数学分析(一)第一章复习题

第一章复习题

一.填空

1、数集,...}2,1:)1({=-n n

n

的上确界为 ，下确界为 。 2、 =∈-=E R x x x E sup ,|][{则 , =E inf ;

3、)(lim 2n n n n -+∞

→ = _______________。 4、设数列}{n a 递增且 a a n n =∞

→lim （有限）. 则有a = . 5. 设,2

12,212212n n n n n n x x +=-=- 则 =∞→n n x lim 二． 选择题

１、设)(x f 为实数集R 上单调增函数，)(x g 为R 上单调减函数，则函数 ))((x g f 在R 上( )。

Ａ、是单调递增函数; Ｂ、是单调递减函数;

Ｃ、既非单调增函数，也非单调减函数 ; Ｄ、其单调性无法确定.

2、在数列极限的“δε-”极限定义中,ε与δ的关系是（ ）

A 、 先给定ε后唯一确定δ;

B 、 先给定ε后确定δ,但δ的值不唯一;

C 、 先给定δ后确定ε;

D 、 δ与ε无关.

3、设数列{}(0,1,2,...)n n a a n ≠=收敛,则下列数列收敛的是（ ）

A 、}1{2n a ；

B 、}1{a n

； C 、 }1{a n ； D 、}{n a . 4. 若数列}{n x 有极限a ，则在a 的ε邻域之外，数列中的点（ ）

(A) 必不存在； (B) 至多只有有限多个；

(C) 必定有无穷多个； (D) 可能有有限多个，也可能有无穷多个.

5．设a x n n =∞

→||lim ，则 （ ） (A) 数列}{n x 收敛； (B) a x n n =∞

→lim ； (C) a x n n -=∞

→lim ； (D) 数列}{n x 可能收敛，也可能发散。 6. 设}{n x 是无界数列，则 （ ）

(A) ∞=∞→n n x lim ； (B) +∞=∞

→n n x lim ；

(C) -∞=∞→n n x lim ； (D) 存在}{n x 的一个子列}{k n x ，使得∞=∞

→k n k x lim 7.设数列}{n x 收敛，数列}{n y 发散，则数列}{n n y x （ ）

(A) 收敛； (B) 发散；

(C) 是无穷大； (D)可能收敛也可能发散。

8. {n a }、{n b }和{n c }是三个数列，且存在N,? n>N 时有≤n a ≤n b n c ，则

（ ）

A. {n a }和{n b }都收敛时，{n c }收敛；

B. {n a }和{n b }都发散时，{n c }发散；

C. {n a }和{n b }都有界时，{n c }有界；

D. {n b }有界时，{n a }和{n c }都有界；

9. “对任意给定的)1,0(∈ε，总存在正整数N ，当N n ≥时，恒有ε2||≤-a x n ”是数列}{n x 收敛于a 的（ ）

(A) 充分条件但非必要条件； (B) 必要条件但非充分条件；

(C) 充分必要条件； (D) 既非充分又非必要条件。

10. 设2

sin πn n x n =，则数列}{n x 是 （ ） (A) 收敛列； (B) 无穷大；

(C) 发散的有界列； (D) 无界但不是无穷大

三．写出下列各式精确的分析定义

1． lim n n a a →∞

≠

2．根据柯西准则叙述lim n n a →∞存在的充要条件

四．计算题

1．)1(lim 33n n n -+∞→

2.2221

2

lim()12n n

n n n n →∞++++++L

3.312lim n n

n →∞+++L

4.n

5.552221

lim .1n n n n n →∞+--+

6.21lim 1.4n

n n →∞?

?+ ???

7.设0>a ，}{n x 满足：,00>x 11

(),

0,1,2,2n n n

a

x x n x +=+=L

证明：}{n x 收敛，并求。n n x ∞→lim

五．1.求数集{}22s x x =<的上、下确界，并依定义加以验证；

2. 求函数[]() 1 2, 0 . 1n f x x n x ==∈L （,）的上确界[]

)(sup 1.0x f x ∈

六.证明题

1.用极限的定义证明235

233lim 22=--+∞→n n n n 。

2证明：若lim n n a A →∞=，则lim n n a A →∞

=. 当且仅当A 为何值时反之也成立？

3．,lim ,lim b b a a n n n n ==∞→∞→且,b a <证明：存在N ，当n>N 时，有.n n b a <