中考相似和全等三角形总结分类

九年级 相似三角形和全等三角形分类

相似三角形证明方法 方法一：直接寻求相似三角形

只要根据题目给定的条件寻找出线段成比例，或者角相等利用判定定理直接找出来.

例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽△EGC ∽△EAB 。

例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，

求证：△ABC ∽△BCD

方法二：利用中间线段代换

当要证明的结论中的一条线段与其他线段之间的关系难以确定时我们可以利用等线段代换，从而容易找到相应的关系。 例1、△ABC 中，在AC 上截取AD ，在CB 延长线上截取BE ，使AD=BE ，求证：DF ?AC=BC ?FE

例2：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 于点E ，交BA 的

延长线于点D 。

求证：（1）MA 2

=MD ?ME ；（2）MD ME

AD

AE =2

2

（2）本例的关键是证明△MAE ∽△MDA ，这种具有特殊关系（有一个公共角和一条公共边）的三角形

的相似，在解题中应用很多，应从下面两个方面深刻理解：

命题1 如图，如果∠1=∠2，那么△ABD ∽△ACB ，AB 2=AD ?AC 。 命题2 如图，如果AB 2=AD ?

AC ，那么△ABD ∽△ACB ，∠1=∠2。

例3：如图△ABC 中，AD 为中线，CF 为任一直线，CF 交AD 于E ，交AB 于F ，求证：AE ：ED=2AF ：FB 。

A B C D

E

F G 12

34A

B

C

D

E

M

12

A

B

C

D

E

F

K

A

B

C

D

1

方法三：

证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”．

1．横向定型法 欲证

AB BC

BE BF

=

，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母找到一幕中BEF △的三个顶点．因此只需证ABC EBF △∽△．

2．纵向定型法

欲证AB DE

BC EF

=

，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为DEF △的三个顶点．因此只需证ABC DEF △∽△． 3．中间比法

由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比． 比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。这类问题的典型模型是射影定理模型，模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解．

倒数式的证明，往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，另一边化为几个比值和的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之．

复合式的证明比较复杂．通常需要进行等线代换（对线段进行等量代换），等比代换，等积代换，将复合式转化为基本的比例式或等积式，然后进行证明．

【例题】

“三点定型”法

一类：直接利用“左看、右看、上看、下看” 加“三点定型”

分析（第一种题型主要是通过观察就用三点定型中横向定形法找出对应线段成比例的）

例1， 已知：∠ACB=900

，CD ⊥AB 。求证：AC 2=AD ?AB

例2， 已知：等边三角形ABC 中，P 为BC 上任一点，AP 的垂直平分线交AB 、AC 于M 、N 两点。求证：BP ?PC=BM

?CN

二类：当不能直接用“左看、右看、上看、下看” 加“三点定形”时，如果有相等的线段时，可用相等的线段去替换。

例1， 已知；AD 平分∠BAC ，EF 垂直平分AD 与BC 的延长线交于F 。求证：DF 2

=BF ?CF

例2，已知；在Rt△ABC中，∠A=900，四边形DEFG为正方形。求证：EF2=BE?FC

三类：既不能直接用“三点定形”，又没有相等的线段可以替换时，可以找中间比或中间量来转化搭桥，充分体现了转化的思想在数学中的应用。

例1，已知：梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD相交于O点，作BE//CD,交CA的延长线于点E.求证：OC2=OA.OE

例2，已知：BD、CE是△ABC的两个高，DG⊥BC，与CE交于F，GD的延长线与BA的延

长线交于H。

求证：GD2=GF?GH

一、等积式、比例式的证明：

等积式、比例式的证明是相似形一章中常见题型。因为这种问题变化很多，同学们常常感到困难。但是，如果我们掌握了解决这类问题的基本规律，就能找到解题的思路。

（一）遇到等积式（或比例式）时，先看是否能找到相似三角形。

等积式可根据比例的基本性质改写成比例式，在比例式各边的四个字母中如有三个不重复的字母，就可找出相似三角形。

例1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=900，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。求证：CD2=DE·DF。

（二）若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，

则需要进行等线段代换或等比代换。有时还需添加适当的辅助线，构造平行线或

相似三角形。

例2．如图，已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交

AD于P点，交AC于E点。求证：BP2=PE·PF。

例3．如图，已知：在△ABC中，∠BAC=900，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于F。

求证：。

全等三角形证明方法中辅助线做法

一、截长补短

通过添加辅助线利用截长补短，从而达到改变线段之间的长短，达到构造全等三角形的条件

1．如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE+CD．

分析：要证AC=AE+CD，AE、CD不在同一直线上．故在AC上截取AF=AE，则

只要证明CF=CD．

二、倍长中线（线段）造全等

利用三角形的中位线，在很多题目中我们很能直接找出全等三角形，所以要通过画中位线可以很清楚的构造出来。2：如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

三、作平行线

在遇到角平分线的时，可按照以下两种方式构造平行线，（1）过三角形的一个顶点作角平分线的平行线与另一边的延长线相交，（2）过三角形的一个顶点作一边的平行线的角的平行线。

3．如图3，在等腰△ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC延长线上截取CE，且使CE=BD．连接DE交BC 于F．求证：DF=EF．

四、补全图形

4．如图4，在△ABC中，AC=BC，∠B=90°，BD为∠ABC的平分线．若A点到直线BD的距离AD为a，求BE 的长．

证明：延长AD、BC相交于F．

五、利用角的平分线对称构造全等

5．如图5，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°．证明：AD=CD．

证明：在BC上截取BE=BA，连接DE．

20．（8分）(2014年浙江绍兴)课本中有一道作业题：

有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？

小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．

（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．

（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．

23．（12分）（2013?绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．

（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．

（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．

23．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等?(1)阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等(证明略)．对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：

已知：△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1C l，∠C=∠C l．求证：△ABC≌△A1B1C1．

(请你将下列证明过程补充完整．)

证明：分别过点B，B1作BD⊥CA于D，

B1 D1⊥C1 A1于D1.则∠BDC=∠B1D1C1=900，∵BC=B1C1，∠C=∠C1，

∴△BCD≌△B1C1D1，∴BD=B1D1．

(2)归纳与叙述：由(1)可得到一个正确结论，请你写出这个结论．