数值分析第三章函数逼近与曲线拟合习题答案

第三章 函数逼近与曲线拟合

1． ()sin 2

f x x π

=，给出[0,1]上的伯恩斯坦多项式1(,)B f x 及3(,)B f x 。

解：

()sin

,2

f x π

= [0,1]x ∈

伯恩斯坦多项式为

(,)()()n

n k k k

B f x f P x n ==∑

其中()(1)k n k k n P x x x k -??=- ???

当1n =时，

01()(1)0P x x ??

=- ???

1101()(,)(0)()(1)()1(1)sin(0)sin

022P x x

B f x f P x f P x x x x

ππ=∴=+??=-?+ ???

=

当3n =时，

3

022

122233

31()(1)01()(1)3(1)

03()(1)3(1)

13()3P x x P x x x x x P x x x x x P x x x ??

=- ?????=-=- ?????

=-=- ?????

== ???

3

3022322

33223

(,)()()

03(1)sin 3(1)sin

sin

6

3

2

3(1)(1)25632221.50.4020.098k k k

B f x f P x n x x x x x x x x x x x x

x x x π

π

π

=∴==+-+-+=

--+-=++≈--∑

2． 当()f x x =时，求证(,)n B f x x = 证明：

若()f x x =，则

(,)()()n

n k k k

B f x f P x n ==∑

001

11(1)(1)

11(1)(1)(1)(1)!(1)[(1)(1)1](1)(1)!1(1)

11(1)1[(1)]n

k n k k n

k

n k

k n

k

n k

k n

k n k

k n

k n k k n n k x x k n k n n n k x x n

k n n k x x k n x x k n x x x k x x x x

-=-=-=-=----=-??

=- ???--+=-----+=---??=- ?-??-??=- ?-??

=+-=∑∑∑∑∑

3．证明函数1,,,n

x x 线性无关 证明：

若20120,n

n a a x a x a x x R ++++=?∈

分别取(0,1,2,,)k

x k n = ，对上式两端在[0,1]上作带权()1x ρ≡的内积，得

0101010211111

n a a a n n n ??????

? ? ?

? ? ? ?= ? ?

? ? ? ????? ?+??++ 此方程组的系数矩阵为希尔伯特矩阵，对称正定非奇异， ∴只有零解a=0。

∴函数1,,,n x x 线性无关。

4。计算下列函数()f x 关于[0,1]C 的1,f

f ∞

与2f ：

3(1)()(1),[0,1]1(2)(),2

f x x x f x x =-∈=-

(3)()(1),m n f x x x =-m 与n 为正整数， 10(4)()(1)x f x x e -=+

解：

(1)若3()(1),[0,1]f x x x =-∈，则

2()3(1)0f x x '=-≥

∴3()(1)f x x =-在(0,1)内单调递增

{}{}01

max ()

max (0),(1)max 0,11x f

f x f f ∞

≤≤====

{}{}01

max ()

max (0),(1)max 0,11

x f

f x f f ∞

≤≤====

11

6

2

2

1

72((1))

11[(1)]

07

7

f

x dx x =-=-=

?

(2)若[]1

(),0,12f x x x =-

∈，则

0111

1

12

1max ()2

()12()214

x f f x f

f x dx x dx

∞

≤≤==

==-=??

11

2

2

20

1

1

22

0(())

1[()]26

f

f x dx x dx ==-=??

(3)若()(1),m n f x x x =-m 与n 为正整数

当[]0,1x ∈时,()0f x ≥

1111

()(1)(1)(1)

(1)(1)

m n m n m n f x mx x x n x n m x x m x m ----'=-+--+=-- 当(0,

)m

x n m

∈+时,()0f x '> ∴()f x 在(0,

)m

n m +内单调递减 当(

,1)m

x n m

∈+时,()0f x '< ∴()f x 在(

,1)m

n m

+内单调递减。

01

(

,1)()0max ()max (0),()()x m n m n

m

x f x n m

f f x m f f n m m n m n ∞≤≤+'∈<+==

??=??

+??

=

+

1

10

1

222

2

22

2

()

(1)

(sin)(1sin)sin

sin cos cos2sin

!!

(1)!

m n

m n

m n

f f x dx

x x dx

t t d t

t t t tdt

n m

n m

π

π

=

=-

=-

=

=

++

?

?

?

?

1

122

2

20

1

442

22

1

4141

22

[(1)]

[sin cos(sin)]

[2sin cos]

m n

m n

m n

f x x dx

t td t

t tdt

π

π

++

=-

=

=

=

?

?

?

(4)若10

()(1)x

f x x e-

=+

当[]

0,1

x∈时，()0

f x>

910

9

()10(1)(1)() (1)(9)

x x

x

f x x e x e

x e x

--

-

'=+++-

=+-

>

∴()

f x在[0,1]内单调递减。

{

}01

101

1

01100

1

1090

11

2022

2

2max ()max (0),(1)2()(1)1(1)10(1)0105[(1)]

347()

4x x x x x

f

f x f f e f

f x dx x e dx x e x e dx e

f

x e

dx e

∞

≤≤----==

====+=-+++=-=+=-????

5

。证明f g f g -≥- 证明：

()f

f g g f g g f g f g

=-+≤-+∴-≥-

6。对1

(),()[,]f x g x C a b ∈，定义

(1)(,)()()(2)(,)()()()()

b

a

b

a

f g f x g x dx

f g f x g x dx f a g a ''=''=+??

问它们是否构成内积。 解：

(1)令()f x C ≡（C 为常数，且0C ≠）

则()0f x '= 而(,)()()b

a

f f f x f x dx ''=

?

这与当且仅当0f ≡时，(,)0f f =矛盾

∴不能构成1[,]C a b 上的内积。

(2)若(,)()()()()b

a

f g f x g x dx f a g a ''=+?，则

(,)()()()()(,),(,)[()]()()()

[()()()()]

(,)

b

a

b

a

b

a

g f g x f x dx g a f a f g K

f g f x g x dx af a g a f x g x dx f a g a f g ααααα''=+=?∈''=+''=+=???

1[,]h C a b ?∈,则

(,)[()()]()[()()]()

()()()()()()()()(,)(,)

b

a b b

a

a

f g h f x g x h x dx f a g a h a f x h x dx f a h a f x h x dx g a h a f h h g ''+=++''''=+++=+???

22(,)[()]()0b

a f f f x dx f a '=+≥?

若(,)0f f =，则

2[()]0b

a

f x dx '=?,且2

()0f

a =

()0,()0f x f a '∴≡= ()0f x ∴≡

即当且仅当0f =时，(,)0f f =. 故可以构成1

[,]C a b 上的内积。

7。令*()(21),[0,1]n n T x T x x =-∈，试证{}

*

()n T x 是在[0,1]

上带权()x ρ=

的正交

多项式，并求****0123(),(),(),()T x T x T x T x 。 解：

若*

()(21),[0,1]n n T x T x x =-∈，则

1

**

1

()()()(21)(2n m n m T x T x P x dx T x T x =--?

?

令(21)t x =-，则[1,1]t ∈-，且1

2

t x +=

，故

1

**

1

1

11

()()()1

()((

)2

()(n m n m n m T x T x x dx t T t T t T t T t ρ--+==?

?? 又 切比雪夫多项式{}

*

()k T x 在区间[0,1]

上带权()x ρ=

正交，且

110,()(),02

,0

n m n m T x T x d n m n m ππ-≠???

==≠??==??? {}*()n T x ∴是在[0,1]

上带权()x ρ=

又0()1,[1,1]T x x =∈-

*001*11()(21)1,[0,1](),[1,1]

()(21)21,[0,1]

T x T x x T x x x T x T x x x ∴=-=∈=∈-∴=-=-∈

22*222

2()21,[1,1]()(21)2(21)1881,[0,1]

T x x x T x T x x x x x =-∈-∴=-=--=--∈

33*

3

3()43,[1,1]()(21)T x x x x T x T x =-∈-∴=-

332

4(21)3(21)

3248181,[0,1]

x x x x x x =---=-+-∈

8。对权函数2

()1x x ρ=-，区间[1,1]-，试求首项系数为1的正交多项式(),0,1,2,3.n x n ?= 解：

若2

()1x x ρ=-，则区间[1,1]-上内积为

1

1

(,)()()()f g f x g x x dx ρ-=?

定义0()1x ?=，则

11()()()()n n n n n x x x x ?α?β?+-=--

其中

1101

2

11

2

11211

3211

221

11

2211

21

((),())/((),())((),())/((),())(,1)/(1,1)(1)(1)0

()(,)/(,)(1)(1)0

(,)/(1,1)

(1)(1)n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x dx x dx

x x

x x x x x x dx x x dx

x x x x dx x α????β????α?αβ--------==∴=+=

+=∴==+=

+==+=

+?????

2216

2

158532()5

dx

x x ?==∴=-

?

3222213221

1

2

221

22212221

1

221

32332222

(,)/(,)

5555

22()()(1)5522()()(1)55

22

(,)/(,)

5522()()(1)55(1)136

17

525167015

2179

()57014

x x x x x x x x x dx x x x dx x x x x x x x dx x x dx x x x x x x

αβ?----=------+=--+==----+=+==∴=--=-????

9。试证明由教材式(2.14)给出的第二类切比雪夫多项式族{}()n u x 是[0,1]上带

权

()x ρ=的正交多项式。

证明：

若()n U x =

令cos x θ=，可得

1

1

1

00

()(sin[(1)sin[(1)]m n U x U x m n d π

π

θθθθ

--===++?

?

??

当m n =时，

20

sin [(1)1cos[2(1)]

2

2

m d m d π

πθθ

θθπ

+-+==

?

?

当m n ≠时，

00020sin[(1)sin[(1)]1

sin[(1){cos(1)}1

1

cos(1){sin[(1)]}11cos(1)cos(1)111cos[(1)]{sin[(1)]}

111sin[(1)]{cos[(1)]}

(1)(m n d m d n n n d m n m n m d n m m d n n n m n d m n m π

ππ

πππθθθ

θθθθθθθθθθθ++=+++=++++=-++++=-+++++=-+++=?

??

???201)sin[(1)]sin[(1)]10

n m d n πθθθ++++=? 201[1(

)]sin[(1)]sin[(1)]01

m n m d n π

θθθ+∴-++=+?

又m n ≠ ，故2

1(

)11

m n +≠+ 0

sin[(1)]sin[(1)]0n m d π

θθθ∴++=?

得证。

10。证明切比雪夫多项式()n T x 满足微分方程

22(1)()()()0n n n x T x xT x n T x '''--+=

证明：

切比雪夫多项式为

()cos(arccos ),1n T x n x x =≤

从而有

2

32

22

22

2

2

()sin(arccos)

arccos)

()sin(arccos)cos(arccos)

1

(1)

(1)()()()

arccos)cos(arccos)

arccos)cos(arcco

n

n

n n n

T x n x n

n x

n n

T x n x n x

x

x

x T x xT x n T x

n x n n x

n x n n

'=-

=

''=-

-

-

'''

∴--+

=-

+

s)

x

=

得证。

11。假设()

f x在[,]

a b上连续，求()

f x的零次最佳一致逼近多项式？解：

()

f x

在闭区间[,]

a b上连续

∴存在

12

,[,]

x x a b

∈，使

1

2

()min(),

()max(),

a x b

a x b

f x f x

f x f x

≤≤

≤≤

=

=

取

12

1

[()()]

2

P f x f x

=+

则

1

x和

2

x是[,]

a b上的2个轮流为“正”、“负”的偏差点。

由切比雪夫定理知

P为()

f x的零次最佳一致逼近多项式。

12。选取常数a，使3

01

max

x

x ax

≤≤

-达到极小，又问这个解是否唯一？解：

令3

()

f x x ax

=-

则()

f x在[1,1]

-上为奇函数

3

01

3

11

max

max

x

x

x ax

x ax

f

≤≤

-≤≤

∞

∴-

=-

=

又()f x 的最高次项系数为1，且为3次多项式。

∴3331

()()2x T x ω=

与0的偏差最小。 33313

()()44x T x x x ω==-

从而有3

4

a =

13。求()sin f x x =在[0,]2

π

上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。

解：

122222

0()sin ,[0,]

2

()cos ,()sin 0

()()2,

2

cos ,

2

arccos

0.88069

()0.77118

()()()()22

0.10526f x x x f x x f x x f b f a a b a x x f x f a f x f b f a a x a b a π

ππ

π

=∈'''==-≤-==-=∴=≈=+-+=

--=

于是得()f x 的最佳一次逼近多项式为

12

()0.10526P x x π

=+

即

2

sin 0.10526,02

x x x π

π

≈+

≤≤

误差限为

11sin ()sin 0(0)0.10526

x P x P ∞

-=-=

14。求[]()0,1x

f x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式。

解：

[](),0,1(),()0

x x x f x e x f x e f x e =∈'∴=''=>

2212222

0()()

1

1ln(1)()1

()()()()22

1(1)ln(1)(1)

221

ln(1)2x x f b f a a e b a

e e x e

f x e e f a f x f b f a a x a b a e e e e -=

=--=-=-==-+-+=

--+--=--=-

于是得()f x 的最佳一次逼近多项式为

11

()(1)[ln(1)]22

1

(1)[(1)ln(1)]

2e P x e x e e x e e e =

+---=-+---

15。求43()31f x x x =+-在区间[0,1]上的三次最佳一致逼近多项式。 解：

43()31,[0,1]f x x x x =+-∈

令1

2()2t x =-，则[1,1]t ∈-

且1122

x t =+

434

321111

()()3()1

2222

1(1024229)16

f t t t t t t t ∴=+++-=++-

令()16()g t f t =，则4

3

2

()1024229g t t t t t =+++-

若()g t 为区间[1,1]-上的最佳三次逼近多项式*

3()P t 应满足

*311

max ()()min t g t P t -≤≤-=

当*

4

234311()()()(881)28

g t P t T t t t -=

=-+ 时，多项式*

3()()g t P t -与零偏差最小，故

*3

43321

()()()2

731025228

t g t T t t t t =-

=++-

进而，()f x 的三次最佳一致逼近多项式为*

31()16

P t ，则()f x 的三次最佳一致逼近多项式为

*32332173()[10(21)25(21)22(21)]168

51129

544128P t x x x x x x =

-+-+--=-+-

16。()f x x =，在[]1,1-上求关于{}

24

1,,span x x Φ=的最佳平方逼近多项式。

解：

[](),1,1f x x x =∈-

若1

1

(,)()()f g f x g x dx -=

?

且240121,,x x ???===，则

22

2

012222012010212222,,,

5

9

11

(,)1,(,),(,),2322

(,)1,(,),(,),

57

f f f ????????????=========

则法方程组为

01222213522213572122235

7

9a a a

???? ? ??? ? ? ? ? ?

= ? ? ? ? ? ?

?? ? ? ?

??

?? 解得

012

0.1171875

1.6406250.8203125a a a =??

=??=-? 故()f x 关于{}

24

1,,span x x Φ=的最佳平方逼近多项式为

*24

0122

4

()0.1171875 1.6406250.8203125S x a a x a x x x

=++=+-

17。求函数()f x 在指定区间上对于{}1,span x Φ=的最佳逼近多项式：

1

(1)(),[1,3];(2)(),[0,1];

(3)()cos ,[0,1];(4)()ln ,[1,2];

x f x f x e x

f x x f x x π==== 解：

1

(1)(),[1,3];f x x

=

若3

1

(,)()()f g f x g x dx =

?

且011,,x ??==，则有

22

01220101262,,3

(,)4,

(,)ln 3,(,)2,

f f ??????=====

则法方程组为

0124ln326243a a ??

???? ?= ? ? ? ???????

从而解得

01 1.1410

0.2958

a a =??

=-? 故()f x 关于{}1,span x Φ=的最佳平方逼近多项式为

*01()1.14100.2958S x a a x x

=+=-

(2)(),[0,1]x f x e =

若1

(,)()()f g f x g x dx =

?

且011,,x ??==，则有

22

0122010111,,

3

1

(,),2

(,)1,(,)1,

f e f ??????====-=

则法方程组为

01111211123a e a ??

?-????

= ? ? ? ???

?? ???

从而解得

010.1878

1.6244

a a =??

=? 故()f x 关于{}1,span x Φ=的最佳平方逼近多项式为

*01()0.1878 1.6244S x a a x x

=+=+

(3)()cos ,[0,1]f x x x π=∈

若1

(,)()()f g f x g x dx =

?

且011,,x ??==，则有

22

012201012

11,,

3

1

(,),

22

(,)0,(,),

f f ??????π=====-

则法方程组为

12101221123a a π??

?? ??? ?= ? ? ?- ? ??? ?????

从而解得

01 1.2159

0.24317

a a =??

=-?

故()f x 关于{}1,span x Φ=的最佳平方逼近多项式为

*01()1.21590.24317S x a a x x

=+=-

(4)()ln ,[1,2]f x x x =∈

若2

1

(,)()()f g f x g x dx =

?

且011,,x ??==则有

22

0122010171,,

3

3

(,),

2

3

(,)2ln 21,(,)2ln 2,

4

f f ??????====-=-

则法方程组为

0132ln 21123

372ln 2423a a ??

-?? ??? ?= ? ? ?- ??? ?????

从而解得

01

0.6371

0.6822a a =-??

=? 故()f x 关于{}1,span x Φ=最佳平方逼近多项式为

*01()0.63710.6822S x a a x x

=+=-+

18。()sin 2

f x x π

=，在[1,1]-上按勒让德多项式展开求三次最佳平方逼近多项式。

解：

()sin

,[1,1]2

f x x x π

=∈-

按勒让德多项式{}0123(),(),(),()P x P x P x P x 展开

1

01112

1

1221213

34

11

2

((),())sin

cos 01

2

28

((),())sin

2

31

((),())()sin 0

2225348(10)((),())()sin 222f x P x xdx x f x P x x xdx f x P x x xdx f x P x x x xdx π

π

π

π

ππ

πππ-----==

===

=-=-=-=

????

则

*00*112

*222*3

34

((),())/2012

3((),())/25((),())/20

168(10)

7((),())/2a f x P x a f x P x a f x P x a f x P x πππ====

==-==

从而()f x 的三次最佳平方逼近多项式为

*****3001122332324223443

()()()()()

12

168(10)53()22420(10)120(212)1.55319130.5622285S x a P x a P x a P x a P x x x x x x x πππππππ

=+++-=+---=+≈-

解：

被观测物体的运动距离与运动时间大体为线性函数关系，从而选择线性方程 s a bt =+ 令{}1,span t Φ= 则

22

012201016,53.63,

(,)14.7,

(,)280,(,)1078,

s s ??????=====

则法方程组为

6

14.728014.753.631078a b ??????= ??? ???????

从而解得

7.855048

22.25376

a b =-??

=? 故物体运动方程为

22.253767.855048S t =-

用最小二乘法求形如2

s a bx =+的经验公式，并计算均方误差。 解：

若2

s a bx =+，则

{}21,span x Φ=

则

22

012201015,7277699,

(,)5327,

(,)271.4,(,)369321.5,

f f ??????=====

则法方程组为

55327271.453277277699369321.5a b ??????

= ??? ???????

从而解得

0.9726046

0.0500351a b =??

=?

故20.97260460.0500351y x =+ 均方误差为1

4

22

[

(())]

0.1226j

j

j y x y δ==-=∑

用最小二乘法求()y f t =。 解：