：换元、添项拆项是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，通过对复杂多项式的处理，最终都转化为____________． 问题3：换元是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，当多项式中的某一部分_______时，我们会________将其替换，从而简化式子的形式． 以下是问题及答案，请对比参考: 问题1：目前我们学习的因式分解的方法有哪些？ 答：提公因式法，公式法，分组分解法，十字相乘法． 问题2：换元、添项拆项是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，通过对复杂多项式的处理，最终都转化 为． 答：四种基本方法． 问题3：换元是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，当多项式中的某一部分时，我们会将其替换，从而简化式子的形式． 答：重复出现；设元． 因式分解综合应用（换元法与添项拆项）（人教 版） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.把因式分解，正确结果是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——换元法 2.把因式分解，正确结果是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——换元法 3.把因式分解，正确结果是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——换元法 4.把因式分解，正确结果是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——换元法 5.把因式分解，正确结果是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 换元法 对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．” 三、换元思想 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简． 【例 1】 计算：1111111111(1)()(1)()2424624624 ++?++-+++?+ 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 令1111246a +++=，111 246b ++=，则： 原式11()()66 a b a b =-?-?- 1166ab b ab a =--+ 1()6a b =-11166=?= 【答案】16 【巩固】 11111111111111(1)()(1)()23423452345234 + ++?+++-++++?++ 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 设111234a =++，则原式化简为：111 1(1555a a a a +(+)(+)-+)= 【答案】1 5 【巩固】 计算：621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947???????? ++?++-+++?+ ? ? ? ????????? 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 令621739458126358947a ++=；739458 358947 b +=， 原式378378207207a b a b ? ???=?+-+? ? ????? ()3786213789207126207a b =-? =?= 【答案】9 【巩固】 计算：(0.10.210.3210.4321+++)?(0.210.3210.43210.54321+++)- (0.10.210.3210.43210.54321++++)?(0.210.3210.4321++) 例题精讲 教学目标 换元法解方程 西安市第八十五中学江树基 换元法是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的．换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的，不同的方程就有不同的换元方法，因此，这种方法灵活性大，技巧性强．恰当地换元，可将复杂方程化简，以便寻求解题的途径．常用方法有均值代换、多元代换、常数代换等． 解分式方程、无理方程、高次方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、无理方程化为有理方程、高次方程逐步降次，实现这一基本思想的方法有多种，其中换元法是常用的一种重要方法，本文注重研究用换元法解方程的技能、技巧． 一、分式方程 分析：这个方程左边两个分式互为倒数关系，抓住这一特点，可设 ∴（y-1）2=0，解得y=1． 经检验，x 1，x 2 都是原方程的根． 分析：观察方程的分母，发现各分母均是关于x的二次三项式，仅常数项不同，抓住这一特点，可设y=x2+2x． 解：设y=x2+2x，则原方程可化为 即y2-y-12=0，解得y1=4，y2=-3． x2＋2x=-3，无实数解． 例3 解方程 分析：观察方程的分母，发现三个分母都是关于x的二次三项式，仅一次项不同，抓住这一特点，可设y=x2＋2x＋10． 解：设y=x2＋2x＋10，则原方程可化为 解得y =9x，y2=-5x. 1 由x2＋2x＋10=9x，解得x =5，x2=2． 1 由x2＋2x＋10=-5x，解得x =-5，x4=-2． 3 经检验知，它们都是原方程的解． 注：以上三个例子可看出，换元时必须对原方程进行仔细观察、分析，抓住方程的特点，恰当换元，化繁为简，达到解方程的目的． 二、无理方程 两边立方，并整理得 y3-2y2＋3y=0，即y（y2-2y＋3）=0， ∴y=0或y2-2y＋3=0，无解． 经检验知x=-1是原方程的解． 可设两个未知数，利用韦达定理解． 原方程为m＋n=1，又∵（m＋n）3=m3＋n3＋3mn·（m+n）=4+3mn=1，∴mn=-1．利用换元法解方程组
初三数学换元法专练
换元法 (一)
高考中的常用数学方法配方法待定系数法换元法
合并法换元法解元次方程组
数学解题方法换元法详解
换元法及其应用
2011年中考数学专题复习之一 配方法与换元法
综合解一元二次方程—换元法
高中数学3(换元法)
换元法在椭圆问题中运用
1-3-5换元法.题库教师版
因式分解的常用方法(基本公式法,分拆法,配方法,换元法,待定系数法)
利用换元法解方程(组)教学内容
8常用数学方法-配方法、待定系数法、换元法
因式分解综合应用(换元法与添项拆项)(人教版)(含答案)
小学思维数学：换元法-带答案解析
换元法解方程